Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 1: Cơ sở phương pháp sai phân hữu hạn

Nội dung text: Phương pháp sai số ứng dụng - Chương 1: Cơ sở phương pháp sai phân hữu hạn

1. TRƯỜNGPHƯƠNG ĐẠI HỌC PHÁP BÁCH SỐ ỨNGKHOA DỤNG TP. HCM PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG ChươngKhoa 1Kỹ: Cơ Thuật sở phương Xây Dựng pháp -SaiBM phân KTTNN hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn NỘI DUNG MƠN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp. Sai phân hữu hạn. CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán. CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán. CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm. CHƯƠNG 5: Dịng khơng ổn định trong kênh hở. CHƯƠNG 6: Đàn hồi tĩm tắt & pp. Phần tử hũu hạn. Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG CHƯƠNG 7: Phần tử lị xo & thanh dàn. E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn. CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến Web: 1 dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu2 PGS. TS. Nguyễn Thống Tél. (08) 38 640 979 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễnuốn) Thống. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TÀI LIỆU THAM KHẢO KIỂM TRA 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 - Trong trường hợp có kiểm tra giữa kỳ 2. Water Resources systems analysis. Mohamad Karamouz and all. 2003 thời gian là 60 ph. 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB - Thi tự luận cuối môn học 90ph. KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Chú ý: Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. 5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT Mang theo máy tính làm bài tập trong 1997 lớp. 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 3 4 PGS.7. TS.Bài Nguyễn giảng Thống PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn MỤC ĐÍCH MƠN HỌC Giới thiệu các phương pháp số xác CƠ SỞ định gần đúng lời giải của các bài tốn vi phân đạo hàm riêng (tuyến PHƯƠNG PHÁP tính hoặc phi tuyến) mà ta KHƠNG thể tìm được lời giải giải tích chính xác. SAI PHÂN HỮU HẠN Trong số các phương pháp số cĩ: Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) (SPHH) & Phần tử hữu hạn (PTHH), & Thể tích hữu hạn (TTHH). . 5 6 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 1
2. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Hiện tượng vật lý biểu diễn PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Đạo hàm riêng (ĐHR) tốn học bằng phương trình f (x,y,z,t): hàm xác định trong một miền đạo hàm riêng lời giải khơng gian R3 x, y, z: ba biến khơng gian độc lập ; t: cho phép nghiên cứu hiện biến thời gian độc lập. tượng. * ĐHR cấp 1 của f: f đối với x : or f x x Tương tự với y & z 7 8 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn * ĐHR cấp 2 của f : ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG 2f/ x2 = (/ x)(f/ x) = f , 2f/ y2 = xx Dạng tổng quát: (/ y)(f/ y) = fyy 2 2 2 F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz,  f/ t = (/ t)(f/ t) = ftt ,  f/ xy Uyz, ) = 0 = (/ x)(f/ y) = fxy Biến phụ thuộc U (ẩn số phải tìm) ĐHR cấp 2 liên tục fxy = fyx , fxz = fzx , fyz = fzy , * Cấp của PTĐHR là cấp cao nhất của các ĐHR cĩ trong PT 9 10 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG PHÂN LOẠI PT ĐHR * PTĐHR là tuyến tính nếu: Tất cả các ĐHR cĩ mặt trong PT đều ở Theo ý nghĩa vật lý dạng tuyến tính Theo tốn học Khơng cĩ hệ số liên kết với các ĐHR chứa biến phụ thuộc. Nếu khơng PTĐHR là phi tuyến. 11 12 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 2
3. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Phân biệt bài tốn theo ý nghĩa vật lý Phân biệt bài tốn theo ý nghĩa vật lý Bài tốn cân bằng (giá trị biên) Bài tốn lan truyền miền hở thỏa miền kín thỏa mãn các điều kiện mãn các điều kiện biên cho sẵn và biên cho sẵn: điều kiện ban đầu: Ví dụ: Ví dụ: Bài tốn thấm ổn định Bài tốn khuếch tán, đối lưu chất Bài tốn phân bố ứng suất tỉnh trong mơi trường. trong kết cấu. 13 14 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Phương trình đạo hàm riêng tuyến Phân loại về mặt tốn học tính bậc 2 dạng tổng quát: 2 2u 2u 2u u u b – 4ac > 0 bài tốn dạng a b c d e f.u g(x, y) hyperbol x2 xy y2 x y 2 u(x,y) hàm ẩn số cần tìm b – 4ac < 0 bài tốn dạng x,y các biến độc lập chỉ khơng gian ellip a, b,c,d,e,f : các hàm số tuyến tính của b2 – 4ac = 0 bài tốn dạng x,y parabol 15 16 PGS.g(x,y) TS. Nguyễn Thốnghàm đã xác định PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn DẠNG TỐN HỌC ELLIP DẠNG TỐN HỌC HYPERBOL Mơ tả vấn đề kỹ thuật: Cân bằng Mơ tả vấn đề kỹ thuật: Lan truyền 2u 2u 2u 2u 0 P / t Laplace a 2 P / t Song 2x 2y t 2 x 2 2u 2u u u 2 2  P / t Poisson  P / t Doi luu 17 18 PGS. Dr.xTS. Nguyễn Nguyễn Thống Thốngy PGS. TS.t Nguyễn Thốngx 3
4. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn DẠNG TỐN HỌC PARABOL HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TỐN LAN Mơ tả vấn đề kỹ thuật: Khuếch tán TRUYỀN NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG MƠI TRƯỜNG DỊNG CHẢY U 2 PT đối lưu (khơng khuếch tán) : u  u f + uf = 0 P / t Fourier t x 2 f(x,t): nồng độ chất, u(x, t): thành phần t x lưu tốc theo phương x. PTĐHR tuyến tính cấp 1, loại hyperbolic. 19 20 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TỐN HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TỐN KHUẾCH TÁN CHẤT f TRONG MƠI LAN TRUYỀN & KHUẾCH TÁN (ĐỒNG TRƯỜNG (TỈNH) THỜI) CỦA NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG PT khuếch tán (khơng đối lưu) ft = fxx MƠI TRƯỜNG DỊNG CHẢY PT đối lưu - khuếch tán: : hệ số khuếch tán (> 0). a = , b = c = 0 = b2 – 4ac = 0 ft + ufx = fxx PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại PTĐHR tuyến tính cấp 2 parabolic. 21 22 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TỐN LAN HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TỐN TRUYỀN SĨNG THẤM f = c2 f tt xx PT Laplace fxx + fyy = 0 c: tốc độ truyền sĩng. PT Poisson fxx + fyy = G(x, y) 2 a = c , b = 0, c = -1 G(x,y): số hạng nguồn 2 2 b – 4ac = 4c > 0 a = 1, b = 0, c = 1 PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại hyperbolic. b2 – 4ac = - 4 < 0 PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại elliptic. 23 24 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 4
5. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn MIỀN KÍN Y Miền lời MIỀN KÍN & Điều kiện giải MIỀN HỞ biên U(x,y) =??? Biên X O 25 BÀI TỐN GIÁ TRỊ BIÊN 26 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn MIỀN HỞ t Miền lời ĐIỀU KIỆN BIÊN Điều Phương lan truyền giải Khi giải các phương trình đaọ hàm kiện riêng biểu diễn một hiện tượng vật lý biên Điều bất kỳ đều cần phải cĩ ĐIỀU KIỆN BIÊN. U(x,y,t) =??? kiện ban đầu ĐIỀU KIỆN BIÊN là giá trị (hoặc Biên gradient) của biến nghiên cứu đã X, Y được xác định tại các vị trí biên O (khơng cịn là ẩn số của bài tốn). BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU27 28 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn ĐIỀU KIỆN BIÊN CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN H=z+p/ Biết Biên Dirichlet: Giá trị trên biên của hàm ẩn U đã biết tại vị trí biên H=? u f (x, y,z, t) THẤM CÓ ÁP DƯỚI CÔNG TRÌNH29 30 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 5
6. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Miền lời giải CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN Y U cần tìm Biên Neuman: Giá trị đạo hàm U(bien)= theo phương (thẳng gĩc với Know U(x,y) =??? biên) của hàm ẩn U đã biết. u Biên X  f (x, y,z, t) O n 31 32 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Miền lời giải ĐIỀU KIỆN BIÊN H Y 0 U cần tìm Neuman n U(x,y) =??? H(x,y)=? Biên n X u O  f (x, y,z, t) n 33 THẤM CÓ ÁP DƯỚI CÔNG TRÌNH34 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN Chú ý: Biên Cauchy: Là tổ hợp 2 loại biên trên. Biên C thường gồm nhiều phần và trên mỗi phần phải cĩ một u (x, y,z)u (x, y,z)  f (x, y,z, t) và chỉ một loại ĐKB. n Tuy nhiên ĐKB này cĩ thể thay , , f đã biết đổi trong quá trình nghiên cứu. 35 36 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 6
7. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn ĐKBĐ chỉ cần khi xét bài tốn lan truyền (PT parabolic hay hyperbolic với biến thời gian t). ĐIỀU KIỆN PTĐHR cấp 1: t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z) BAN ĐẦU PTĐHR cấp 2: t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z) và ft (x,y,z,0) = h(x,y,z) (x,y,z) 37 g(x,y,z) , h(x,y,z): hàm số đã biết. 38 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TĨM TẮT Giải bài tốn ĐHR cần cĩ: Điều kiện biên SAI PHÂN HỮU HẠN Điều kiện ban đầu (khi bài (SPHH) tốn cĩ biến thời gian trong ẩn số phải tìm) 39 40 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Số giá trị Y (vơ cực) trên miền liên tục X giảm xuống SPHH là phương pháp số ứng dụng chỉ cịn một số vị trị hữu hạn trên X để giải các phương trình đạo hàm riêng với các bước cơ bản sau: y=f(x) Rời rạc hố miền tính tốn 1D Yn+1 hoặc 2D (ơ lưới chử nhật), hoặc 3D yn Yn-1 y3 (khối chử nhật) y2 y1 Chỉ xét tính tốn biến nghiên cứu tại các điểm nút ơ lưới. 1D x x Vị trí xác định giá trị biến 41 42 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống nghiên cứu (hữu hạn vị trí) 7
8. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Y, j 1D ( xi) 2D (i,j+1) X y (i-2) (i-1) i (i+1) (i+2) i (i-1,j) (i,j) (i+1,j) i =0 N nút mạng lưới: vị trí xác (i,j-1) định giá trị biến cần tìm xi : bước lưới khoảng cách 2 nút kế tiếp (cĩ thể khác nhau từ vị trí X, i xi này sang vị trí khác). 43 44 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Z, k (i,j,k+1) Tại các nút ơ lưới Các đạo hàm 3D riêng (hoặc đạo hàm) được xấp xỉ (i,j+1,k) Y, j bằng các sai phân phương trình zi (i-1,j,k) đại số. (i+1,j,k) Áp dụng cho “tất cả” các nút ơ (i,j-1,k) y i lưới nhận được hệ phương (i,j,k-1) (i,j,k) trình tuyến tính của các ẩn số đại xi lượng nghiên cứu tại nút lưới. X, i 45 46 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Hệ phương trình này Bài tốn cân bằng: hệ KẾT HỢP với các phương trình được giải 1 lần phương trình biểu thị Bài tốn mơ phỏng hiện các ĐIỀU KIỆN BIÊN sẽ tượng theo thời gian: hệ đủ hệ gồm cĩ N phương phương trình được giải một trình độc lập tuyến tính lần & kết quả tương ứng tại 1 để xác định N ẩn số. thời điểm & sau đĩ tiếp tục 47 tiến lên theo thời gian. 48 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 8
9. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn CHÚ Ý Ví dụ xét bài tốn 2D Bài tốn PHI TUYẾN (các hệ số hệ Thiết lập lưới chử nhật và thay thế phương trình phụ thuộc giá trị biến U(x,y) bởi U(i x,j y). nghiên cứu !) CẦN PHẢI GIẢI LẶP Định vị các nút theo i, j Phương Lời giải là một xấp xỉ tốt của lời giải trình sai phân được viết theo i, j và chính xác (về nguyên tắc KHƠNG các điểm lân cận của nĩ. BIẾT) CẦN XEM XÉT: xét sai số Giả thiết xem Ui,j như là U(x0,y0): cắt bỏ, tính nhất quán, tính ổn định. 49 50 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Quy ước: CHÚ Ý Thơng thường người ta hay Ui+1,j = U(x0+ x,y0) & chọn x= y U = U(x - x,y ) i-1,j 0 0 Thường ta hay dùng chỉ số Ui,j+1 = U(x0,y0 + y ) & dưới để chỉ KHƠNG GIAN & chỉ số TRÊN để chỉ biến THỜI GIAN. Ui,j-1 = U(x0,y0- y ) Chỉ thời gian Ut 51 i, j Chỉ khơng gian52 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Định nghĩa về đạo hàm riêng của U(x,y) tại vị trí (x0,y0): SAI PHÂN TIẾN - U U(x x, y ) U(x , y ) lim 0 0 0 0 FORWARD x x 0 Hy vọng rằng [U(x + x,y )- (KHƠNG GIAN) 0 0 U(x0,y0)]/ x sẽ là một xấp xỉ “hợp lý” của U 53 54 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống x 9
10. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Triển khai chuỗi Taylor của Sơ đồ sai phân “tiến” (khơng gian): U(x + x,y ) chung quanh (x ,y ): 0 0 0 0 (Forward) U U(x x, y ) U(x , y ) x U U(x x, y ) U(x , y ) 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x0 x x ,y x 2U x 2 n 1U x n 1 0 0 2 x 2 2! x n 1 (n 1)!  U x x0 x0 2  n n x 2!  U x x0 n with x0  x0 x x n! 55 56 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Viết dưới dạng chỉ số: CHÚ Ý U U U i 1, j i, j  Sai số cắt bỏ  được hiểu là: x i,j x [Sai số cắt bỏ] = [Đạo hàm riêng] –  sai số cắt bỏ [Biểu thức SPHH] Ta gọi Ui 1, j Ui, j / x Người ta hay sử dụng ký hiệu 0 biểu thức SAI PHÂN của U / x cho sai số cắt bỏ : i, j U U U i 1, j i, j 0( x) 57 x i, j x 58 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn GỈA THIẾT & TÍNH CHẤT Khi x đủ nhỏ: 0( x) K x SAI PHÂN LÙI - Với K là số thực dương BACKWARD Khơng biết giá trị chính xác của 0( x) & chỉ xét được nĩ thay đổi (KHƠNG GIAN) thế nào khi x 0. Thừa nhận: 2 0 x 0 x59 60 PGS. TS. Nguyễn Thống   PGS. TS. Nguyễn Thống 10
11. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Triển khai chuỗi Taylor của U(x0- Sơ đồ sai phân “lùi” (khơng gian): x,y ) chung quanh (x ,y ): 0 0 0 U U(x , y ) U(x x, y ) 0 0 0 0 0( x) U x x U(x x, y ) U(x , y ) x x 0 , y 0 0 0 0 0 x x 0 Dưới dạng chỉ số: 2 2 n 1  U x  U U U i , j U i 1, j n 0( x) 2 1 n 1 x 2! x x i , j x x 0 x 0 61 62 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TĨM TẮT Vị trí khai BÀI TẬP 1 triển Taylor Chứng minh: U U I-1,J UI,J I+1,J X,i U U i 1, j U i 1, j 2 (x - x) x0 (x0+ x) 0( x) 0 x 2 x Sơ đồ sai phân i , j Backward theo Sơ đồ sai phân khơng gian Forward theo (Sơ đồ sai phân trung tâm) khơng gian 63 64 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TĨM TẮT BÀI TẬP 2 U U U Sai phân tiến: i 1, j i , j 0( x) Hãy dùng ý nghĩa đồ thị để giải thích x i , j x về xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc 1 tại C: C B Sai phân lùi: U U U U i , j i 1, j 0( x) A x i , j x Sai phân trung tâm: x x X (x0- x) x0 (x0+ x) 65 66 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 11
12. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn BÀI TẬP 3 BÀI TẬP 4 Trong khơng gian 2D, tìm xấp xỉ Trong khơng gian 2D, tìm xấp xỉ của đạo hàm riêng bậc 2: của đạo hàm riêng bậc 2: 2U(x ,y )  U 2 0 0 ? & K(x,y) ?  U(x0 , y0 ) 2 x i,j x x ? x.y i,j 68 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Các nghiên cứu trên chỉ tập trung xem xét đạo hàm riêng theo khơng gian của biến nghiên cứu U(x,y,z,t). XẤP XỈ THEO Trong phương trình đạo hàm riêng THỜI GIAN cịn gặp các số hạn: U 2U ; t t 2 cần xấp xỉ trong p/p SPHH. 69 70 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Tương tự như khai triển Taylor SAI PHÂN THEO THỜI GIAN t t 1 t áp dụng với biến khơng gian, Sai phân tiến: U Ui,j Ui,j với biến thời gian ta cũng cĩ sai 0( t) t i,j t phân tiến, sai phân lùi cho xấp Sai phân lùi: xỉ : U t Ut Ut 1 U i,j i,j 0( t) t t t i,j Xem giải thích bằng đồ thị sau 71 72 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 12
13. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D) GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D) Sai phân tiến: Unknown Sai phân lùi: Unknown Known Known time Ut+1(i,j) time Ut(i,j) Ut(i,j+1) Ut(i,j+1) tt+1 tt t U (i-1,j) Ut(i+1,j) Ut(i-1,j) t t t t-1 t-1 Y t t U (i,j) Ut(i,j) U (i+1,j) Y U (i,j-1) t 73 74 PGS. TS. Nguyễn Thống X U (i,j-1) PGS. TS. Nguyễn Thống X PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN Sơ đồ sai phân hiện (Explicit) SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN được gọi khi ta dùng sơ đồ SAI PHÂN TIẾN (forward difference) & SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN khi xấp xỉ theo thời gian. Các số hạng sai phân trong các số hạn đạo hàm (riêng) theo khơng gian đều lấy ở thời điểm cũ. 75 76 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Ví dụ: Xét phương trình truyền nhiệt Tt 1 Tt Tt 2Tt Tt 1D: j j j 1 j j 1 2 T(x, t) 2T(x, t) t x 2 Hay: t t t t x t 1 t Tj 1 2Tj Tj 1 Tj Tj t 2 Dùng sai phân tiến đối với đạo hàm x theo thời gian & sai phân trung tâm Tt 1 cho số hạng đạo hàm theo khơng gian Giá trị j xác định “trực tiếp” từ Phương trình sai phân viết cho các giá trị của nĩ & các nút lân cận 77 trong “quá khứ” 78 PGS.điểm TS. Nguyễn(j) Thống: PGS. TS. Nguyễn Thống 13
14. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Bài tập Bài tập Hãy xác định sai số cắt bỏ cho Hãy viết phương trình sai phân HIỆN phương trình truyền nhiệt 1D nĩi cho phương trình nước ngầm bão trên. hồ và cĩ áp 2D trong mơi trường khơng đồng chất và khơng đẳng Chú ý: Theo định nghĩa: hướng: h(x,y,t)  h  h [Sai số cắt bỏ] = [P/t đạo hàm riêng] S (Kx ) (Ky ) – [P/t sai phân] t x x y y S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất 79 80 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS.(g/t TS. Nguyễnhằng Thốngsố), Kx,y (x,y) hệ số thấm. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN Ví dụ: Lấy lại phương trình truyền Sơ đồ sai phân ẩn (Implicit) được nhiệt 1D nĩi trên và viết phương gọi khi ta dùng sơ đồ SAI PHÂN trình sai phân ẩn: LÙI (backward difference) khi xấp Dùng sai phân lùi đối với số xỉ theo thời gian. hạn T(x, t) Các số hạng sai phân trong các t số hạng đạo hàm (riêng) theo Dùng sai phân trung tâm cho 2 khơng gian đều lấy ở thời điểm T (x, t) x2 MỚI. 81 82 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn NHẬN XÉT t 1 t t 1 t 1 t 1 T T T 2T T Sự khác biệt giữa sơ đồ hiện & sơ đồ ẩn: j j j 1 j j 1 t x 2 Sơ đồ hiện Mỗi ẩn số tại nút (theo thời gian) được xác định “trực tiếp” từ giá trị Các giá trị t 1 t 1 t 1 của bản thân và các nút chung quanh ở Tj ,Tj 1 ,Tj 1 thời điểm CŨ. Sơ đồ ẩn Các ẩn số nút tạo thành một Hình thành 1 PHƯƠNG TRÌNH hệ phương trình tuyến tính & nĩ chỉ sẽ TUYẾN TÍNH được xác định khi giải hệ phương trình 83 này (phối hợp với điều kiện biên). 84 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 14
15. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Bài tập Trường hợp 1: Mạng lưới tính K trùng Hãy viết phương trình sai phân với mạng lưới tính h (Ki,j) theo sơ đồ ẨN (i,j,t+1) cho Trường hợp 2: Mạng lưới tính K so le phương trình nước ngầm bão hồ với mạng lưới tính h (ví dụ Ki+1/2,j) và cĩ áp 2D trong mơi trường h(x, y, t)  h  h khơng đồng chất và khơng đẳng S K x, y K x, y t x x y y hướng: S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất (g/t hằng số), K hệ số thấm. 85 86 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Hướng dẫn: CHÚ Ý t 1 t 1 t 1 Chỉ tìm được lời giải phương trình a1.hi, j a 2.hi 1, j a 3.hi 1, j sai phân hữu hạn ([P/t đạo hàm riêng]- [Sai số cắt bỏ]) với hy vọng là sai số t 1 t 1 làm trịn là bé & bỏ qua. a 4.hi, j 1 a 5.hi, j 1 b Chấp nhận lời giải sai phân với điều Xác định biểu thức tính ai và b theo kiện sai phân phaỉ thỏa tính NHẤT K, h(t). QUÁN & tính ỔN ĐỊNH (theo định lý 87 Lax hội tụ). 88 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TÍNH NHẤT QUÁN (Consistency) TÍNH CHẤT Định nghĩa: Sự khác biệt giữa biểu Sai số làm trịn dạng 0( t), thức sai phân hữu hạn và 0( x), cĩ tính NHẤT QUÁN phương trình đạo hàm riêng sẽ Sai số cắt bỏ dạng 0( t/ x), BIẾN MẤT khi ta thu nhỏ lưới khơng cĩ tính NHẤT QUÁN MỘT CÁCH BẤT KỲ. do t/ x bất định khi t 0 & Lim lưới 0 [P/t đaọ hàm riêng]-[P/t sai x 0, trừ khi lưới thu nhỏ phân hữu hạn] = Lim lưới 0 [Sai số cắt theo cách mà t/ x 0. bỏ] 0 89 90 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 15
16. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn TÍNH ỔN ĐỊNH TÍNH ỔN ĐỊNH Ta nĩi sơ đồ sai phân ổn định (dùng khi Chứng minh tính ổn định địi hỏi khối lượng bài tốn giải lặp hoặc bài tốn giải theo tính tốn lớn & phức tạp. thời gian): Quan hệ giữa tính NHẤT QUÁN, HỘI TỤ & ỔN ĐỊNH Định lý tương đương của Lax: Sai số vì bất kỳ lý do nào KHƠNG Với một bài tốn giá trị ban đầu được thiết lập ĐƯỢC PHÉP tăng liên tục qua các thỏa đáng & một xấp xỉ sai phân hữu hạn bước giải từ thời điểm này sang thời của nĩ thỏa đ/k nhất quán, tính ổn định là điểm kế. điều kiện cần & đủ để lời giải hội tụ. 91 92 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Khi sơ đồ sai phân hội tụ Lời giải của phương trình sai phân TÍNH HỘI TỤ TIẾN VỀ lời giải phương trình đạo hàm riêng khi kích thước LỜI GIẢI THEO lưới thu nhỏ Thơng thường khi sơ đồ là THỜI GIAN nhất quán & ổn định lời giải nĩi chung là hội tụ theo thời gian. 93 94 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Sai số làm trịn số: Độ chính xác máy tính là hữu CÁC LOẠI hạn các giá trị số sẽ “bị” SAI SỐ làm trịn. 95 96 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 16
17. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Sai số rời rạc hố: Do việc thay thế TỔNG HỢP miền nghiên cứu là một miền “liên tục” [Lời giải chính xác của pt. đạo thành một miền “rời rạc” (chỉ chú ý tại hàm riêng] một số hữu hạn điểm nút) gây nên sai - [Lời giải máy tính của pt. sai số và được định nghĩa BẰNG: [Lời giải phân hữu hạn] chính xác (khơng cĩ sai số làm trịn số) của p/t đạo hàm riêng] - [Lời giải chính = xác (khơng cĩ sai số làm trịn số) của [Sai số rời rạc hĩa]+[Sai số làm p/t sai phân hữu hạn] trịn số] 97 98 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn BÀI TẬP Bài tập 1: Xác định momen uốn & độ võng của một dầm đơn giản. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP Lý thuyết: Xét một dầm đơn giản SAI PHÂN XÁC ĐỊNH NỘI chịu tải trọng phân bố sau: LỰC MỘT SỒ KẾT CẤU q ĐƠN GIẢN 0 A B L 99 100 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Phương trình vi phân xác định Trong đĩ: momen như sau: M momen uốn (+ nếu thớ dưới bị 2 d M căng) q 1 dx2 q cường độ tải phân bố (+ từ dưới lên) Phương trình vi phân xác định độ y độ võng (+ hướng lên trên) võng trường hợp tiết diện khơng E module đàn hồi dầm khi kéo đổi: d2 y M hoặc nén 2 2 J momen quán tính tiết diện dx EJ 101 102 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 17
18. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Yêu cầu: Dùng pp. SPHH chia Hướng dẫn: Giải M trước với M0=M4=0 chiều dài dầm thành 4 đoạn Viết pt. sai phân với sơ đồ trung tâm cho pt. đạo hàm riêng của M, pt (1). bằng nhau và xác định Áp dụng pt. này lần lượt cho các điểm 1, Momen & độ võng của dầm 2, 3 cĩ 3 pt. biểu diễn quan hệ Mi tại các vị trí này. q0 1 2 3 4 0 h=L/4 h h h L 103 104 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Đáp số: Bài tập 2: Xét một dầm cĩ tiết diện 2 Momen M1 = 0.0391q0L khơng đổi trên nền đàn hồi. Phương 2 M2 = 0.0625q0L trình vi phân chuyển vị y cĩ dạng: 2 M3 = 0.0547q0L 4 4 Độ võng y1 = -0.00463q0L /EJ d y 4 EJ ky q y2 = -0.00682q0L /EJ 4 4 dx y3 = -0.00513q0L /EJ k hệ số nền, q tải trọng phân bố, E module đàn hồi, J momen quán tính 105 106 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn a. Gọi m là số đoạn chia dầm, viết phương HD: L chiều dài dầm, h=L/m trình sai phân tại nút i. 4 h4 b. Biết rằng momen M & lực cắt Q trong y 4y 6 y 4y y q i 2 i 1 4 i i 1 i 2 i dầm cĩ quan hệ với chuyển vị y như sau: m EJ d2y dM d3y EJ M & Q EJ h 2 3  L4 dx dx dx EJ Giả thiết 2 đầu dầm là tự do (M=0, Q=0). Viết y 1 2y0 y1 0 & y 2 2y 1 2y1 y2 0 phương trình sai phân ở 2 đầu dầm. ym 1 2ym ym 1 & ym 2 4ym 4ym 1 ym 2 107 108 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống 18
19. PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn Áp dụng Xem sơ đồ sau. Cho m=4, =L(h/EJ)1/4= 4: Chú ý: Với m đoạn (m+1) ẩn 4 4 4 q0h q0h q0h số phải cĩ (m+1) phương y0 0.007 ; y1 0.245 ; y2 0.493 ; EJ EJ EJ trình. 4 4 q0h q0h y3 0.751 ; y4 Cĩ yi sẽ xác định được M & Q EJ EJ theo phương trình vi phân. y q0 -2 -1 0 1 2 3 4 h h=L/4 x L 109 110 PGS. TS. Nguyễn Thống PGS. TS. Nguyễn Thống PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn HẾT CHƯƠNG 111 PGS. TS. Nguyễn Thống 19