Giáo trình Toán cao cấp - Chương 4: Không gian vector

118 trang Đức Chiến 03/01/2024 1890

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp - Chương 4: Không gian vector", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_chuong_4_khong_gian_vector.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp - Chương 4: Không gian vector

Chương 4 KHÔNG GIAN VECTOR I. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR: 1.Khái niệm trường: Ðịnh nghĩa: Cho tập hợp K có ít nhất 2 phần tử. Giả sử K được trang bị 2 phép toán đại số là cộng (+) và nhân (.). Khi đó K được gọi là một trường nếu những điều kiện sau đây được thỏa: (i) (tính giao hoán của phép toán +) (ii) (tính kết hợp đối với phép toán +) (iii) Trong tập hợp K tồn tại một phần tử không , ký hiệu là 0, sao cho (iv) Với mọi , tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là - a, sao cho (v) (tính giao hoán đối với phép toán.) (vi) (tính kết hợp đối với phép toán.)
(vii) Trong tập K tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu là 1, sao cho: (viii) Với mọi tồn tại phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu là a-1, sao cho (ix) (tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng) Nhận xét: Trong định nghĩa trên ta có thể kiểm chứng được rằng phần tử 0 và phần tử 1 của trường K là duy nhất, , phần tử - a cũng duy nhất, a≠0, phần tử nghịch đảo a-1 cũng duy nhất. Ví dụ về trường: 1) Tập hợp R các số hữu tỉ với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. 2) Tập hợp R các số thực với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. Tập hợp các số phức C với các phép toán (+) và (.) số phức cũng là một trường. 3) với các phép toán (+) và (.) dưới đây là một trường: 2. Ðịnh nghĩa không gian vector: Ðịnh nghĩa: Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và K là một trường. Ta nói V là một không gian vector trên trường K hay là một K không gian vector nếu trên tập V ta có trang bị một phép toán đại
số (gọi là phép cộng và ký hiệu bởi dấu +) và có một phép nhân (.) mỗi với cho kết quả là một phần tử thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Tính giao hoán của phép cộng trên V: (ii) Tính kết hợp của phép cộng trên V: (iii) Tồn tại một phần tử không trong V, ký hiệu là 0, sao cho: (iv) Với mọi , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là -v thoả mãn: v + (-v) = 0 (v) Với mọi , với mọi u và v thuộc V, ta có: (vi) (vii) (viii) Nhận xét: có thể dễ dàng thấy rằng phần tử 0 trong V là duy nhất; và với mỗi , phần tử -v cũng duy nhất. Các phần tử của không gian vector V được gọi là các vector. Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng. Trong trường hợp
K = R (trường số thực) thì V được gọi là không gian vector thực. Nếu K = R thì ta gọi V là không gian vector phức. Từ phép cộng vector trên không gian vector V ta định nghĩa phép trừ (-) vector bằng công thức sau đây: u - v = u + (- v) Từ đó có thể chứng minh được tính chất phân phối đối với phép trừ: Sau đây là một số tính châ1t đơn giản của không gian vector có thể được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. Tính chất: Các ví dụ về không gian vector: Ở trên chúng ta đã nêu lên định nghĩa tổng quát của một không gian vector trên trường K. Trường K được gọi là trường cơ sở.
Trong các áp dụng và các lĩnh vực khác nhau các không gian vector có thể là những tập hợp rất khác nhau. Trong mục này sẽ nêu lên một số ví dụ quan trọng về không gian vector. Ví dụ 1: với K là một trường và , xét tập hợp gồm tất cả các bộ n phần tử của K. Trên Kn, đã xét các phép toán được định nghĩa như sau: Với mọi và với mọi : Dễ dàng kiểm chứng rằng các phép toán này thoả mãn tất cả các tính chất nêu trong định nghĩa không gian vector. Vậy Kn là một không gian vector trên K. Trong giáo trình này chúng ta sẽ thường xuyên làm việc với các không gian vector Rn và Cn . Nhận xét: Tập hợp các vector tự do trong mặt phẳng với phép toán cộng 2 vector và phép toán nhân vector với số thực thông thường (đã được biết trong chương trình toán phổ thông) là một không gian vector trên trường số thực. Về mặt tính toán tọa độ vector trong mặt phẳng Oxy, có thể nói không gian vector này chính là không gian vector R2. Tương tự, tập hợp các vector tự do trong không gian là một không gian vector trên trường số thực. Đây cũng chính là không gian R3. Ví dụ 2: Với K=R hoặc C, đặt Mmxn(K) là tập hợp tất cả các ma trận có các phần tử thuộc K, trong đó m và n là 2 số nguyên dương cho trước. Tập hợp Mmxn(K) với phép cộng 2 ma trận và phép nhân
số với ma trận thông thường là một không gian vector trên trường K. Ví dụ 3: Đặt Rn[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc lớn hơn hoặc bằng n, trong đó n là một số nguyên dương, và đặt R[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Với phép toán cộng 2 đa thức và phép toán nhân một số với đa thức thông thường thì R[x] và Rn[x] là các không gian vector trên R. Ví dụ 4: Gọi C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Định nghĩa các phép toán trên C[a,b] như sau: Nếu thì Dễ dàng kiểm chứng rằng C[a,b] là một không gian vector trên R, trong đó phần tử không 0 là hàm số hằng zero, tức là hàm bằng 0 với mọi x, và phần tử đối của f là -f với II. KHÔNG GIAN VECTOR CON: 1. Ðịnh nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và W là một tập hợp con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vector con của V nếu W là một không gian vector trên K ứng với các phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng trên W. Ví dụ: Tập hợp {0} và V là các không gian vector con của không gian vector V.
Để kiểm tra một tập hợp có phải là một không gian vector con của V không ta chỉ cần kiểm tra 2 điều kiện được nêu trong định lý sau đây: Định lý:Tập con của một không gian vector V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: (i) (ii) Ghi chú: các điều kiện (i) và (ii) trong định lý trên có thể được thay thế bằng điều kiện dưới đây: Ví dụ:Cho K=R hoặc C, và A là một ma trận cấp mxn với các phần tử thuộc K. Đặt: tức là W là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A. Ta sẽ chứng minh W là một không gian vector con của Kn. Cho , và tùy ý thuộc W. Ta có:
Suy ra: nghĩa là Vậy W là một không gian vector con của Kn. 2. Không gian giao, không gian tổng: Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V cũng là một không gian con của V. Chứng minh: Xét
Trong đó là một họ các không gian con của V. Vì nên và do đó . Giả sử và (tùy ý). Khi đó nên suy ra . Vậy W là một không gian con của V. Định lý: Giả sử W1 và W2 là các không gian con của một không gian vector V. Đặt: . Khi đó W1 + W2 là một không gian vector con của V, được gọi là không gian tổng của W1 và W2. Lưu ý: trong trường hợp , thì không gian tổng được viết là và được gọi là tổng trực tiếp của các không gian W1 và W2. III. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH: 1. Ðịnh nghĩa tổ hợp tuyến tính: Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và là các vector thuộc V. Một vector được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector nếu tồn tại các vô hướng sao cho :
Đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn tuyến tính của x theo Ví dụ: 1). vector là một tổ hợp tuyến tính của các vector vì: vector không phải là một tổ hợp tuyến tính của v1 , v2 vì nếu ngược lại thì tồn tại sao cho mà hệ phương trình (*) với các ẩn và là vô nghiệm nên sẽ có mâu thuẫn. 2). Vector 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của một họ bất kỳ các vector 3). Trong không gian vector V=Rn cho m vector và
Tìm điều kiện cần và đủ để v là một tổ hợp tuyến tính của các vector là tồn tại các số thực sao cho (1) là một đẳng thức vector, nếu so sánh từng thành phần tương ứng của các vector ở 2 vế của (1) ta được: là một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn gồm n phương trình với: Ma trận hệ số là : = ma trận gồm các vector cột và cột hệ số vế phải là
Vậy là một tổ hợp tuyến tính của các vector khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm . Áp dụng: Tìm m để cho vector v = (1,m,3) là một tổ hợp tuyến tính của 2 vector , và viết v thành tổ hợp tuyến tính của Điều kiện để v là tổ hợp tuyến tính của là hệ phương trình tuyến tính theo 2 ẩn với ma trận mở rộng là có nghiệm. Dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìm được m = 3, và trong trường hợp này nghiệm 2. Ðịnh nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. Định nghĩa: cho V là một không gian vector trên trường K, và là các vector thuộc V. Ta nói họ vector là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng không đồng thời bằng không (tức là có ít nhất một vô hướng là khác 0) sao cho:
Họ vector không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ vector độc lập tuyến tính. Ví dụ: 1) Trong V = R3 các vector , và là phụ thuộc tuyến tính vì 2) Trong một mặt phẳng bất kỳ 2 vector không cùng phương nào cũng độc lập tuyến tính, nhưng bất kỳ ba vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính. 3) Trong không gian (R3) bất kỳ ba vector không đồng phẳng nào cũng độc lập tuyến tính nhưng bốn vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề: các vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Chứng minh: Nếu các vector phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho trong đó có ít nhất một hệ số khác 0, chẳng hạn . Khi đó:
với các . Do đó vn là một tổ hợp tuyến tính của . Ngược lại, nếu tồn tại một vector trong các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại, chẳng hạn thì tức là là phụ thuộc tuyến tính. Ngoài ra, từ định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính ta có thể kiểm chứng dễ dàng các tính chất sau đây: (i) Các vector độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu . (ii) Mọi họ vector, trong đó có vector 0 đều phụ thuộc tuyến tính. (iii) Với mọi , {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi . (iv) Họ vector là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số.
