›
›

Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 7: Phần tử lò xo và thanh dàn

pdf 18 trang vanle 2120
Download
Bạn đang xem tài liệu "Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 7: Phần tử lò xo và thanh dàn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfphuong_phap_sai_so_ung_dung_chuong_7_phan_tu_lo_xo_va_thanh.pdf

Nội dung text: Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 7: Phần tử lò xo và thanh dàn

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - BM KTTNN NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm. CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở. CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp. Phần tử hũu hạn. CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn. CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu Web: uốn) 8/29/2016 1 8/29/2016 2 Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 2. Water Resources systems analysis. Mohamad PHẦN 1: Karamouz and all. 2003 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB PHẦN TỬ LỊ XO KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. 5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT 1997 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. 8/29/2016 3 8/29/2016 4 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Lị xo được hiểu là một phần tử đàn Giới thiệu: Lị xo 1-2 cĩ độ cứng k. hồi: u u2 khơng cĩ khối lượng 1 hệ số độ cứng k khơng đổi 1 k 2 F F1 2 Hệ lị xo được hiểu là nhiều lị xo Fi : lực nút lực tác dụng tại nút i mắc nối tiếp trên cùng một ui : chuyển vị nút phương. Lực dọc F =F2-F1 8/29/2016 5 Chú8/29/2016ý: Xét trong khơng gian 1D 6 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 1
  2. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Giới thiệu: Phần tử lị xo chỉ cĩ khả năng chịu lực dọc trục (kéo hoặc nén). Biến dạng dọc trục  tỷ lệ tuyến tính lực tác dụng F. TRƯỜNG HỢP: F 1 LỊ XO Quan hệ tuyến tính giữa lực tác dụng và biến dạng 8/29/2016  7 8/29/2016 8 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Độ dãn dài (co ngắn) rịng của lị xo: Viết dưới dạng ma trận:  = u2 – u1 (> 0 dãn dài rịng , <0 co ngắn rịng). k k u1 F1 Lực dọc tác dụng lên lị xo: Ke  u F k k u2 F2 F = k = k(u2 – u1) Áp dụng phương trình tại nút 1 & 2 và sử With: dụng điều kiện cân bằng F1 + F2 =0: F1 = - k(u2 – u1) k k 1 1 F = k(u – u ) Ke  k 2 2 1 k k 1 1 8/29/2016 9 8/29/2016 10 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Trong đĩ: Chú ý: Ke  ma trận độ cứng phần tử Ma trận [Ke] là suy biến (det [K]=0). u vectơ chuyển vị nút Muốn loại bỏ tính suy biến bài tốn kết hợp với ĐIỀU KIỆN BIÊN. F vectơ lực nút 8/29/2016 11 8/29/2016 12 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 2
