›
›

Lượng giác một số Chuyên đề và ứng dụng - Tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất một số phương pháp lượng giác hóa

pdf 120 trang vanle 2650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lượng giác một số Chuyên đề và ứng dụng - Tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất một số phương pháp lượng giác hóa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluong_giac_mot_so_chuyen_de_va_ung_dung_tap_3_tim_gia_tri_lo.pdf

Nội dung text: Lượng giác một số Chuyên đề và ứng dụng - Tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất một số phương pháp lượng giác hóa

  1. LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH
  2. VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 8 – 2011
  3. LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 3 “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA” này, chúng tôi sẽ trình bày các kỹ thuật đại số, giải tích về hai vấn đề trên. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA”, một dạng ứng dụng kỹ thuật khá hay trong một số bài toán. Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : - Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. - Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. - Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa. Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.
  4. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này : - Trần Phong (ĐH Sư Phạm Tp.HCM) - Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) - Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) - Trương Tấn Sang (Westminster High School California) - Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) - Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) - Nguyễn Đình Thi (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM) và một số thành viên diễn đàn MathScope.
  5. MỤC LỤC TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA CHƯƠNG 8 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC 1 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9 2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT BẲNG THỨC CƠ BẢN 11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 19 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ 24 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 35 II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ 38 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 44 III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 46 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 53
  6. CHƯƠNG 9 : PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ I. TÓM TẮT MỘT SỐ KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG 57 II. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 59 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 63 III. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 63 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 86 IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 88 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 95 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 104 VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 105 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 114
  7. Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ t CHƯƠNG 8 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC Cho hàm số ( ) xác định trên miền . 1. Một số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu : ( ) { ( ) Kí hiệu : 2. Một số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu : ( ) { ( ) Kí hiệu : Chú ý rằng : Nếu hàm số ( ) liên tục trên [ ] thì hàm số đó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhấ t (GTNN) của một hàm số hay một biểu thức lượng giác, tùy theo từng loại toán ta có thể dùng một trong các phương pháp sau. Ở đây, chúng ta chỉ đề cập đến các phương pháp đại số, giải tích. 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC - Dựa vào tính bị chặn của hàm số sin, hàm số cos | | { | | - Dùng điều kiện có nghiệm của các phương trình cơ bản i. Phương trình bậc hai : có nghiệm khi và chỉ khi { ii. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1
  8. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất iii. Nếu hàm số có dạng Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình cổ điển . Nếu hàm số chưa đưa về dạng trên thì ta biến đổi để đưa về dạng trên (nếu được). Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) Giải: a. Ta có : ( ) Hay Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ( ) √ √ Do đó, √ ( √ ) ( ) √ ( √ ) ( ) b. Ta đã chứng minh được Do đó, Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi 2
  9. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Vậy ( ) ( ) c. Ta có : ( ) ( ) ( ) Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) √ √ Do đó √ √ ( ) √ √ ( ) Chú ý: Tương tự câu a, ta đưa về bài toán dạng tổng quát Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số |√ | ( ) √ √ √ √ 3
  10. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: a. Ta có : √ |√ | | ( ) | | ( ) | ( ) { ( ) Vậy ( ) ( ) b. Ta có : Ta xét : | | | | | | | | Do đó, ( ) ( ) c. Hàm số xác định khi và chỉ khi { Ta có : √ √ √ Vậy { ( ỏ ề ệ ị ) Hơn nữa, √ √ √ Vậy { ( ỏ ề ệ ị ) 4
  11. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất d. Điều kiện: { { Vì chu kỳ của và là nên ta cần xét trên [– ]. Do đó Ta có : ( ) √( )( ) √ ( ) √ √ ( ) Hơn nữa, { √ √ ( ) √ { √ Suy ra √ √ √ √ √(√ ) √ Do vậy, √ √ { ( ) Tương tự, ta được √ Do đó, √ √√ √ √ ( ) { 5
  12. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) Giải: a. Ta có : | | { | | Do đó, { b. Ta có : { Do đó, { c. Ta có : ( ) ( ) ⏟ ( ) ⏟ Do đó, { d. Ta có : ( ) ( ) ( ) Do đó, { ( ) 6
  13. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( √ ) √ Giải: a. Ta có : √ ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( ) Do đó, √ { b. Ta có : ( ) √ √ ( ) ( ) Do đó, √ { Bài 5: Với là một góc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( ) ( ) Biết rằng hàm số thỏa các điều kiện xác định cho trước. 7
  14. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: Ta có : [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó, tồn tại khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó, Vậy ( ) Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ĐH Giao Thông Vận Tải 1999) Giải: Điều kiện: ( ) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó, { { ( ) Bài 7: Cho . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có : { Do đó, khi và chỉ khi . Ta chọn 8