chỉ có nghiệm zero. Định nghĩa: (i) Một họ khác rỗng các vector của không gian vector V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính. (ii) Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vector của V gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính. IV. KHÔNG GIAN CON SINH BỞI MỘT TẬP HỢP: Cho V là một không gian vector trên trường K, và S là một tập vector trong . Ta có thể thấy rằng họ các không gian vector con của V chứa S là khác rỗng vì V là một không gian con của V chứa S. Theo định lý về “không gian giao” trong II.2, thì phần giao của họ các không gian con của V chứa S cũng là một không gian con của V.Không gian con này sẽ được ký hiệu là ( hay vắn tắt là thì ta nói S là một tập hợp sinh của V, hay không gian V được sinh ra bởi tập S. Nếu V được sinh bởi một tập hợp hữu hạn phần tử thì V được gọi là hữu hạn sinh. Nhận xét rằng .Với S là một tập hợp khác rỗng các vector của V. Khi đó Nói cách khác, không gian vector sinh bởi tập S chính là tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S. Chứng minh:
Theo định nghĩa thì là không gian vector con nhỏ nhất của V chứa tập S. Ký hiệu tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của S là W, ta cần chứng minh . Giả sử và . Khi đó v và v’ có dạng: với Suy ra: cũng là một vector thuộc W. Vậy W là một không gian vector con của V. Hiển nhiên W là không gian con của V chứa S, và W nằm trong mọi không gian con của V chứa S. Từ đó ta có: . Hệ quả: Cho S và S’ là các tập hợp con khác rỗng của V. Nếu mỗi vector của S đều viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S’ và ngược lại, thì . Ví dụ: 1) Trong R3, cho với và . Ta có:
2) Cho W là một không gian vector con của R4 gồm các vector thỏa hệ phương trình tuyến tính: Tìm một tập hợp sinh của W. Biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính ta có: Suy ra hệ phương trình tương đương với hệ phương trình mới sau đây: Hệ số có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do. Suy ra một tập hợp sinh của W gồm các vector
n Mệnh đề: Giả sử W1 và W2 là các không gian vector con của K có các tập hợp sinh tương ứng là S1 và S2. Khi ấy không gian tổng W1 + W2 có một tập hợp sinh là . Nói cách khác. Ví dụ: Trong không gian vector R4 cho các vector và .Gọi W1 là không gian vector con sinh bởi và W2 là không gian vector con sinh bởi . Tìm điều kiện để vector , nghĩa là tìm W. Theo mệnh đề trên thì W sinh bởi , nên vector khi và chỉ khi. Điều kiện này có nghĩa là hệ phương trình (với ẩn là ) sau đây có nghiệm. Hệ phương trình có nghiệm nếu và chỉ nếu:
Suy ra V.CƠ SỞ VÀSỐ CHIỀU: 1. Ðịnh nghĩa cơ sở. Cho V là một không gian vector trên trường K, và B là một tập hợp các vector trong V. Tập vector B được gọi là một cơ sở của V khi. (i) B độc lập tuyến tính, và (ii) B sinh ra V, nghĩa là Ví dụ: 1) B = {} (tập rỗng) là cơ sở của V = {0} 2) V = Kn là không gian vector trên K có một cơ sở là , với Thật vậy, với ta có
và mỗi nên .Hơn nữa, nếu thì hay nên độc lập tuyến tính. n Vậy E là một cơ sở của không gian vector K (trên trường K). Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của Kn. 3) Trong không gian R3 cho các vector . Chứng minh là một cơ sở của R3. Cho tùy ý của R3. Ta đã biết v là một tổ hợp tuyến tính của khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính sau (với nghiệm là ) có nghiệm. với . Dễ thấy rằng A khả nghịch nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là. Điều này cho thấy rằng v có thể viết dưới dạng và nếu v=0 (vector 0) thì .
4) Trong không gian Rn[x] có một cơ sở là vì mọi đa thức bậc đều có dạng nên . Hơn nữa nếu thì . Cho đa thức bậc không có quá n nghiệm. Do đó B0 độc lập tuyến tính. Vậy B0 là một cơ sở của Rn[x] (trên R). 2. Ðịnh lý 1. Cho là một không gian vector hữu hạn sinh trên trường K. Khi đó tồn tại một cơ sở B của V có hữu hạn phần tử. Hơn nữa, mọi cơ sở của V đều có cùng số vector. Trên cơ sở kết quả của Định lý, ta đi đến định nghĩa sau: 3. Ðịnh nghĩa số chiều. Cho V là một không gian vector trên trường K. Khi đó số phần tử trong một cơ sở của V được gọi là số chiều của không gian vector V, ký hiệu là dimV. Nếu V có một cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì ta nói V là một không gian vector hữu hạn chiều, nên V có một cơ sở gồm vô hạn phần tử thì ta nói V là một không gian vector vô hạn chiều. Ví dụ:
1) Không gian Kn có một cơ sở gồm n vector (chẳng hạn là cơ sở chính tắc), do đó dimKn = n . 2) Không gian Rn[x] các đa thức bậc có số chiều là n+1 vì nó có một cơ sở gồm các vector . 3) Không gian R[x] các đa thức có bậc tùy ý là một không gian vô hạn chiều. Bổ đề: Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên K và S là một tập hợp độc lập tuyến tính trong V. Khi đó, nếu và thì cũng độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử . Xét phương trình: . Nếu thì điều này mâu thuẫn giả thiết, do đó , suy ra: . Vì S độc lập tuyến tính nên . Do đó độc lập tuyến tính. 4.Ðịnh lý (về cơ sở không gian toàn vẹn). Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên K và S là một tập hợp độc lập tuyến tính trong V. Khi đó tồn tại một cơ sở B của
V sao cho .Nói cách khác, hoặc S là cơ sở của V hoặc ta có thể thêm vào S một số vector để có một cơ sở cho V. Chứng minh:Nếu thì S là một cơ sở của V. (i) Nếu thì tồn tại sao cho độc lập tuyến tính (theo Bổ đề trên). (ii) Nếu thì S1 là một cơ sở của V. (iii) Nếu thì có sao cho độc lập tuyến tính. Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước, cuối cùng ta được tập hợp là một cơ sở của V chứa S. Ví dụ: Ta có tập hợp độc lập tuyến tính trong R3 nên ta có thể thêm vào S một vector để có một cơ sở của R3. Thật vậy, chẳng hạn lấy ta có độc lập tuyến tính nên là cơ sở của R3. 5. Ðịnh lý 2. Cho W1,W2 là các không gian con của không gian vector V hữu hạn chiều. Khi đó. .
Chứng minh: Gọi (1) Là một cơ sở của không gian con .Bổ túc (1) tương ứng thành các cơ sở của W1 và W2 như sau: (2) (3) Ta chỉ cần chứng minh họ các vector sau đây lập thành một cơ sở của W1+W2: (4) Xét vector . Vì v là một tổ hợp tuyến tính của (2), w là một tổ hợp tuyến tính của (3) nên rõ ràng u là một tổ hợp tuyến tính của (4). Vậy họ (4) sinh ra không gian vector W1+W2. Bây giờ giả sử (5) trong đó khi đó ;; (6)
Viết Suy ra (7) Nhưng (3) độc lập tuyến tính nên suy ra. (8) Thay vào (6), nhận được Do (2) độc lập tuyến tính nên từ đó suy ra. Vậy (4) độc lập tuyến tính, nên (4) là một cơ sở của W1 + W2. 6. Ðịnh lý 3. Cho V là một không gian vector trên K với dimV=n. Khi đó: (i) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính trong V đều không có nhiều hơn n vector. (ii) Mọi tập sinh của V đều không có ít hơn n vector. (iii) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính gồm n vector trong V đều là cơ sở của V. (iv) Mọi tập sinh của V gồm n vector đều là cơ sở của V.
