Giáo trình môn học Xác suất thống kê

pdf

156 trang vanle 3410

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình môn học Xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_mon_hoc_xac_suat_thong_ke.pdf

Nội dung text: Giáo trình môn học Xác suất thống kê

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O TR ƯNG ð I H C NƠNG NGHI P I Ths.LÊ ðC V ĨNH GIÁO TRÌNH XÁC SU T TH NG KÊ HÀ N I - 2006
Ch ươ ng 1 : Phé p th . S ki n Nh ng ki n th c v gi i tí ch t hp sinh viên đãđư c h c trong ch ươ ng trì nh ph thơng. Tuy nhiên đgiú p ng ư i h c d dà ng ti p thu ki n th c c a nh ng ch ươ ng k ti p chú ng tơi gi i thi u l i m t cá ch cĩ h th ng nh ng ki n th c nà y. Phé p th ng u nhiên và s ki n ng u nhiên là bư c kh i đu đ ng ư i h c là m quen v i mơn h c Xá c su t. Trong ch ươ ng nà y chú ng tơi t rì nh bà y nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên, cá c ph ép tố n v cá c s ki n ng u nhiên, h đy đcá c s ki n đng th i ch ra cá ch phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h đy đ. Nh ng ki n th c nà ylà cn thi t đ ng ư i h c cĩ th ti p thu t t nh ng ch ươ ng ti p theo. I. Gi i tí ch t hp 1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi đhồ n thà nh m t cơng vi c, ng ư i ta ph i th c hi n m t dã y liên ti p k hà nh đng. Hà nh đng th nh t: cĩ 1 trong n 1 cá ch th c hi n Hà nh đng th hai: cĩ 1 trong n 2cá ch th c hi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hà nh đng th k: cĩ 1 trong n kcá ch th c hi n G i n là scá ch hồ n thà nh cơng vi c nĩ i trên, ta cĩ : n = n 1n2 n k Qui t c trên g i là qui t c nhân. Víd : ðđi t thà nh ph A t i thà nh ph C ph i qua thà nh ph B. Cĩ mt trong b n ph ươ ng ti n đđi t A t i B là : đư ng b , đư ng s t, đư ng khơng vàđư ng thu . Cĩ mt trong hai ph ươ ng ti n đđi t B t i C làđư ng b vàđư ng thu . H i cĩ bao nhiêu cá ch đi t A t i C? ð th c hi n vi c đi t A t i C ta ph i th c hi n m t dã y liên ti p hai hà nh đng. Hà nh đng th nh t: ch n ph ươ ng ti n đi t A t i C cĩ n1= 4 cá ch Hà nh đng th hai: ch n ph ươ ng ti n đi t B t i C cĩ n2 = 2 cá ch Vy theo qui t c nhân, s cá ch đi t A t i C là n= 4.2 = 8 cá ch 2.Qui t c c ng: ðhồ n thà nh cơng vi c ng ư i ta cĩ th ch n m t trong k ph ươ ng án. Ph ươ ng án th nh t: cĩ 1 trong n 1 cá ch th c hi n Ph ươ ng án th hai: cĩ 1 trong n 2 cá ch th c hi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph ươ ng án th k: cĩ 1 trong n k cá ch th c hi n G i n là scá ch hồ nthà nh cơng vi c nĩ i trên, ta cĩ : n = n 1 + n2 +. . . + nk Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 1
Qui t c trên g i là qui t c c ng Víd : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà Ni, ba sinh viên Nam ðnh và ba sinh viên Thanh Hố . Cn ch n hai sinh viên cù ng t nh tham gia đi thanh niên xung kí ch. H i cĩ bao nhiêu cá ch ch n. Ph ươ ng án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà Ni cĩ n1= 1 cá ch Ph ươ ng án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ðnh cĩ n2= 3 cá ch Ph ươ ng án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hốcĩ n3= 3 cá ch Theo qui t c c ng ta cĩ scá ch ch n hai sinh viên theo yêu c u: n = 1 + 3 + 3 = 7 cá ch 3.Hố n v Tr ư c khi đư a ra khá i ni m m t hố n vc a n ph n t ta xé t víd sau:. Víd :Cĩ ba h c sinh A,B,C đư c s p x p ng i cù ng m t bà n h c. H i cĩ bao nhiêu cá ch sp xp? Cĩ mt trong cá c cá ch s p x p sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Nh n th y r ng: ði ch bt kỳ hai h c sinh nà o cho nhau ta đư c m t cá ch s p x p khá c. T mt cá ch s p x p ban đu, b ng cá ch đi ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta cĩ th đư a v cá c cá ch s p x p cị n l i. Mi m t cá ch s p x p nh ư trên cị n đư c g i là mt hố n vc a ba ph n t A, B, C. Tng quá t v i t p h p g m n ph n t ta cĩđnh nghĩ a sau: 3.1 ðnh nghĩ a: Mt hố n vc a n ph n t là mt cá ch s p x p cĩ th t n ph n t đĩ. 3.2 Shố n vc a n ph n t : Vi m t t p g m n ph n t đã cho. S tt ccá c hố n v c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng cơng th c tí nh P n. ðt o ra m t hố n vc a n ph n t ta ph i th c hi n m t dã y liên ti p n hà nh đng. Hà nh đng th nh t: Ch n 1 ph n t xp đu cĩ n cá ch ch n Hà nh đng th hai: Ch n 1 ph n t xp th 2 cĩ n-1 cá ch ch n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hà nh đng cu i: Ch n ph n t cị n l i x p cu i cĩ 1 cá ch ch n Theo qui t c nhân, s cá ch t o ra 1 hố n vc a n ph n t là Pn = n.(n-1) 2.1= n! 4. Ch nh h p khơng l p 4.1 ðnh nghĩ a: Mt ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t là mt cá ch s p x p cĩ th t gm k ph n t khá c nhau l y t n ph n t đã cho. Víd :Cĩ 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hã y l p t t ccá c s gm 2 ch skhá c nhau Cá c s đĩlà : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54. Mi m t s trên chí nh là mt cá ch s p x p cĩ th t gm hai ph n t khá c nhau l y t năm ph n t là năm ch sđã cho. Vy m i s làch nh h p khơng l p ch p hai c a n ăm ph n t . Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 2
4.2 Scá c ch nh h p khơng l p: Scá c ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t kí hi u k k là A n . Ta xây d ng cơng th c tí nh A n . ðt o ra m t ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dã y liên ti p k hà nh đng. Hà nh đng th nh t: ch n 1 trong n ph n t đ xp đu: cĩ n cá ch Hà nh đng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t đ xp th 2: cĩ n -1 cá ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hà nh đng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t đ xp cu i: cĩ n-k+1 cá ch Theo qui t c nhân: Scá ch t o ra m t ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t là : k A n = n(n-1) (n-k+1) ð d nh ta s d ng cơng th c sau: k n( − k) 1.2 !n A n =n.(n −1) ( n − k + )1 =n.(n −1) ( n − k + ).1 = n( − k) 1.2 n( − k)! 5. Ch nh h p l p: ð hi u th nà o là mt ch nh h p l p ta xé t víd sau: Víd : Hã y l p cá c s gm 2 ch s t 4 ch s: 1, 2, 3, 4. Cá c s đĩlà : 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. M i s trong cá c s nĩ i trên là mt cá ch s p x p cĩ th t gm hai ch s, m i ch s cĩ th cĩ mt đ n hai l n l y t bn ch sđã cho. Mi cá ch s p x p nh ư vy cị n g i là mt ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . Tng quá t hố ta cĩđnh nghĩ a sau: 5.1 ðnh nghĩ a: Mt ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là mt cá ch s p x p cĩ th t gm k ph n t mà mi ph n t ly t n ph n t đã cho cĩ th cĩ mt nhi u l n. 5.2 Scá c ch nh h p l p ch p k : ˆ k S cá c ch nh h p l p ch p k c a n ph n t đư c ký hi u là A n . Ta sđư a ra cơng th c ˆ k tí nh A n . ðt o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dã y liên ti p k hà nh đng. Hà nh đng th nh t: ch n 1 trong n ph n t xp đu cĩ n cá ch Hà nh đng th hai: ch n 1 trong n ph n t xp th 2 cĩ n cá ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hà nh đng th k: ch n 1 trong n ph n t xp th k cĩ ncá ch ˆ k k Theo qui t c nhân ta cĩ : A n = n 6.T hp: Cá c khá i ni m trên luơn đýđ n tr t t c a t p h p ta đang quan sá t. Tuy nhiên trong th c t cĩ nhi u khi ta ch cn quan tâm t i cá c ph n t c a t p con c a m t tp h p mà khơng c n đýđ n cá ch s p x p t p con đĩ theo m t tr t t nà o. Tđây ta cĩkhá i ni m v t hp nh ư sau 6.1 ðnh nghĩ a: Mt t hp ch p k c a n ph n t là mt t p con g m k ph n t ly t n ph n t đã cho. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 3
Víd : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i cĩ bao nhiêu t p con g m hai ph n t ? Cá c t p con đĩlà {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} Vy t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} cĩsá u t p con v a nêu. k 6.2: S t hp ch p k c a n ph n t cĩký hi u là Cn Bng cách đi ch các ph n t cho nhau, mt t hp ch p k c a n ph n t cĩ th t o ra k! ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t . k k Cĩ Cn t hp ch p k c a n ph n t t o ra A n ch nh h p khơng l p ch p k c a n ph n t . k k An !n Vy ta cĩ : Cn = = !k n(!k − k)! 7.T hp l p: 7.1 ðnh nghĩ a: Mt t hp l p ch p k c a n ph n t là mt nhĩ m khơng phân bi t th t gm k ph n t , m i ph n t cĩ th cĩ mt đ n k l n l y t n ph n t đã cho. Víd : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t Cá c t hp l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c} ˆ k 7.2 S cá c t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là :. Cn Vic t o ra m t t hp l p ch p k c a n ph n t tươ ng đươ ng v i vi c x p k qu cu gi ng nhau và o n ng ăn ké o đt li n nhau, hai ng ăn liên ti p cù ng chung m t vá ch ng ăn. Cá c vá ch ng ăn tr vá ch ng ăn đu và cu i cĩ th xê d ch vàđi ch cho nhau. Mi cá ch sp x p k qu cu gi ng nhau và o n ng ăn là mt cá ch b trí n+k-1 ph n t ( gm k qu cu và n-1 vá ch ng ăn) theo th t tph i sang trá i. Cá ch b trí khơng đi khi cá c qu cu đi ch cho nhau ho c cá c vá ch ng ăn đi ch cho nhau. Cá ch b trí thay đi khi cá c qu cu vàcá c vá ch ng ăn đi ch cho nhau. Ta cĩ (n+k-1)! cá ch b trí n+k-1 ph n t (gm k qu cu và n-1 vá ch ng ăn). Scá ch đi ch k qu cu là k! , s cá ch đi ch n-1 vá ch ng ăn là (n-1)! . Vy ta cĩ scá c t hp l p ch p k c a n ph n t là : ( 1)! ˆ k n + k − k C = =C 1 n k (! n −1)! n+k − Víd :T i m t tr i gi ng gàcĩ ba lo i gà gi ng A, B, C. Mt khá ch hà ng và o đnh mua 10 con. H i cĩ bao nhiêu cá ch mua ( gi s rng s lư ng cá c gi ng gà A, B, C m i lo i c a tr i đ u l n h ơn 10). Ta th y m i m t cá ch mua 10 con gà chí nh là mt t hp l p ch p 10 c a 3 ph n t . Vy ˆ 10 10 scá ch mua là : C3 = C12 = 66 8. Nh th c Newton 2 2 2 0 2 0 1 1 1 1 0 2 Ta cĩ : a( + )b = a + 2ab + b = C 2a b + C2a b + C2a b 3 3 2 2 3 0 3 0 1 2 1 2 1 2 3 0 3 a( + )b = a + a3 b + 3ab + b = C3a b + C3a b + C3a b + C3a b M rng ra: n 0 n 0 1 n−1 1 k n−k k n 0 n a( + )b = Cna b + Cna b + + Cn a b + + Cna b Cơng th c trên g i là cơng th c nh th c Newton. Ta ch ng minh cơng th c nh th c Newton theo qui n p Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 4
