Bài tập thường kỳ - Môn Toán cao cấp A3

Nội dung text: Bài tập thường kỳ - Môn Toán cao cấp A3

1. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A 3 Đại h ọc TR ƯỜNG ĐẠ I H ỌC CÔNG NGHI ỆP THÀNH PH Ố H Ồ CHÍ MINH KHOA KHOA H ỌC C Ơ B ẢN BÀI T ẬP TH ƯỜNG K Ỳ MÔN TOÁN CAO C ẤP A3 GVHD: ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên L ớp h ọc ph ần: Khoa: H ọc k ỳ: N ăm h ọc: Danh sách nhóm: ( ghi theo th ứ t ự ABC ) 1. Nguy ễn V ăn A 2. Lê Th ị B HƯỚNG D ẪN TRÌNH BÀY 1) Trang bìa nh ư trên ( đánh máy , không c ần in màu, không c ần l ời nói đầ u). 2) Trong ph ần làm bài t ập, chép đề câu nào xong thì gi ải rõ ràng ngay câu đó. 3) Trang cu ối cùng là Tài li ệu tham kh ảo: 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao c ấp A 3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Gi ải tích hàm nhi ều bi ến ( tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguy ễn Đình Trí – Phép tính Gi ải tích hàm nhi ều bi ến – NXB Giáo d ục. 4. Phan Qu ốc Khánh – Phép tính Vi tích phân ( tập 2) – NXB Giáo d ục. 5. Nguy ễn Th ừa H ợp – Gi ải tích ( tập 2) – NXB ĐHQG Hà N ội. 6. Nguy ễn Th ủy Thanh – Bài t ập Gi ải tích ( tập 2) – NXB Giáo d ục. Chú ý • Ph ần làm bài bắt bu ộc ph ải vi ết tay (không ch ấp nh ận đánh máy ) trên 01 ho ặc 02 m ặt gi ấy A4 và đóng thành t ập cùng v ới trang bìa. • Th ời h ạn n ộp bài: Ti ết h ọc cu ối cùng (Sinh viên ph ải t ự đọ c tr ước bài h ọc cu ối để làm bài!). • N ếu nộp tr ễ ho ặc ghi sót tên c ủa thành viên trong nhóm s ẽ không được gi ải quy ết và b ị c ấm thi . • M ỗi nhóm chỉ từ 01 đến t ối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự ch ọn nhóm và nhóm tự ch ọn bài t ập. • Ph ần làm bài t ập, sinh viên ph ải gi ải b ằng hình th ức t ự lu ận rõ ràng. Khuy ến khích sinh viên làm các câu khó (s ẽ được đánh giá cao). • Các d ạng bài t ập:
   Ch ươ ng 1 I. Hàm s ố nhi ều bi ến: 15 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ); II. C ực tr ị c ủa hàm hai bi ến: 5 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ).
   Ch ươ ng 2 I. Tích phân b ội hai: 10 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ); II. Tích phân b ội ba: 6 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ).
   Ch ươ ng 3 I. Tích phân đường: 5 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ); II. Tích phân m ặt: 6 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ).