Như vậy, nếu biết n=dimV thì để chứng minh tập hợp S có n phần tử là một cơ sở của V, ta chỉ cần chứng minh S độc lập tuyến tính hay S là một tập sinh của V là đủ. Hệ quả: Cho . Đặt . n Khi đó S là cơ sở của K khi và chỉ khi AS khả nghịch. VI. TỌA ĐỘ: 1.Ðịnh nghĩa. Cho V là một không gian vector n chiều trên K và là một cơ sở của V. Khi đó ta nói B là cơ sở được sắp thứ tự (hay cơ sở được sắp) của V nếu thứ tự các vector được liệt kê trong B không thay đổi. Ví dụ: Ta có và là 2 cơ sở được sắp khác nhau của R2 (mặc dù B = B’). 2.Ðịnh lý và Ðịnh nghĩa.
Cho V là một không gian vector n chiều trên K và là một cơ sở được sắp của V. Khi đó, với mọi , tồn tại duy nhất một vector sao cho Khi đó ta ký hiệu: và ta gọi là tọa độ của vector u trong cơ sở B. Chứng minh: Tồn tại: Vì B là một cơ sở của V nên , do đó tồn tại sao cho . (1) Duy nhất: Giả sử tồn tại , sao cho (2) Khi đó từ (1) và (2) suy ra: Từ đó do B độc lập tuyến tính nên ta suy ra.
Do đó . Ví dụ. Ta có là một cơ sở được sắp của R2.Với ta có. Vậy Do đó . Chẳng hạn, với u = (3, -1) thì Ví dụ. Toạ độ của vector trong cơ sở chính tắc của Kn là.
vì Ví dụ. Tọa độ đa thức trong cơ sở chính tắc của Rn[x] là . Mệnh đề sau đây dễ dàng suy ra từ định nghĩa của tọa độ. 3. Mệnh đề. Giả sử B là một cơ sở được sắp của không gian vector V (trên K). Khi đó, với mọi và với mọi ta có (i) (ii) 4. Ðịnh nghĩa ma trận chuyển cơ sở.
Cho V là một không gian vector n chiều trên K và là hai cơ sở được sắp của V. Ta nói là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’, ký hiệu , nếu Nói khác đi, ma trận P được xây dựng bằng cách nối tọa độ các vector cơ sở của B’ theo cơ sở B (dưới dạng cột). 5. Mệnh đề. Cho V là một không gian vector n chiều trên trường K và B, B’, B’’ là các cơ sở được sắp của V. Khi đó ta có các điều khẳng định sau: (i) (ii) (iii) Chứng minh. Điều khẳng định (i) là hiển nhiên. (ii) Giả sử . Đặt Khi đó với mọi j ta có
(1) (2) Đồng thời với mọi l ta có (3) Thay (3) vào (2) , nhận được (4) Do B là cơ sở nên từ (1) và (4) suy ra nghĩa là C = AB. Điều khẳng định (iii) được suy ra ngay từ (i) và (ii). 6. Ðịnh lý (Ðổi tọa độ giữa các cơ sở). Cho B và B’ là hai cơ sở được sắp của V và là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. Khi đó, với mọi ta có . Suy ra .
Chứng minh: Giả sử , . Khi đó theo giả thiết ta có. Mặt khác Nên tính duy nhất của tọa độ vector trong cơ sở ta suy ra Vậy 7. Ðịnh lý (Nhận diện cơ sở mới dựa vào cơ sở cho trước). Cho V là một không gian vector n chiều và B là một cơ sở được sắp của V. Giả sử là một họ n vector bất kỳ của V.
Đặt . Khi đó C là cơ sở của V nếu và chỉ nếu P khả nghịch. Hơn nữa, trong trường hợp này . Chứng minh: Nếu C là cơ sở thì P chính là ma trận chuyển cơ sở từ B sang C, nên P khả nghịch. Ngược lại, giả sử P khả nghịch, ta sẽ chứng minh là các vector độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử . Khi đó . Suy ra nghĩa là .Do P khả nghịch nên từ đó suy ra BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Cho với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là: Chứng minh rằng V là một không gian vector trên K.
Bài 2: Cho V là tập hợp tất cả các hàm số với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là : Chứng minh rằng V là một không gian vector trên R ? Bài 3: Cho V là tập hợp tất cả các hàm thực, liên tục, dương trên đoạn [-a,a] (a>0). Trên V ta định nghĩa các phép toán (+) và (.) như sau: Chứng minh rằng V là không gian vector trên R ? Bài 4: Cho V = R2 . Tìm một phản ví dụ chứng tỏ rằng V không là một không gian vector trên R nếu ta định nghĩa các phép toán (+) và (.) trên V bởi: a) và b) và c) và Bài 5: Trong các tập con W sau đây của K3 thì tập hợp nào là không gian con của K3 với các phép toán cộng và nhân thông thường ? a)
b) c) d) e) Bài 6: Cho là không gian các ma trận vuông cấp n trên K với phép toán cộng và nhân thông thường. Tập con nào sau đây là không gian con của V? a) Tập tất cả các ma trận tam giác trên; b) Tập tất cả các ma trận đường chéo; c) Tập tất cả các ma trận khả nghịch; d) Tập tất cả các ma trận không khả nghịch; e) Tập tất cả các ma trận có định thức bằng 1. Bài 7: Cho V là không gian các hàm số với các phép toán cộng và nhân thông thường. Trong các tập hợp W sau, tập hợp nào là không gian con của V ? a) b) c) liên tục };
d) e) là hàm chẵn }; f) là hàm lẻ }. Bài 8: Cho V là một không gian vector trên K, W1,W2 là các không gian con của V. Chứng minh rằng là một không gian con của V khi và chỉ khi hoặc Bài 9: Trong các câu sau, xét xem vector u có là tổ hợp tuyến tính của các vector u1,u2,u3 hay không ? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có) ? a) u = (1,3,2),u1 = (1,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (0,1,1). b) u = (7,17,14),u1 = (1,2,3), u2 = (2,1,2), u3 = (1,4,2). c) u = (1,3,4),u1 = (1,2,3), u2 = (3,2,1), u3 = (2,1,0). Bài 10: Trong các câu sau, hãy tìm mối liên hệ giữa a,b,c,d để vector u = (a,b,c,d) là tổ hợp tuyến tính của các vector u1,u2,u3. a) u1 = (1,2,1,1) ,u2 = (1,1,2,1) ,u3 = (1,1,1,2). b) u1 = (1,1,1,0) ,u2 = (1,1,0,1) ,u3 = (1,0,1,1). c) u1 = (0,1,2,3) ,u2 = (1,2,3,0) ,u3 = (3,0,1,2).
Bài 11: Xét xem các vector sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ? a) (1,1,1) và (0,1,-2); b) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1); c) (0,1,1), (1,2,1) và (1,5,3); d) (1,-2,3,-4), (3,3,-5,1) và (3,0,3,-10). Bài 12: Cho V là một không gian vector trên trường K và . Chứng minh rằng {u,v,w} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {u + v , v + w , w + u} độc lập tuyến tính. Bài 13: 4 Trong R , cho các vector u1 = (1,1,2,4) ,u2 = (2,-1,-5,2) ,u3 = (1,- 1,4,0) và u4=(2,1,1,6). Chứng tỏ các vector trên phụ thuộc tuyến tính. Tìm một cơ sở cho không gian con của R4 sinh bởi các vector này. Bài 14: Tìm số chiều và một cơ sở của không gian ngiệm của các hệ phương trình tuyến tính sau:
Bài 15: 4 Trong không gian vector K xét các vector sau đây u1 = (1,2,0,1), u2 = (1,-1,3,0), u3 = (1,2,1,1), u4 = (1,2,1,0), u5 = (2,-1,0,1), u6 = (- 1,1,1,1). Đặt . Hãy tìm một cơ sở cho mỗi không gian con W1 ,W2,W1+W2 và . Bài 16: Cho các vector u1 = (1,2,0,1), u2 = (1,1,1,0) , v1 = (1,0,1,0) , v2 = (1,3,0,1) và . Tính ? Bài 17: Chứng minh rằng các vector u1 = (1,0,-1), u2 = (1,2,1) và u3 = (0,- 3,2) lập thành một cơ sở của R3. Tìm toạ độ của các vector của cơ sở chính tắc e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) và e3 = (0,0,1) trong cơ sở được sắp . Bài 18:
Cho là một số thực bất kỳ, hãy chứng minh họ tạo thành một cơ sở (được sắp) của Rn[x]. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc B0 của Rn[x]. Bài 19: Cho V= Rn[x] là không gian các đa thức bậc trên R và là một số thực cố định. Giả sử. a) Chứng minh là một cơ sở của V. 2 b) Tìm [f]B nếu f(x) = 1 + x + x . 4 Bài 20: Cho W là không gian con của K sinh bởi các vector u1 = (1,2,2,1), u2 = (0,2,0,1) và u3 = (-2,0,-4,3). a) Chứng tỏ rằng là một cơ sở của V. b) Tìm điều kiện để .Với điều kiện này hãy tìm [u]B. c) Cho v1 = (1,0,2,0), v2 = (0,2,0,1), v3 = (0,0,0,3). Chứng tỏ rằng là một cơ sở của W. d) Xây dựng ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. 3 Bài 21: Trong R , cho các vector u1 = (2,1,-1), u2 = (2,-1,2), u3 = (3,0,1), v1 = (-3,1,2), v2=(1,-2,5) và v3=(2,4,1).
a) Chứng tỏ rằng và là các cơ sở của R3 . b) Cho thỏa u=(1,2,3), và . Hãy tìm . Bài 22: Trong R4, cho các vector và . a) Chứng tỏ là một cơ sở của W. b) Cho . Tìm điều kiện để và với điều kiện đó hãy tìm [u]B c) Đặt với v1 = (1,1,-1,-1), v2 = (2,7,0,3) và v3 = (2,7,0,2). Chứng tỏ B là một cơ sở của W và viết ; d) Cho thỏa và Hãy tìm .
Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CĂN BẢN: 1.Định nghĩa: Cho V,W là hai không gian vector trên trường K. Ánh xạ được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu: i) ii) Nhận xét: a) Các điều kiện i) và ii) trong Định nghĩa 1 có thể thay bằng điều kiện sau: . b) Vì nên c) Vì nên d) Đặt L(V,W) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W. Trên L(V,W), ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng một cách tự nhiên như sau:
với Khi đó dễ dàng chứng minh rằng L(V,W) là một không gian vector trên K với phép cộng và phép nhân vô hướng nêu trên. Ví dụ: a) Với mỗi i=1,2, ,n, ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính, ánh xạ này được gọi là phép chiếu lên thành phần thứ i của Kn. b) Ánh xạ cũng là một ánh xạ tuyến tính. 2. Mệnh đề: Giả sử là một cơ sở được sắp của V và là n vector tùy ý trong W. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa: Chứng minh:
Giả sử và là một cơ sở được sắp của V. Khi đó một vector bất kỳ được biểu diễn duy nhất dưới dạng: (1) Do f là ánh xạ tuyến tính, nên (2) Vậy f được hoàn toàn xác định bởi các ảnh của các vector cơ sở. Ngược lại, nếu cho trước các ảnh và ảnh f(u) của một vector u bất kỳ được định nghĩa bởi (2) thì Ví dụ: Giả sử là một ánh xạ tuyến tính thỏa Khi đó: II. NHÂN VÀ ẢNH CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH: 1. Mệnh đề 1: Giả sử là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó:
(i) Nếu E là không gian con của V thì f(E) là không gian con của W. (ii) Nếu F là không gian con của W thì f-1(F) là không gian con của V. Chứng minh: (i) Với mọi , tồn tại sao cho Do đó với mọi ta có, Vì E là một không gian con của V và nên: do đó: vậy f(E) là một không gian con của W. (ii) Chứng minh tương tự. Nhận xét: Cho là một ánh xạ tuyến tính. Ta ký hiệu và Khi đó, do mệnh đề II.1 suy ra ker f là không gian con của V, được gọi là không gian hạt nhân (hay đơn giản là ‘nhân’) của f và Im f là không gian con của W, được gọi là không gian ảnh của f. 2. Mệnh đề 2:
Giả sử . Khi đó: i)Nếu là một tập sinh của V thì là một tập sinh của f(V); ii)Nếu B độc lập tuyến tính và f là đơn ánh thì f(B) độc lập tuyến tính. Chứng minh:Dễ dàng chứng minh. 3. Định nghĩa: Cho . Khi đó, nếu f là một đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là một đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu). Khi f là một đẳng cấu thì ta nói hai không gian V và W là đẳng cấu với nhau, ký hiệu V  W. Nhận xét:Nếu f là đẳng cấu và B là một cơ sở của V thì f(B) là một cơ sở của W. Do đó nếu V  W thì dim V = dim W. 4. Mệnh đề 3: Cho . Khi đó f đơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f)=0. Chứng minh: ( )Nếu f đơn ánh thì từ suy ra nên u ker(f).Vậy ker(f)=0.
( ) Giả sử ker (f) = 0. Khi đó với mọi , nếu thì suy ra do đó hay .Vậy f đơn ánh. 5. Định lý 1: Cho .Khi đó nếu V là một không gian vector hữu hạn chiều thì Im(f) và ker(f) cũng hữu hạn chiều, đồng thời. Chứng minh: Giả sử dim V = m, và dim ker(f) = k. Vì ker(f) V nên cơ sở của ker(f) là một tập độc lập tuyến tính của V.Bổ sung vào B các vector để là một cơ sở của V, với l + k = m. Với mọi tồn tại sao cho v=f(u). Đặt Khi đó
Vậy f(V) được sinh bởi các vector Bây giờ giả sử Khi đó Nghĩa là Do đó tồn tại bộ để Suy ra
Vì B’ độc lập tuyến tính nên từ đó suy ra . Điều này chứng tỏ độc lập tuyến tính. Vậy Im(f) nhận làm một cơ sở và dim Im(f) = l, mà l + k = m , nên: 6. Hệ quả: Nếu và thì các điều sau tương đương: i) f là đẳng cấu ii) f là đơn cấu iii) f là toàn cấu Chứng minh. (ii) (ii). Hiển nhiên; (ii) (iii). Do f là đơn cấu nên dim ker(f) = 0. Do dó dim Im(f) = dimV = dimW, nghĩa là Im(f) = W.Vậy f toàn cấu. (iii) (i). Do f là toàn cấu nên Im(f) = W. Do đó dimIm(f) = dimW=dimV. Suy ra dim ker(f) = 0, vậy f là đẳng cấu. 7. Định nghĩa hạng của ánh xạ:
Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó dim Im(f) được gọi là hạng của f, ký hiệu là r(f). 8. Định lý 2: Nếu V là một không gian vector n chiều thì V  Kn Chứng minh: Gọi là một cơ sở được sắp của V. Thiết lập ánh xạ tuyến tính được xác định bởi với là cơ sở chính tắc của Kn.Dễ dàng kiểm chứng f là một đơn ánh nên theo Hệ quả II.6 suy ra f là một đẳng cấu. III. MA TRẬN BIỂU DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Trong phần này, các không gian vector được xét là hữu hạn chiều, ta quy ước ký hiệu để chỉ V là một không gian vector n chiều; những cơ sở nói đến trong mục này là những cơ sở được sắp thứ tự. Do Mệnh đề I.2, nếu và thì ánh xạ tuyến tính được xác định duy nhất bởi khi là một cơ sở được sắp của V. Gọi là một cơ sở được sắp của W.
1. Định nghĩa: Ma trận có cột thứ j là được gọi là ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở B, B’, ký hiệu . Nếu V = W và B = B’ thì ta dùng ký hiệu thay cho .Nếu B và B’ được hiểu rõ từ văn cảnh thì ta có thể dùng ký hiệu đơn giản [f] thay cho . Ví dụ. Các cơ sở được xét trong ví dụ này đều là cơ sở chính tắc của các không gian vector tương ứng. a) Ánh xạ tuyến tính có ma trận biểu diễn là b) Ánh xạ có ma trận biểu diễn là c) Ánh xạ
có ma trận biểu diễn là d) Ánh xạ có ma trận biểu diễn là (ma trận đơn vị) 2. Định lý 1: Cho và là hai không gian vector có các cơ sở được sắp lần lượt là và . Khi đó, nếu là một ánh xạ tuyến tính thì với mọi , Chứng minh: Đặt , khi đó Với thì
Nên theo định nghĩa của ma trận tọa độ, ta được điều cần chứng minh. Ví dụ: Xét không gian R3 cùng với cơ sở chính tắc. Giả sử và . Khi đó nên Vậy . 3. Mệnh đề 1:
Cho và là hai không gian vector có các cơ sở được sắp lần lượt là và . Khi đó ánh xạ là một đẳng cấu không gian vector. Chứng minh: Ta kiểm chứng nên là một ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, nếu sao cho thì tồn tại j sao cho do đó nghĩa là .Vậy là một đơn ánh. Với mỗi , xét phần tử được xác định bởi Khi đó , nghĩa là là một toàn ánh. Vậy là một đẳng cấu giữa hai không gian vector.