  3. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Giả thiết lị xo cĩ độ cứng k1, k2. Chuyển vị các nút là U1, U2, U3. U U TRƯỜNG HỢP: 1 U2 3 2 LỊ XO F1 F3 F2 k k1 2 8/29/2016 13 8/29/2016 14 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Phân tích: Phương trình cân bằng cho từng lị xo: (1) (1) u k k u F 1 u2 1 1 1 1 (1) (1) ; ’ k k u F F F2 1 1 2 2 1 2 F ’ 2 F1 k1 2 k k u (2) F(2) ” F F ” 2 2 1 1 F2 3 2 k k (2) (2) ’ 2 2 u 2 F2 u2 2 3 u k2 3 8/29/2016 15 8/29/2016 16 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Do điều kiện tương thích về chuyển vị và Ta cĩ: k1 k1 0 U1 F1 quan hệ giữa chuyển vị nút hệ trục địa ' phương u và chuyển vị nút hệ trục k k 0 U F i 1 1 2 2 chung U : i 0 0 0 0 0 (1) (2) (1) (2) U1=u1 , U2= u1 = u2 , U3=u2 Phương trình ma trận cho từng lị xo trở 0 0 0 0 0 thành: 0 k k U F" 2 2 2 2 8/29/2016 17 8/29/2016 0 k k U F 18 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 2 2 3 3 3
  4. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Cộng 2 ma trận trên và lưu ý F ’+F ”=F : 2 2 2 Nhận xét: k1 k1 0 U1 F1 Ma trận độ cứng tổng thể ĐỐI k k k k U F K U F 1 1 2 2 2 2     XỨNG. 0 k k U F 2 2 3 3 Ma trận suy biến (cần cĩ điều Ma trận độ cứng tổng kiện biên trước khi cĩ thể giải). Ma trận chuyển vị tổng Ma trận lực nút tổng 8/29/2016 19 8/29/2016 20 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài tập 0: Tại sao nĩi ma trận [K] ở ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ trước là suy biến? THẾ NĂNG TỐI THIỂU Bài tập 1: Hãy nhận xét sự hình thành ma trận độ cứng tổng thể THIẾT LẬP của hệ lị xo. PHƯƠNG TRÌNH Bài tập 2: Hãy viết ma trận độ cứng tổng thể cho hệ 3 lị xo nối tiếp. 8/29/2016 21 8/29/2016 22 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn ƠN Gọi:  T u dV p T u dS;  T  dV a         i     KẾT QUẢ V S V Ngoại năng (thế Nội năng (thế CHƯƠNG 6 năng ngoại lực) năng đàn hồi) a i thế năng tồn phần 8/29/2016 23 8/29/2016 24 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 4
  5. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Ta cĩ:   a i 0 Xác định a (thế năng ngoại lực) Được thực hiện thơng qua cơng Nguyên lý thế năng tồn phần dừng: tính từ biến dạng của kết cấu. “Một vật thể đàn hồi ở trạng thái cân bằng thế năng tồn phần đạt “cực Thế năng ngoại lực mất (giảm) khi trị”. ngoại lực thực hiện cơng: Đạo hàm (riêng phần) của theo a = - F1U1 – F2U2 – F3U3 (xét bài chuyển vị BẰNG ZERO. tốn 2 lị xo ghép nối tiếp). 8/29/2016 25 8/29/2016 26 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xác định i (thế năng đàn hồi) Thế năng tổng : 1 1 Được thể hiện khả năng mà nội lực tạo ra k U U 2 k U U 2 cơng thơng qua biến dạng trong kết i a 2 1 2 1 2 2 3 2 cấu. F U F U F U x x 1 1 1 2 2 3 3 F.dx kx.dx kx2 i Để đạt cực trị (cực tiểu) : 0 0 2  Áp dụng cho hệ cĩ 2 lị xo: 0 with i 1,2,3 Ui 1 2 1 2 i k1 U2 U1 k 2 U3 U2 8/29/2016 27 8/29/2016 28 PGS. Dr. Nguyễn Thống 2 2 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Do đĩ :  Bài tập: Cho hệ lị xo sau: 0 k U U F 0 U 1 1 2 1 1 Gối cố định  0 k1 U2 U1 k 2 U2 U3 F2 0 F2=20N R U2  F =30N 0 k2 U3 U2 F3 0 1 K =200N/m K2=400N/m U 1 3 Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, ma trận Nhận được hệ pt. dạng ma trận như độ cứng tổng hệ thống, chuyển vị nút, trước8/29/2016 ! 29 8/29/2016phản lực gối tựa. 30 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 5