V i n = 2 ta cĩ cơng th c đúng. Gi s cơng th c đúng v i n = m t c là : m 0 m 0 1 m−1 1 m 0 m a( + )b = Cma b + Cma b + + Cma b Ta s ch ng minh: a( )b m+1 C0 a m+1b0 C1 a mb1 Cm+1a 0bm+1 + = m+1 + m+1 + + m+1 Th t v y: m+1 m 0 n 0 k m−k k m 0 m a( + )b = a( + )b a( + )b =(Cma b + + C ma b + + C ma b )( a + )b => ( ) m+1 ( 0 1 ) m+1 0 ( k −1 k ) m+1−k k ( m−1 m ) 0 m+1 a + b = Cm + Cm a b + + Cm + Cm a b + + Cm + Cm a b M t c: Ck−1 Ck Ck suy ra: khá m + m = m+1 a( )b m+1 C0 a m+1b0 C1 a m b1 Cm+1a 0b m+1 . + = m+1 + m+1 + + m+1 Theo nguyên lý qui n p cơng th c nh th c Newton đư c ch ng minh. 12 1 Víd :Tì m h sc a x trong khai tri n: (x + )20 x2 1 1 Ta cĩ : x( + )20 =C0 x 20 + + Ck x 20 −2k + + C20 . x 20 20 20 x 20 Xé t 20 - 2 k = 12 12 4 => k = 4 V y h sc a x là : C20 =4745 II. Phé p th , s ki n 1.Phé p th ng u nhiên và khơng ng u nhiên Mt phé p th cĩ th coi là mt thí nghi m, m t quan sá t cá c hi n t ư ng t nhiên, cá c hi n t ư ng xã hi vàcá c v n đkĩ thu t v i cù ng m t h điu ki n nà o đĩ. Trong cá c lo i phé p th cĩ nh ng phé p th mà khi b t đu ti n hà nh th c hi n ta đã bi t đư c k t qusx y ra sau khi th nh ư đun n ư c điu ki n bì nh th ư ng (dư i áp su t 1 o atmotphe) thìđ n 100 C n ư c s sơi, ho c cho dung d ch NaOH khơng d ư và o dung d ch HCl cũ ng khơng d ư ta thu đư c mu i ăn NaCl và nư c H 2O. Nh ng phé p th mà khi b t đu ti n hà nh th ta bi t đư c nh ng k t qunà o sx y ra sau khi th đư c g i làcá c phé p th khơng ng u nhiên. Tuy nhiên cĩ rt nhi u lo i phé p th mà ngay khi b t đu ti n hà nh phép th ta khơng th bi t đư c nh ng k t qunà o sx y ra sau khi th ch ng h n nh ư khi gieo 100 h t đu gi ng, s h tn y m m sau m t th i gian gieo cĩ th là t 0 đ n 100 ho c khi cho p 10 qu tr ng thì s tr ng gàcĩ th n ra gà con là t 0 đ n 10 con. Nh ng phé p th lo i nà y g i là nh ng phé p th ng u nhiên. Trong giá o trì nh nà y chú ng ta ch quan tâm t i nh ng phé p th ng u nhiên, đĩlà nh ng phé p th mà khi b t đu ti n hà nh th ta ch ưa th bi t nh ng k t qunà o sx y ra. ð đơ n gi n t đây tr đi khi nĩ i t i phé p th ta ph i hi u đy làphé p th ng u nhiên Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 5
2. S ki n: Cá c k t qucĩ th cĩc a m t phé p th ng v i m t b cá c điu ki n xá c đnh nà o đĩg i làcá c s ki n ng u nhiên ho c đơ n gi n g i làcá c s ki n ho c cá c bi n c . Ta th ư ng l y cá c ch cá i A, B, C, D. . . . ho c A i, B j, C k, D n . . đchcá c s ki n. Víd 1: Tung m t con xú c x c cân đi vàđng ch t cĩ th cĩcá c s ki n sau: A: S ki n xu t hi n m t ch n B: S ki n xu t hi n m t l A i: S ki n xu t hi n m t cĩ i ch m. Víd 2: Trong m t giđng hoa qucĩ ch a 1 qu cam, 1 ququý t, 1 quđào và 1 qu lê. Ch n ng u nhiên ra 2 qucĩ th cĩcá c s ki n sau: A: Hai quđư c ch n g m 1 cam 1 quý t B: Hai quđư c ch n g m 1 cam 1 đào C: Hai quđư c ch n g m 1 cam 1 lê D: Hai quđư c ch n g m 1 quý t 1 lê E: Hai quđư c ch n g m 1 quý t 1 đào G: Hai quđư c ch n g m 1 đào 1 lê 3. S ki n t t y u và s ki n khơng th cĩ S ki n t t y u ho c s ki n ch c ch n là s ki n nh t thi t ph i x y ra sau khi phé p th đư c th c hi n. Ta kí hi u s ki n nà y là Ω S ki n khơng th cĩ ho c s ki n b t kh ho c s ki n r ng là s ki n khơng bao gi x y ra sau khi th . Ta kí hi u s ki n nà y là φ . Víd :ð ng t i Hà Ni né m m t hị n đá S ki n đá rơi xu ng đa gi i Vi t Nam là s ki n t t y u S ki n đá rơi xu ng ði Tây D ươ ng là s ki n bt kh . 4. Quan h gi a cá c s ki n, hai s ki n b ng nhau S ki n A đư c g i làké o theo s ki n B n u A x y ra thì B cũ ng x y ra vàkí hi u A ⊂ B ( ho c A ⇒ B). Nu A ké o theo B và B ké o theo A thì ta nĩ i A b ng B và vi t A = B. Trong xá c su t hai s ki n b ng nhau đư c coi là mt Víd : M t h c sinh thi h t m t mơn h c A là s ki n h c sinh đĩđ (đt đim t 5 ti 10) B là s ki n h c sinh đĩđ trung bì nh ho c khá (đt đim t 5 ti 8) C là s ki n h c sinh đĩđkhá ho c gi i G là s ki n h c sinh đĩđgi i (đt đim 9, 10) K là s ki n h c sinh d đkhá (đt đim 7, 8) TB là s ki n h c sinh đĩđ trung bì nh (đt đim 5, 6) A ilà s ki n h c sinh đĩđt i đim (i = 0, 1, . . . .,9, 10). Ta cĩ : G ⇒ A;B⇒ A;C⇒ A;A 6 ⇒ A;A 9 ⇒ G;A 7 ⇒ B;A 7 ⇒ K;A 5 ⇒TB Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 6
5.Cá c phé p tính v s ki n 5.1 Phé p h p: Hp c a 2 s ki n A và B là s ki n C, s ki n C x y ra khi A x y ra ho c B x y ra. Kí hi u: A Υ B = C vàđc là A h p B b ng C Ta cĩ th mơ t hp c a 2 s ki n A và B b ng hì nh v sau: Hì nh 1 Da vào hình v trên cĩ th th y C x y ra khi: • A x y ra và B khơng x y ra. • B x y ra và A khơng x y ra. • C A và B cùng x y ra. Vì v y cĩ th nĩi h p c a hai s ki n A và B là m t s ki n C xy ra khi ít nh t 1 trong 2 s ki n A, B x y ra. Víd : M t sinh viên thi h t m t mơn h c G i : A là s ki n sinh viên đĩ khơng ph i thi l i (đim thi t 5 đ n 10) B là s ki n sinh viên đĩđt đim trung bì nh khá (đim thi t 5 đ n 8) C là s ki n sinh viên đĩđt đim khági i ( đim thi t 7 đ n 10) Ta cĩ : A = B Υ C . 5.2 Phé p giao : Giao c a 2 s ki n A và B là s ki n D, s ki n Dx y ra khi c A và B cù ng x y ra. Kí hi u: A Ι B = D ho c AB = Dvàđc là A giao B b ng D ho c A nhân B b ng D Hì nh v sau mơ t giao c a 2 s ki n A và B Hì nh 2 Víd : Quay l i vídm c 5.1 G i Klà s ki n sinh viên đĩđt đim khá (đim thi t 7 đ n 8) Ta cĩ : K = B Ι C Nu A Ι B=φ ta nĩ i A và B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Khi A xung kh c v i B thì hp c a 2 s ki n A và B đư c kí hi u là A + B vàđc là A c ng B. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 7
5.3 Phé p tr . S ki n đi l p: Hi u c a s ki n A tr s ki n B là s ki n E, s ki n E x y ra khi A x y ra và B khơng x y ra. Kí hi u: A\B= E vàđc là A tr B b ng E Ta cũ ng cĩ th mơ t hi u c a s ki n A tr s ki n B b ng hì nh v sau: Hì nh 3 D nh n th y r ng: Nu A Ι B = φ thì A \ B = A __ S ki n : Ω \ A G i là s ki n đi l p c a s ki n A vàkí hi u là A . Tđnh nghĩ a s ki n đi l p c a s ki n A ta th y: __ * A và A . xung kh c v i nhau __ * Nu A khơng x y ra thì A x y ra và ng ư c l i Hai s ki n đi l p nhau xung kh c v i nhau “m nh m ” theo ki u cĩ anh thì khơng cĩ tơi nh ưng khơng cĩ anh thìph i cĩ tơi. Víd : M t t h c sinh g m 3 h c sinh nam 3 h c sinh n . Ch n ng u nhiên 2 ng ư i. G i : A là s ki n 2 h c sinh đư c ch n làcù ng gi i B là s ki n 2 h c sinh đư c ch n đ u là nam C là s ki n 2 h c sinh đư c ch n đ u là n D là s ki n 2 h c sinh đư c ch n cĩ mt nam m t n Ta cĩ A \ B = C, D = A . Hì nh sau mơ t s ki n đi l p c a s ki n A Hì nh 4 5.4 Tí nh ch t 1/ φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A 2/ A Υφ=A ; Aφ=φ ; A ΥΩ= Ω ; AΩ=A 3/ N u A ⇒ B ; B ⇒ C thì A ⇒ C 4/ A Υ B=B Υ A ; AB =BA Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 8
5/ A Υ(B ΥC)=(A Υ )B ΥC ; A(BC )=(AB )C 6/ A(B ΥC)=AB Υ AC ; A Υ (BC )=(A Υ B)(A ΥC) __ 7/ A \ B=AB ___ __ __ ___ __ __ 8/ A ΥB = A B ; AB = AΥ B Vi c ch ng minh cá c tí nh ch t trên khá ddà ng xin dà nh cho b n đc. Chú ng tơi ch ch ng minh tí nh ch t 8 ph n 1 nh ư là mt víd minh ho cho vi c ch ng minh cá c s ki n b ng nhau: ___ __ __ Ta ch ng minh: A Υ B = A B ___ Gi s A Υ B x y ra theo đnh nghĩ a c a s ki n đi l p => A Υ B khơng x y ra, theo đnh nghĩ a c a h p hai s ki n => A khơng x y ra và B khơng x y ra, l i theo đnh nghĩ a __ c a s ki n đi l p => A x y ra và B x y ra, theo đnh nghĩ a c a phé p giao hai s ki n __ __ => A B . x y ra. ___ __ __ Vy ta cĩ : A Υ B ⇒ A B (1) __ __ __ __ Ng ư c l i gi s A Bx y ra, theo đnh nghĩ a c a phé p giao, => A x y ra và B x y ra, l i theo đnh nghĩ a c a s ki n đi l p => A khơng x y ra và B khơng x y ra, theo đnh nghĩ a c a h p hai s ki n => A Υ B . khơng x y ra, theo đnh nghĩ a c a s ki n đi l p ___ __ __ ___ => A Υ B x y ra. Vy ta cũ ng cĩ : A B⇒ A Υ B (2) ___ __ __ T (1) và (2) => A Υ B = A B 6. S ki n cĩ th phân chia đư c, s ki n s ơ cp c ơ b n 6.1 S ki n cĩ th phân chia đư c S ki n A đư c g i làcĩ th phân chia đư c n u t n t i hai s ki n B ≠ φ , C ≠ φ , BC = φ và A = B + C. Khi đĩ ta nĩ i A phân chia đư c thà nh hai s ki n B và C. Víd : Trong m t con xú c x c cân đi vàđng ch t. G i A là s ki n xu t hi n m t cĩ s ch m chia h t cho 3. G i A i là s ki n xu t hi n m t i ch m S ki n A cĩ th phân chia đư c vì tn t i A 3; A 6 ≠ φ; A 3A 6 =φ và A = A 3 + A 6. 6.2 S ki n s ơ cp c ơ b n: S ki n khá c r ng và khơng th phân chia đư c g i là s ki n sơ cp c ơ b n. Víd : Quay l i vídm c 6.1. Cá c s ki n A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6làcá c s ki n s ơ cp c ơ b n. Ta nh n th y r ng cá c s ki n s ơ cp c ơ b n làcá c s ki n mà sau m t phé p th chcĩ mt trong cá c s ki n nà y x y ra. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 9
7. H đy đcá c s ki n 7.1 Hđy đcá c s ki n: Hcá c s ki n A 1, A 2,. A ng i là mt h đy đcá c s ki n nu: 1/ A i ≠φ v i m i i = 1, 2 . . . . n 2/ Ai A j = φ v i m i i khá c j 3/ A 1+ A 2+ . . . . .+ A n = Ω Víd : ðem hai cá th th h F1 mang gen Aa, Aa lai v i nhau. Cá c cá th con th h F2cĩ th cĩ 1 trong 4 ki u gien AA, Aa, aA và aa. Ch n 1 cá th con trong cá c cá th nĩ i trên. G i: A là s ki n cá th con làđng h p t (mang gen AA ho c aa) B là s ki n cá th con làd hp t (mang gen Aa ho c aA) C là s ki n cá th con cĩ mang gen tr i (AA, Aa, aA) A 1là s ki n cá th con ch mang gen tr i (AA) A 2là s ki n cá th con ch mang gen l n (aa) Ta cĩ : A, B là mt h đy đcá c s ki n C, A 2cũ ng là mt h đy đcá c s ki n B, A 1, A 2cũ ng là mt h đy đcá c s ki n Nh ư v y: vi m t phé p th đã cho cĩ th cĩ nhi u h đy đcá c s ki n khá c nhau. 7.2 Phân chia m t s ki n theo h đy đ. Gi s A1, A 2, . A n l à mt h đy đcá c s ki n. A là mt s ki n khá c r ng nà o đĩ. Ta cĩ : A= AΩ=A(A1 + A 2 + + An )=AA 1 + AA i + AA n Khi đĩ ta nĩ i A đư c phân chia giá n ti p nh hđy đcá c s ki n: A 1, A 2 , A 3 , , A n. Nh ư đã bi t v i m i p hé p th cĩ th lp ra nhi u h đy đcá c s ki n vì vy m i s ki n khá c r ng A cũ ng cĩ th phân chia theo nhi u cá ch khá c nhau. M c đích c a vi c phân chia s ki n A ra m t s s ki n đơ n gi n h ơn nh m đánh giákh n ăng x y ra c a s ki n A nh cá c s ki n đơ n gi n nà y. 8. ði s và σ - đi s cá c s ki n Xé t Ω là mt t p h p khá c r ng mà ta g i là s ki n ch c ch n. Clà mt hcá c t p con nà o đĩ c a Ω .Mi t p con A c a Ω , A ∈C g i là mt s ki n. H C đư c g i là σ − đi s cá c s ki n n u: 1/ φ∈C . __ 2/ Nu A ∈ C thì A∈C ∞ 3/ Nu A 1, A 2. . . . . . A n. . . làcá c s ki n thu c Cthì Υ A n ∈C n=1 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 10
H C đư c g i làđi s cá c s ki n n u yêu c u 1, 2 nêu trên t homã n và hp c a m t s hu h n cá c s ki n thu c Ccũ ng là mt s ki n thu c C. Ta nh n th y r ng n u Clà σ − đi s cá c s ki n thì Ccũ ng là mt đi s cá c s ki n. Víd : Tung đng th i 2 đng ti n, cá c s ki n s ơ cp c ơ b n là : SS, SN, NS, NN. Xé t Ω = SS + SN +NS +NN. Tp t t ccá c t p h p con c a Ω là mt đi s cá c s ki n.và c ũng là mt σ − đi s cá c s ki n Bà i t p ch ươ ng 1 1. M t đo n gen g m 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên k t v i nhau theo m t hà ng d c. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 11