Ta biết là một không gian vector có một cơ sở là với Eij là ma trận chứa 1 ở vị trí (i,j) và chứa 0 ở tất cả các vị trí còn lại. Do là một đẳng cấu nên là một cơ sở của L(V,W).Dễ thấy là một ánh xạ tuyến tính từ V vào W thỏa Vậy là một cơ sở của không gian vector L(V,W). 4. Mệnh đề 2: Cho và là các không gian vector hữu hạn chiều. Khi đó, nếu , và là các cơ sở được sắp tương ứng của thì Chứng minh.Dễ dàng chứng minh trực tiếp từ định nghĩa và tính toán 5. Định lý 2:
Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều có các cơ sở được sắp lần lượt là B, B’ và . Khi đó f khả nghịch nếu và chỉ nếu khả nghịch. Chứng minh: ( )Gọi là ánh xạ ngược của f .Khi đó. và nên và Do đó khả nghịch có nghịch đảo là ( )Nếu thì ta có thể xây dựng ánh xạ tuyến tính sao cho . Khi đó suy ra .Tương tự . Như vậy f khả nghịch và nghịch đảo của nó là 6. Mệnh đề 3:
Cho gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ trong V, là ma trận chuyển cơ sở từ C sang C’ trong W. Khi đó với mọi ta có Chứng minh: Áp dụng Định lý III.2 ta được Do P,Q là các ma trận chuyển cơ sở nên Nhân cả 2 vế với Q-1, nhận được Mặt khác Do đó Từ đó suy ra
Ví dụ. 2 3 Gọi B0 và lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Đặt và thì B và lần lượt là cơ sở của IR2 và R3.Gọi P,Q lần lượt ma trận chuyển cơ sở từ B0 sang B và từ sang . Khi đó và Xét ánh xạ Khi đó nên ma trận biểu diễn f đối với các cơ sở B, là
IV. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa ma trận đồng dạng: Hai ma trận được gọi là đồng dạng với nhau (ký hiệu là ), nếu tồn tại ma trận khả nghịch sao cho Nhận xét: a) ; b) Nếu thì ; c) Nếu và thì ; d) Nếu thì detA = detB. 2. Định nghĩa về toán tử tuyến tính: Cho V là một không gian vector n chiều trên K. Khi đó một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Ký hiệu L(V) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trên V. Khi đó L(V) là một không gian vector trên K, đẳng cấu với không gian Mn(K) các ma trận vuông cấp n. Nhận xét rằng, nếu B và B’ là hai cơ sở của V và P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ thì công thức dưới đây là trường hợp riêng của công thức trong mệnh đề III.6.
Nhận xét: Ma trận biểu diễn cùng một toán tử tuyến tính f đối với những cơ sở khác nhau là những ma trận đồng dạng với nhau. Ví dụ: Cho V là không gian vector gồm các đa thức có bậc .Gọi D là toán tử đạo hàm trên V và gọi là cơ sở được sắp của V được định nghĩa bởi Với đặt nghĩa là: Gọi P là ma trận biểu diễn của đối với cơ sở B. Vì khả nghịch, với
nên là một cơ sở được sắp của V. Ta lại có nên . Do đó Bằng cách tính trực tiếp , ta cũng thu được kết quả trên. 3. Mệnh đề:
Cho V là một không gian vector n chiều trên K, B là một cơ sở của V và . Khi đó f song ánh khi và chỉ khi khả nghịch. Ví dụ: Cho xác định bởi. Khi đó. với là cơ sở chính tắc của . Ta có nên khả nghịch, do đó là một song ánh. V. CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa đa thức đặc trưng của ma trận: Cho . Đặt . Khi đó rõ ràng là một đa thức bậc n trên K. Đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng của A.
Ví dụ.Nếu thì 2. Mệnh đề: Nếu hai ma trận A,B đồng dạng với nhau thì chúng sẽ có cùng đa thức đặc trưng. Chứng minh.Nếu thì tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho . Khi đó Như vậy ta được điều cần chứng minh. 3. Định nghĩa đa thức đặc trưng của một toán tử tuyến tính: Cho V là một không gian vector n chiều trên K và T là một toán tử tuyến tính trên V có ma trận biểu diễn đối với một cơ sở B nào đó là A. Khi đó đa thức đặc trưng của A cũng được gọi là đa thức đặc trưng của T, ký hiệu là .
Nhận xét. Do Mệnh đề 2, định nghĩa trên được xác định. Thật vậy, nếu là ma trận biểu diễn T đối với cơ sở thì đồng dạng với A, do đó . Ví dụ: Cho T là toán tử tuyến tính trên IR2 xác định bởi: Ma trận biểu diễn T trong cơ sở chính tắc B0 là nên đa thức đặc trưng của T là: 4. Định nghĩa vector riêng: a) Cho V là một không gian vector n chiều trên K và T là một toán tử tuyến tính trên V. Khi đó được gọi là một trị riêng của T nếu tồn tại vector sao cho (1) Vector u thoả hệ thức (1) được gọi là một vector riêng của T ứng với trị riêng
b) Cho . Khi đó được gọi là một trị riêng của A nếu tồn tại vector sao cho Vector u thoả hệ thức trên được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng . Để đơn giản, ta thường viết thay cho đẳng thức trên. Ví dụ: a) Cho xác định bởi ta có nên   là một trị riêng của T và u=(1,0) là một vector riêng của T ứng với trị riêng  . b) Với ta có nên vector là một vector riêng của A ứng với trị riêng  . Nhận xét:Nếu u là một vector riêng cho trước của T (hoặc A) thì trị riêng tương ứng với nó xác định duy nhất. Thật vậy, giả sử và ' là các trị riêng tương ứng với cùng vector riêng u. Khi đó ta có và , do đó , mà nên hay   '. 5. Định lý 1:
Cho . Đặt . Khi đó là một không gian con của Kn.Hơn nữa, vector là vector riêng của A ứng với trị riêng khi và chỉ khi Không gian xác định như trên được gọi là không gian riêng của A ứng với trị riêng . Chứng minh: Ta có Vậy là không gian nghiệm của hệ phương trình nên nó là không gian con của Kn. Khẳng định còn lại là hiển nhiên. Bằng cách chứng minh tương tự, nếu thì tập hợp là một không gian con của V (đó chính là không gian ). Không gian này được gọi là không gian riêng của T ứng với trị riêng . Nhận xét: Nhận xét rằng toán tử tuyến tính được xác định duy nhất thông qua ma trận biểu diễn của nó theo một cơ sở nào đó của V nên việc khảo sát trị riêng, vector riêng và không gian riêng của toán tử tuyến tính hoàn toàn tương tự như ở ma trận. Do đó, trong phần còn lại, ta chỉ khảo sát cơ sở lý thuyết trên ma trận. 6. Định lý 2: Cho có đa thức đặc trưng p(x). Khi đó là trị riêng của A khi và chỉ khi là nghiệm của p(x).
Chứng minh: Ta có là trị riêng của A tồn tại sao cho hay hệ có nghiệm không tầm thường là nghiệm của p(x). 7. Mệnh đề: Nếu là trị riêng bội k của A thì . Suy ra, nếu là trị riêng đơn của A thì . 8. Thuật toán tìm trị riêng và cơ sở của không gian riêng Từ Định lý 5 và 6 ta suy ra, để tìm trị riêng và vector riêng của ma trận ta tiến hành lần lượt các bước sau: Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng của A; Bước 2: Giải phương trình p(x)=0 để tìm các trị riêng của A.
Bước 3: Với mỗi trị riêng vừa tìm được ở Bước 2, giải hệ ( I- A)X=0 để tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của hệ, tức là cơ sở của không gian riêng E( ) Ví dụ: Tìm trị riêng và cơ sở của không gian riêng của Giải. Ta có nên .Vậy A có các trị riêng là   và  . Không gian riêng E( )ứng với trị riêng  : Ta có: nên Do đó E( )có một cơ sở là B1 = {   }, và dim E(1)=1. Không gian riêng E( ) ứng với trị riêng  : Ta có
nên: Do đó E( ) có một cơ sở là B2 = {       } và dim E(5)=2. Ví dụ: Tìm trị riêng, vector riêng và cơ sở của không gian riêng của toán tử tuyến tính T trên R3 có ma trận biểu diễn. Giải Ta có T có ba trị riêng nên có 3 không gian riêng là Bằng kỹ thuật tính toán như ở Ví dụ trên, ta tìm được. Ta thấy các vector cơ sở của E(1), E(2), E(-1) tạo nên một bộ độc lập tuyến tính và sinh ra R3 nên các vector riêng của T tạo nên một cơ sở của R3. 9. Định nghĩa chéo hoá ma trận:
Cho . Ta nói A chéo được nếu tồn tại ma trận khả nghịch sao cho là ma trận chéo. Khi đó ta nói P làm chéo hay A chéo được bởi P. Vậy , A chéo được nếu A đồng dạng với một ma trận chéo. 10. Định lý 3: Cho với đa thức đặc trưng là p(x) và các trị riêng là . Đặt là không gian riêng của A ứng với trị riêng . Khi đó các điều sau tương đương: (i) A chéo được. (ii) và (iii) Nếu là một cơ sở của thì là một cơ sở của Kn. Hơn nữa, nếu thì trong đó xuất hiện ki lần, i = 1,2, ,r. Tích được gọi là dạng chép của A. 11. Hệ quả:
Nếu ma trận có đúng n trị riêng phân biệt thì A chéo được. 12. Thuật toán chéo hóa ma trận: Dựa vào Định lý 10 ta có thuật toán sau để xác định A có chéo được không và tìm dạng chéo hóa của nó (nếu có). Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng của A từ đó suy ra các trị riêng của A. nếu A không có trị riêng nào thì A không chéo được Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 2. Bước 2: Giả sử A có r trị riêng phân biệt với số bội tương ứng .Nếu thì A không chéo được Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 3. Bước 3: Với mỗi trị riêng , tìm cơ sở của không gian riêng từ đó suy ra .Nếu tồn tại sao cho thì A không chéo được Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 4. Bước 4: Lập ma trận P với các cột của P lần lượt là các vector cơ sở của các không gian riêng . Khi đó P làm chéo A và là một dạng chéo của A với các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các trị riêng ứng với các vector riêng tạo nên P, trị riêng xuất hiện trên đường chéo chính lần, . Ví dụ: Xét xem ma trận A có chéo được trên R không ? Nếu được, hãy tìm ma trận P làm chéo A và viết dạng chéo của A.