  15. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Hơn nữa, ta thấy luôn luôn tồn tại 2 số giả sử là cùng dấu và { | | ( ) | | | | | | Do đó, khi và chỉ khi và | | . Khi đó, ta chọn { - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số √ ( ) ố ị ướ 8.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ế ằ ( ) 8.1.3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) 9
  16. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.1. ( ) { ( ) ( √ ) [ ( ) ( √ ) √ ( ) √ { [ ( ) { ( ) ( ) { ( ) √ ( √ ) ( ) √ ( √ ) ( ) { √ ( √ ) ( ) { √ ( √ ) ( ) √ √ { 10
  17. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất [ ] [ ] [ ] { ( ) { ( ) { [ 8.1.2. Ta biến đổi hàm số đã cho thành ( ) ( ) ( ) ( ) 8.1.3. Ta biến đổi biểu thức đã cho thành Để ý rằng, nếu ta đặt { Ta sẽ đưa biểu thức về dạng biểu thức . 2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN - Ở phần này, ngoài việc sử dụng các phương pháp đã được đề cập ở chương 3, chúng ta cần phải xác định rõ điều kiện xác định của hàm số hay biểu thức trước khi sử dụng các bất đẳng thức cơ bản. - Phương pháp này được coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sáng tạo và kỹ thuật cao trong việc sử dụng thành thạo bất đẳng thức và trong việc vừa tìm giá trị lớn nhất vừa tìm giá trị nhỏ nhất nên đa phần các bài toán ở dạng này chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số hay biểu thức. 11
  18. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ế ằ ( ) Giải: ( ) { Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ √ √ Do đó, √ { Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( )( ) √ √( )( ) { √( )( ) Do đó, Ta biến đổi hàm số thành 12
  19. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √( )( ) ( ) Do đó, { Bài 2: Cho nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) Giải: Do nhọn nên dương. Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : { ( ) | ( )| ( ) ( ) | ( )| ( ) [ ( )] [⏟ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 13
  20. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Do đó, ( ) Bài 3: Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ ( ) Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ √( )( ) √ [ √ ( )] √ ( √ ) Do đó, √ √ √ ( √ ) { √ √ √ ( ) √ { √ Bài 4: Cho là hai số tự nhiên lớn hơn . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số [ ] (ĐH Bách Khoa Hà Nội 1998) Giải: [ ] Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ⏟ ⏟ ố ạ ố ạ ( ) ( ) ⏟ ⏟ ố ạ ố ạ 14
  21. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) ( ) √ ( ) Do đó, √ √ √ ( ) Bài 5: Cho là ba số thực riêng biệt sao cho hàm số sau có nghĩa √ √ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ [ ( ) ( )] Hơn nữa, do | | | | | |. Ta được √ [ ( ) ( )] √ ( ) √ ( | |) √ ( | |) Do đó, √ ( | |) khi và chỉ khi ( ) Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số √ √ ( ] Giải: ( ] √ √ 15
  22. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tương tự, ta có : √ Ta suy ra √ √ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ Suy ra Do đó, { Bài 7: Cho các số thực ( ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅) thỏa mãn điều kiện [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ∑ ) ( ∑ ) Giải: Ta có : [ ] [ ] ( ) ( ) Ta được kết quả sau : 16
  23. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất { ∑ ∑ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ∑ ∑ √ ∑ ∑ √ ∑ ∑ ( ∑ ) ( ∑ ) Do đó, [ ∑ ∑ { Từ đó, ta chọn ( ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅) { 17
  24. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số √ Giải: Ta có : √ √ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) √ √ ( )( )( ) ( )[√ ( )( ) ] √ ( ) √ √ Do đó, √ Ta lại có : √ √ Tương tự trên, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( )( )( ) ( )( )( ) √ √ ( )( )( ) ( )[√ ( )( ) ] 18
  25. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất √ √ Do đó, √ - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 8.1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 8.1.6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 8.1.7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 8.1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 8.1.9. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) 8.1.10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) 8.1.11. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số √ √ 8.1.12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )( ) 8.1.13. Cho góc ( ) thỏa mãn { ( ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 19
  26. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 8.1.14. Cho sao cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 8.1.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với . - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.4. Ta áp dụng { ( ) Suy ra ( ) 8.1.5. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) ( ) Suy ra ( ) [ ( ) ( ) 8.1.6. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra 8.1.7. Ta biến đổi Ta áp dụng ( ) ( ] { √ 20
  27. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Suy ra 8.1.8. Ta biến đổi Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra √ 8.1.9. Ta biến đổi Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ ( √ ) (√ ) Suy ra (√ ) 8.1.10. Ta áp dụng ( ) ( )( ) ( ) ( ) { Suy ra 8.1.11. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ | |√ ( ) 21
  28. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Suy ra 8.1.12. Ta biến đổi ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ( )( ) ( ) ( ) √( ) ( ) √ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √( )( ) ( ) 8.1.13. Ta biến đổi ( )( ) ( ) (| | | |)(| | | |) (| | | |) | | 8.1.14. Ta biến đổi ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ √( ) ( ) √ √ Suy ra Khi đó, 22
  29. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Do đó, 8.1.15. Ta biến đổi ( ) ( ) Ta có : Do đó, Hơn nữa, vì ( ) ( ) nên theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tương tự vậy, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 23