  6. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài tập: Cho hệ lị xo sau: HD: Gối cố định Bài 1 U =-0.175m ; U =-0.025m K1=300N/mF2=40N F =60N 1 2 3 R U3 = 0m Bài 2 F =50N 1 K2=200N/m K3=500N/m U1 =-107/300m ; U2 =-19/100m U3 =-7/50m Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, tổng, ; U = 0m chuyển vị nút, phản lực gối tựa. 4 8/29/2016 31 8/29/2016 32 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Các phương trình lập trên thường được lập trong hệ tọa độ địa PHÉP BIẾN ĐỔI phương. Gặp trường hợp nhiều phần tử TOẠ ĐỘ cĩ dạng liên kết tổng quát cần cĩ một hệ tọa độ chung để biểu diễn các phần tử. 8/29/2016 33 8/29/2016 34 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xét phần tử đàn hồi cĩ 2 nút. Hệ U(e) Từ đồ thị: (e) 4 phương trình cân bằng của phần tử 2 u 2 2 u u (e) trong hệ tọa độ địa phương: Toạ độ chung1 U(e) (e) (e)  U(e) 3 ke ke u1 f1 2  U 2 k k u(e) f (e) Lực u (e) e e 2 2 đầu 1 1 (e) 1 U1 U (e) (e) nút Toạ độ địa phương 1 (e) u1 f1 (e) (e) (e) u1 U1 cos U2 sin  k  (e) (e) 8/29/2016 35 8/29/2016 36 PGS. Dr. Nguyễn Thống u 2 f2 PGS. Dr. Nguyễn Thống 6
  7. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Và trong hệ toạ độ chung: Ta cĩ: U(e)  U(e)  (e) (e) 1 1 (e) (e) (e) Ma trận U1 F1 u  cos sin  0 0 U U 1 2 R 2 (e)  (e)    (e)  độ (e) (e) u 0 0 cos sin  U U U F 2  3 3 cứng 2 2 (e) (e) (e) K F  U4  U4  tồn hệ (e) (e) U3 F3 cos sin  0 0 (e) (e) with R Ma trận U4 F4 0 0 cos sin  chuyển vị 8/29/2016 Ma trận lực 37 [R]8/29/2016ma trận biến đổi 38 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Thay vào pt. cân bằng phần tử trong hệ Nhân 2 vế cho [R]T: tọa độ địa phương: (e) U1  cos 0 (e) (e) (e) U  T ke ke U2 sin  0 f1 1 R R  k k (e) (e) (e) (e) e e U3 0 cos f2 k e k e U f 2 1 U(e) 0 sin  R  4  k k U(e) f (e) e e 3 2 f (e) cos F(e) (e) 1 1 (e) (e) Ma trận độ cứng U4  f sin  F 1 2 tồn hệ (e) (e) f2 cos F3 8/29/2016 39 8/29/2016 (e) (e) 40 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn f2 sin Thống F4 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Quan hệ ma trận độ cứng trong hệ địa Do đĩ: phương & trong hệ chung: c2 cs c2 cs T (e) K R k R cs s2 cs s2 K k k k   e 2 2 T e e c cs c cs K R R k k 2 2 e e cs s cs s with c cos; s sin  8/29/2016 41 8/29/2016 42 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 7
  8. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Với quy ước nút đầu i, nút cuối j. Chiều Tổng quát cho khơng gian 3D: dương từ i j: m2 mn ml m2 mn ml 2 2 X j Xi . n nl mn n nl cos AE . . l2 ml nl l2 2 2 K X j Xi Yj Yi   2 L . . . m mn ml Y Y . . . . n 2 nl j i sin  2 2 2 . . . . . l X j Xi Yj Yi m, n, l cosin chỉ hướng của thanh trong 3D 8/29/2016 43 8/29/2016 44 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài tập: Cho hệ lị xo sau: 2 PHẦN 2: K1=30kN/m F=50N 450 Khớp cố định PHẦN TỬ 0 1 30 THANH DÀN K2=10kN/m 3 Xác định: Ma trận độ cứng phần tử, ma trận độ cứng tổng, chuyển vị nút, 8/29/2016phản lực gối tựa. 45 8/29/2016 46 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Giả thiết phần tử thanh dàn: Trong hệ tọa độ địa phương. Thanh thẳng về mặt hình học 2 Vật liệu tuân theo định luật Hooke 1 u1 u2 x u(x)  D x Ex L Lực chỉ tác dụng tại đầu mút thanh. Chỉ cĩ lực dọc trục trong thanh dàn (hệ dàn) 8/29/2016 47 8/29/2016 48 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 8