; Giải. a) Ta có nên A chỉ có một trị riêng  (đơn), do đó A không chéo được. b) Ta có và (đơn) hay x = -2 (kép). Vậy A có 2 trị riêng    (kép) và  (đơn). Với trị riêng  , ta có . Suy ra . Do đó bội số của  Vậy A không chéo được. c) Ta có và Vậy A có đúng 3 trị riêng phân biệt nên A chéo được. Với ta có .Vậy E1 có một cơ sở là
Với ta có .Vậy E2 có một cơ sở là Với ta có . Vậy E3 có một cơ sở là Đặt .Khi đó P làm chéo A và dạng chéo tương ứng là d) Ta có . Do đó A có các trị riêng (đơn) và (bội 2). Không gian riêng có một cơ sở là , không gian riêng có một cơ sở là . Do đó là cơ sở của IR3 và ta có ma trận P sau đây chéo hóa A: Dạng chéo tương ứng của A là
Ví dụ: Cho T là toán tử tuyến tính trên R3 có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là: Đa thức đặc trưng của A là: Do đó T có các trị riêng là và Ta có nên có cơ sở gồm hai vector (1,0,2), (0,1,2).Tương tự,
nên có cơ sở (1,-3,-3). Vì nên T chéo hóa được. Ma trận biểu diễn T đối với cơ sở là với VI. KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU 1. Định nghĩa 1: Cho V là một không gian vector trên trường K. Khi đó, nếu ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính thì f được gọi là một dạng tuyến tính hay một phiếm hàm tuyến tính trên V. Đặt thì là một không gian vector, được gọi là không gian đối ngẫu của V.
Nhận xét: Khi V hữu hạn chiều và dimV = m thì dim V*= m, vì Ví dụ: a) Cho .Nếu định nghĩa ánh xạ bởi (1) thì f là một phiếm hàm tuyến tính trên Kn và ma trận biểu diễn f đối với cơ sở chính tắc là Hơn nữa, mọi phiếm hàm tuyến tính f đều có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là ma trận dòng nên f được xác định bởi công thức (1). b)Với mỗi , ta gọi hàm vết của A là Khi đó tr là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian vector vì . 2. Định lý: Cho V là một không gian vector m chiều trên K và là một cơ sở của V. Khi đó tồn tại duy nhất một cơ sở của thỏa
(2) Hơn nữa, với mọi ta có (3) và với mọi ta có (4) Chứng minh: Với mỗi i = 1,2, ,n ta có duy nhất một phiếm hàm tuyến tính fi trên V thỏa Khi đó tập hợp độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu thì với mọi j ta có (5) Do đó, nếu f = 0 thì nên B* độc lập tuyến tính trong V*. Mà dim V* = n nên B* chính là một cơ sở của V*. Đồng thời từ (5) ta cũng có (3).
Tương tự, nếu thì với mọi j=1,2, ,n ta có Do đó biểu thức biểu diễn u dưới dạng tổ hợp tuyến tính của B là: 3. Định nghĩa 2: Cơ sở B* xác định như trong Định lý 3 được gọi là cơ sở đối ngẫu của B. Và do biểu thức (4), ta gọi fi là hàm tọa độ thứ i theo cơ sở B. Ví dụ. Cho . Khi đó B là một cơ sở của R3 , và với mọi ta có: (1) Gọi là cơ sở đối ngẫu của B. Khi đó nên từ (1) suy ra . Tương tự ta có và (Bài toán ngược). Cho là không gian các đa thức bậc và là ba số thực đôi một khác nhau. Với mỗi i=1,2,3 đặt
xác định bởi. Khi đó dễ dàng chứng minh là một cơ sở của V*. Thật vậy, với mọi nếu thì . Lần lượt lấy suy ra. . Mà nên Do đó B* độc lập tuyến tính, mà nên nó chính là một cơ sở của V*. Để tìm cơ sở B của V sao cho B* là cơ sơ đối ngẫu, ta đặt: sao cho với Suy ra
Từ (2) và (3) suy ra t2, t3 là nghiệm của p(x) nên Mà từ (1) ta có nên suy ra do đó Tương tự cũng có và BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1: Cho V là không gian các đa thức có bậc là toán tử đạo hàm trên V. Hãy xác định Im(D) và ker(D).
Bài 2:Tồn tại hay không một ánh xạ tuyến tính f từ R3 đến R2 thỏa và Bài 3: Cho là các vector trong R2.Tồn tại hay không ánh xạ tuyến tính f từ R2 sang R2 sao cho i=1,2,3. Bài 4: Cho f là ánh xạ từ R3 sang R3 được định nghĩa bởi: a) Kiểm chứng f là ánh xạ tuyến tính. b) Nếu u=(a,b,c) là một vector của IR3, tìm điều kiện của a,b,c sao cho , từ đó hãy tìm hạng của f. c) Tìm điều kiện của a,b,c để . Xác định không gian ker(f). Bài 5: Tìm một ánh xạ tuyến tính f từ R3 đến R3 có Im(f) là Bài 6: Cho và . Chứng minh rằng là một toán tử tuyến tính trên V.
Bài 7: Cho và là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng không khả nghịch Bài 8: Tìm hai toán tử tuyến tính sao cho gf =0 nhưng . Bài 9: Cho f là ánh xạ tuyến tính từ R3 sang R2 được định nghĩa bởi: a) Xác định ma trận biểu diễn của f đối với 2 cơ sở chính tắc B0 (của R3) và (của R2). b) Với cặp cơ sở và , trong đó thì ma trận biểu diễn của f đối với B,B’ là gì? Bài 10: Cho f là một toán tử tuyến tính trên R3 có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là . Tìm một cơ sở cho Im(f) và một cơ sở cho ker (f). Bài 11: Cho f là toán tử tuyến tính trên R2 được xác định bởi .
2 a) Tìm , trong đó B0 là cơ sở chính tắc của R . b) Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở được sắp với . c) Tìm tất cả các số thực sao cho toán tử tuyến tính khả nghịch. Bài 12: Cho f là toán tử tuyến tính trên R3 được xác định bởi: a) Tìm ma trận biểu diễn f đối với cơ sở chính tắc của R3. b) Tìm ma trận biểu diễn f đối với cơ sở được sắp c) với Chứng minh rằng f khả nghịch và tìm f-1. Bài 13: Tìm đa thức đặc trưng của các ma trận sau đây:
Bài 14: Tìm trị riêng , cơ sở của không gian con riêng của các ma trận sau đây trên R, từ đó suy ra dạng chéo của nó trong trường hợp nó chéo hóa được: Bài 15: Chứng minh rằng các ma trận sau đây không chéo hóa được trên R. Bài 16: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây chéo được trên R và tìm dạng chéo của nó.
Chương 6 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀDẠNG TOÀN PHƯƠNG I.DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa. Cho V là một không gian vector n chiều trên R. Ánh xạ được gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu tuyến tính theo từng biến u, v, nghĩa là và Dạng song tuyến được gọi là đối xứng nếu. Dạng song tuyến được gọi là phản đối xứng nếu Giả sử là một dạng song tuyến tính trên V và là một cơ sở được sắp của V. Khi đó với hai vector u, v bấy kỳ thuộc V, tồn tại các số thực sao cho và Khi đó
Đặt ta được Ma trận xác định như trên được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính trong cơ sở B, ký hiệu là . Khi đó ta có thể viết dạng song tuyến tính dưới dạng ma trận như sau. Lưu ý.Nếu V= Rn và cơ sở B của V không được chỉ rõ thì ta ngầm hiểu B là cơ sở chính tắc của V. Ví dụ: Dạng song tuyến tính có ma trận là . Nhận xét. Ma trận của dạng song tuyến đối xứng trong một cơ sở B bất kỳ là một ma trận đối xứng. Cũng như vậy, ma trận của dạng song tuyến tính phản đối xứng là một ma trận phản đối xứng. 2. Định lý (Đổi cơ sở cho dạng song tuyến tính).