  30. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Do đó, Vậy 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ - Phương pháp này dùng để khảo sát một hàm số lượng giác trên một đoạn, ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó. - Để việc khảo sát hàm số được đơn giản hơn, ta nên lưu ý việc đổi biến số bằng cách đặt ẩn phụ, nhưng phải biết được giới hạn của ẩn số mới. Lưu ý rằng khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm miền giá trị của ẩn phụ trong khoảng xác định ẩn phụ cho trước. - Tuy việc sử dụng phương pháp này dành cho đối tượng là học sinh lớp 12 và các học sinh chuyên, nhưng chúng tôi vẫn khuyến khích các bạn lớp 10, 11 không chuyên tham khảo thêm nhằm mở rộng kiến thức. - Các bước giải chung cho loại toán khảo sát hàm số ( ) Tìm miền xác định của hàm số. Tính đạo hàm ( ). Giải phương trình , tìm nghiệm . Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên ta tìm . - Ở đây, chúng tôi có dùng chữ viết tắt MXĐ, nghĩa là miền xác định. Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) Giải: MXĐ: ( ) Ta có : ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) [ 24
  31. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có : ( ) ( ) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải: MXĐ: Ta có : Đặt [ ]. Khi đó, ta xét hàm số ( ) [ ] ( ) ( ) Do đó, hàm số đồng biến trên [ ]. Suy ra, ( ) ( ) ( ) ( ) Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số √ ( ) Giải: MXĐ: ( ) Ta có : 25
  32. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) √ ( ) ( ) ( ( )) ( ) √ ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có : ( ) √ ( ) ồ ạ Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) Giải: Vì hàm số tuần hoàn có chu kì là nên ta chỉ cần khảo sát trên đoạn [ ]. MXĐ: [ ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) √ ( ) √ 26
  33. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dựa vào bảng biến thiên, ta có : √ ( ) √ ( ) Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] Giải: MXĐ: [ ] Ta có : ( ) ( ) [ ( ) √ ( ) √ √ √ ( ) √ √ ( ) { Dựa vào bảng biến thiên, ta có : √ ( ) √ ( ) 27
  34. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] (ĐH Kinh Tế Quốc Dân 2000) Giải: [ ] ( ) ( ) [ ( [ ]) ( ) √ √ ( ) ( ) √ √ ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có : ( ) √ √ ( ) ( ) 28
  35. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] √ √ Giải: Ta có : ( ) | | | | √ √ ớ [ ] ườ ợ ế [ ] ( ) ( ) √ ặ √ ( ) [ ] { [ √ ] ố ị ế [ ] Khi đó, ta xét hàm số ( ) ( ) √ √ √ ( ) √ √ ố ị ế [ √ ] Suy ra √ ( ) ( ) [ ] ( ) (√ ) √ [ ] ế [ ] ( ) ( ) √ 29
  36. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ặ √ ( ) [ ] { [ √ ] ố ồng ế [ ] Khi đó, ta xét hàm số ( ) ( ) √ √ √ ( ) √ ố ồng ế [ √ ] Suy ra ( ) (√ ) √ [ ] √ ( ) ( ) [ ] Như vậy, từ các giá trị, ta được : ( ) ( ) Bài 8: Cho 3 số thức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số √ [ ] Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : | | | √ | √( )( ) √ √ ặ ớ [ ] [ ] ố ( ) ( ) 30
  37. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) | | | ( )| √ Do đó, √ ( ) √ √ { √ √ √ { √ √ ( ) √ √ √ √ { √ Bài 9: Với . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) [ ] 31
  38. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: [ ] Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) ( ) Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) Giải: Ta có : ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được ( ) √( )( ) √ √ Đặt [ ]. Ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) 32
  39. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) ( ) Do đó, ( ) { { { ( ệ ) Vậy hàm số đã cho không tồn tại giá trị lớn nhất. Bài 11: Cho ba số thay đổi trên [ ] và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (ĐH Xây Dựng 2000) Giải: Vì [ ] nên Mà { ố ị ế ( ) Do đó, ( ) ( ) 33
  40. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tuy nhiên, dấu không thể xảy ra nên đây chưa phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số. ể ằ [ ] ấ ộ ố [ ] ả ử ằ [ ] Ta xét hàm số ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) Ở đây, dấu xảy ra khi và chỉ khi Do đó, ( ) ( ) { 34
  41. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau [ ] √ [ ] | | | | ( ) ( ) 8.1.16. Chứng minh rằng tổng các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) { } Là một số hữu tỉ. (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.1.15. a. Ta biến đổi ( ) ( ) Đặt [ ]. Ta xét hàm số ( ) ( ) Ta được, ( ) ( ) b. Để ý rằng ớ | | ố 35
  42. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) Ta được, ( ) ( ) c. Ta biến đổi ( ) ( ) ặ [ ] ố ( ) Ta được, ( ) ( ) d. Kết quả ( ) ( ) √ e. Ta biến đổi ( ) ( ) Đặt | | | | { | | Ta xét hàm số ( ) ( ) Hàm số trên không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên ( ] [ ) f. Kết quả ( ) ( ) g. Ta biến đổi ( ) Đặt [ ]. Ta xét hàm số ( ) 36
  43. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ta được ( ) ( ) h. Ta biến đổi ( ) Đặt [ ]. Ta xét hàm số ( ) Ta được, ( ) ( ) i. Ta biến đổi ( ) Đặt [ ]. Ta xét hàm số ( ) Ta được, ( ) ( ) 8.1.16. Ta biến đổi ( ) ( ) ặ ( ) ố ( ) ( ) Ta được, ( ) √ { ( ) ( ) ( ) √ 37
  44. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ - Dạng bài tập này đa phần xoay quanh vấn đề biện luận theo tham số tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, là dạng bài tập ít khi xuất hiện trong các bài thi, nếu có sẽ nằm trong câu nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ứng với tham số cho trước. Dạng bài này thuộc dạng bài khó, dùng để phân loại thí sinh trong các cuộc thi. - Phương pháp giải dạng bài này tương tự như dạng trên mà chúng tôi đã đề cập đến, tuy nhiên cái khó của dạng bài này là việc khoanh vùng cho tham số để biện luận. Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo tham số Giải: Ta có : ( ) Đặt | | . Ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) Ta có các trường hợp sau : - . Khi đó hàm số ( ) nghịch biến trên [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) - [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 38
  45. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) ( ) Nếu [ ] thì ( ) ( ) Nếu [ ] thì ( ) ( ) - . Khi đó hàm số ( ) đồng biến trên [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Bài 2: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm để ( ) với mọi . Giải: Ta có : ( ) ( ) Đặt [ √ √ ] và . Ta đưa về hàm số ( ) ( ) ( ) Như vậy, ta đưa bài toán về tìm để ( ) với mọi [ √ √ ]. Hay [ √ √ ] Ta xét hàm số ( ) [ √ √ ] ( ) ( ) [ 39
  46. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất √ √ ( ) ( ) √ √ Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) Hay Bài 3: Cho . Biện luận theo giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) Giải: Ta có : ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ Suy ra √ √ Ta xét các trường hợp sau - thì - thì . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40