a. H i cĩ bao nhiêu cá ch liên k t 8 gen nĩ i trên? b. H i cĩ bao nhiêu cá ch liên k t đ 2 gen X đng li n nhau? c. H i cĩ bao nhiêu cá ch liên k t đcĩ 3 gen XYZ đng li n nhau theo th t trên. 2. Cĩ 10 ng ư i x p theo m t hà ng d c a. Cĩ bao nhiêu cá ch s p x p đ 2 ng ư i A và B đng li n nhau? b. Cĩ bao nhiêu cá ch s p x p đ 2 ng ư i A và B đng cá ch nhau đúng 3 ng ư i? 3. C ĩ th lp đư c bao nhiêu s gm 10 ch skhá c nhau sao cho: a.Khơng cĩ 2 ch s ch n n ào đng li n nhau b. Khơng cĩ 2 ch slnà o đng li n nhau c. Cá c ch s ch n đng li n nhau d. Cá c ch slđng li n nhau 4. Cho 6 ch s: 1, 2, 3, 4, 5, 6 a. Cĩ th lp đư c bao nhiêu s gm 8 ch s sao cho ch s 1 và ch s 2 mi ch s cĩ mt đúng 2 l n, cá c ch scị n l i cĩ mt đúng 1 l n. b. Cĩ th lp đư c bao nhiêu s ch n g m 8 ch s trong đĩ ch s 2 cĩ mt đúng 3 l n, cá c ch scị n l i cĩ mt đúng m t l n. c. Cĩ th lp đư c bao nhiêu s l gm 8 ch s trong đĩ ch s 1 cĩ mt đúng 3 l n, cá c ch scị n l i cĩ mt đúng 1 l n. 5*. Trong m t kì thi tin h c qu c t t i m t khu v c g m 6phị ng thi đánh s t 1 đ n 6 dà nh cho ba đồ n Vi t nam , Mĩvà Nga m i đồ n g m 4thí sinh. Mi phị ng thi cĩ 2 má y tí nh (khơng đánh s ) dà nh cho 2thí sinh. Vi c x p 2thí sinh và o m iphị ng thi theo nguyên t c hai thí sinh cù ng m t qu c t ch khơng đư c xp cù ng m t phị ng. H i cĩ bao nhiêu cá ch s p x p cá c thí sinh c a ba đồ n và o 6phị ng? 6*. D c theo hai bên đư ng và o m t tr ư ng trong h c ng ư i ta d đnh tr ng m i bên 3 cây bà ng, 3 cây ph ư ng và 3 cây b ng l ăng. a. H i c ĩ bao nhiêu cá ch tr ng đcá c cây cù ng lo i tr ng đi di n nhau? b. H i cĩ bao nhiêu cá ch tr ng đ khơng cĩ hai cây cù ng lo i nà o tr ng đi di n nhau? 7*. Vị ng chung k t gi i vơ đch bĩ ng đá châu Âu g m 16 đi trong đĩcĩđi chnhàvà đi vơ đch b n n ăm tr ư c. a. Cĩ bao nhiêu cá ch chia 16 đi và o b n b ng A, B, C, D. b, Cĩ bao nhiêu cá ch chia 16 đi và o b n b ng A, B, C, D sao cho đi chnhàvàđi vơ đch b n n ăm tr ư c khơng cù ng b ng. c. Gi i bà i tố n trên trong tr ư ng h p khơng đý ti vai trịc a cá c b ng. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 12
8. M t đàn gà gm 4 con gàmá i và 6 con gà tr ng. Trong 4 con gàmá i cĩ 2 con mà u và ng, 2 con mà u đen. Trong 6 con gà tr ng cĩ 3 con mà u và ng và 3 con mà u đen. Ch n ng u nhiên 2 con gà a. Cĩ bao nhiêu cá ch ch n đđư c 1 con tr ng 1 con má i b. Cĩ bao nhiêu cá ch ch n đđư c 2 con m àu và ng c. Cĩ bao nhiêu cá ch ch n đđư c1 con tr ng 1 con má i cù ng mà u 9. M t t sinh viên g m 6 nam 4 n . Trong 6 nam cĩ 2 sinh viên Hà Ni và 4 sinh viên t nh Hà Tây. Trong 4 n cĩ 2 n sinh Hà Ni và 2 n sinh Thá i Bì nh. Ch n ng u nhiên ra 3 ng ư i a. Cĩ bao nhiêu cá ch ch n ra 3 sinh viên nam? b. Cĩ bao nhiêu c ách ch n ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên n ? c. Cĩ bao nhiêu cá ch ch n ra 3 sinh viên g m đ 3t nh? 10. Cho đa giá c đ u g m 2n c nh a. H i cĩ th lp đư c bao nhiêu hì nh ch nh t cĩ 4 đnh là 4 đnh c a đa giá c đ u nà y? b. H i đa giá c đ u nĩ i trên cĩ bao nhiêu đư ng ché o? 11. Cho t p A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} a. A cĩ bao nhiêu t p con cĩí t nh t 2 ch snh hơn 6 b. A cĩ bao nhiêu t p con cĩí t nh t 2 ch s ln h ơn 6 12. Cĩ 4 viên bi gi ng nhau đư c bvà o 3cá i h p. H i cĩ bao nhiêu cá ch b ? 13*. Cĩ 4 hà nh khá ch đi tà u t i nhà ga A đđi t i B. Mt đồ n tà u g m 4 toa chu n b ri ga A đđi t i B. a. Cĩ bao nhiêu cá ch lên tà u c a 4hà nh khá ch trên. b. Cĩ bao nhiêu cá ch lên tà u c a 4hà nh khá ch trên sao cho m i ng ư i lên m t toa. c. Cĩ bao nhiêu cá ch đ 4hà nh khá ch trên lên hai toa m i toa 2 ng ư i. 2 14. Trong khai tri n x( − )50 . x 2 a. Tì m s h ng khơng ch a x 20 b. Tì m h s c a x -40 c. Tì m h sc a x 15. Ch ng minh cá c đng nh t th c: 0 1 k n n a. Cn +Cn + + Cn + + Cn =2 1 2 k n n−1 b. Cn + 2Cn + + kC n + + nC n = n2 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 13
n+1 0 1 1 1 k 1 n 2 −1 c. Cn + Cn + + Cn + + Cn = 2 k +1 n +1 n +1 0 2 2k 2n 1 3 2k+1 2n−1 d. C2n + C2n + + C 2n + + C 2n = C 2n + C 2n + + C 2n + + C 2n 16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tì m s h ng l n nh t trong dã y s sau: 0 0 n 1 n−1 k n−k k n n 0 Cn p q ;Cn pq ; ; Cn p q ; ;Cn p q 17. X p 3 ng ư i theo m t hà ng d c. Nêu cá c s ki n s ơ cp c ơ b n 18. T 4 ng ư i A, B, C, D l y ng u nhiên 2 ng ư i. Nêu t p cá c s ki n s ơ cp c ơ b n. 19. Hai cá th sinh v t cĩcù ng ki u gen Aa Bb đem lai v i nhau. Hã y nêu cá c ki u gen cĩ th cĩc a cá c cá th con. 20. T hai nhĩ m h c sinh, nhĩ m th nh t g m 4h c sinh nam A, B, C, D nhĩ m th hai gm 4h c sinh n X, Y, Z, T. Ch n m i nhĩ m ra 2 h c sinh. a. Ch ra t p cá c s ki n s ơ cp c ơ b n ng v i phé p th trên b. Ch ra hai h đy đcá c s ki n. 21. Tung m t l n 3 đng ti n. a. Hã y ch ra cá c s ki n s ơ cp c ơ b n. b. Hã y ch ra m t h đy đcá c s ki n ch gm hai s ki n 22. Tung đng th i hai con xú c x c. a. Cĩ bao nhiêu s ki n s ơ cp c ơ b n b. Hã y ch ra m t h đy đcá c s ki n g m 11 s ki n 23. M t đa giá c đ u g m 2n c nh (n > 2). Ch n ng u nhiên b n đnh. a. Cĩ bao nhiêu s ki n s ơ cp c ơ b n? b. Cĩ bao nhiêu s ki n đ bn đnh đư c ch n lâp thà nh hì nh ch nh t? Khi n = 3 Ch n ng u nhiên 3 đnh c a m t l c giá c đ u. c.Cĩ bao nhiêu s ki n s ơ cp c ơ b n? d.Cĩ bao nhiêu s ki n ba đnh đư c ch n l p thà nh tam giá c đ u? 25. Ch ng minh cá c tí nh ch t v cá c phé p tố n c a cá c s ki n. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 14
Ch ươ ng 2 : Xá c su t Vi c đư a ra nh ng s đo thí ch h p đánh giákh năng khá ch quan x y ra c a m i s ki n đư c trì nh bà y trong ph n đu c a ch ươ ng nà y. Cá c d ng đnh nghĩ a xá c su t t cá c đnh nghĩ a c đin t i đnh nghĩ a xá c su t theo h tiên đgiú p ng ư i h c hì nh dung đư c sphá t tri n vàtí nh phong phú , đa d ng c a mơn xác su t. Cá c tí nh ch t cá c đnh lý v xá c su t đư c trì nh bà y m c t i thi u đ ng ư i h c kh i c m th y n ng n khi ti p thu chú ng. Nh ng vídđư a ra giú p ng ư i h c th y đư c nh ng áp d ng th c th c t c a mơn xá c su t và qua cá c vídnà y ng ư i h c cĩ th hi u cá ch là m cá cbà i tố n xá c su t. I.Cá c đnh nghĩ a c a xá c su t 1. Mđu: Khi ti n hà nh m t phé p th , cĩ th cĩ mt trong nhi u s ki n sx y ra, m i s ki n là mt đc tí nh đnh tí nh, vi c ch ra “sđo” kh năng x y ra c a m i m t s ki n làđiu c n thi t. Ta cĩ th hi u xá c su t c a m i s ki n là “sđo” kh năng x y ra c a s ki n đĩ. Vi c g n cho m i s ki n m t “sđo” kh năng x y ra c a nĩph i đm b o tí nh k há ch quan, tí nh h p lývàtí nh phi mâu thu n. Trong m c nà y chú ng ta sđư a ra cá c đnh nghĩ a c a xá c su t. Mi d ng cĩ nh ng ưu và nh ư c đim nh t đnh. Tuy vy, qua cá c d ng đnh nghĩ a nà y cĩ th hì nh dung ra s phá t tri n c a mơn xá c su t, m t mơn h c cĩ ngu n g c xu t phá t t nh ng sị ng b c nh ưng nh s thồ n thi n trong quátrì nh phá t tri n nên mơn xá c su t khơng nh ng cĩđy đcá c y u t cơ b n c a m t ngà nh khoa h c chí nh xá c màcị n là mt trong nh ng ngà nh c a Tố n h c cĩ th h tr cho t t ccá c lĩ nh v c khoa h c khá c t khoa h c t nhiên đ n khoa h c kĩ thu t và kc nh ng ngà nh t ư ng nh ư xa l vi Tố n h c đĩlàcá c ngà nh khoa h c xã hi. 2. ðnh nghĩ a xá c su t theo quan ni m đng kh năng. 2.1 Phé p th đng kh năng: M t phé p th đng kh năng là mt phé p th màcá c kt qu tr c ti p (cịn g i là s ki n s ơ cp) ng v i ph ép th nà y cĩkh năng xu t hi n nh ư nhau sau khi th . Ch ng h n khi ta gieo m t con xú c x c cân đi vàđng ch t thì vi c xu t hi n m t trong cá c m t cĩ s ch m t 1 đ n 6 làcĩkh năng nh ư nhau ho c khi ch n ng u nhiên hai trong năm ng ư i A, B, C, D, E thì vi c ch n đư c AB ho c CD . . . DE làcĩkh năng xu t hi n nh ư nhau. 2.2 ðnh nghĩ a xá c su t theo quan ni m đng kh năng: Xé t m t phé p th đng kh năng. Gi s sau phé p th nà y cĩ mt trong n s ki n s ơ cp n A cĩ th x y ra vàcĩ mt trong n A s ki n s ơ cp x y ra ké o theo A x y ra. Ta th y l y n là m s đo khá ch quan x y ra s ki n A là hp lý . Vì vy ta cĩđnh nghĩ a sau: n ðnh ngh ĩa: Xá c su t c a s ki n A là s P(A) = A n * n là s kt quđng kh năng sau phé p th * n Alà s kt qux y ra ké o theo A x y ra ho c s kt qu thu n l i cho s ki n A hay s k t qu h p thành s ki n A Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 15
Vi c tí nh xá c su t d a trên đnh nghĩ a trên ph i th c hi n theo trì nh t sau: * Xé t phé p th đang quan sá t cĩph i làphé p th đng kh năng khơng * Nu phé p th làđng kh năng thìph i tì m s s ki n đng kh năng n * ðtí nh xá c su t c a s ki n A ta ph i tì m s kt quké o theo A sau đĩ sd ng đnh nghĩ a n P(A) = A n 2.3 Cá c víd Víd 2.1: Gieo hai đng ti n cân đi vàđng ch t. Tí nh xá c su t đc hai cù ng xu t hi n m t qu c huy. G i A là s ki n c hai đng ti n cù ng xu t hi n m t qu c huy. Ta cĩ : S s ki n đng kh năng: n = 4 1 S s ki n ké o theo A: n A = 1 .Vy P (A) = 4 Víd 2.2: M t đàn gà cĩ bn con gà ri g m hai má i hai tr ng và sá u con gà tam hồ ng g m hai tr ng b n má i. Ch n ng u nhiên hai con gà G i A là s ki n hai con gàđư c ch n đ u là tr ng B là s ki n hai con gàđư c ch n g m m t tr ng m t má i C là s ki n hai con gàđư c ch n làgàmá i ri Hã y tí nh xá c su t c a cá c s ki n A, B, C 2 Ta cĩ : S s ki n đy kh năng là C10 = 45 2 S s ki n ké o theo A là C4 = 6 1 1 S s ki n ké o theo B là C4C6 = 24 2 S s ki n ké o theo C là C2 = 1 6 2 24 8 1 V y: P(A)= = , P(B) = = , P(C) = 45 15 45 15 45 Víd 2.3: Cĩ ba gen X, Y, Z và ba gen x, y, z x p ng u nhiên theo m t dã y d c. Tí nh xá c su t đcá c gen x, y, z x p li n nhau. G i A là s ki n c n tí nh xá c su t S s ki n đng kh năng: n = 6! = 720 144 1 S s ki n ké o theo A: n A = 3!4! = 144. Vy: P(A) = = 720 5 Víd 2.4: Hai cá th bvàmcù ng cĩ ki u gen AaBb. Tí nh xá c su t đcá th con cĩ ki u gen gi ng ki u gen c a b m . Ta cĩb ng liên k t gen sau: Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 16