Giả sử là một cơ sở được sắp khác của V, và P = (pij) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. Khi đó, nếu A, A’ là các ma trận của dạng song tuyến tính trên V theo thứ tự trong cơ sở B và B’ thì Chứng minh: Ta có Nghĩa là Nhận xét.Với A và A’ xác định như trên thì 3. Định nghĩa hạng của dạng song tuyến tính. Cho là một dạng song tuyến tính trên V và A là ma trận của theo cơ sở B bất kỳ của V. Khi đó hạng của ma trận A cũng được gọi là hạng của dạng song tuyến tính . II. DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1. Định nghĩa.
Cho V là một không gian vector n chiều trên R và là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Khi đó ánh xạ được gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính . Nếu A là ma trận của dạng song tuyến tính trong một cơ sở B nào đó thì A cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở ấy. Ta có A là ma trận đối xứng, nghĩa là AT = A và khi đó . Chú ý rằng khi cho Q thì hoàn toàn xác định vì dễ thấy rằng Ví dụ đơn giản nhất của dạng toàn phương là với X = [u]B trong đó B là một cơ sở nào đó của V. Những ví dụ dưới đây sẽ cho thấy tương ứng giữa ma trận đối xứng A và dạng toàn phương XTAX: Ví dụ. Cho .Tính XTAX đối với các ma trận sau: Giải.
a) Ta có b) Ta có . Ví dụ.Với vector cho Hãy viết dạng toàn phương này dưới dạng XTAX. Giải. Các hệ số của sẽ nằm trên đường chéo của A. Để A là ma trận đối xứng, các hệ số của xi xj với sẽ phải chia đều giữa các phần tử (i,j) và (j,i) của A. Hệ số của x1x3 bằng 0. Dễ dàng kiểm tra lại rằng: 2. Định nghĩa (dạng chính tắc của một dạng toàn phương). Cho V là một không gian vector n chiều và Q là một dạng toàn phương trên V. Khi đó ta nói Q đưa được về dạng chính tắc nếu tồn
tại một cơ sở của V sao cho ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở này là một ma trận đường chéo, nghĩa là và . Ta sẽ chứng tỏ rằng một dạng toàn phương luôn có thể đưa được về dạng chính tắc. 3. Phương pháp Lagrange (Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc) Ý tưởng cơ bản của phương pháp Lagrange là từng bước đưa dạng toàn phương về dạng (3) với chỉ có tối đa n-1 biến : Bài toán được chia làm 2 trường hợp sau: Trường hợp 1. Tồn tại i sao cho Không mất tính tổng quát, giả sử Khi đó ta biến đổi.
Đặt và ta được có dạng (3) với là một dạng toàn phương với n-1 biến. Tiếp tục thuật toán với Q1, sau một số hữu hạn bước ta sẽ đưa Q về dạng chính tắc. Cuối cùng, để viết được ma trận đổi cơ sở, ta viết lại phép biến đổi trên dưới dạng
Phép chuyển cơ sở sang cơ sở mới có ma trận chuyển cơ sở là. Thuật toán Lagrange trình bày trên đây còn được gọi là "khử các số hạng chữ nhật". Trường hợp 2. Với mọi i=1,2, ,n ta có Ta tìm cách đưa về Trường hợp 1. + Nếu thì dạng toàn phương chỉ còn n-1 biến và chuyển sang xử lý cho . + Nếu ngược lại ta làm tiếp tục như sau: Giả sử chẳng hạn . Ta thực hiện biến đổi theo công thức sau:
Khi đó ta được cơ sở mới là với ma trận chuyển cơ sở là Sau phép biến đổi trên, dạng toàn phương Q có dạng và vì vậy, với phép biến đổi tọa độ trên, Trường hợp 2 đuợc đưa về Trường hợp 1 đã khảo sát ở trên. Ví dụ. Cho dạng toàn phương Q trong R4. Ta biến đổi như sau Đặt và khử số hạng chữ nhật của x4:
Đặt và khử số hạng chữ nhật của x3: Đặt Đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho. Phép biến đổi đã tiến hành là hay Ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở của dạng chính tắc là
Như vậy cơ sở của dạng chính tắc là 4. Dạng chuẩn tắc. Dựa vào phương pháp Lagrange ta suy ra rằng mọi dạng toàn phương Q đều có thể đưa được về dạng chính tắc dạng: với . (1) Đánh số lại nếu cần, ta có thể giả sử và . Khi đó dùng phép biến đổi
Trong hệ toạ độ mới, Q sẽ có dạng: (2) Dạng (2) được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương Q. 5. Định lý (Luật quán tính Sylvester). Đối với mỗi dạng toàn phương cho trước trên không gian vector n chiều, số s các số hạng mang dấu "+" và số p các số hạng mang dấu "-" của dạng toàn phương chuẩn tắc là không đổi. Hay nói cách khác, hai số s và p của một dạng toàn phương chuẩn tắc không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở chuẩn tắc. Theo luật quán tính Sylvester thì mỗi dạng toàn phương có số s các số hạng mang dấu "+" và số p các số hạng mang dấu "-" là không đổi. Khi đó ta gọi s là chỉ số dương quán tính và p là chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương Q. Cặp số (s,p) được gọi là cặp chỉ số quán tính và hiệu s-p được gọi là ký số của dạng toàn phương. 6. Dạng toàn phương xác định. Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên R và Q là một dạng toàn phương trên V. Khi đó Q được gọi là dạng toàn phương
xác định dương nếu .Tương tự, Q được gọi là dạng toàn phương xác định âm nếu . Rõ ràng nếu Q là một dạng toàn phương xác định âm thì –Q là một dạng toàn phương xác định dương và ngược lại. Do đó ta chỉ cần khảo sát dạng toàn phương xác định dương. Dưới đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để một dạng toàn phương là xác định dương. Giả sử dạng toàn phương có công thức biểu diễn trong một cơ sở của V là 7. Mệnh đề. Nếu Q(u) là một dạng toàn phương xác định dương thì ta có những điều kiện sau đây: (i) (ii) trong đó là ma trận của dạng toàn phương. Chứng minh. Vì Q xác định dương nên Gọi là cơ sở trong đó Q có dạng chính tắc:
. Theo (i), .Gọi A’ là ma trận của Q trong B’ và P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. Khi đó ta có Từ đó suy ra . Chú ý rằng các điều kiện i) và ii) trong mệnh đề nói trên đều không phải là điều kiện đủ. Ví dụ. trong R2, dạng toàn phương. có nhưng nếu thì . Cũng trong R2, dạng toàn phương có , nhưng . Dưới đây ta sẽ chứng minh một điều kiện cần và đủ để một dạng toàn phương là xác định dương. 8. Định lý Sylvester. Điều kiện cần và đủ để một dạng toàn phương xác định dương là tất cả các định thức con chính của ma trận của nó đều dương.
Chứng minh: Giả sử Q(u) là dạng toàn phương xác định dương. Xét một cơ sở bất kỳ của không gian vector V. Gọi là không gian con sinh bởi các vector . Nếu thì . Do đó . Nếu xét Q(u) như một dạng toàn phương trên Wk thì Q(x) cũng xác định dương. Do đó định thức của nó cũng dương: Cho k nhận mọi giá trị từ 1 đến n ta nhận được điều cần chứng minh. Giả sử .Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi: Nếu thì tồn tại ít nhất một . Suy ra .Vậy Q(u) xác định dương.
III. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN EUCLIDE 1. Định nghĩa. Cho V là một không gian vector trên R. Khi đó một tích vô hướng trên V là một ánh xạ thỏa mãn các tính chất sau: Với mọi và R ta có: (i) (ii) (iii) (iv) khi , và khi u = 0. Một không gian vector trên R có tích vô hướng được gọi là một không gian Euclide. Dễ thấy rằng từ các tiên đề trên ta suy ra ngay các tính chất sau: (v) (vi)
Nhận xét.Từ định nghĩa ta thấy ngay một không gian vector con của một không gian Euclide cũng là một không gian Euclide. Ví dụ: a) Tập hợp tất cả các vector tự do trong không gian R3 với tích vô hướng là tích vô hướng quen thuộc là một không gian Euclide. Tổng quát , xét không gian vector Rn.Với mọi trong Rn, ta đặt Khi đó là một tích vô hướng (được gọi là tích vô hướng thông thường) và Rn trở thành một không gian có Euclide. Trong chương này, khi nói đến không gian Rn mà không có chú thích gì thêm thì ta hiểu đó là không gian Euclide với tích vô hướng thông thường. b) Xét không gian vector (C[a,b],R) gồm các hàm thực hiện liên tục trên [a,b]. Khi đó, (C[a,b],R) là một không gian Euclide với tích vô hướng của hai hàm f và g được định nghĩa như sau: Tích vô hướng trên được gọi là tích vô hướng tích phân. 2. Định nghĩa độ dài vector. Xét V là một không gian Euclide và . Khi đó được gọi là chuẩn hay độ dài của vector u, ký hiệu bởi , nghĩa là .Nếu thì ta nói u là một vector đơn vị.