  47. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) ( ) - thì . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - thì đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi ( ) Ta được, √ √ Bài 4: Cho hàm số ( ) Xác định để hàm số có giá trị nhỏ nhất là lớn nhất khi [ ] Giải: Ta có : | | √ | ( )| √ Do đó : . Suy ra miền xác định của hàm số . Mặt khác, ta biến đổi ( ) ( ) 41
  48. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) √ √ Khi đó √ √ { Theo yêu cầu bài toán, ta xét hàm số ( ) √ [ ] √ ( ) √ ( ) √ { Như vậy, rõ ràng ( ) hay hàm số đồng biến trên [ ]. Khi đó ( ) ( ) Vậy giá trị lớn nhất của giá trị nhỏ nhất hàm số là . Bài 5: Cho hàm số ( ) Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất. (ĐHQG Tp.HCM 1997) Giải: Tương tự bài trên, miền xác định của hàm số . Ta biến đổi ( ) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) √ √ Khi đó 42
  49. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất √ √ { Theo yêu cầu bài toán, ta xét √ ( ) √ √ √ ư ậ ị ỏ ấ ủ ị ớ ấ ố ỉ Bài 6: Cho hàm số ( ) ( ) ị ỏ ấ ủ ố [ ) (ĐH Giao Thông Vận Tải 1992) Giải: Ta đặt thì ớ [ ) ì [ ) ( ) ( ) Ta viết lại thành ( ) ( ) ( ) ặ [ ) ( ) ( ] ố ( ) ( ) ( ) ( ] ( ) ( ) Giá trị nhỏ nhất của ( ) là giá trị nhỏ nhất của ( ). Ta có các trường hợp sau : 43
  50. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ế ố ị ế ( ] ( ) ( ) [ ) ế ( ) ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta được ( ) ( ) ( ) [ ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.2.1. Cho hàm số ( ) Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn với mọi . 8.2.2. Biện luận theo , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 8.2.3. Cho hàm số ( ) Định để ( ) với mọi . 8.2.4. Cho hàm số ( ) ( ) Tìm để ( ) với mọi . 8.2.5. Cho hàm số ( ) Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 44
  51. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.2.1. Giá trị của cần tìm là ( √ √ ). 8.2.2. Ta biến đổi ( ) Đặt | | . Ta xét hàm số ( ) Ta được, | | | | ( ) | | { | | ( ) 8.2.3. Giá trị của cần tìm là . 8.2.4. Ta biến đổi ( ) Đặt | | . Ta xét hàm số ( ) [ ] [ ] Ta xét hàm số ( ) Ta tìm được giá trị cần tìm của 8.2.5. Ở bài toán này, ta cần tính giới hạn sau ( ) (√ ) √ √ Giá trị cần tìm là : . 45
  52. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC - Cũng giống như CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ, dạng toán này thường nằm trong những câu phân loại thí sinh của đề thi. Tuy nhiên, chúng ta ít khi dựa vào những phương pháp giải của CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC mà ta thường sử dụng các đẳng thức, bất đẳng thức đã được khái quát ở CHƯƠNG 3 để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho. - Dạng này cũng được coi là thuộc một dạng nhỏ của CHƯƠNG 3. Bài 1: Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ĐH Mỏ-Địa Chất 1999) Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( )( )( ) √ √( )( )( ) { Mà ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) Do đó, Vậy { ( ) { ( ) Bài 2: Cho tam giác . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 46
  53. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: Ta có : ( ) Mà theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, Vậy ều Bài 3: Cho tam giác có các góc thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 1999) Giải: Ta có : ( ) ( ) [ ( ) ( )] Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Theo giả thiết : { Do đó, ( ) 47
  54. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Suy ra Vậy ề [ ạ Bài 4: Cho tam giác nhọn. Đặt { }. Tìm giá trị lớn nhất của . Giải: Ta đặt { ( ) Không mất tính tổng quát; giả sử . Do đó, { } Nếu { } Mà - √ thì √ - √ thì √ Tóm lại, { } √ Do đó, √ √ 48
  55. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nếu { } Ta có 2 trường hợp √ √ [ √ √ √ Tóm lại, √ √ Bài 5: Cho tam giác nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ở bài này, ta sử dụng đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản { √ Do tam giác nhọn nên . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √( ) Mặt khác √( ) √( ) ( )√( √ ) ( ) Do đó, Vậy á đề 49
  56. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 6: Cho tam giác nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Ở bài này, ta sử dụng đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản { √ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √( ) √( √ ) Do đó, ề Bài 7: Cho tam giác thỏa mãn hệ thực Tìm giá trị nhỏ nhất của . (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Từ giả thiết ta biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50
  57. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Theo định lý hàm số sin, ta được ( ) Theo định lý hàm số cos, ta được ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ Do đó, √ Vậy √ √ Bài 8: Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) 51
  58. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ ) √ √ √ √ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) (Theo bất đẳng thức Cauchy) Do đó, √ Vậy √ { 52
  59. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.3.1. Cho tam giác nhọn, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ 8.3.2. Cho tam giác , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.3. Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ 8.3.4. Cho tam giác , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.5. Cho tam giác có diện tích , các cạnh và tam giác có diện tích , các cạnh . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 8.3.6. Cho tam giác có các góc thỏa mãn điều kiện { } . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.7. Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.8. Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.9. Cho tam giác thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) √ √ Từ đó suy ra phương trình sau chỉ có duy nhất một nghiệm √ √ √ 53
  60. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8.3.1. 8.3.2. Ta biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta được, 8.3.3. √ 8.3.4. Ta biến đổi [ ( )] ( ) Ta được, 8.3.5. Theo định lý hàm số cos, ta có : ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) [ ( ( ) )] [ ( )] Do đó, ồ ạ 8.3.6. Ta biến đổi ( )( )( ) Theo định lý hàm số sin, ta có : ( )( )( ) Không mất tính tổng quát, giả sử { } Theo định lý hàm số cos và bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ 54