M AB Ab aB ab B AB AABB AABb AaBB AaBb Ab AABb AAbb AaBb Aabb aB AaBB AaBb aaBB aaBb ab AaBb Aabb aaBb aabb Da và o b ng trên ta cĩ : S s ki n đng kh n ăng n = 16 4 1 S s ki n ké o theo A: n A = 4. Vy P(A) = = 16 4 3- ðnh nghĩ a xá c su t theo t n su t ðnh nghĩ a xá c su t theo quan ni m đng kh năng cĩưu đim là ch ra cá ch tí nh xá c su t c a m t s ki n rõrà ng vàđơ n gi n. Tuy nhiên đnh nghĩ a nà y chá p d ng đư c v i lo i phé p th đng kh năng và s kt qu sau phé p th là hu h n. Trong th c t th ư ng gp nh ng lo i phé p th khơng cĩtí nh ch t trên, đ kh c ph c h n ch nà y ta cĩ th đnh nghĩ a xá c su t theo quan đim th ng kê. 3.1 Tn su t c a s ki n: Gi s ta ti n hà nh n phé p th vi cù ng m t h điu ki n th y cĩ nA l n xu t hi n s ki n A. S nA đư c g i là tn s xu t hi n s ki n A vàt s: n f (A)= A g i là tn su t xu t hi n s ki n A. n n Ta nh n th y r ng khi n thay đi n A thay đi vì th fn(A) cũ ng thay đi. Ngay c khi ti n hà nh dã y n phé p th khá c v i cù ng m t điu ki n thì tn s và tn su t c a n l n th nà y cũ ng cĩ th khá c t n s và tn su t c a n l n th tr ư c. Tuy nhiên t n su t cĩtí nh n đnh nghĩ a là khi s phé p th n khá ln t n su t bi n đi r t nh xung quanh m t giátrxá c đnh. ð minh ch ng cho nh n xé t trên ta xé t m t víd kinh đin v xá c đnh t n s và tn su t vi c xu t hi n m t s p (mt khơng cĩ ch ) c a m t đng ti n do Buffon và Pearson th c hi n Ng ư i là m thí nghi m S ln tung 1 đng ti n Tn s mt s p Tn su t m t s p Buffon 4040 2040 0.5080 Pearson 12000 6010 0.5010 Pearson 24000 12012 0.5005 Ta nh n th y r ng khi s ln tung ti n n t ăng lên, t n su t xu t hi n m t s p n đnh dn vgiátr 0,5 đưc l y làm xá c xu t xu t hi n m t s p khi tung m t đng ti n cân đi và đng ch t. 3.2 ðnh nghĩ a: Xá c su t c a m t s ki n làtr s n đnh c a t n su t khi s phé p th tăng lên vơ h n. Vic kh ng đnh t n su t c a m t s ki n n đnh (hay ti n t i) mt giátrxá c đnh khi sphé p th tăng lên vơ h n đư c đm b o b i đnh lý Bernoulli sđư c phá t bi u và Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 17
ch ng minh trong ch ươ ng sau. Tuy đnh nghĩ a xá c su t b ng t n su t khơng ch ra giátr c th xá c su t c a s ki n nh ưng trong th c t khi s ln th n là ln ta th ư ng l y t n xu t f n(A) thay cho xá c su t c a s ki n A. Và o cu i th k 19 nhàtố n h c Laplace theo dõ i cá c b n th ng kê v dân s trong vị ng 10 năm c a London, Peterbua, Berlin và nư c 22 Phá p ơng ta tì m ra t n su t sinh con trai c a ba vù ng trên vàc nư c Phá p là . Khi 43 25 22 xem xé t t l sinh con trai c a Paris ơng tì m đư c t n su t , t n su t n ày nh h ơn . 49 43 Ng c nhiên v skhá c nhau đĩ, Laplace điu tra thêm vàtì m ra hai điu thúv sau: Mt là : V ào th i b y gi cá c tr em đ ra khơng ghi tên cha trong gi y khai sinh thì dù sinh Marseille, Bordeaux hay b t c nơi nà o trên đt Phá p đ u cĩ trong b n thơng kê tr sinh Paris. Hai là : Phn l n nh ng đa trnĩ i trên đ u là con gá i. Sau khi lo i nh ng đa tr khơng sinh Paris ra kh i danh sá ch nà y thìt ltr trai 22 Paris tr v con s . 43 Qua ví d nêu trên chú ng tơi mu n cá c nhà nơng h c t ươ ng lai khi quan sá t ho c thí nghi m th y cĩ mt s li u nà o đĩkhá c v i s li u đã bi t thì cn ph i tì m nguyên do s khá c bi t nà y xu t phá t t đâu, r t cĩ th qua đĩ ta cĩ th phá t hi n đư c nh ng điu b ích ph c v cho chuyên mơn. 4. ðnh nghĩ a xá c su t b ng hì nh h c Vi nh ng phé p th đng kh năng mà s kt qu sau m t phé p th là vơ h n thì vi c s d ng đnh nghĩ a xá c su t m c 2 đtí nh xá c su t c a m t s ki n là khơng th c hi n đư c. ð kh c ph c h n ch nà y ng ư i ta đư a ra đnh nghĩ a xá c su t b ng hì nh h c. 4.1 ðđo c a m t mi n: Gi s D là mt mi n hì nh h c nà o đĩ ch ng h n D là mt đo n th ng, m t hì nh ph ng hay m t kh i khơng gian. Sđo đdà i, di n tí ch, th tí ch t ươ ng ng đưc g i làđđo c a mi n D vàkí hi u là m(D) 4.2. ðnh nghĩ a : Xé t m t phé p th vi vơ h n k t quđng kh năng, gi scĩ th thi t l p s tươ ng ng mt - m t m i k t qu vi m t đim thu c mi n G cĩđđo là m(G) . Mi k t quké o theo s ki n A t ươ ng ng v i m i đim thu c mi n D ⊂ G cĩđđo m(D). m(D) Xá c su t c a s ki n A là s P(A) = m(G) Víd 1: M t đư ng dây cá p quang n i Hà Ni v i thà nh ph HChí Minh dà i 1800 km g p s ckĩ thu t là m t c ngh n vi c thơng tin liên l c. S ckĩ thu t cĩ th x y ra bt c mt vtrínà o trên đư ng cá p quang trên v i cù ng m t kh năng. Tí nh xá c su t đ s ckĩ thu t x y ra cá ch Hà Ni khơng quá 300km. Mi n G đây làđư ng cá p quang n i Hà Ni-thà nh ph HChí Minh cĩ m(G) = 1800. Mi n D t ươ ng ng v i s ki n c n tí nh xá c su t làđo n cá p quang t Hà ni t i vtrí cá ch Hà Ni 300 km, m(D) = 300. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 18
300 1 V y xá c su t c n tí nh P = = . 1800 6 Víd 2: Hai ng ư i A, B h n g p nhau t i m t đa đim trong quã ng th i gian t 12 gi đ n 13 gi theo qui ư c, ng ư i đ n tr ư c đi ng ư i đ n sau khơng quá 15 phú t. Tí nh xá c su t đ hai ng ư i g p đư c nhau. Bi t r ng m i ng ư i cĩ th đ n đim h n và o b t c th i đim nà o trong quã ng th i gian nĩ i trên. G i x là th i đim A đ n ch h n, y là th i đim B đ n ch h n, 0 ≤ y,x ≤ 60 Vi c hai ng ư i đ n ch h n t ươ ng ng v i đim M(x, y) thu c hì nh vuơng OABC cĩ c nh dà i 60 đơ n vdà i. Hai ng ư i g p đư c nhau ⇔ x − y ≤15 ⇔ x −15 ≤ y ≤ x +15 ⇔ M(x, y) thu c hì nh ODEBGH. Hì nh 1 Ta cĩ mi n G làhì nh vuơng OABC, mi n D làhì nh ODEBGH. m(G) = 60 2 , m(D)= 60 2- 45 2. m(D) 60 2 − 45 2 9 7 Vy xá c su t c n tí nh P = = =1− = m(G) 60 2 16 16 Mt s bà i tố n th c t nh ư quátrì nh th ph n, quátrì nh th tinh cĩ th á p d ng nh ư bà i tố n g p g nĩ i trên. 5. H tiên đ Kolmogorop Mc dù ra đi t th k 17 nh ưng do ngu n g c xu t phá t và nh ng khá i ni m đư c nêu ra cĩtí nh mơ t thi u nh ng lu n c khoa h c nên c mt quã ng th i gian dà i t th k 17 đ n tr ư c nh ng n ăm 30 c a th k 20 xá c su t khơng đư c coi là mt ngà nh tố n h c chí nh th ng. Mã i t i n ăm 1933 khi nhàtố n h c Nga A.N Kolmogorop xây d ng h tiên đ cho lý thuy t xá c su t thìxá c su t m i đư c cơng nh n là mt ngà nh tố n h c chí nh th ng sá nh ngang hà ng v i nhi u ngà nh tố n h c khá c nh ư s h c, hì nh h c, đi s , gi i tí ch Tuy đư c ch p nh n mu n mà ng nh ưng xá c su t đãcĩ mt trong h u h t cá c lĩ nh v c khoa h c t khoa h c t nhiên , khoa h c kĩ thu t d n khoa h c xã hi. Vìlà mt giá o trì nh dà nh cho cá c ngà nh khơng chuyên v tố n chú ng tơi chcĩýđnh trì nh bà y s ơ lư c h tiên đ v lý thuy t xá c su t do A.N Kolmogorop đư a ra Xé t Clà mt σ - đi s cá c s ki n . Xá c su t P là mt hà m xá c đnh trên Cthomã n : 1/ P(A) ≥ 0 ∀A∈ C Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 19
2/ (P Ω) =1 3/ N u A 1, A 2 , ,A n, . . . . . . xung kh c t ng đơi, A n ∈ C , n =1,2, thì ∞ ∞ (P A ) (P A ) ∑ i = ∑ i i=1 i=1 B ba ( Ω, A, P ) đư c g i là khơng gian xá c su t. II Cá c tí nh ch t vàcá c đnh lý 1. Cá c tí nh ch t. ðđơ n gi n, ta ch sd ng đnh nghĩ a theo quan đim đng kh năng đ ch ng minh cá c tí nh cht s nêu trong m c nà y. Tuy nhiên cá c tí nh ch t đĩcũ ng đúng v i m i d ng đnh nghĩ a xá c su t khá c. n n 1/ 0 ≤ (P A) ≤1vì 0 ≤ n ≤ n ⇒ 0 ≤ A = (P A) ≤ =1 A n n 2/ ( ) ,0 ( ) 1 n n,0 n suy ra i u c n ch ng minh. P φ = P Ω = vì φ = Ω = đ 3/ Nu A ∩ B = φ thì P(A+B) = P(A) + P(B) G i n Alà s s ki n ké o theo A, n Blà s s ki n ké o theo B do A xung kh c v i B nên s s ki n ké o theo A + B là n n + n n n n = n + n ⇒ (P A + )B = A+B = A B = A + B = (P A) + (P B) A+B A B n n n n 4/ (P A ∪ B) = (P A) + (P )B − (P AB ) G i n Alà s s ki n ké o theo A, n Blà s s ki n ké o theo B, n AB là s s ki n ké o theo AB, n s s ki n o theo A B. Ta A∪B là ké ∪ cĩ n n n n n n n n (P A )B A∪B A + B − AB A∪B = A + B − AB ⇒ ∪ = = n n n n n ⇒ (P A Υ )B = A + B − AB = (P A) + (P )B − (P AB ) n n n Hqu 1: (P A) =1− (P A). Th t v y ta cĩ A + A = Ω ⇒ (P A + A) = (P Ω) ⇒ (P A) + (P A) =1⇒ điu c n ch ng minh. n n N u A , A , .A xung kh c t ng ơi ( ) ( ) Hqu 2: 1 2 n đ thì P ∑ Ai = ∑ P Ai i=1 i=1 ap d ng nhi u l n tí nh ch t 1.3 ta cĩ hqu trên. 5/ Nu A ⊂ B ⇒ (P A) ≤ (P )B n n Vì A ⊂ B ⇒ n ≤ n ⇒ (P A) = A ≤ B = (P )B A B n n 2. Xá c su t cĩđiu ki n Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 20
Xé t hai s ki n A và B trong m t phé p th đư c ti n hà nh ng v i m t b điu ki n nà o đĩ. Vi c xu t hi n s ki n nà y đơi khi nh h ư ng đ n xá c su t xu t hi n c a s ki n kia và ng ư c l i . Ch ng h n trong m t h p cĩ 3 bi tr ng và 2 bi đ, rú t l n l ư t 2 bi. Ln đu rú t đư c bi tr ng hay khơng rõrà ng nh h ư ng đ n xá c su t xu t hi n bi tr ng ln th hai. 2.1. ðnh nghĩ a: Xá c su t c a s ki n A v i gi thi t s ki n B đãx y ra làxá c su t cĩ điu ki n c a A v i điu ki n B. Ta kí hi u xá c su t nà y là P(A/B) ho c P B(A) Víd 2.1: Quay l i víd va nêu trên. G i B là s ki n l n đu rú t đư c bi tr ng , A 2 1 3 là s ki n l n sau cũ ng rú t đư c bi tr ng. Ta cĩ P(A/B)= = cị n P(A/ B) = . Rõrà ng 4 2 4 vi c xu t hi n hay khơng xu t hi n B nh h ư ng t i xá c su t xu t hi n A. Víd 2.2: Tí nh tr ng hoa và ng gen A làtí nh tr ng tr i, hoa tr ng gen a làtí nh tr ng ln. Hai cây đu hoa và ng d hp t ( cù ng mang gen Aa) đem lai v i nhau cá c cá th con cĩcá c ki u gen AA, Aa, aA, aa v ơícù ng m t kh năng. Ch n m t cá th con thì th y cá th nà y cĩ hoa mà u và ng. Tí nh xá c su t đcá th đĩlàđng h p t G i B là s ki n cá th con cĩ hoa mà u và ng, A là s ki n cá th con cĩ gen đng h p t . 1 Ta cĩ : P(A/B) = 3 2.2 Cơng th c xá c su t cĩđiu ki n (P AB ) (P A / B) = (P )B Th t v y g i n Blà s s ki n ké o theo B( do gi thi t B đãx y ra nên n B ≠ 0, g i n AB là s ki n ké o theo AB n AB n (P AB ) Ta (P A / )B AB n cĩ = = n = n B B (P )B n 3. Cơng th c nhân xá c su t (P AB ) T (P A / )B = ⇒ (P AB ) = (P (P)B A / B) (1) (P )B Thay đi vai trịc a A và B cho ta cĩ P(AB) = P(A)P(B/A) M rng ta cĩ : P(A 1A2 A n) =P(A 1)P(A 2/A 1) P(A n/A 1A2 A n-1) (2) Cơng th c trên g i là cơng th c nhân xá c su t. Áp d ng liên ti p cơng th c (1) nhi u l n ta cĩ cơng th c (2) Víd 3.1: Cĩ 6 cây đu hoa và ng và 2 cây đu hoa tr ng l y l n l ư t 2 cây đu. Tí nh xá c su t đc 2 cây đu l y ra là cây đu hoa và ng. G i A là s ki n c 2 cây l y ra làđu hoa và ng A 1là s ki n cây l y ra l n đu mà u và ng Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 21