  9. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Hệ dàn: Phần tử thanh dàn Chú ý: Hệ dàn bao gồm nhiều thanh dàn Fj liên kết khớp với nhau. Về nguyên tắc các thanh dàn cĩ hệ toạ độ địa Fi phương KHÁC NHAU. Cần biến đổi các thanh dàn trong hệ y toạ độ địa phương về toạ độ chung Gối Khớp liên kết Khơng cĩ momen để cĩ thể áp dụng nguyên lý cộng tác x dụng. 8/29/2016 49 8/29/2016 50 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Các bước xác định phương trình cân Thay vào trên ta cĩ: bằng của thanh dàn trong hệ toạ độ a=u & b= (u – u )/L chung: 1 2 1 Do đĩ: u(x) = u + (u – u )x/L Bước 1: Hàm hình dạng 1 2 1 = (1-x/L) u + (x/L) u Chuyển vị tại vị trí x trong thanh: 1 2 Phổ biến chọn hàm nội suy tuyến tính: u1  (e) u(x) N1(x) N2 (x)  N u  u(x) = a + bx u2  Với điều kiện biên tại hai đầu mút: x x with N (x) 1 ; N (x) 8/29/2016 u(x=0) = u1 & u(x=L) = u2 51 8/29/2016 1 2 52 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống L L PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn [N] hàm hình dạng QUY ĐỔI TƯƠNG {u(e)} vectơ chuyển vị nút 2 đầu nút thanh trong hệ tọa độ địa ĐƯƠNG LỰC phương. DỌC TRỤC VỀ LỰC NÚT 8/29/2016 53 8/29/2016 54 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 9
  10. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 8: Phần tử thanh dầm chịu uốn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Cơng của lực nút tương đương: Ghi chú: Gọi f1 & f2 là lực dọc trục tại 2 đầu L thanh. Gọi q là lực phân bố đơn vị theo W q(x).u(x).dx f1u1 f2u 2 0 trục thanh:1 q (N/m) 2 L f2 (e) f1 q(x).N u .dx f1u1 f2u 2 0 L L Lực nút tương L x u f1 N1dx 1 qdx đương tại nút 1 (e) 1 0 u  0 L Chuyển vị tịnh u 2 L tiến tại nút 2 L x f2 N2dx qdx 8/29/2016 55 8/29/2016 0 56 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 0 L PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bước 2: Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị bài Bước 3: Định luật Hooke tốn 1D: du(x) d (e)  N u   D x Ex x dx dx E module đàn hồi vật liệu. u  dN1(x) dN2 (x) 1 Chú ý:  Định luật Hooke trong SBVL dx dx u 2  F dl F/ A x dl L x 1 u1  u1  A.E L E E  1 1  B  8/29/2016 57 8/29/2016 58 PGS. Dr. Nguyễn ThốngL u 2  u 2  PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bước 4: Ma trận độ cứng và vectơ lực Bước 5: Thiết lập ma trận độ cứng tồn nút trong hệ toạ độ địa phương: hệ sau khi đã biến đổi ma trận độ cứng L T E 1 phần tử thanh dàn từ hệ tọa độ địa k(e) B D B dV ds 1 1dx        2   phương thành hệ tọa độ chung. V L S 0 1  AE 1 1 (e) (e) K K  & F  F  L 1 1 ds vi phân tiết diện thanh K U F [1] A tiết diện thanh Ma trận độ cứng phần tử 8/29/2016 59 8/29/2016 trong hệ tọa độ chung 60 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 10