  61. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Mặt khác, √ ( ) ( ) √ √ √ √ Do đó, √ 8.3.7. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ ( )( ) Mà ( ) √( )( ) √ Tương tự, ta được √ √ { √ √ √ ( ) Do đó, 8.3.8. Ta chứng minh bất đẳng thức sau : Cho là các số nguyên dương và các số thực thỏa mãn Thì Ta đi từ ( )( ) Áp dụng bất đẳng thức trên cho ( ) ( ) ( ) 55
  62. www.VNMATH.com Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất [( ) ] [( ) ] [( ) ] [( ) ] [( ) ] [( ) ] Do đó, 8.3.9. Do nên MXĐ: ( ) ( ) Ta có : ( ) √ √ ( ) ( ) Ta xét bảng biến thiên và dựa vào đó, ta có : ( ) ( ) √ Ta xét phương trình √ √ √ có MXĐ: [ ) √ √ ( ) Với điều kiện . Cũng từ bảng biến thiên của ( ) ta suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. 56
  63. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số CHƯƠNG 9 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ I. TÓM TẮT MỘT SỐ KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG [ ] ế | | ( ) ặ [ [ ] [ ] ế ặ [ [ ] [ ] ế ặ [ [ ] [ ] { } ế | | ( ) ặ [ [ ] { } ( ) ế ặ [ ( ) ( ) ế ặ [ ( ) ( ) ế ị ộ ( ) ặ [ ( ) [ ) ế ặ [ ( ] 57
  64. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ] ế ặ [ [ ) ( ) ( ) ế ( ) { [ ] ặ [ { [ ] ế ể ứ ( ) ( ) ( ) ặ [ ( ) √ ặ ( ) ế ể ứ √ ặ [ ] { } [ ế ể ứ √( )( ) ặ ( ) [ ] ế ể ứ ặ { ( ( )) [ 58
  65. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số II. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - Phương pháp lượng giác hóa với mục đích thay đổi hình thức của bài toán từ việc phải chứng minh đẳng thức đại số thành việc chứng minh đẳng thức lượng giác. - Trong phần này, các bạn cần xem lại chương 2 để nắm được một số cách biến đổi lượng giác. Bài 1: Cho { . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) √ √ √ Giải: Ta đặt { ( ( )) Do nên ta có thể suy ra rằng Khi đó, ( )( ) ( )( ) √ √ √ ( ) Tương tự vậy, ta có : ( )( ) √ ( )( ) √ { 59
  66. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Do đó, ( )( ) ( )( ) ( )( ) √ √ √ ( ) Bài 2: Cho { . Chứng minh rằng √( )( ) √( )( ) √( )( ) Giải: Ta đặt { ( ( )) Khi đó, ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) ] ( ) Do đó, đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng √( )( ) √( )( ) √( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 3: Cho các số thỏa mãn | | | |. Chứng minh rằng | | | | | √ | | √ | 60
  67. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Ta xét trường hợp - Nếu thì , khi đó đẳng thức cần chứng minh luôn đúng. - Nếu , ta biến đổi đẳng thức cần chứng minh về dạng | | | | | √ | | √ | Khi đó, ta đặt [ ]. Ta được | | | | | | | | ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 4: Cho . Chứng minh rằng ( )( )( ) Giải: Ta đặt { ( ( )) Từ giả thiết, ta có : Ta xét trường hợp - Nếu , ta được { { ( ) Điều này mâu thuẫn. - Nếu , giả thiết tương đương với ( ) ( ) 61
  68. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) ( ) Mặt khác, ta có : { Thay vào ( ), ta có được đẳng thức cần chứng minh. Bài 5: Giả sử là nghiệm của phương trình ( ). Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Giải: Từ giả thiết, ta có : { Ta đặt { ( ( )) Do đó, ( ) Mặt khác, điều cần chứng minh tương đương với ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. 62
  69. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.1.1. Cho { . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 9.1.2. Cho . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9.1.3. Cho . Chứng minh rằng 9.1.4. Cho . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 9.1.5. { Chứng minh rằng III. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC - Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng bất đẳng thức hàm lượng giác. Tuy nhiên, cần chú ý rằng bất đẳng thức hàm lượng giác này sẽ khác đôi chút so với bất đẳng thức hệ thức lượng trong tam giác đã được đề cập ở chương 3. Nhưng các bạn vẫn phải xem lại các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, Jensen Ngoài ra, kết hợp các phương pháp tìm cực trị hàm lượng giác đã nêu ở chương 8 để có thể nhanh chóng tiếp cận phương pháp này. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi | | | | √ √ √ √ | | √ √ 63
  70. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Ta đặt √ √ ( ( )) √ { Ta có | | | | √ √ √ | ( )| √ Tương tự, ta có : | | | ( )| √ √ √ | | | ( )| {√ √ √ Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với | ( )| | ( )| | ( )| Mặt khác, | ( )| | ( )| | ( ) ( ) ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )| | ( )| Do đó, ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Chứng minh rằng | [ √( ) ] ( √ )| √ Giải: Điều kiện : | | . Ta đặt [ ] Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với | [ √( ) ] ( √ )| √ 64
  71. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số | ( ) ( )| √ | | √ | ( )| ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 3: Cho { . Chứng minh rằng Khi nào dấu đẳng thức xảy ra? (ĐH Tổng Hợp Tp.HCM 1996) Giải: Từ giả thiết, ta đặt { ( [ ]) Khi đó, { Dấu xảy ra khi và chỉ khi [ { Mặt khác, ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh Dấu xảy ra khi và chỉ khi 65
  72. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 4: Cho | | . Chứng minh rằng √ Giải: Ta đặt | | [ ) Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ √ ( ) ( ) { ( ) { ( ) ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 5: Chứng minh rằng với mọi ( ) ( ) Giải: Ta có √ Do đó, ta cần chứng minh √ ( ) ( ) Ta xét trường hợp - Nếu thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. - Nếu thì ta đặt √ { ( [ ]) √ 66
  73. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ ( ) √ Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Bunyakovsky | | √ ( ) √ Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 6: Chứng minh rằng với mọi ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Giải: a. Ta đặt { ( ( )) Khi đó, ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] b. Tương tự vậy, ta có : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 67
  74. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 7: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) Chứng minh rằng : Giải: Từ điều kiện của bài toán, ta suy ra ( ) Do đó, ta có thể chọn 3 góc nhọn sao cho { Thay vào giả thiết, ta được Như ta đã chứng minh ở bài 2, phần II. Ta có Như vậy, là 3 góc của tam giác nhọn. Ta biến đổi { Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. 68