A 2là s ki n c y l y ra l n hai m àu và ng Ta cĩ : A = A 1A2 t đĩ suy ra 6 5 30 15 (P A) = (P A A ) = (P A (P) A / A ) = . = = 1 2 1 2 1 8 7 56 28 Sd ng đnh nghĩ a xá c su t theo quan đim đng kh năng ta cũ ng cĩ kt qu trên. Víd 3.2: M t gi ng lú a m i t i m t tr i lai t o gi ng tr ư c khi đư a ra s n xut đi trà ph i ti n hà nh liên ti p ba l n ki m đnh do ba trung tâm kh o c u gi ng c p m t, c p hai, c p ba ti n hà nh. Nu gi ng lú a đư c ch p nh n trung tâm c p d ư i thì đư c chuy n lên trung tâm c p trên đ ki m đnh ti p. Qua th ng kê cho th y gi ng c a tr i trên đư c trung tâm c p m t ch p nh n v i xá c su t 0,7. Sau khi chuy n lên trung tâm cp hai nĩđư c ch p nh n v i xá c su t 0,8. Nu đư c chuy n lên trung tâm c p ba nĩ đư c ch p nh n v i xá c su t 0,9. Tí nh xá c su t đ gi ng lú a đư c đư a ra s n xu t đi trà . G i: A là s ki n gi ng lú a đư c đư a ra s n xu t đi trà . A ilà s ki n gi ng lú a đư c ch p nh n trung tâm c p i. Ta cĩ : A = A 1A2A3 ⇒ P(A) = P(A 1A2A3) = P(A 1)P(A 2/A 1)P(A 3/A 1A2) =0,7.0,8.0,9 = 0,486 4. Cá c s ki n đc l p. 4.1 Hai s ki n đc l p: S ki n A đư c g i làđc l p v i s ki n B n u: P(A/B) = P(A) Tđnh nghĩ a trên ta c ĩ * Nu A đc l p v i B thì P(AB)=P(A)P(B) Th t v y P(AB)=P(B)P(A/B) =P(B)P(A) * Nu A đc l p v i B thì B cũ ng đc l p v i A Do P(AB)=P(A)P(B/A) =P(B)P(A) ⇒P(B/A)=P(B). Do v y B cũ ng đc l p v i A. * A đc l p v i B ⇔ P(AB)= P(B)P(A) 4.2. Hđc l p t ng đơi vàđc l p hồ n tồ n H: A1,A 2, ,A n đư c g i làđc l p t ng đơi n u A i đc l p A j ∀i≠j H: A1,A 2, ,A n đư c g i làđc l p hồ n tồ n n u P( A / A A A ) (P A ) A ,A , A A ,A , , A i j1 j2 jk = i ∀{ j1 j2 jk }⊂ { 1 2 n } Tđnh nghĩ a trên ta th y h đc l p hồ n tồ n thìđc l p t ng đơi nh ưng điu ng ư c l i nĩ i chung khơng đúng. 4.3. Cá c víd Víd 4.1: M t m ng c p n ư c nh ư hì nh v Hì nh 2 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 22
Nư c đư c c p t E đ n F qua ba tr m b ơm t ăng áp A, B, C. Cá c tr m b ơm là m vi c đc lp v i nhau. Xá c su t đcá c tr m b ơm A,B,C cĩ s c sau m t th i gian là m vi c ln lưt là: 0,1; 0,1; 0,05. Tí nh xá c su t đvù ng F m t n ư c G i: F là s ki n vù ng F m t n ư c A là s ki n tr m A cĩ s c B là s ki n tr m B cĩ s c C là s ki n tr m C cĩ s c Ta cĩ : F = (A ∩ B)∪C ⇒ )F(P = P[(A ∩ B)∪ C] = P(AB)+P(A)-P(ABC) = P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0,01 + 0,05 - 0,005 = 0,055 Víd 4.2: Cĩ hai l ng gà gi ng. Lng th nh t cĩ 2 gà tr ng, 4 gàmá i. Lng th hai cĩ 4 gà tr ng, 2 gàmá i. Ly ng u nhiên t mi l ng ra 1 con. Tí nh xá c su t đ 2 con gà ly ra đ u làgàmá i G i : A 1là s ki n con gà ly ra lng m t làgàmá i A 2là s ki n con gà ly ra lng hai làgàmá i 4 2 2 Ta cĩ : P(A 1A2) = P(A 1)P(A 2) = . = 6 6 9 5. Dã y phé p th đc l p: Trong th c t nhi u khi ta g p nh ng phé p th hp g m m t dã y liên ti p cá c phé p th nh ư nhau đư c l p đi l p l i n l n vàđýđ n s xu t hi n c a mt s ki n A nà o đĩ trong n l n th nà y. Ch ng h n khi gieo m t đng ti n cân đi và đng ch t n l n ho c tung m t con xú c x c cân đi vàđng ch t n l n thì nh ng phé p th thu c lo i nà y chí nh là dãy phé p th đc l p. 5.1. Lư c đ Bernoulli. Ti n hà nh m t dã y n phé p th màphé p th sau đc l p v i cá c phé p th tr ư c đĩ, xá c su t xu t hi n s ki n A mi phé p th là nh ư nhau và bng p (p ≠ 0, p ≠ 1). Dã y n phé p th đc l p lo inà y cị n đư c g i là mt l ư c đ Bernoulli. 5.2. Cơng th c Bernoull: Trong m t l ư c đ Bernoulli s ki n A cĩ th xu t hi n t 0 đ n n l n. G i B klà s ki n A xu t hi n đúng k l n trong l ư c đ Bernoulli. ta xây d ng cơng thc tí nh P(B k) G i A ilà s ki n A xu t hi n ln th i trong n l n th Ta B = A A A A k 1 A n A A n k A A . Mỗi s ki n a t ng c s cĩ k 1 2 k + + + 1 − n−k+1 n c cá ki n trên g m tí ch c a n s ki n trong đĩ A xu t hi n k l n và A xu t hi n n-k l n. Mi tí ch trên t ươ ng ng v i vi c ch n ra k phé p th (A xu t hi n) t n phé p th đã cho, theo lý thuy t t h p cĩ t t c k tích nh v y. Cn ư Do n phé p th làđc l p P(A i) = p, P (A j ) =1− p = q k n-k nên P(A A A A k 1 A n ) (P A A n k A A ) = p q 1 2 k + = = 1 − n−k+1 n k k n-k Suy ra: P(B k) = Cn p q ðây là cơng th c Bernoulli cho ta bi t xá c su t A xu t hi n k l n trong m t l ư c đ Bernoulli G i: P n(k) là xác su t đ s ki n A xu t hi n k l n trong m t l ư c đ Bernoulli và Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 23
Pn(k 1, k 2) làxá c su t đ A xu t hi n trong kho ng t k1đ n k 2 ln (k 1 P n(k) ⇔ np − kp > kq + q ⇔ np − q > p(k + )q ⇔ np − q > k Do np - q là mt h ng s nên khi k cị n nh hơn np - q dã y cị n t ăng t i khi k v ư t qua np – q thìdã y b t đu gi m. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 24
Nu np - q khơng ph i là s nguyên s ln xu t hi n ch c nh t là : k 0 = [np-q]+1 Chú ý: Ph n nguyên c a s th c x là s nguyên l n nh t nh thua ho c b ng x, kí hi u là[x] N u np - q là s nguyên thì s ln xu t hi n ch c nh t là k0 = np - q và k0+1. Khi đĩ ta cĩ Pn(k 0) = P n(k 0+1) ≥ Pn )k( ∀k = n,0 Víd 5.3: Xá c su t đ mi cây s ng sau th i gian tr ng là 0,8. Tr ng 1000 cây, Tì m s cây cĩkh năng s ng cao nh t Ta cĩ n =1000, p = 0,8, q = 0,2 ⇒ np - q = 799,8 Vy s cây cĩkh năng s ng cao nh t k0 = 800 6. Cơng th c xá c su t tồ n ph n Xé t A 1, A 2, , A nlà mt h đy đcá c s ki n, A là mt s ki n nà o đĩ. Ta cĩ : A= A Ω = A(A1 + A2 + + An ) = AA 1 + AA 2 + + AA n ⇒ (P A) = (P AA 1 + AA 2 + + AA n ) S dng cơng th c c ng và nhân xá c su t ta cĩ P(A) = P(A 1)P(A/A 1)+ P(A 2)P(A/A 2)+ + P(A n)P(A/A n) Cơng th c trên đư c g i là cơng th c xá c su t tồ n ph n Víd 6.1: M t kho hà ng cĩ 10 ki n hà ng trong đĩcĩ 4 ki n do má y A s n xu t, 3 ki n do má y B s n xu t và 3 ki n cị n l i do má y C s n xu t. T ls n ph m lo i hai do cá c má y s n xu t l n l ư t là 0,02; 0,03; 0,05. Ly ng u nhiên t kho ra m t ki n hà ng r i tđĩ ly ra m t s n ph m. Tí nh xá c su t đs n ph m l y ra làs n ph m lo i hai G i: A là s ki n s n ph m l y ra làs n ph m lo i hai A ilà s ki n s n ph m l y ra do má y i s n xu t Khi đĩ A 1, A 2, A 3 là mt h đy đ ⇒ A = AA 1 + AA 2 + AA 3 Theo cơng th c xá c su t tồ n ph n ta cĩ P(A) = P(A 1)P(A/A 1)+ P(A 2)P(A/A 2)+ P(A 3)P(A/A 3) 4 3 3 = .0,02 + .0,03+ .0,05 = ,0 032 10 10 10 Víd 6.2: M t lồ i sinh v t cĩcá c ki u gen AA, Aa, aa theo t l: 1 : 2 : 1. N ucá th b (m ) cĩ ki u gen AA lai v i cá c th m (b) cĩ ki u gen AA thìcá c cá th con đ u cĩ ki u gen AA. N u cá th b (m ) cĩ ki u gen AA lai v i cá c th m (b) cĩ ki u gen Aa thìcá th con cĩ ki u gen AA, Aa theo t l 1 : 1. N u cá th b (m ) cĩ ki u gen AA lai v i cá c th m (b) cĩ ki u gen aa thìcá th con ch cĩcá c ki u Aa. Ch n m t cá th con t cá th mcĩ ki u gen AA. 1/ Tí nh xá c su t đcá th con cĩ ki u gen AA 2/ Tí nh xá c su t đcá th con cĩ ki u gen Aa Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 25
G i: A là s ki n cá th con cĩ ki u gen AA B là s ki n cá th con cĩ ki u gen Aa A 1là s ki n cá th bcĩ ki u gen AA A 2là s ki n cá th bcĩ ki u gen Aa A 3 là s ki n cá th bcĩ ki u gen aa Theo đu bài : 1 2 1 1 P(A ) = ; P(A ) = ; P(A ) = ; P(A/ A ) = ;1 P(A/ A ) = ; P(A/ A ) = 0 1 4 2 4 3 4 1 2 2 3 1 P(B / A ) = 0 ; P(B / A ) = ; P(B / A ) = 1 1 2 2 3 H: A 1, A 2, A 3là hđy đ. A = AA 1 + AA 2 + AA 3 suy ra P(A) = P(A 1)P(A/A 1)+ P(A 2)P(A/A 2)+ P(A 3)P(A/A 3) 1 2 1 1 1 1 1 = 1. + . + 0. = + = 4 4 2 4 4 4 2 B = BA 1 + BA 2 + BA 3 suy ra P(B) = P(A 1)P(B/A 1)+ P(A 2)P(B/A 2)+ P(A 3)P(B/A 3) 1 2 1 1 1 1 1 = 0. + . + 1. = + = 4 4 2 4 4 4 2 7. Cơng th c Bayes Gi s A1, A 2, A i. . . . A nlà mt h đy đcá c s ki n. A là mt s ki n nà o đĩ cĩ P(A) ≠ 0 Theo cơng th c xá c su t tồ n ph n ta cĩ : P(A) = P(A 1)P(A/A 1)+ P(A 2)P(A/A 2)+ +P(Ai)P(A/A i)+ +P(A n)P(A/A n) Xé t A jlà mt s ki n nà o đĩ trong h cá c s ki n đã cho (P A jA) (P A j (P) A / A j ) Ta cĩ P(A j/A)= = (P A) n (P A P) A / A ∑ i ()i i=1 Cơng th c trên đư c g i là cơng th c Bayes. Cá c xá c su t P(A j/A) g i làcá c xá c su t h u nghi m đ phân bi t v i cá c xá c su t tiên nghi m P(A i) Víd 7.1: C p tr sinh đơi cĩ th là sinh đơi th t ( do cù ng m t tr ng sinh ra) trong tr ư ng h p nà y chú ng luơn cù ng gi i. Tr ư ng h p c p sinh đơi do hai tr ng sinh ra g i là gi sinh đơi. Nu c p sinh đơi do hai tr ng sinh ra thìxá c su t đchú ng cù ng gi i là 1/2. Bi t xá c su t đ cp sinh đơi do cù ng m t tr ng sinh ra là p. Mt c p tr sinh đơi ra đi bi t chú ng cù ng gi i. Tí nh xá c su t đchú ng là sinh đơi th t. G i: A là s ki n c p tr sinh đơi làcù ng gi i A 1là s ki n c p tr sinh đơi là sinh đơi th t A 2là s ki n c p tr sinh đơi làgi sinh đơi Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 26
1 A1, A 2là hđy đ, P(A 1) = p; P(A 2) =1-p; P(A/A 1) = 1; P(A/A 2) = 2 Theo cơng th c Bayes ta cĩxá c su t c n tí nh là : (P A1 (P) A / A1 ) 1.p 2p (P A1 / A) = = = (P A (P) A / A ) + (P A (P) A / A ) 1 1+ p 1 1 2 2 1.p + 1( − )p 2 Víd 7.2: T l ng ư i đ n khá m t i m t b nh vi n m c b nh A là 60%, trong s nh ng ng ư i m c b nh A cĩ 50% mc c bnh B, cị n trong s nh ng ng ư i khơng m c bnh A cĩ 70% mc b nh B. 1/ Khá m cho m t ng ư i thì th y ng ư i đĩ mc b nh B. Tí nh xá c su t đ ng ư i đư c khá m cũ ng m c b nh A. 2/ Nu ng ư i đư c khá m khơng m c b nh B tì m xá c su t đ ng ư i đĩ khơng m c bnh A. G i : A là s ki n ng ư i ch n đi khá m m c b nh A B là s ki n ng ư i ch n đi khá m m c b nh B Ta cĩ A và A là mt h đy đ, P(A) = 0,6; P( A ) =0,4 Vì vy ta cĩ : B = BA +B A (P A (P) B/ A) Xá c su t c n tí nh ph n 1 là P(A/B) = (P B) (P A (P) B/ A) Xá c su t c n tí nh ph n 2 là (P A / )B = (P )B Ta cĩ : P(B/A) = 0,5; P( B/ A) = 0,3. Suy ra: P(B) = P(A)P(B/A) + P( A )P(B/ A ) = 0,6.0,5 + 0,4.0,7 = 0,58 ⇒ P( B ) = 0,42 0,30 15 3,0.4,0 2 Vy: P(A/B) = = , (P A / )B = = 0,58 29 0,42 7 Víd 7.3: ð gây đt bi n cho m t tí nh tr ng ng ư i ta tì m cá ch tá c đng lên hai gen A, B b ng phĩ ng x . Xá c su t đt bi n c a tí nh tr ng do gen A là 0,4; do gen B là 0,5 và do c hai gen là 0,9. 1/ Tí nh xá c su t đcĩđt bi n tí nh tr ng đĩ bi t r ng phĩ ng xcĩ th tá c đng lên gen A v i xá c su t 0,7 và lên gen B v i xá c su t 0,6. 2/ Tí nh tr ng cĩ du hi u đt bi n. Xá c đnh vai trịđĩng gĩ p c a t ng gen G i : C là s ki n cĩđt bi n tí nh tr ng đang xé t A là s ki n phĩ ng xtá c d ng lên gen A B là s ki n phĩ ng xtá c d ng lên gen B C 1là s ki n phĩ ng xchtá c đng lên gen A C 2là s ki n phĩ ng xchtá c d ng lên gen B C 3là s ki n phĩ ng xtá c d ng lên c 2 gen Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 27
C 4là s ki n phĩ ng x khơng tá c d ng lên gen nà o Khi đĩ h C1, C 2, C 3, C 4là mt h đy đ C 1 = A B , C 2 = AB , C 3 = AB, C 4 = A B . Mt khá c A, B làđc l p nên P(C 1) = P(A)P( B ) = 0,28, P(C 2) = P( A )P(B) = 0,18 P(C 3) = P(A)P(B) = 0,42; P(C 4) = P( A )P( B ) = 0,12 Mt khá c P(C/C 1) = 0,4; P(C/C 2) = 0,5; P(C/C 3) = 0,9 và P(C/C 4) = 0 Theo cơng th c xá c su t tồ n ph n ta cĩ P(C) = 0,28.0,4 +0,18.0,5 +0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58 Vai trịđĩng gĩ p c a riêng gen A cho s đt bi n là P(C1 )P(C / C1 ) 112 P(C1 / C) = = ≈ ,0 1931 P(C) 580 Vai trịđĩng gĩ p c a riêng gen B cho s đt bi n là P(C2 )P(C / C2 ) 90 P(C2 / C) = = ≈ ,0 1552 P(C) 580 Vai trịđĩng gĩ p c a c hai gen cho s đt bi n là P(C3 )P(C / C3 ) 378 P(C3 / C) = = ≈ ,0 6517 P(C) 580 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 28