Dễ thấy rằng theo định nghĩa của tích vô hướng ta có và chỉ có vector 0 có độ dài bằng 0. Ví dụ. a) Trong không gian Euclide gồm tất cả các vector thông thường trong R3, độ dài được xác định trong định nghĩa là độ dài quen thuộc của các vector. b) Trong không gian Euclide Rn với tích vô hướng thông thường, độ dài của vector là c) Trong không gian (C[a,b],R) gồm các hàm thực liên tục trên [a,b] với tích vô hướng tích phân, độ dài của vector được định bởi Từ định nghĩa ta suy ra các bất đẳng thức quen thuộc về độ dài vector như trong định lý sau: 3. Định lý 1. Với u,v là hai vector bất kỳ trong không gian Euclide V ta có i) ii) Bất đẳng thức i) được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Bất đẳng thức ii) được gọi là bất đẳng thức tam giác.
Chứng minh. i)Bất đẳng thức i) hiển nhiên nếu u = 0. Xét , đặt Khi đó nên và do đó ii)Ta có Từ đây, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta suy ra và do đó Định lý được chứng minh. Ví dụ: Trong không gian Rn với tích vô hướng thông thường, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng
Trong không gian (C[a,b],R) với tích vô hướng tích phân, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có dạng 4. Định nghĩa về trực giao và trực chuẩn. Cho V là một không gian Euclide. Khi đó: i) Hai vector được là trực giao nếu ii) Hệ vector là trực giao nếu các vector này trực giao từng đôi một, nghĩa là nếu iii) Hệ vector là trực chuẩn nếu đó là hệ trực giao gồm toàn các vector đơn vị. 5. Định lý 2. Mọi hệ vector trực giao khác không trong một không gian Euclide đều độc lập tuyến tính. Chứng minh. Giả sử với . Khi đó bằng cách nhân vô hướng hai vế của đẳng thức với ui và sử dụng tính trực giao của họ vector đã cho ta được.
Mà do nên Điều này chứng tỏ độc lập tuyến tính. 6. Định nghĩa cơ sở trực giao. Một cơ sở trực giao (tương ứng, cơ sở trực chuẩn) của một không gian Euclide là một cơ sở mà các vector của nó tạo thành một hệ trực giao (tương ứng, trực chuẩn). 7. Định lý 3. Cho V là một không gian Euclide n chiều. Khi đó luôn tồn tại trong V một cơ sở trực chuẩn. Định lý trên được chứng minh thông qua quá trình giao hóa Gram – Schmidt sau đây: Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt Bước 1: Chọn là một cơ sở bất kỳ của V. Bước 2: Xây dựng cơ sở trực giao của V như sau:
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng các vector xây dựng được trong Bước 2 tạo thành một hệ trực giao khác không của V (các kết quả khác là hiển nhiên và việc kiểm chứng được dành cho độc giả). Trước hết dễ thấy rằng tính khác không của hệ vector được suy trực tiếp từ tính độc lập tuyến tính của hệ này. Ta kiểm chứng bằng qui nạp theo k rằng vk trực giao với . Thật vậy, từ tính chất của tích vô hướng ta có với mọi : Nhưng theo giả thiếp qui nạp với mọi nên hệ thức trên trở thành
và khẳng định trên được chứng minh. Ví dụ. Trong không gian R4 cho các vector Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian . Giải. Dễ thấy độc lập tuyến tính và do đó chúng tạo thành một cơ sở trực chuẩn của W. Ta xây dựng một cơ sở trực chuẩn của W bằng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt. Đặt Bây giờ chỉ cần chuẩn hóa các vector :
Khi đó là một cơ sở trực chuẩn của W. 8. Định nghĩa ma trận trực giao. Cho . Ta nói A là trực giao nếu , nghĩa là A khả nghịch và A-1 = AT. Ví dụ. Cho . Ta có A trực giao vì . Suy ra A khả nghịch và 9. Định lý 4. Nếu là ma trận đối xứng thì có ma trận trực giao sao cho P-1AP là ma trận chéo. Khi đó ta nói A được chéo bởi ma trận trực giao P. Thuật toán chéo hóa một ma trận đối xứng bằng một ma trận trực giao. Để chéo hóa một ma trận đối xứng bằng một ma trực giao ta thực hiện các bước sau. n Bước 1: Tìm một cơ sở B1 của R gồm toàn những vector riêng của A.
Bước 2: Xây dựng cơ sở trực giao B2 từ cơ sở B1 bằng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt. Suy ra cơ sở trực chuẩn B của Rn gồm những vector riêng của A. n Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R và . Khi đó P là ma trận trực giao cần tìm và . Ví dụ. Cho ma trận đối xứng Ta chéo hóa A bởi một ma trận trực giao P. Bước 1. Tìm một cơ sở của R3 gồm toàn những vector riêng của A: Ta có đa thức đặc trưng của A là nên A có 2 trị riêng là c1= 0 và c2 = 3. Cơ sở của không gian riêng E1=E(0) là Cơ sở của không gian riêng E2=E(3) là Vậy một cơ sở của R3 gồm toàn những vector riêng của A là
3 Bước 2.Từ cơ sở B3 , ta xây dựng được cơ sở trực chuẩn B của R với Gọi là cơ sở chính tắc 3 của R . Ma trận chuyển cơ sở từ B0 sang B là Khi đó ta có P là ma trận trực giao cần tìm và Đưa một dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Xét dạng toàn phương với ma trận A của dạng toàn phương trong cơ sở chính tắc của Rn là ma trận đối xứng. Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm những vector riêng của A:
. là ma trận chuyển cơ sở trực chuẩn, cho nên P là ma trận trực giao, nghĩa là: . Giả sử A’ là ma trận của Q trong B. Thế thì A’ là ma trận chéo với đường chéo là các trị riêng tương ứng với các vector riêng uj và theo (2) ta có: . Nếu có tọa độ đối với cơ sở B là: thì do A’ có dạng chéo nên Do nên A’ và A có cùng đa thức đặc trưng và chính là các trị riêng của A. Ví dụ. Giả sử Q là dạng toàn phương trên không gian vector Euclide R3 xác định bởi với và Đa thức đặc trưng của A là
Vậy c1= 2 và c2 = -1 là các trị riêng của A. Cơ sở của không gian riêng là Cơ sở của không gian riêng là .Vậy một cơ sở của R3 gồm toàn những vector riêng của A là . Thực hiện quá trình trực giao hóa, ta thu được một cơ sở trực chuẩn. Và ma trận P của phép chuyển cơ sở chính tắc sang cơ sở trực chuẩn là
Nếu có tọa độ đối với cơ sở là thì hay thay bằng biểu thức trên trong dạng toàn phương cho Q(u), ta được dạng chính tắc toàn phương gồm các tổng bình phương. BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1. Viết ma trận của dạng song tuyến tính trên R3, ở đây a) b)
Bài 2. Tìm ma trận của dạng toàn phương trên R3 có biểu thức tọa độ sau: a) b) c) Bài 3.Cho các dạng toàn phương sau đây được viết dưới dạng ma trận. Hãy viết chúng dưới dạng thông thường: a) b) Bài 4. Tìm biểu thức tọa độ của mỗi dạng toàn phương dưới đây sau khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tương ứng: a)
Bài 5. Trong không gian R3, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toàn Lagrange: a) b) c) Bài 6. Trong không gian R4, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toán Lagrange: a) b) Bài 7. Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chuẩn tắc:
a) b) c) Bài 8. Trong không gian R4, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. Biện luận theo và về các chỉ số quán tính của các dạng toàn phương này: a) b) Bài 9. Chứng minh các cấu trúc E dưới đây là các không gian Euclide: trong đó là các số thực dương cho trước; b) trong đó là hàm thực cho trước, liên tục và dương trên [a,b]; Bài 10. Cho V là một không gian Euclide và . Chứng minh rằng:
a) b) c) d) Nếu thì u = v. e) Nếu là một tập hợp trực giao trong V thì f) Nếu là một cơ sở trực chuẩn của V thì Bài 11. Hãy xác định m để : a) b) Bài 12. Xây dựng cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn từ các cơ sở sau của R3: a) b)
Bài 13. Tìm ma trận trực giao P sao cho P-1AP là ma trận chéo. Bài 14. Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi trực giao: a) b) c) d) e) f)