  75. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 8: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng Giải: Ta có √ ( ) √ √ Ta thấy ( ) ( ) ( ) ( ) { √ √ Do đó, ta đặt { ( ( )) Và √ ( [ ]) { √ Khi đó, √ ( ) √ ( ) √ √ √ Suy ra √ Hay Vậy ta có điều phải chứng minh. 69
  76. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 9: Cho . Chứng minh rằng Giải: Ta đặt { ( ( )) Ta có : ( ) Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi ( ) [ [ ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 10: Cho . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2010) Giải: Ta đặt √ { √ ( ( )) √ Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( ) 70
  77. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Ta lại có : ( ) Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [ ( )] Theo bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Jensen, ta có : ( ) ( ) Khi đó, ta đặt Ta cần chứng minh ( ) ( ) Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi √ Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 11: Chứng minh rằng, từ 4 số cho trước ta luôn tìm được 2 số trong 4 số đó sao cho Giải: Ta có thể giả sử 4 số cho trước là . Khi đó tồn tại thỏa mãn { ể [ ] ạ ằ 71
  78. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ạ ả ấ ộ ạ ộ ( ) ạ ư ể ọ ( ) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 12: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng : Giải: Ta đặt { ( [ ]) Khi đó, ta cần chứng minh : Và giả thiết tương đương với ( ) Ta thấy : √[ ( ) ]( ) Do đó, ( ) Suy ra Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 13: Cho { . Chứng minh rằng 72
  79. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Ta đặt √ √ ( ( )) √ { Do √ √ √ √ √ √ Nên Do đó, là 3 góc của một tam giác nhọn. Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 14: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng √ √ Giải: Tương tự ở các câu trên, với là 3 góc của tam giác , ta đặt { Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 73
  80. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số √ √ √ Ta có : √( ) ( ) √ { Do đó, ta được √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi { { Thay vào hệ thức , ta được { √ Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 15: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng Giải: Ta biến đổi giả thiết trở thành Khi đó, với là 3 góc của tam giác ta đặt { Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 74
  81. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có : ( ) Do đó, ta cần chứng minh Thật vậy, điều đó tương đương với ( ) Như vậy, ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi ( ) { { { √ Thay vào hệ thức đã cho, ta được √ √ { √ Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 16: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 75
  82. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Từ giả thiết, ta suy ra [ ]. Do đó, tồn tại các góc nhọn sao cho { Suy ra, giả thiết tương đương với Như vậy, là 3 góc của tam giác nhọn . Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành Theo đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) ( ) Tương tự, ta được { Nhân theo từng vế, ta có được Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số thực dương thỏa mãn ( ) Thì ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) (Tuyển sinh khối A 2009) 76
  83. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Với là các số dương. Ta đặt { Khi đó, { Ta đưa bài toán về 3 số dương thỏa mãn Do đó, ta có thể coi là 3 cạnh của tam giác với góc . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( )( ) ( ) ( ) Theo định lý hàm số sin, ta có ( ) √ ( ) Mặt khác, ta có : √ { ( ) Do đó, ta được √ ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 18: Cho ( ) thỏa mãn . Chứng minh rằng ( ) 77
  84. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Tương tự những bài trước, ta đặt { Tuy nhiên, do ( ) nên là 3 góc của tam giác nhọn . Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( ) Ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) Do đó, hàm số ( ) đồng biến. Theo bất đẳng thức Jensen, ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 19: Cho . Chứng minh rằng ( ) √ √ √ √ ( )( )( ) Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )√ ( )√ ( )√ ( ) ( ) ( ) ( ) √ Ta đặt 78
  85. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số { { Mặt khác, ta thấy rằng ( )( ) ( )( ) √ √ √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) √ √ ( ) ( ) Đều và ta để ý rằng trong tam giác ( ) nên ta được √ ( ) √ ( ) √ ( ) { Với là 3 góc; là 3 cạnh; là nửa chu vi của tam giác . Ta đưa bài toán trở thành √ Theo định lý hàm số sin, bất đẳng thức trên tương đương với √ √ ( ) Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : √ 79
  86. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ụ ấ ẳ ứ ố ồ ế [ ] ố ị ế [ ] ượ ( ) ( ) ∑ Do đó, ta có : √ ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 20: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng √ (Poland 1999) Giải: Với là 3 góc của tam giác , ta đặt { Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ ( ) √ ( ) √ Đây chính là bất đẳng thức cơ bản, dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. 80
  87. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 21: Cho thỏa mãn hệ thức Chứng minh rằng √ √ √ Giải: Giả thiết tương đương với Với . Ta đặt √ √ { √ Ta đưa giả thiết trở thành Như vậy, với là 3 góc của tam giác nhọn . Ta có { Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Đây là bất đẳng thức cơ bản, do đó dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 22: Cho thỏa mãn hệ thức Chứng minh rằng : √ √ √ √ (Iran 1997) 81
  88. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Với . Ta đặt { Khi đó, giả thiết tương đương với Và bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ √ √ √ √ √ √ Với là 3 góc bất kỳ thuộc ( ). Ta đặt { Đưa giả thiết trở thành ( ) ( ) ( ) Như vậy, là 3 góc của tam giác . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bất đẳng thức cơ bản Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. 82
  89. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 23: Cho . Chứng minh rằng √( )( ) √( )( ) √( )( ) Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( )( ) ( )( ) √ ( )( ) √ √ Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng . Khi đó, với là 3 góc của tam giác . Ta đặt { Suy ra ( )( ) ( ) ( ) Như vậy, ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ( ) ( ) Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : 83