Bà i t p ch ươ ng II 1. Tung đng th i 3 đng ti n. Tí nh xá c su tđc 3 đng ti n cù ng xu t hi n m t s p. 2. M t t h c sinh cĩ 4 nam, 4 n. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh. a.Tí nh xá c su t đ trong 3 ng ư i đư c ch n cĩ 2 nam, 1 n. b. Tí nh xá c su t đ trong 3 ng ư i đư c ch n đ u là n. 3. Cĩ 6 tm thđánh s t 1 đ n 6. Rú t l n l ư t 3 tm r i đt t trá i qua ph i a.Tí nh xá c su t đ s lp đư c là s ch n b. Tí nh xá c su t đ s lp đư c chia h t cho 3 c. Tí nh xá c su t đ s lp đư c chia h t cho 5 4. Cĩ n ng ư i x p theo m t hà ng d c (n >5) a.Tí nh xá c su t đ 2 ng ư i A, B đng li n nhau b.Tí nh xá c su t đ 2 ng ư i A, B đng cá ch nhau đúng 3 ng ư i 5. M t h c sinh cĩ 5 quy n sá ch Tố n, 3 quy n sá ch V ăn và 2 quy n sá ch Ngo i ng . H c sinh nà y x p ng u nhiên cá c quy n sá ch nà y trên m t ng ăn c a giásá ch. a. Tí nh xá c su t đ 5 quy n sá ch Tố n đng li n nhau b. Tí nh xá c su t đ khơng cĩ 2 quy n sá ch Tố n nà o x p li n nhau 6. Ch n ng u nhiên 10 h c sinh, tí nh xá c su t đ khơng cĩ 2h c sinh nà o cĩcù ng sinh nh t. 7. Cho m t lơ hà ng cĩ n s n ph m trong đĩcĩ m ph ph m. Ly ng u nhiên k s n ph m (k < n, k < m ). Tí nh xá c su t đ trong k s n ph m l y ra c ĩ l ph ph m (l < k). 8*. M t đồ n tà u và o ga g m cĩ 4 toa, trên sân ga cĩ 8 hà nh khá ch đi lên tà u. Cá c hà nh khá ch nà y cĩ lên m t trong bn toa trên m t cá ch ng u nhiên a. Tí nh xá c su t đ mi toa cĩđúng 2hà nh khá ch m i lên b. Tí nh xá c su t đ mi toa cĩđúng 4 hà nh khá ch m i lên c. Tí nh xá c su t đ mt toa cĩđúng 5 hà nh khá ch m i lên 3 toa cị n l i m i toa cĩ 1hà nh khá ch lên. 9. T i m t tr i l n gi ng cĩ 4 con l n ná i thu c cá c lo ài A, B , C, D cho ph i gi ng v i 4 ln đc cũ ng thu c 4 lồ i trên m t cá ch ng u nhiên . a. Tí nh xá c su t đcá c c p l n cù ng lồ i ph i gi ng v i nhau b. Tí nh xá c su t đ khơng cĩ cp nà o cù ng lồ i ph i gi ng v i nhau Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 29
10. Trong 10 h t đu gi ng cĩ 4 h t đu hoa và ng thu n ch ng, 3 h t đu hoa và ng khơng thu n ch ng và 3 h t đu hoa tr ng. Ch n ng u nhiên 3 h t đu a. Tí nh xá c su t đ 3 h t đu đư c ch n g m 3 lo i khá c nhau b. Tí nh xá c su t đ 3 h t đu đư c ch n làđu cho hoa mà u và ng c. Tí nh xá c su t đ 3 h t đu đư c ch n cĩí t nh t m t h t cho hoa mà u tr ng 11. M t đo n th ng cĩ chi u dà i 2l đư c b ng u nhiên thà nh 3 đo n. Tí nh xá c su t đ 3 đo n nà y l p thà nh m t tam giá c. 12. Do thi u kinh nghi m m t nhân viên th tinh nhân t o cho bịch chu n đố n đư c bịsr ng tr ng trong kho ng 0h sá ng đ n 24h cù ng ngà y. Bi t r ng tr ng và tinh trù ng cĩ th sng trong t cung khơng quá t gi (t < 12). a. K thu t viên ti n hà nh th tinh nhân t o và o lú c 12h. Tí nh xá c su t đ vi c th tinh thà nh cơng. b. Kĩ thu t viên ti n hà nh vi c th tinh nhân t o m t cá ch ng u nhiên trong quã ng th i gian t 10h đ n 14h. Tí nh xá c su t đ vi c th tinh thà nh cơng. 13 . Lai gà lơng mà u nâu v i gà lơng màu trng gà con th h F1cĩ lơng mà u nâu, mà u xám và màu tr ng theo t l: 1 : 2 : 1. Ch n ng u nhiên 5 qu tr ng th h F1 đem p và c 5 qu tr ng đu n . Tí nh xá c su t đ: a. Cĩđúng 3 gà con cĩ lơng màu nâu. b. Cĩ 2 gà con cĩ lơng màu nâu và 3 gà con cĩ lơng màu xám. c. Cĩ 1 gà con cĩ lơng màu nâu, 2 gà con cĩ lơng màu xám, 2 gà con cĩ lơng màu tr ng. 14. Bi t t l ng ư i cĩnhĩ m má u O, A, B và AB trong c ng đng t ươ ng ng là : 34%, 37%, 21%, 8%. Ng ư i cĩnhĩ m má u O, A, B chcĩ th nh n má u c a ng ư i cù ng nhĩ m v i mì nh ho c nh n t ng ư i cĩnhĩ m má u O, cị n ng ư i cĩnhĩ m má u AB cĩ th nh n má u t bt c mt ng ư i cĩnhĩ m má u nà o. Cĩ mt ng ư i c n ti p má u và mt ng ư i cho má u. Vi c truy n má u đãđư c th c hi n. a. Tí nh xá c su t đ ng ư i nh n má u cĩnhĩ m má u A b. Tí nh xá c su t đ ng ư i nh n má u cĩnhĩ m má u B 15. M t cơng ty cĩ hai phị ng ch c n ăng. Phị ng A g m 3 nhân viên nam, 2 nhân viên n . Phị ng B g m 3 nhân viên nam, 3 nhân viên n . ð ki m tra n ăng l c là m vi c c a m i phị ng, giá m đc cơng ty quy t đnh c h n m i phị ng 2 nhân viên đ ki m tra chuyên mơn. Bi t r ng m i nhân viên phị ng A cĩ th vư t qua kỳ ki m tra v i xá c su t 0,8 đi vi nam và 0,7 đi v i n . Mi nhân viên phị ng B cĩ th vư t qua kỳ ki m tra v i xá c su t 0,7 đi v i nam và 0,8 đi v i n . a. Tí nh xá c su t đ 4 nhân viên đư c ch n đ u là nam. b. Tí nh xá c su t đ 4 nhân viên đư c ch n đ u qua kì ki m tra Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 30
c. Kh n ăng v ưt qua kì ki m tra c a phịng nào cao h ơn? 16. M t nhĩ m b nh nhân g m 6 ng ư i trong đĩcĩ 4 ng ư i m c b nh A và 5 ng ư i m c bnh B. a. Tì m s bnh nhân m c c hai lo i b nh b. Ch n ng u nhiên 2 trong s 6 b nh nhân nĩ i trên. Tí nh xá c su t đ 2 ng ư i đĩ mc c hai lo i b nh. c. Ng ư i ta đnh s d ng m t lo i bi t d ư c X đđiu tr cho nhĩ m b nh nhân trên. Xá c su t đ mt b nh nhân ch mc m t lo i b nh khi s d ng bi t d ư c X kh i b nh là 0,8. Xá c su t đ mt b nh nhân m c c hai lo i b nh khi s d ng bi t d ư c X kh i b nh là 0,6. Ch n ng u nhiên hai b nh nhân trong 6 bnh nhân nĩ i trên r i cho dù ng bi t d ư c X. Tí nh xá c su t đc hai b nh nhân kh i b nh. 17. Ba phị ng thí nghi m đư c giao nhi m vt o gi ng lú a m i. Ba phị ng là m vi c đc lp, xá c su t thà nh cơng t ươ ng ng là 0,4; 0,3; 0,2. a. Tí nh xá c su t đcĩđúng m t phị ng thà nh cơng. b. Tí nh xá c su t đcĩí t nh t m t phị ng thà nh cơng. c. Trong m t n ăm n u phị ng nà o thà nh cơng trong vi c t o ra gi ng lú a m i thìđư c coi làhồ n thà nh nhi m v . Nu th t b i đư c là m thêm m t l n n a và nu l n nà y thà nh cơng thìcũ ng đư c coi làhồ n thà nh nhi m v . Tí nh xá c su t đc ba phị ng cù ng hồ n thà nh nhi m v . 18. M t m ng cung c p đin nh ư hì nh v Hì nh 3 ðin đư c cung c p t E t i khu tiêu dù ng F qua n ăm tr m bi n áp A, B, C, D, G. C ác tr m bi n áp nà y là m vi c đc l p, xá c su t đ mi tr m bi n áp A, B, C cĩ s ckĩ thu t sau m t th i gian ho t đng là 0,1. Xá c su t trên v i hai tr m D, G là 0,05. a. Tí nh xá c su t đ F m t đin. b. Bi t F b mt đin.Tí nh xá c su t đc 2 tr m D, G cĩ s c. 19. Cho A, B là hai s ki n cĩ P(A) = 0,45; P(B) = 0,30; P(A ∪B) = 0.60. Hã y tí nh cá c xá c su t sau: a. P( A )B ; b. P(B/A) ; c. P(AB) ; d. P(A/B) 20. Cho P(A) = 3/14; P(B) = 1/6; P(C) = 1/3; P(AC) = 1/7; P(B/C) = 5/21. Tí nh: a. P(A/C) ; b. P(C/A) ; c. P(BC) ; d. P(C/B) Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 31
21. N u m t c ơn bã o xu t hi n b bi n Philippin thì cơn bã o đĩsđ bvà o Vi t Nam vi t l p1. Kinh nghi m cho bi t xá c su t đ mt c ơn bã o xu t hi n vù ng bi n nà y trong thá ng Tám là p2. a. Tí nh xá c su t đ mt c ơn bã o s xu t hi n b bi n Philippin vàsđ bvà o Vi t Nam trong thá ng Tám n ăm nay. b. N u c ơn bã o hì nh thà nh vù ng bi n Philippin màđư c là m nhđi b ng kĩ thu t phun hố ch t khi bã o qua vù ng bi n Tr ư ng sa thìkh năng nĩđ bvà o Vi t Nam sgi m đi 1/4. Tí nh xá c su t ph n a trong tr ư ng h p nà y. Bi t rng các c ơn bão xu t hi n vùng bi n Philippin khi đ b vào đt li n luơn đi qua qu n đo Tr ưng sa. 22. M t nhà phân tí ch th tr ư ng ch ng khố n xem xé t tri n v ng c a cá c ch ng khốn c a nhi u cơng ty đang ph át hà nh. Mt n ăm sau 25% s ch ng khố n t ra t t h ơn nhi u so v i trung bì nh c a th tr ư ng, 25% s ch ng khố n t ra x u h ơn nhi u so v i trung bì nh c a th tr ư ng và 50% bng trung bì nh c a th tr ưng. Trong s nh ng ch ng khố n tr nên t t cĩ 40% đư c nhà phân tí ch đánh giálà mua t t, 20% s ch ng khố n là trung bì nh cũ ng đư c đánh giálà mua t t và 10% s ch ng khố n tr nên x u cũ ng đư c đánh giálà mua t t. a. Tí nh xá c su t đ mt ch ng khố n đư c đánh giálà mua t t s tr thà nh t t. b. Tí nh xá c su t đ mt ch ng khố n đư c đánh giálà mua t t s tr thà nh x u. 23. M t đi lýt i Hà Ni kinh doanh đ ung do ba cơng ty A, B, C s n xu t theo t l 2 : 3 : 5. T lđ ung cĩ ga t ươ ng ng ba cơng ty trên là 70%, 60% và 50%. a. Ch n ng u nhiên m t ki n hà ng t i kho c a đi lý . Tí nh xá c su t đ ki n đ ung đư c ch n làđ ung cĩ ga. b. Bi t ki n hà ng đư c ch n làđ ung cĩ ga. Tí nh xá c su t đ ki n hà ng đĩ do cơng ty A s n xu t. 24. Trong m t kho s lư ng r ư u lo i A vàlo i B là nh ư nhau. Ng ư i ta ch n ng u nhiên t trong kho ra m t chai r ư u vàđư a cho 5 ng ư i sà nh r ư u n m th đ xem đây làlo i rư u nà o. Gi sxá c su t đố n đúng c a m i ng ư i là 0,7. Cĩ 3 ng ư i k t lu n là rư u lo i A, 2 ng ư i k t lu n là rư u lo i B. Tí nh xá c su t đ chai r ư u trên là rư u lo i A. 25. M t trung tâm phân ph i gi ng cây tr ng nh n cây gi ng t 3 cơ skhá c nhau theo t l: 2 : 3 : 5. T l cây gi ng x u t ươ ng ng là 5%, 3% và 2%. a. Ch n ng u nhiên m t cây gi ng c a trung tâm. Tí nh xá c su t đ cây gi ng đư c ch n là cây x u. b. Bi t cây gi ng đư c ch n là cây gi ng x u. Kh năng cây gi ng đĩ thu c c ơ snà o là cao nh t? T i sao? 26. Cho lai gà lơng xá m thu n ch ng (tí nh tr ng tr i) vi gà lơng tr ng thu n ch ng (tí nh tr ng l n) th h F1 t t cgà con đ u cĩ lơng mà u xá m , th h F2gàcĩ lơng mà u Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 32
xá m vàmà u tr ng theo t l 3 : 1. Bi t t lgà lơng xá m thu n ch ng , gà lơng xá m khơng thu n ch ng, gà lơng tr ng thu n ch ng trong m t đàn gàlà 1 : 2 : 1. Mt qu tr ng gà c a m t gàm lơng xá m khơng thu n ch ng s p n ra m t chúgà con. a. Tí nh xá c su t đgà con n ra cĩ lơng mà u tr ng. b. Bi t gà con n ra cĩ lơng mà u xá m. Tí nh xá c su t đgà bcĩ lơng mà u tr ng. 27.T l ng ư i c ĩkí sinh trù ng s t ré t trong má u c a m i ng ư i dân vù ng cao là 0,2. a. Ch n ng u nhiên 4 ng ư i. Tí nh xá c su t đ trong 4 ng ư i đư c ch n cĩ 3 ng ư i trong má u cĩkí sinh trù ng s t ré t. b. L y má u c a 100 ng ư i đem th . Tí nh xá c su t đcĩí t nh t m t ng ư i cĩkí sinh trù ng s t ré t trong má u. 28.Cĩ hai t h c sinh. T th nh t cĩ 4 nam 5 n, t th hai cĩ 5 nam 6 n. Chon ng u nhiên ra m i t 3 h c sinh r i ghé p m i h c sinh t nà y v i mi h c sinh c a t kia là m mt nhĩ m h c t p a.Tí nh xá c su t đcá c nhĩ m h c t p đ u cù ng gi i. b.Tí nh xá c su t đcá c nhĩ m h c t p đ u khá c gi i 29. Nhân ngà y qu c t ph n, sinh viên A và o c a hà ng hoa t i c ng tr ư ng mua ng u nhiên 3 bơng hoa đ tng cho 3 b n n mi ng ư i 1 bơng. Sinh viên B cũ ng và o c a hà ng hoa nà y vàcũ ng mua ng u nhiên 3 bơng hoa đ tng cho 3 b n n nĩ i trên m i ng ư i 1 bơng. Ca hà ng hoa chbá n 3 lo i hoa là h ng b ch, h ng và ng và hng nhung. a. Tí nh xá c su t đ mi b n n đư c t ng 2 bơng hoa cù ng mà u. b. Tí nh xá c su t đ mi b n n đư c t ng 2 bơng hoa g m 2 mà u khá c nhau. 30. M t h p đu gi ng g m 2 h t đu tr ng và 3 h t đu đ. Mt h p khá c g m 3 h t đu tr ng và 2 h t đu đ. T ln y m m là 0,8 đi v i m i h t đu tr ng, là 0,7 đi v i m i h t đu đ. Ly ng u nhiên t mi h p ra 2 h t đem gieo. a. Tí nh xá c su t đc 4 h t đ u n y m m. b. Bi t 4 h t đem gieo đ u n y m m. Tí nh xá c su t đ 4 h t nà y đ u làđu đ. 31. Lai hai gi ng hoa mà u h ng vàmà u đ thu n ch ng, cá c cây con F 1cĩ th cho hoa mà u h ng, mà u đ ho c mà u cá nh sen v i t l 1: 1: 2. Ch n ng u nhiên 5 h t hoa F 1 đem gieo. Tí nh xá c su t đ : a. Cĩđúng 3 cây cho hoa mà u đ. b. Cĩ 2 cây hoa mà u đ, 3 cây mà u h ng. c. Cĩ 1 cây mà u đ, 1 cây mà u h ng và 3 cây mà u cá nh sen. 32. D ư i tá c đng c a phĩ ng xcá c nhi m s c th c a m t t bà o bgã y là m hai m nh trong đĩchcĩ mt m nh ch a tâm đng. Cá c m nh gã y theo th i gian s tghé p l i v i nhau m t cá ch ng u nhiên và tbà o s sng sĩ t n u m i c p m nh ghé p v i nhau ch ch a m t tâm đng. Tì m xá c su t đ tbà o s ng sĩ t, bi t r ng t bà o đĩcĩ n nhi m s c th bgã y. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 33