  11. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bước 6: Bổ sung điều kiện biên và Bài tập: Hãy dùng phương pháp giải hệ phương trình [1] xác định khi thiết lập ma trận độ cứng của chuyển vị nút. lị xo suy ra lập ma trận độ cứng Bước 7: Dùng kết quả chuyển vị của thành dàn đơn. nút Bước 6 xác định nội lực F thanh. F k 8/29/2016 61 8/29/2016 62 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xét ví dụ sau giới thiệu các bước xác định hệ phương trình cho tồn hệ thống: F 3y U6 F3x 2 (2) U 3 5 HỆ THANH 2 (2) U6 U4 U U Y (1) 3 5  1 X (1) U 1 2 8/29/2016 63 8/29/2016 U1 64 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xét ví dụ sau giới thiệu các bước xác định Trong hệ tọa độ địa phương: hệ phương trình cho tồn hệ thống: f (1) F F6 (2) 3 3y F f3 F3x 4 (2) (2) 2 (2) f3 3  F5 2 2 F f (1) 3 3 (1) (1) f1 (1) U5 Y F2 1 1 X (1) 1 f1 8/29/2016 F1 65 8/29/2016 66 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 11
  12. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chuyển vị Chuyển vị nút Chuyển vị nút Ma trận độ cứng phần tử [1] trong hệ toạ độ trong hệ tọa phần tử 1 phần tử 2 chung: 1 2 5 6 độ chung (1) (1) (1) (1) 1 1 0 1 k11 k12 k13 k14 2 2 0 PTử 1 (1) (1) (1) (1) 3 0 1 (1) k 21 k 22 k 23 k 24 2 4 0 2 K  (1) (1) (1) (1) k k k k 5 5 3 3 31 32 33 34 6 4 4 (1) (1) (1) (1) 6 8/29/2016 67 8/29/2016 k k k k 68 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 41 42 43 44 PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Ma trận độ cứng phần tử [2] trong hệ toạ độ Ma trận độ cứng tồn hệ: chung: 3 4 5 6 (1) (1) (1) (1) k11 k12 0 0 k13 k14 k(1) k(1) 0 0 k(1) k(1) (2) (2) (2) (2) 3 21 22 23 24 k11 k12 k13 k14 (2) (2) (2) (2) 0 0 k11 k12 k12 k14 (2) (2) (2) (2) K k k k k 0 0 k(2) k(2) k(2) k(2) (2) 21 22 23 24 4 21 22 23 24 K  (2) (2) (2) (2) k(1) k(1) k(2) k(2) k(1) k(2) k(1) k(2) 31 32 31 32 33 33 34 34 k31 k32 k33 k34 5 (1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) k 41 k 42 k 41 k 42 k 43 k 43 k 44 k 44 (2) (2) (2) (2) 8/29/2016 k k k k 696 8/29/2016 1 2 3 4 5 6 70 PGS. Dr. Nguyễn Thống 41 42 43 44 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Hệ phương trình tồn hệ: Các điều kiện biên: Chuyển vị tồn hệ U  F  1 1 U U U U 0 U F 1 2 3 4 2 2 Ma trận độ cứng tồn hệ U3 F3 F5 F3X ; F6 F3Y K   U4 F4 Lực nút tồn hệ U F 5 5 8/29/2016 71 8/29/2016 72 PGS. Dr. Nguyễn Thống U6  F6  PGS. Dr. Nguyễn Thống 12
  13. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Điều kiện biên về chuyển vị Thay vào ta cĩ: và ngoại lực tác dụng tại nút 0  F1  F 3y 0 F F3x 2 2 (2)  3 Giải ra cĩ U 0 F3 2 5 K & U6     0 F4 Y (1)  1 X U5 F3X 1 8/29/2016 73 8/29/2016 U F 74 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 6  3Y  PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Thay vào ta cĩ: Cĩ biến dạng dọc trục u xác định : Giải hệ phương trình thứ 5 & 6 xác định (1) (1) (1) u 2 u1 U5 & U6  (1) Cĩ U5 & U6 xác định các chuyển vị L trong hệ toạ độ địa phương: Biến dạng Chuyển vị tại nút dọc trục 2 của phần tử (1) Ví dụ phần tử [1]: (1) (1) phần tử (1)  E  (1) 1 u1 =U1cos + U2sin u (1) =U cos + U sin Ứng suất Module đàn hồi 2 5 6 trong phần 8/29/2016 75 8/29/2016 76 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS.tử Dr. (1) Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xác định lực dọc trục f trong hệ tọa NGỒI RA độ địa phương (ví dụ phần tử [1]): Cĩ U5 & U6 dùng các phương trình 1, 2, 3, 4 xác định các lực (1) k k (1) f1  1 1 u1  F , F , F , F (các phản lực tại gối   1 2 3 4 (1) (1) tựa 1 và 2). f2  k1 k1 u 2  Cũng cĩ thể xác định các nội lực Lực dọc trục tại 2 nút thanh từ phương trình cân bằng phần tử [1] 8/29/2016 77 8/29/2016nút. 78 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 13