  90. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Do đó, Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 24: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng √ √ √ √ √ √ (Ukraine 2005) Giải: Từ giả thiết, với là 3 góc của tam giác , ta đặt { Khi đó, √ √ √ Tương tự, ta có : √ √ √ √ { Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bất đẳng thức cơ bản Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó . 84
  91. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 25: Cho sao cho . Chứng minh rằng (USAMO, 2001) Giải: Giả sử , khi đó (vô lý). Do đó, ta chọn . Giả thiết tương đương với ( ) ( ) ( ) ớ [ ] ặ { Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Ta thấy ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi { { ố ớ ấ ẳ ứ ứ ( ) ấ √ Tương tự, ta được 85
  92. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số { Suy ra ( ) ( ) ( ) Ta có thể coi là 3 góc của tam giác nhọn bất kỳ. ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi . - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.2.1. Cho | | . Chứng minh rằng với mọi ( ) ( ) 9.2.2. Chứng minh rằng √ √ | | 9.2.3. Cho . Chứng minh rằng | | 9.2.4. Chứng minh rằng | √ √ √ [ √( )( )]| 9.2.5. Chứng minh rằng √ √ [√( ) √( ) ] √ √ 9.2.6. Chứng minh rằng với [ ] |√ √ √ | 9.2.7. Cho thỏa mãn và . Chứng minh rằng √( ) √( ) √ 9.2.8. Chứng minh rằng |√ ( ) √ | 86
  93. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số 9.2.9. Cho | | | | . Chứng minh rằng 9.2.10. Cho là các số dương sao cho Chứng minh rằng (√ √ ) 9.2.11. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng √ | | 9.2.12. Cho thỏa mãn Chứng minh rằng | ( ) ( )| √ 9.2.13. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng | √ ( √ ) ( √ ) √ | 9.2.14. Cho thỏa mãn | ( ) | . Chứng minh rằng ( ) 9.2.15. Cho . Chứng minh rằng tồn tại { } sao cho √ √ √ 9.2.16. Đặt và với ̅ ̅ ̅̅ ̅ sao cho ∑ Chứng minh rằng ∑ √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 87
  94. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.2.16. Ta đặt { ớ Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ∑ ∑ √ √ ớ ( ] { ố ị ế Do đó, ∑ ∑ ∑( ) IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng giải phương trình lượng giác. Các bạn cần ôn lại các phương pháp giải phương trình lượng giác ở chương 5 để có thể nhanh chóng tiếp cận phương pháp này. Bài 1: Giải phương trình sau √ √ √ ( √ ) 88
  95. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: a. Điều kiện : | | . Ta đặt [ ] ( ) Khi đó, phương trình được chuyển về dạng √ ( ) ( ) [ ( ) [ ( ) ⇔ [ [ b. Điều kiện : | | ặ [ ] ( ) ươ ươ ươ ớ √ √ ( √ ) √ ( ) √ √ ( √ ) ( ) ⇔ [ [ √ [ c. Ta có : ( ) ( ) Nhận xét rằng ( ) ộ ệ ủ ươ Đánh giá tương tự, ta suy ra ệ ạ ủ ươ 89
  96. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 2: Giải phương trình sau ( )( ) √ √ √ √ √ Giải: a. Ta xét các trường hợp - , khi đó ( )( ) . Do đó, phương trình vô nghiệm - , suy ra ( )( ) . Do đó, phương trình vô nghiệm - | | . Đặt ( ) ( ). Khi đó, phương trình trở thành ( )( ) [ ( ) ⇔ { } { } b. Điều kiện : . Ta đặt ( ) ( ) Khi đó, phương trình có dạng √ √ √ Đặt [ √ ]. Suy ra 90
  97. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Khi đó, phương trình trở thành √ √ √ [ √ √ ( ) ( ) ( ) ⇔ √ c. Điều kiện : [ ] ặ [ ] ( ) ươ ở √ √ √ ( ) Đặt , [ √ ]. Suy ra Khi đó phương trình có dạng [ ( ) ( ) [ ( ) ⇔ [ [ √ Bài 3: Giải các phương trình sau √( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ √ [√( ) √( ) ] √ Giải: a. Điều kiện : | | ặ [ ] ( ) ươ ạ √( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ Đặt [ √ √ ]. Suy ra Khi đó, phương trình tương đương với 91
  98. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số √ √ [ √ √ - Với √ ( ) √ √ ( ) ⇔ - Với √ √ √ √ { ( √ ) √ { ( √ ) √ √ √ √ b. Điều kiện : { } ặ ( ) { } ( ) ươ ạ ( ) √ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ⇔ √ c. Điều kiện : | | . Ta đặt [ ]. Khi đó √ [√( ) √( ) ] √( ) [√( ) √( ) ] 92
  99. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ Bài 4: Giải các phương trình sau √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) Giải: a. Ta đặt √ . Khi đó, ta có hệ phương trình { ( ) ( )( ) Như vậy, phương trình đã cho tương đương với Ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) Nếu thì hàm số ( ) đồng biến. Do đó, ( ) ( ) Suy ra phương trình vô nghiệm. Nếu thì hàm số ( ) đồng biến. Do đó, ( ) ( ) Suy ra phương trình vô nghiệm. Ta xét phương trình trên [ ], đặt [ ] ( ) Khi đó, phương trình tương đương với ( ) ( ) 93
  100. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) ⇔ { } { } b. Điều kiện : - Nếu thì ( ) √ √ . - Nếu , ta đặt [ ] ( ). Khi đó, √ ( ) ( ) ( ) ⇔ [ [ c. Điều kiện : ( ) { }. ặ ( ) { } ( ) ươ ạ √ √ Đặt [ √ √ ]. Suy ra Phương trình trở thành √ √ √ [ √ Nếu √ thì √ ( ) √ ( ) ( ) ⇔ ế √ √ ( ) √ ( ) [ ( ) ⇔ √ 94
  101. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.3.1. Giải các phương trình sau √ √ | √ | √ ( ) √ √ √ √ √ √ √ (√ √ ) √ ( )( ) V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng giải hệ phương trình lượng giác. Các bạn cần ôn lại các phương pháp giải phương trình lượng giác ở chương 6 để có thể nhanh chóng tiếp cận phương pháp này. - Đây là dạng ít khi xuất hiện trong các đề thi chung, thường xuất hiện trong các đề thi chuyên. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau √ { √ { √ √ { ( )( ) √ ( )( ) { 95
  102. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: a. Điều kiện : | | | | . Ta đặt { ( [ ]) ( ) Hệ phương trình trở thành ( ) { { ⇔ { ( ) [ { ( ) [ [ [ b. Điều kiện : . Ta đặt { ( ( ) { }) ( ) Hệ phương trình trở thành { { ( ) { √ ( ) { { ⇔ √ √ { [ √ c. Ta đặt { ( [ ]) ( ) Hệ phương trình trở thành ( )( ) √ √ ( ) ( ) ⇔ { } ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 96
  103. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số d. Điều kiện : | | | | . Ta đặt { ( [ ]) Hệ phương trình trở thành ( ) { { ( )( ) ( )( ) { { ( ) [ ( )] Ta đặt | | √ và . Khi đó { { { { { Bài 2: Với là các hằng số khác cho trước. Giải hệ phương trình ( ) ( ) Giải: Ta đặt ( ) ( ) ( ) Khi đó, hệ phương trình tương đương với { ( [ ]) ( ) ( ) { ( ) Ta xét trường hợp : ế ( ) √ ( ) √ { √ √ ( ) { ế ( ) ì 97
  104. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số √ ( ) √ { √ √ ( ) { Bài 3: Giải hệ phương trình sau ( ) { ( ) ( ) Giải: Cộng từng vế tương ứng các phương trình đã cho của hệ, ta có ( ) Nên phải có ít nhất một số không âm, ta có thể giả sử là . Ta có ( ) Do vậy, ta đặt [ ] ( ) Ta suy ra ( ) ( ) ( ) Vậy là nghiệm của phương trình ( ) ⇔ { } Vậy với lấy từ một trong các giá trị trên, hệ phương trình có các nghiệm sau { Bài 4: Cho là các số dương cho trước. Hãy xác định tất cả các số dương sao cho { ( ) Giải: Với ( ) , ta biến đổi 98