33. ( Bà i tố n Buffon) Trên m t ph ng cĩ mt d i cá c đư ng th ng song song cá ch đ u nhau m t kho ng 2a. Gieo ng u nhiên m t cá i kim cĩchiè u dà i 2l (l m). a. Tí nh xá c su t đcĩđúng 1 hp khơng ch a viên bi nà o. b. Tí nh xá c su t đcĩ 1 hp ch a c n viên bi. c. Tí nh xá c su t đ mi h p cĩí t nh t 1 viên bi. 36. ( Bà i tố n Banach) Mt nhàtố n h c cĩ 2 bao diêm, m i bao cĩ n que. Ơng ta đ mi bên tú i 1 bao. Khi s d ng n hàbá c h c rú t ng u nhiên 1 bao r i rú t ra 1 que đdù ng. Tì m xá c su t đ khi ơng phá t hi n 1 bao đã ht diêm thì bao kia cị n k que. 37.Cĩ k th ùng h t gi ng gm k lo i khác nhau đư c g i đ n m t trung tâm b o qu n gi ng. Trung tâm nà y cĩ k phị ng đư c đánh s t 1 đ n k m i phị ng b o qu n m t lo i h t gi ng. Do ng ư i phtrá ch kĩ thu t c a trung tâm v ng m t, nhân viên b o v đành xp t m m i thù ng h t gi ng và o m t phị ng. a. Tí nh xá c su t đ khơng thù ng nà o đđúng vtrí . b. Tí nh xá c su t đcá c thù ng đ u đđúng vtrí . 38 *. Trên m t toa tà u cĩ 30 hà nh khá ch. ðn ga ti p theo m i hà nh khá ch cĩ th xu ng tà u v i xá c su t 0,3. T i ga nà y m i hà nh khá ch m i cĩ th lên toa tà u trên v i xá c su t 0,5. Tí nh xá c su t đ khi ra kh i ga toa tà u v n cị n đ 30 hà nh khá ch. 39. M t c a hà ng bá n m t lo i s n ph m trong đĩ 30% do nhàmá y A s n xu t, 40% do nhàmá y B s n xu t, 30% do nhàmá y C s n xu t. T ls n ph m lo i mtc a ba nhàmá y trên l n l ư t là : 0,9 ; 0,8 , 0,9. a. Mua ng u nhiên m t s n ph m t i c a hà ng. Tĩ m xá c su t đs n ph m mua đư c là lo i mt. b. Bi t s n ph m mua đư cl àlo i mt. Tí nh xá c su t đs n ph m đĩ do nhàmá y A s n su t. 40.T i m t vù ng dân c ư, t l ng ư i nghi n hú t thu c lálà 0,2. Bi t r ng t l viêm h ng trong s ng ư i nghi n thu c lálà 0,7 và vi ng ư i khơng nghi n là 0,2. Khá m ng u nhiên 1 ng ư i thì th y ng ư i đĩb viêm h ng. Tí nh xá c su t đ ng ư i đĩ nghi n thu c lá . 41.Cĩ 8 ng ư i rú t th ăm đch n cá c c ăn h trong m t chung c ư t tng 8 đ n t ng 15, mi t ng cĩ 8 căn h . a. Tí nh xá c su t đđc 8 ng ư i trên đ u nh n đưc các c ăn h trong cù ng m t t ng. b. Tí nh xá c su t đ 8 ng ư i trên nh n đưc 8 căn h trên 8 tng khá c nhau. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 34
Ch ươ ng 3 Bi n ng u nhiên ðnh nghĩ a chí nh xá c mang tí nh tố n h c thu n tuý v bi n ng u nhiên v ư t kh i yêu c u c a giá o trì nh. ðnh nghĩ a đư c trì nh bà y đây mang tí nh mơ t , tuy nhiên nĩcũ ng giú p cho ng ư i h c hi u đư c th nà o là bi n ng u nhiên, bi n ng u nhiên r i r c, bi n nhiên liên t c. Cá c khá i ni m khá c nh ư b ng phân ph i xá c su t hà m phân ph i cũ ng nh ư hà m mt đxá c su t đ u đư c trì nh bà y v i nh ng ki n th c đơ n gi n nh t. Cá c s đc tr ưng quan tr ng nh t c a bi nngã u nhiên nh ư kìv ng, ph ươ ng sai, đ lch chu n đư c trì nh bà y kĩ hơn cá c s đc tr ưng khá c.Cá c bi n ng u nhiên r i r c và liên t c th ư ng g p trong th c t cũ ng nh ư cá c s đc tr ưng c a chú ng đư c gi i thi u khákĩ . K há i ni m vé ct ơ ng u nhiên đư c g i thi u m t cá ch s ơ lư c. Cá c víd liên quan t i cá c ki n th c lý thuy t cũ ng nh ư cá c ng d ng th c t giú p ng ư i h c hi u vàcĩ hng thú hơn đi v i mơn h c. Lu t s ln, m t s đnh lí v lu t s ln và mt s đnh lý gi i h n đư c gi i thi u s ơ lư c trong ch ươ ng nà y. I Bi n ng u nhiên Khi ti n hà nh mt phé p th ng u nhiên, cá c k t quc a phé p th th ư ng làcá c đc tí nh đnh tí nh. Tuy nhiên trong nhi u phé p th mi m t k t quc a phép th th ư ng đư c gá n tươ ng ng v i m t giátrđnh l ư ng nà o đĩ. Ch ng h n khi ch ơi cá c trị ch ơi ăn ti n m i kt quc a m t l n ch ơi đư c gá n t ươ ng ng v i m t s ti n ( đc tí nh đnh l ư ng) mà ng ư i ch ơi đư c hay m t ho c khi nh m b n m t phá t đn và o bia, m i k t quc a vi c bn t ươ ng ng v i đim s ( đc tí nh đnh l ư ng) màxthđt đư c. 1. ðnh nghĩ a: Bi n ng u nhiên (th c) là bi n nh n giátrlàcá c s th c ph thu c và o k t quc a phé p th ng u nhiên . Ta th ư ng dù ng cá c ch cá i hoa X, Y, Z đchcá c bi n ng u nhiên vàcá c ch cá i th ưng x, y, z ho c x i , y j . đchcá c giátrc th mà bi n ng u nhiên đĩ nh n. 2. Cá c víd : Víd 1: Tung đng th i hai con xú c x c. G i X là tng s ch m hai m t trên, X là mt bi n ng u nhiên vàcĩ th nh n m t trong cá c giátr t 2 đ n 12 Víd 2: M t ng ư i nh m b n và o bia cho t i khi trú ng bia thì ng ng. G i Y là sđn cn dù ng. Y là mt bi n ng u nhiên nh n cá cgiátr : 1, 2, , n, Víd 3: Th p sá ng liên t c m t bĩ ng đèn đin cho t i khi dây tĩ c c a bĩ ng đèn b chá y. G i Z là th i gian bĩ ng đèn sá ng. Z là mt bi n ng u nhiên Qua ba víd trên ta th y cĩ hai lo i bi n ng u nhiên: Lo i th nh t làlo i bi n ng u nhiên ch nh n m t s hu h n hay vơ h n đ m đư c cá c giátr . *Mt t p đư c g i là vơ h n đ m đư c n u t n t i m t phé p t ươ ng ng m t - m t t i t p cá c s t nhiên N. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 35
Lo i th hai làlo i bi n ng u nhiên mànĩcĩ th nh n cá c giátr trong m t kho ng ho c mt s kho ng th c nà o đĩ. Lo i bi n ng u nhiên th nh t g i là bi n ng u nhiên r i r c. Lo i bi n ng u nhiên th hai g i là bi n ng u nhiên liên t c. Vi c đư a ra m t đnh nghĩ a thu n tuýtố n h c v bi n ng u nhiên khơng đư c trì nh bà y đây. Ng ư i đc mu n bi t cĩ th tham kh o cá c tà i li u d n ra cu i giá o trì nh nà y. 3. B ng phân ph i xá c su t c a m t bi n ng u nhiên r i r c. 3.1. ðnh nghĩ a: B ng phân ph i xá c su t c a m t bi n ng u nhiên r i r c X là mt b ng gm hai dị ng Dị ng trên ghi cá c giátrcĩ th cĩc a bi n ng u nhiên X, dị ng d ư i ghi cá c xá c su t tươ ng ng. Nu X nh n 1 s hu h n cá c giátrthìb ng phân ph i xá c su t c a X là : X x1 x 2 x i x n P p1 p 2 p i p n Nu X nh n 1 s vơ h n đ m cá c gi átrthìb ng phân ph i xá c su t c a X là X x1 x 2 x i x n P p1 p 2 p i p n p i = P(X= x i) làxá c su t đ X nh n giátrlà xi. n p Do X nh n và ch nh n m t trong cá c giátr xi nên ta cĩ ∑ i = 1 đi v i b ng th nh t i=1 ∞ p và ∑ i = 1 đi v i b ng th hai. i=1 3.2. Cá c víd Víd 1: M t ng ư i ch ơi trị ch ơi ăn ti n b ng cá ch tung đng th i 2 đng ti n cân đi vàđng ch t. Nu c hai xu t hi n m t s p anh ta đư c 100 đng, n u c hai xu t hi n mt ng a anh ta m t 40 đng cị n xu t hi n m t s p m t ng a anh ta m t 30 đng. G i X là s ti n anh ta nh n đưc sau m t vá n ch ơi. Lp b ng phân ph i xá c su t c a X Nh n th y X cĩ th nh n cá c giátr - 40, - 30, 100 tươ ng ng v i vi c m t 40 đng , m t 30 đng vàđư c 100 đng. 1 1 1 Ta cĩ P(X = - 40) = , (P X = −30 ) = , (P X =100 ) = 4 2 4 Vy b ng phân ph i xá c su t c a X là X - 40 - 30 100 1 1 1 P 4 2 4 Víd 2 : M t phị ng thí nghi m đư c c p ba tri u đng đ ti n hà nh thí nghi m tì m mt ch ng vi rú t trong gia c m. Mt l n thí nghi m chi phí mt tri u đng. Nu phá t hi n ra ch ng vi rú t nà y thì ng ng thí nghi m. Nu khơng phá t hi n ra thìlà m thí nghi m cho ti khi phá t hi n ra ch ng vi rú t trên ho c h t kinh phíthì dng. G i Y là s ti n mà Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 36
phị ng thí nghi m trên ti t ki m đư c. Lp b ng phân ph i xá c su t c a Y bi t cá c thí nghi m làđc l p v i nhau vàxá c sut đtì m ra ch ng vi rú t mi l n thí nghi m là 0,3. Ta th y Y cĩ th nh n m t trong ba giátr 0, 1, 2. Vi xá c su t t ươ ng ng P(Y= 0 ) = 0,7 2 = 0,49; P( Y = 1 ) = 0,7.0,3 = 0,21; P( Y = 2 ) = 0,3. Vy b ng phân ph i xá c su t c a Y là Y 0 1 2 P 0,49 0,21 0,3 Víd 3: M t ng ư i nh m b n và o m t m c tiêu cho t i khi trú ng đích thì dng. Cá c ln b n đc l p, xá c su t trú ng đích c a m i l n b n là p (0 2 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 37
ðthc a F(x) Hì nh 1 Víd 2: ð th sc ch u né n c a m t lo i v t li u ng ư i ta ti n hà nh theo ba m c sau: Mc 1: Ti n hà nh th vi áp l c 200 kG / cm 2 . Nu v t li u ch u đư c áp l c nà y thì chuy n sang m c hai Mc 2: Ti n hà nh th vi áp l c 230 kG / cm 2 . Nu v t li u ch u đư c áp l c nà y thì chuy n sang m c ba Mc 3: Ti n hà nh th vi áp l c 250 kG / cm 2 Bi t cá c l n th đc l p v i nhau vàxá c su t đlo i v t li u ch u đư c cá c m c th trên tươ ng ng là 0,90; 0,60; 0,40. G i X là s ln th . Y là s ln th thà nh cơng. Hã y tì m hà m phân ph i xá c su t c a X vàc a Y Ta th y: X cĩ th nh n cá c giátr 1, 2, 3 Y cĩ th nh n cá c giátr 0, 1, 2, 3. P( X = 1) = 0,1; P( X = 2) = 0,9.0,4 = 0,36; P( X = 3) = 0,9.0,6 = 0,54 Vy hà m phân ph i xá c su t c a X là  0 khi x ≤1   1,0 khi 1≤ x 3 P(Y = 0) = 0,1; P(Y = 1) = 0,9.0,4 = 0,36; P(Y = 2) = 0,9.0,6.0,6 = 0,324 P(Y = 3) = 0,9.0,6.0,4 = 0,216 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 38
0 khi x ≤0  1,0 0 1  khi ≤ x 3 5. Cá c tí nh ch t c a hà m phân ph i: Hà m phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X cĩcá c tí nh ch t sau Tí nh ch t 5.1: 0 ≤ F(x) ≤1 Tí nh ch t nà y suy ra t đnh nghĩ a c a hà m phân ph i xá c su t . Tí nh ch t 5.1: lim )x(F =0 ; lim )x(F =1 x→−∞ x→∞ Vi c ch ng minh tí nh ch t nà y v ư t ra kh i ki n th c c a giá o trì nh nà y. Tuy nhiên n u đt lim )x(F = (F −∞ ;) lim )x(F = (F ∞) x→−∞ x→∞ thì ta cĩ th hi u khi x → −∞ s ki n X  2 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 39