  14. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn 1 Bài tập 1: Cho kết cấu sau thanh cĩ (A,E): Bài tập 2: Cho kết cấu sau: (1) P (2) Ngàm (A,E,L) (1) 1 2 3 2 L/3 2L/3 p Quy đổi lực phân bố về (A,E,L) (2) Xác định ma trận độ cứng phần tử (điạ lực nút tương đương phương chung). Xác định ma trận độ cứng phần tử 3 Xác định ma trận độ cứng tồn hệ (chung). Xác định ma trận độ cứng tồn hệ Tìm chuyển vị nút (ẩn số bài tốn PTHH). Tìm chuyển vị nút Phản lực gối tựa 8/29/2016 79 8/29/2016 80 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài tập 3: Cho kết cấu sau: Bài tập 4: Cho kết cấu sau: F (1) (2) (1) 1 (2) F2 (3) x (A , E ,L ) T (A1, E1,L1) 3 3 3 L/2 L/2 (A2, E2,L2) Xác định ma trận độ cứng phần tử Xác định ma trận độ cứng phần tử Xác định ma trận độ cứng tồn hệ Xác định ma trận độ cứng tồn hệ. Tìm chuyển vị nút Xác định chuyển vị nút. Phản lực gối tựa R Xác định phản lực gối. 8/29/2016 81 8/29/2016 82 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài tập 5: Cho kết cấu sau: P Bài tập 6: Cho kết cấu sau: 1 (1) Fy3=20KN 3 2 Fx3=50KN A,L (3) 2 2A, 2L Y A,L (2) (1) (2) 1350 X 450 3 O 1 2 Tính chuyển vị nút 2. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử & tổng. Tính lực dọc trong thanh 1-2 và 2-3. Tính chuyển vị nút 3 và lực dọc trong các Dùng p/p cân bằng nút 2, tính lực dọc thanh và thanh. Kiểm tra kết quả bằng p/p tách nút 3. 8/29/2016so sánh với kết quả trên. 83 8/29/2016 84 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 14
  15. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn 1 Bài 7: Cho kết cấu sau: 4 Bài 8: Cho kết cấu sau: Lập ma trận độ cứng. Lập ma trận độ cứng. (2) (1) Chuyển vị nút 2 A, E, L Chuyển vị nút 2. A, E, L và lực dọc trong 2 các thanh? 1 (1) 2 (2) (3) (3) P P A,E,L 2 A, E, L 3 3 4 8/29/2016 85 8/29/2016 86 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn 3 Bài 9: Cho kết cấu sau: Bài 10: Cho kết cấu sau: k Lập ma trận độ cứng. (2) Lập ma trận độ cứng ? Chuyển vị nút 2 (u,v). Chuyển vị nút ? P 2 P=0.5T Lực dọc trong lị xo (1) 2 L=2m L=2m 6 & thanh. P 4 1 450 L=1m Y 3 5 6 2 2 X 1 E=2.10 kG/cm , A=25cm 8/29/2016 87 8/29/2016 88 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 1: (1)(1) 3AE3AE 1 1 1 1 KK   LL 1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn (2) 3AE K  2L 1 1 1 1 0 3AE K 1 3/ 2 1/ 2 2L 0 1/ 2 1/ 2 8/29/2016 89 8/29/2016 90 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 15