  105. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Với , ta đặt √ √ {√ Do đó, Với là 3 góc của tam giác nhọn , ta lại đặt { Khi đó, từ , ta suy ra (√ √ ) (√ √ √ ) Do đó, √ √ √ Suy ra Tương tự, ta có : { Như vậy, nghiệm duy nhất của hệ phương trình là { 99
  106. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 5: Giải hệ phương trình sau ( ) { ( ) ( ) Giải: Ta thấy . Khi đó { ớ ( ) ( ) ặ Suy ra { Do đó, ( ) ( ) ⇔ { } { } Bài 6: Giải hệ phương trình { ( ) ( ) Giải: Ta thấy , do đó { Khi đó, ta đặt 100
  107. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số { ( ( )) ( ) Hệ phương trình trở thành { Khi đó, { ( ) Do đó, ( ) ( ) ( ) ⇔ { } Như vậy [ Bài 7: Giải hệ phương trình { (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) Giải: Hệ phương trình tương đương với ( ) { ( ) ( ) ấ √ 101
  108. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số { Ta đặt ( ) { } ( ) Khi đó, ( ) Như vậy với điều kiện ( ) thì nghiệm của hệ là ( ) { ệ ỏ ề ệ ủ √ Bài 8: Giải hệ phương trình sau: ( )( ) ( ) { Giải: Ta có : ( ) ( )( ) ( ) Do đó, ta đặt { Hệ phương trình tương đương với 102
  109. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) { Theo định lý Viète, ta có là nghiệm của phương trình [ { ( ) { Bài 9: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) { Giải: Ta nhận xét rằng nếu ( )là nghiệm thì (– ) cũng là nghiệm của hệ phương trình và phải cùng dấu. Do đó, ta có thể giả sử rằng . Cùng với , ta đặt { Với là 3 góc của tam giác . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 103
  110. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Theo định lý hàm số sin, ta có thể giả sử rằng độ dài 3 cạnh của tam giác là . Khi đó tam giác vuông tại . Ta có : Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.4.1. Giải các hệ phương trình sau ( ) { ( ) { √ √ √ { √ √ { { 104
  111. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấct ủa hàm lượng giác. Các bạn cần ôn lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở chương 8 để có thể nhanh chóng tiếp cận phương pháp này. Bài 1: Cho các số thỏa mãn hệ thức { Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Giải: Ta đặt { ( [ ]) Khi đó, ( ) Vì nên ( ) ( ) Ta có : Suy ra | | √ Do đó, √ √ { √ { √ √ √ { √ { √ Bài 2: Cho thay đổi, thỏa ( ). Tìm giá trị lớn nhất | | 105
  112. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Giải: Ta biến đổi Nên ta đặt { ( [ ]) Khi đó, | | | | √ Như vậy, | | √ | | √ √ | | { √ { Bài 3: Cho thỏa mãn hệ thức { Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) Giải: Hệ thức đã cho viết lại thành ( ) ( ) ớ √ ( ) { ( [ ]) ( ) ( ) ( ) 106
  113. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Do đó, | | √ Như vậy, √ { √ √ { √ Bài 4: Cho thỏa mãn ( ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) Giải: Ta xét trường hợp - khi đó, giả thiết tương đương với Do đó, ta có hệ sau { ( ) ( ) Với , ta đặt { ( [ ]) Suy ra ( ) ( ) √ 107
  114. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số √ ( ) √ √ Như vậy, √ √ √ √ √ { { √ - , ta được . Suy ra √ √ Tóm lại, √ √ Bài 5: Cho với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ĐH Ngoại Thương Hà Nội 1995) Giải: Ta đặt { ( [ ] ) Khi đó, Hay ( ) 108
  115. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số ( ) Như vậy, { Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta xét trường hợp - thì . - , ta chia tử và mẫu cho . Khi đó ặ ( ) ( ) √ ( ) Do đó, √ ( ) ( ) ( ) ⇔ √ ( ) ( ) ( ) ⇔ 109
  116. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 7: Cho sao cho . Tìm giá trị lớn nhất của √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Ta thấy √ √ √ √ √ √ Do đó, với là 3 góc của tam giác . Ta đặt { √ ( ) √ √ √ √ Như vậy, √ √ { { √ 110
  117. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số Bài 8: Tìm để hàm số Nhận giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng . Giải: Ta đặt ( ) Suy ra Ta có : | | √ Do đó, √ √ { { { [ √ √ { - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.5.1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số với [ ] ( ) ( ) 9.5.2. Với thay đổi thỏa mãn { . Tìm giá trị nhỏ nhất của 9.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 9.5.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 9.5.5. Cho thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ 111
  118. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số 9.5.6. Cho và thỏa hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9.5.7. Cho thỏa . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 9.5.8. Cho 4 số thỏa ( ) và ( ). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức √( ) ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 9.5.9. Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 9.5.10. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 9.5.11. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.5.1. 9.5.2. 9.5.3. { 9.5.4. { 9.5.5. { 112
  119. www.VNMATH.com Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số 9.5.6. √ { [ 9.5.7. { { [ 9.5.8. { √ √ 9.5.9. 9.5.10. 9.5.11. 113
  120. www.VNMATH.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huỳnh Công Thái, Đậu Thế Cấp, Các chuyên đề - Tìm cực trị và Chứng minh bất đẳng thức chứa hàm lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2007. [2] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp Tp.HCM, 2007. [3] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 bài toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007. [4] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999. [5] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán Lượng giác – Phương pháp Lượng Giác Hóa, NXB Đại học Sư Phạm, 2006. [6] Titu Andreescu, Zuming Feng, 103 Trigonometry Problems : From the Training of the USA IMO team, Birkhauser, 2004. [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XII – 2006, Toán học, NXBGD, 2006. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIII – 2007, Toán học, NXBGD, 2007. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIV – 2008, Toán học, NXBGD, 2008. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XV – 2009, Toán học, NXBGD, 2009. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XVI – 2010, Toán học, NXBGD, 2010. 114