1/ Ch ng minh r ng F(x) là hàm phân ph i xá c su t c a bi n ng u nhiên X nà o đĩ 2/ G i X là bi n ng u nhiên cĩhà m phân ph i F(x). π Tí nh: P( 0 ≤ X , F(x) = 1 cũ ng khơng 2 2 gi m.T nh ng k t qu nêu trên ta th y F(x) khơng gi m trên R. Theo cá c yêu c u đ mt hà m s vi bi n s th c tr thà nh hà m phân ph i xá c su t c a m t bi n ng u nhiên nà o đĩ, hà m F(x) thomã n cá c yêu câùnà y. V y nĩlàhà m phân ph i xá c su t c a m t bi n ng u nhiên.G i X là bi n ng u nhiên cĩhà m phân ph i xá c su t F(x) nêu trên, theo tí nh ch t 4 ta cĩ : π π 2 2 − 2 P( 0 ≤ x < ) = F ( )- F(0) = 1- − 0 = 4 4 2 2 6. Hà m m t đxá c su t ðnh nghĩ a: Nu hà m phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X cĩđo hà m ∀ x ∈R thì F′ )x( = )x(f đư c g i làhà m m t đxá c su t c a bi n ng u nhiên X Khi đĩ bi n ng u nhiên X g i là bi n ng u nhiên liên t c tuy t đi. Tđnh nghĩ a trên ta th y n u X là bi n ng u nhiên r i r c thìhà m phân ph i xá c su t c a X làhà m giá n đo n nên F(x) khơng kh vi ( khơng cĩđo hà m) t i nh ng đim giá n đo n. Vì vy bi n ng u nhiên r i r c khơng cĩhà m m t đxá c su t. 7. Cá c tí nh ch t Tí nh ch t 7.1: Hà m m t đxá c su t c a bi n ng u nhiên X là mt hà m khơng âm Th t v y vì F(x) làhà m khơng gi m nên )x(f = F′ )x( ≥ 0 x Tí nh ch t 7.2: Hà m phân ph i xá c su t )x(F = ∫f (t)dt đĩ f(x) làhà m m t đxá c su t −∞ c a X Th t v y do F(x) là mt nguyên hà m c a f(x) nên: x x f (t)dt = )t(F = )x(F − (F −∞ ) = )x(F ∫ −∞ −∞ Tí nh ch t trên đư c minh ho bi hì nh sau: Hình 2 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 40
b Tí nh ch t 7.3: a(P ≤ X < )a = ∫ f (x)dx a Th t v y do F(x) là mt nguyên hà m c a f(x) nên b b f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a) = a(P ≤ X < )b ∫ a a Tí nh ch t 7.4: N u X cĩhà m m t đ f(x) thì P(X = a) = 0 ∀ x ∈R Vì P(X =a) = lim a(P ≤ X < )b = lim )b(F[ − )a(F = 0 b→a+ b→a+ Do F(x) kh vi nên F(x) liên t c T hai tí nh ch t trên ta cĩ hqu sau: Nu bi n ng u nhiên X cĩhà m m t đxá c su t f(x) thì b P[a ≤ X < b] = P[a <X ≤ b]= P[a< X < b]= P[a ≤ X ≤ b] = ∫f (x)dx a +∞ Tí nh ch t 7.5: ∫f (x)dx =1Vì : −∞ +∞ f (x)dx = )x(F +∞ = (F +∞ ) − (F −∞ ) =1 ∫ −∞ −∞ Ttí nh ch t nà y ta th y di n tí ch c a hì nh gi i h n b i hà m m t đxá c su t c a vàtr c Ox b ng 1. Ng ư i ta cũ ng đã ch ng minh đư c r ng n u m t hà m th c f(x) khơng âm và +∞ ∫f (x)dx =1thìnĩcũ ng làhà m m t đxá c su t c a m t bi n ng u nhiên X nà o đĩ −∞ 8. Cá c víd : 0 nÕu x∉[0,π] Víd 1: Cho )x(f =  Asin x nÕu x ∈[0,π] 1/ Tì m A đ f(x) làhà m m t đxá c su t 2/ Tì mhà m phân ph i xá c su t t ươ ng ng +∞ ð f(x) tr thà nh hà m m t đxá c su t thì f(x) ≥ 0 và ∫f (x)dx =1. −∞ T f(x) ≥ 0 suy ra A ≥ 0. +∞ π 1 Xé t f (x)dx =1 ⇔ Asin xdx =1⇔ −Acos |x π =1⇔ 2A =1⇔ A = ∫ ∫ 0 2 −∞ 0 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 41
 0 nÕu x ≤ 0 x 1 1 Cĩ F(x) = f (t)dt = − cos x nÕu 0 π A Víd 2: Cho )x(f = 1+ x 2 1/ Tì m A đ f(x) làhà m m t đxá c su t c a bi n ng u nhiên X nà o đĩ 2/ Tì m hà m phân ph i xá c su t t ươ ng ng 3/ Tí nh P[0<X<1] ð f(x) làhà m m t đxá c su t ⇒ A ≥ 0 và +∞ A 1 dx =1⇔ Aarctgx |+∞ =1 ⇔ Aπ =1⇔ A = ∫1 x 2 −∞ −∞ + π x 1 dt 1 x 1 π F(x) = . = arctgt | = (arctgx + ) ∫ 1 t 2 −∞ 2 −∞π + π π 1 1 Xá c su t: P[0 <X <1] = arctg 1 = π 4 II. Cá c s đc tr ưng Khi bi t b ng phân ph i xá c su t hay hà m phân ph i xá c su t đi v i bi n ng u nhiên ri r c, bi t hà m phân ph i xá c su t hay hà m m t đxá c su t đi v i bi n ng u nhiênliên t c làhồ n tồ n xá c đnh đư c qui lu t xá c su t c a bi n ng u nhiên. Tuy nhiên, trong th c t ,đ gi i quy t m t v n đ nào đĩ nhi u khi khơng c n ph i bi t m t trong cá c lo i hà m nêu trên màch cn bi t m t s giátrđc tr ưng t ươ ng ng v i bi n ng u nhiên đang xé t. Cá c giátrđc tr ưng nà y đư c chia thà nh hai nhĩ m m t nhĩ m đc trưng cho vtrívà mt nhĩ m đc tr ưng cho mc phân tá n c a bi n ng u nhiên. 1. Kìv ng 1.1.Cá c đnh nghĩ a Nu bi n ng u nhiên X cĩb ng phân ph i xá c su t X x1 x 2 x i .x n P p1 p 2 p i p n thìkìv ng tố n ( ho c v ng s ) c a Xlà skí hi u là M(X) hay E(X) cho b i: n E(X) = p x ∑ i i i=1 Nu bi n ng u nhiên X nh n vơ h n đ m đư c cá c giátrcĩb ng phân ph i xá c su t X x1 x 2 x i x n P p1 p 2 p i p n Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 42
∞ n u p x| | h i ng n a X s M(X) ho c E(X) cho b i và ∑ n n tthìkìv tố c là n=1 ∞ E(X) = p x ∑ n n n=1 +∞ Nu bi n ng u nhiên X cĩhà m m t đxá c su t f(x) và nu ∫| x | f (x)dx h i tthìkì −∞ +∞ v ng tố n c a X là s E(X) = ∫ xf (x)dx −∞ Tcá c đnh nghĩ a trên ta nh n th y: * ðnh nghĩ a ch ra cá ch tí nh kìv ng to án c a bi n ng u nhiên . *Cá c bi n ng u nhiên r i r c nh n m t s hu h n cá c giátr luơn cĩkìv ng tố n. * Cá c bi n ng u nhiên r i r c nh n m t s vơ h n đ m đư c ho c khơng đ m đư c cá c giátrcĩ th khơng cĩgiátrkìv ng . * Kìv ng c a bi n ng u nhiên X làgiátrđc tr ưng cho vtrí (tr ng tâm ho c trung tâm) c a bi n ng u nhiên . * Kì v ng cịn đoc g i là trung bình s h c c a bi n ng u nhiên. 1.2 Cá c víd Víd 1: Mt nhĩ m 10 ng ư i trong đĩ ba ng ư i cao 1,62 m, hai ng ư i cao 1,66m, hai ng ư i cao 1,70m và ba ng ư i cao 1,74m. Ch n ng u nhiên m t ng ư i trong nhĩ m ng ư i trên. G i X là chi u cao c a ng ư i đư c ch n. Tí nh E(X) Ta cĩb ng phân ph i xá c su t c a X X 1,62 1,66 1,70 1,74 P 0,3 0,2 0,2 0,3 Vy E(X) = 0,3.1,62 + 0,2.1,66 + 0,2.1,70 + 0,3.1,74 = 1,68m Víd 2: Sau m t n ăm bá n hà ng, m t c a hà ng kinh doanh hoa t ươ i t i Hà ni nh n th y s lng hoa X bá n ra trong ngà y theo t l (xá c su t ) sau: X 9 10 11 12 13 14 15 P 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10 Mt l ng hoa t ươ i mua và o 60.000 đng bá n ra 100000 đng, n u trong ngà y bá n khơng ht s cịn l i b v tb . S lng hoa c n mua và o là bao nhiêu đ li nhu n trung bì nh thu đư c là cao nh t? ð th c hiên bà i tố n trên ta l p b ng sau: Hà ng đu c a b ng ghi s lng hoa Y d đnh mua và o trong ngà y. C t đu c a b ng ghi s lng hoa X cĩ th bá n ra trong ngà y. C t cu i ghi xá c su t bá n đư c s lng hoa t ươ ng ng. Ơ giao gi a dị ng i và ct j là ti n l i (tr ăm nghì n) thu đư c khi mua và o j l ng bá n ra i lng. Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 43
Y 9 10 11 12 13 14 15 P X 9 360 300 240 180 120 60 0 0,05 10 360 400 340 280 220 160 100 0,10 11 360 400 440 380 320 260 200 0,15 12 360 400 440 480 420 360 300 0,25 13 360 400 440 480 520 460 400 0,20 14 360 400 440 480 520 560 500 0,15 15 360 400 440 480 520 560 600 0,10 Vi c quy t đnh mua cá c l ng hoa hà ng ngà y cĩ th th c hi n theo cá c ph ươ ng án sau: Ph ươ ng án 1: Mua và o 9 lng, tin l i trung bì nh là : E 1 = 360 Ph ươ ng án 2: Mua và o 10 lng, ti n l i trung b ình là : E 2 = 300. 0,05 + 400. 0,95 = 395 Ph ươ ng án 3: Mua và o 11 lng, ti n l i trung bì nh là : E 3 = 240. 0,05 + 340. 0,10 + 440. 0,85 = 420 Ph ươ ng án 4: Mua và o 12 lng, l i nhu n là : E 4 = 180. 0,05 + 280. 0,1 + 380. 0,15 + 480. 0,70 = 430 Ph ươ ng án 5:Mua và o 13 lng, l i nhu n là : E 5 = 120. 0,05 + 220. 0,1 + 320. 0,15 + 420. 0,25 + 520. 0,45 = 415 Ph ươ ng án 6: Mua và o 14 lng, l i nhu n trung bì nh là : E 6 = 60. 0,05 + 160. 0,1 + 260. 0,15 +360. 0,25 + 460. 0,20 + 560. 0,25 = 380 Ph ươ ng án 7: Mua và o 15 lng, l i nhu n trung bì nh là : E 7 = 0. 0,05 + 100. 0,1 +200. 0,15 + 300. 0,25 + 400. 0,2 + 500. 0,15 + 600. 0,1 = 330 Tcá c k t qu trên ta th y khi c a hà ng mua và o 12lã ng hoa th ì li nhu n trung bì nh là cao nh t. Víd 3: M t xth nh m b n và o m t m c tiêu cho t i khi trú ng m c tiêu thì dng. Cá c l n b n đc l p, xá c su t trú ng m c tiêu c a m i l n b n là 0,8. G i X là lư ng đn ph idù ng. Tí nh kìv ng c a X X cĩb ng phân ph i xá c su t sau X 1 2 n P 0,8 0,2.0,8 0,2 n-10,8 ∞ Do X ch nh n cá c giátr nguyên d ươ ng nên n u chu i ∑ 2,0.n n−1 8,0. h i tthìgiátrđĩ n=1 chí nh làkìv ng tố n c a X ∞ Xé t f (x) = ∑ x n vi ∀ x ∈ )1,0( . Do chu i h i tđ u trong mi n đang xé t nên n=1 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 44
∞ f ′ )x( = ∑nx n−1 n=1 ∞ ∞ n x n 1 x 1− x + x 1 Mt khá c x = ⇒ nx − = ( )′ = = ∑ ∑ 1 x 1( )x 2 1( )x 2 n=1 -1 x n=1 − − − ∞ 1 8,0 2,0. n−1 )2,0(' ( ) 1,25 ⇒ ∑ n = f = 2 ⇒ E X = 2 = n=1 8,0 8,0 1 Víd 4: ði bi n ng u nhiên X cĩhà m m t đ )x(f = π 1( + x 2 ) ( phân ph i Cauchy ). Tí nh E(X) +∞ 2 +∞ x Ta cĩ : | x | f (x)dx = dx ∫ ∫1 x 2 −∞ π −∞ + Do tí ch phân nà y phân kì nên X khơng cĩkìv ng. Víd 5: Bi n ng u nhiên X cĩhà m m t đ 0 nÕu x [0, ]  ∉ π )x(f = 1 sin x nÕu x ∈[0,π] 2 +∞ 1 π π Ta cĩ E(X) = xf (x)dx = xsin xdx = ∫ 2 ∫ 2 −∞ 0 1.3 Tí nh ch t 1/ Kìv ng c a h ng s bng chí nh nĩ Th t v y ta cĩ th coi h ng s là bi n ng u nhiên ch nh n giátr C v i xá c su t b ng 1 nên E(C) = 1.C = C 2/ Hng s cĩ th đư a ra ngồ i d u kìv ng Xé t: Y= kX, n u X là bi n ng u nhiên r i r c v i P(X = x i) = p ithì P(Y = kx ) = p . V y E(Y) = p (kx ) k p x kE (X) i i ∑ i i = ∑ i i = 3/ Kìv ng c a m t t ng b ng t ng cá c kìv ng Ta ch ng minh trong tr ư ng h p X, Y làcá c bi n ng u nhiên r i r c. G i: Z = X + Y v i z ij = x i + y j , P(Z = z ij ) = p ij Ta cĩ : E(Z) = p z p x( y ) p x p y x p y p ∑ ij ij = ∑ ij i + j = ∑ ij i +∑ ij j = ∑ i ∑ ij + ∑ j ∑ ij = p x p y (E X) (E Y) ∑ i• i + ∑ •j j = + p (P X x ) p ; p (P Y y ) p i• = = i = ∑ ij •j = = j = ∑ ij j=1 i=1 Hệ qu ả 1: E(aX + b) = aE(X) + b Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 45
n n H 2: E( a X ) a (E X ) qu ∑ i i = ∑ i i i=1 i=1 Áp d ng nhi u l n tí nh ch t 2 vàtí nh ch t 3 ta cĩ hai hqu trên 4/ Nu X đc l p v i Y thì E(XY) = E(X). E(Y) t: Z = XY, z x y . s P(X = x ) = p , P(Y= y ) = p ð ij = i j Gi i i• j •j Z(P z ) p p. )Z(E p p. z p x. p. y ⇒ = ij = i• •j ⇒ = ∑ i• •j ij = ∑∑ i• i •j j = p x. p y (E X). (E Y) ∑ i• i ∑ •j j = 5/ Nu Y = ϕ(X) vi ϕ là mt hà m s xá c đnh nà o đĩ. Nu X là bi n ng u nhiên ri r c v i P(X= x i) = p ithì P[Y = ϕ x( i )] = pi . V y E(Y) = p x( ) ∑ iϕ i Nu X cĩhà m m t đ f(x) thì Y cĩhà m m t đ f(x) vy +∞ E(Y) = ∫ϕ(x)f (x)dx −∞ 2. Ph ươ ng sai Xé t bi n ng u nhiên X cĩkìv ng E(X) 2.1 . ðnh nghĩ a: Ph ươ ng sai c a bi n ng u nhiên X là skí hiu là 2 D(X) ho c VarX và D(X) = E[X-E(X)] Tđnh nghĩ a trên ta th y: * Nu X cĩ ph ươ ng sai thì X ph i cĩkìv ng * Ph ươ ng sai cị n đư c g i làđ lch bì nh ph ươ ng trung bì nh c a X đi v i kìv ng c a nĩ . * Ph ươ ng sai cà ng nhthì X cà ng t p trung xung quanh kìv ng E(X) Vy ph ươ ng sai làđi l ư ng đc tr ưng cho m c đ phân tá n c a bi n ng u nhiênquanh giátr trung bì nh lí thuy t c a nĩ . 2 2 2 Xé t: D(X) = E[X-E(X)] = E{X -2XE(X) + [E(X)] } = E(X 2)-2E(X)E(X) + E[E(X)] 2 = E(X 2)-[E(X)] 2 2 2 2 2 ð t [E(X)] = E (X) ta cĩ D(X) = E(X ) - E (X) 2.2 Cá c víd Víd 1: Bi n ng u nhiên X cĩb ng phân ph i xá c su t X 0 1 2 P 0,3 0,4 0,3 Tí nh D(X). 2 2 Cĩ : D(X) = E(X ) - E (X) E(X) = 0.0,3 +1.0,4 + 2.0,3 = 1 2 2 2 2 E(X ) = 0.0,3 + 1 .0,4 +2 .0,3 = 1,6. Vy D(X) = 1,6 - 1 = 0,6 Tr ưng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê 46