  16. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Xác định lực dọc trục f trong hệ tọa độ Bài 1: K u F Đ/k biên địa phương (ví dụ phần tử [1]): 1 1 0 u1 0 F1  F1  3AE f (1)  3AE 1 1 0  1 3/ 2 1/ 2 u 2  F2  P  1 2PL L (1)   f2 L 1 1 0 1/ 2 1/ 2 u3 0 F3  F3   9AE  2P 2PL f (1) F u 1 1 3 2 9AE Tương tự tính F3. 8/29/2016 91 8/29/2016 92 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 2: Ma trận độ cứng tổng & chuyển vị: Bài 2: AE 1 1 K(1)  K(2)  L 1 1 1 1 0 AE K 1 2 1 Vectơ tải nút trên phần tử: L L 0 1 1 x qL 1 qdx L 1 1 0 u1 0 F1  qL / 2 R (1) (2) 0 2 AE F F L qL 1 2 1 u 2  F2  qL  0  x L qdx 2 0 1 1 u3  F3  qL / 2 0  0 L 2 2 8/29/2016 93 8/29/2016 u 2 3qL / 2AE & u3 qL / AE 94 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 3: Bài 3: Ma trận độ cứng tổng & chuyển vị: (1) 3AE 1 1 K  1 1 0 L 1 1 2AE 1 1 K 1 2 1 Vectơ tải nút trên phần tử:(1) (2) 2AE   K  K  L L 1 1 0 1 1 L L/ 2 x x 1 1 0 u 0 F 0 R 1 0dx 1 Tdx 1  1    0 TL / 4 2AE (1) 0 L (2) 0 L F ;F 1 2 1 u 2  F2  TL / 4 0  L L / 2 L x 0 x TL / 4 0 1 1 u F TL / 4 0 0dx Tdx 3  3    L L 0 0 u 0.25TL2 / AE & u 0.375TL2 / AE 8/29/2016 95 8/29/2016 2 3 96 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 16
  17. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 4: A E 1 1 Bài 5: K(i)  i i ;i 1,2,3 L 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 i AE 0 0 0 0 AE 1 1 1 1 K(1) ; K(2) A E A E     1 1 1 1 0 0 L 1 0 1 0 L 1 1 1 1 L L 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A1E1 A1E1 A2E2 A2E2 0 0 0 0 0 L L L L K 1 1 2 2 A E A E A E A E (3) AE 0 1 0 1 0 2 2 2 2 3 3 3 3 K  L 0 0 0 0 L2 L2 L3 L3 A E A E 0 0 3 3 3 3 0 1 0 1 8/29/2016 97 8/29/2016 98 PGS. Dr. Nguyễn Thống L3 L3 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 5: Bài 6: AE 2 1 u 2  0    1 1 1 1 1 1 1 1 L 1 1 v P 2   AE 1 1 1 1 AE 1 1 1 1 K(1)  ;K(2)  u 2 PL/ AE & v2 2PL/ AE 2L 1 1 1 1 2L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R1x P & R1y 0 R 3x P & R 3y P 8/29/2016 99 8/29/2016 100 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 6: Bài 6: 1 1 0 0 1 1 u1 0 F1x L L u F ; v F ; 1 1 0 0 1 1 v 0 F 3 3x 3 3y 1 1y AE AE AE 0 0 1 1 1 1 u 2 0 F2x  F F F F 2L 0 0 1 1 1 1 v 0 F 3x 3y 3x 3y 2 2y T1 3 ;T2 3 1 1 1 1 2 0 u F 50kN 2 2 3 3x F 20kN 1 1 1 1 0 2 v3  3y 8/29/2016 101 8/29/2016 102 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 17
  18. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 7: 1 0 1 0 0 0 0 0 Bài 7: AE 0 0 0 0 AE 0 1 0 1 K(1)  ;K(2)  1 1 L 1 0 1 0 2L 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 AE 2 2 2 2 u 2  0  1 1 1 1 1 1 L v2  P 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 AE K(3)  2 2 2 2 2 2 2 2 L 1 1 1 1 PL PL u 2 0.2071 ; v2 0.7928 2 2 2 2 2 2 2 2 AE AE 1 1 1 1 8/29/2016 103 8/29/2016 104 PGS. Dr. Nguyễn Thống 2 2 2 2 2 2 2 2 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn 1 1 1 1 Bài 8: Bài 8: Bổ sung các điều kiện biên 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 AE 0 1 0 1 AE K (1)  ;K (2)  2 2 2 2 1 1 1 1 L 0 0 0 0 L 1 0 u  0 AE 2 0 1 0 1 2 2 2 2 1 1 1 1  2 2 2 2 L 0 1 v2  P 1 1 1 1 2 2 2 2 PL 1 1 1 1 u 2 0; v2 AE K (3) 2 2 2 2 AE   1 1 1 1 L 2 2 2 2 1 1 1 1 8/29/2016 105 8/29/2016 106 PGS. Dr. Nguyễn Thống 2 2 2 2 PGS. Dr. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Chương 7: Phần tử lị xo & thanh dàn Bài 10: u = v =u = v =0 1 1 2 2 HẾT u3 795.17P / EA;v3 2694.83P / EA u 4 804.83P / EA; v4 2741.18P / EA u5 985.38P / EA; v5 6853.23P / EA u 6 1014.62P / EA; v6 6900.77P / EA 8/29/2016 107 8/29/2016 108 PGS. Dr. Nguyễn Thống PGS. Dr. Nguyễn Thống 18