   Ch ươ ng 4 I. Ph ươ ng trình vi phân c ấp m ột: 5 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ); II. Ph ươ ng trình vi phân c ấp cao: 4 câu h ỏi (m ỗi câu có nhi ều câu h ỏi nh ỏ). • Cách ch ọn bài t ập nh ư sau: 1) Nhóm ch ỉ có 1 sinh viên thì ch ọn làm 40 câu h ỏi nh ỏ ( các câu h ỏi nh ỏ ph ải n ằm trong các câu h ỏi khác nhau ) g ồm: Ch ươ ng 1: ch ọn 6 câu h ỏi nh ỏ trong 15 câu c ủa I và 4 câu h ỏi nh ỏ trong 5 câu c ủa II; Ch ươ ng 2: ch ọn 6 câu h ỏi nh ỏ trong 10 câu c ủa I và 4 câu h ỏi nh ỏ trong 6 câu c ủa II; Trong ch ươ ng 3 và 4, m ỗi câu h ỏi đều ch ọn 1 câu h ỏi nh ỏ. Trang 1
2. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 2) Nhóm có t ừ 2 đế n t ối đa 7 sinh viên thì làm nh ư nhóm có 1 sinh viên, đồng th ời mỗi sinh viên t ăng thêm ph ải ch ọn làm thêm 15 câu h ỏi nh ỏ khác ( nằm trong các câu h ỏi khác nhau ). ĐỀ BÀI T ẬP Chươ ng 1. HÀM S Ố NHI ỀU BI ẾN I. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Câu 1. Tính các đạo hàm riêng (c ấp 1) c ủa các hàm s ố sau x 1 sin x cos 1) z= e y ; 2) z= e y ; 3) z= y x ; 4) z= x 2y ; x3+ y 3 x y 2 5) z = ; 6) z=ln x + xy2 + 2 ; 7) z= y 2 sin ; 8) z = arctan ; x2− y 2 ( ) y x   2 xy  x  9) z=arcsin( x − 2 y ) ; 10) ze= cos x sin y ; 11) z=ln( x + ln y ) ; 12) z=ln x + ln .  y  Câu 2. Tính các đạo hàm riêng (c ấp 1) c ủa các hàm s ố sau 1 1 2 2 2 1) fxyz(,,)= ln( x2 + y 2 + z 2 ) ; 2) f(, x y , z ) = ; 3) fxyz(, , ) = e x+ y + z ; x2+ y 2 + z 2 z 4) fxyz(,,)= ( xy ) z ; 5) fxyz(,,)= ln[ x2 + ln( y 2 + z 2 )] ; 6) fxyz(, , ) = x y . Câu 3. Tính đạo hàm c ủa các hàm s ố h ợp sau 2 2 x 1) z= e u−2 v v ới u=cos xv , = x2 + y 2 ; 2) z=ln( u2 + v 2 ) v ới u= xy, v = ; y 2 x 3) z= u v v ới u=2 xv , = x2 + y 2 ; 4) z=ln( u2 + ln v ) v ới u= xy, v = ; y 1 5) z=arctan( u − v ) v ới u= x2, v = ; 6) z=arcsin( u2 − v ) v ới u= xyv, = x + y 2 . x2+ y 2 Hướng d ẫn. Sử d ụng công th ức: ′ ′′ ′′′ ′′ ′′ zx= zu ux. + zvz vxy ., = zu uy . + zv vy Câu 4. Tính đạo hàm c ủa các hàm s ố ẩn y= y( x ) xác định b ởi các ph ươ ng trình sau y x 1) xy3− xy 2 2 = ln x ; 2) xey+ ye2 x = e xy ; 3) lnx2+ y 2 = arctan ; 4) −ln y = xe y ; x y 1 x x+ y x 5) xyln= ln( x2 + y 2 ) ; 6) = arctan ; 7) arcsin= ln(x2 + y ) ; 8) sin− arccos y = e y . x2+ y 2 y 2 y đạ ′ ′ ủ ố ẩ đị ở ươ Câu 5. Tính o hàm riêng zx, z y c a các hàm s n z= zxy( , ) xác nh b i các ph ng trình sau z 1) xyz3− xyz 222 =ln( x + y ) ; 2) xey+ ye2 xz = ez xy ; 3) lnx2+ y 2 = arctan ; xy z 1 z z 4) −ln xy = xe yz ; 5) = arctan ; 6) sin−x arccos y = xye z . y x2+ y 2 y y Trang 2
3. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH Câu 6. Tính đạo hàm c ủa các hàm s ố ẩn y= y( x ) , z= z( x ) xác định b ởi các h ệ ph ươ ng trình sau  3 2  3  y z  y x x+ y + z = 0 xy+ y + z = 0 xe+ y = e xe+ y = ez 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  . x2+ y − z 2 = 1 xz2 + y − z = 1 xez+ z = e y xez+ z = ey x     Hướng d ẫn. Đạo hàm m ỗi ph ươ ng trình theo x , sau đó gi ải hệ để tìm yx′(), zx ′ () . Câu 7. Tính các đạo hàm c ấp cao sau đây 2 1) f(10) ( x , y ) v ới fxy( , ) = e 2x+ 3 y ; 2) f(12) ( x , y ) v ới fxy( , ) = e x+3 y ; x5 y 5 y12 3) f(7) ( x , y ) v ới fxy( , )= cos( xy − ) ; 4) f(20) ( x , y ) v ới fxy( , ) = xy21 11 + xy 10 10 ; x3 y 4 x11 y 9 5) f(5) ( x , y ) v ới fxy(,)= x ln( xy ) ; 6) f(8) ( x , y ) v ới fxy(,)= xy10 ln y ; x2 y 3 x6 y 2 7) f(20) ( x , y ) v ới fxy(,)= ex ln y ; 8) f(6) ( x , y ) v ới fxy(,)= sin(2 xy − ) ; x15 y 5 x3 y 3 9) f′′′ ( x , y ) v ới fxy( , )= arctan( xy ) ; 10) f′′′ ( x , y ) v ới fxy( , )= cos( y sin x ) . x2 y xy 2 Câu 8. Tính các đạo hàm c ấp cao sau đây ( n, m ≥ 2 ) 1) f(2n ) ( x , y ) v ới fxy( , ) = xen−3 y ; 2) f(2n ) ( x , y ) v ới fxy( , ) = e x−3 y ; xn y n xn y n 3) f(2n ) ( x , y ) v ới fxy( , ) = xn−1 y + xy n 2 n ; 4) f(n ) ( x , y ) v ới fxy( , )= xn arctan y ; xn y n xn−1 y 5) f(n ) ( x , y ) v ới fxy(,)= e2y ln x ; 6) f(n ) ( x , y ) v ới fxy(,)= xyn ln y ; x2 y n− 2 xn−2 y 2 1 7) f(n+ m ) ( x , y ) v ới fxy(,)= 2 x y nm ; 8) f(n+ m ) ( x , y ) v ới f( x , y ) = ; xn y m xn y m 2x+ y (n+ m ) (n+ m ) 1 9) fn m ( x , y ) v ới fxy(,)= ln( x + y ) ; 10) fn m ( x , y ) v ới f( x , y ) = . x y x y (x− y ) 2 Câu 9*. Tính đạo hàm riêng c ấp hai z′′, z ′′ , z ′′ c ủa các hàm s ố h ợp sau x2 y 2 xy 2 2 x 1) z= e u−2 v v ới u=cos xv , = x2 + y 2 ; 2) z=ln( u2 + v 2 ) v ới u= xy, v = ; y 2 x 3) z= u v v ới u=2 xv , = x2 + y 2 ; 4) z=ln( u2 + ln v ) v ới u= xy, v = ; y 1 5) z=arctan( u − v ) v ới u= x2, v = ; 6) z=arcsin( u2 − v ) v ới u= xyv, = x + y 2 . x2+ y 2 Câu 10*. Tính đạo hàm c ấp hai c ủa các hàm s ố ẩn y= y( x ) xác định b ởi các ph ươ ng trình sau y x 1) xy3− xy 2 2 = ln x ; 2) xey+ ye2 x = e xy ; 3) lnx2+ y 2 = arctan ; 4) −ln y = xe y ; x y 1 x x+ y x 5) xyln= ln( x2 + y 2 ) ; 6) = arctan ; 7) arcsin= ln(x2 + y ) ; 8) sin− arccos y = e y . x2+ y 2 y 2 y Câu 11*. Ch ứng minh r ằng: 1 1) Hàm s ố z = ln th ỏa ph ươ ng trình Laplace z′′+ z ′′ = 0 ; x2 y 2 x2+ y 2 y  2 2) Hàm s ố z xf   ( f là hàm s ố có đạ o hàm c ấp hai liên t ục) th ỏa ph ươ ng trình z′′ z ′′ z ′′ ; =   2. 2 = ( xy ) x  x y Trang 3
4. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH y  y 3) Hàm s ố z f xg   ( f g kh ả vi đế n c ấp hai) th ỏa ph ươ ng trình xz2′′ xyz ′′ yz 2 ′′ . = +   , 2+2xy + 2 = 0 x  x  x y Câu 12. Tính vi phân c ấp m ột c ủa các hàm số sau đây df ớ fxy x n y df ớ fxy5 xy 1) (− 1; log4 7) v i (,)= 4 ; 2) (3;− 1) v i (, )= ln − ; 3) df (1;− 2) v ới fxy(,)= x arctan( yx − ) ; 4) df (1;− 2) v ới f(, x y )= x2 arctan( xy 3 ) . Câu 13. Tính vi phân c ấp hai c ủa các hàm s ố sau 2 1) z= x2 −2 xy + sin( xy ) ; 2) z=sin 2 x + e y ; 3) z= xey + y2 + ysin x ; 4) z= exy − yxln ; 5) zx=2 + xsin 2 y ; 6) zx=2 + xcos 2 y . Câu 14. Tính vi phân c ấp hai c ủa các hàm s ố sau 1) z= xy2 + y 2 x ; 2) z=sin( xy − )cos( xy ) ; 3) z= x2 ln( xy + ) ; y 4) z= x ln y ; 5) z = arctan ; 6) z=ln x + xy2 + 2 . x ( ) Câu 15. Tính vi phân c ấp ba d3 f( x , y ) c ủa các hàm s ố sau x 1) fxy( , ) = xy6 + ; 2) fxy(,)= sin( x − 2) y ; 3) fxy(,)= ln(2 xy + ) ; y 4) fxy( , ) = e xsin y ; 5) fxy(,)= x .3 y ; 6) fxy(,)= y2 ln x . II. C ỰC TR Ị HÀM HAI BI ẾN S Ố Câu 1. Tìm c ực tr ị địa ph ương (t ự do) c ủa các hàm hai bi ến s ố sau 1) fxy(,)= x3 + 27 xy + 2 + 2 y ; 2) fxy(,)= x4 − 8 x 2 + y 2 + 5 ; 3) fxy(,)= x3 + y 3 − 12 x − 3 y ; y 2 4) fxy(,)= x4 − y 4 − 4 x + 32 y ; 5) fxy(,)= x3 − y 2 − 36 x + y ; 6) fxy(,)= ln xx −+ ln y − ; 2 x2 y 2 7) fxy( , ) = x + y − xe y ; 8) fxy( , )= xy2 3 (3 x + 2 y + 1) ; 9) fxy(,)= xy 1 − − . 4 9 Câu 2. Tìm c ực tr ị địa ph ươ ng (có điều ki ện) c ủa các hàm hai bi ến s ố sau 1) Hàm s ố z=ln( x2 − 2) y v ới điều ki ện x− y −2 = 0 ; 2) Hàm s ố z=ln 1 + x2 y v ới điều ki ện x− y = 3 ; 3) Hàm s ố zxy=2( −− 1) 3 x + 2 v ới điều ki ện x− y +1 = 0 ; 4) Hàm s ố zxy=2( +− 1) 3 x + 2 v ới điều ki ện x+ y +1 = 0 ; 5) Hàm s ố zx=3 −9 x + 3 y v ới điều ki ện −x2 + y +1 = 0 . Câu 3. Tìm c ực tr ị địa ph ươ ng (có điều ki ện) c ủa các hàm hai bi ến s ố sau 1) Hàm s ố z=2 x + y v ới điều ki ện x2+ y 2 = 1; 2) Hàm s ố z= x2 +12 xy + 2 y 2 v ới điều ki ện 4x2+ y 2 = 25 ; 3) Hàm s ố z= x − y − 8 v ới điều ki ện x2+ y 2 = 2 ; 4) Hàm s ố z= x2 + y 2 v ới điều ki ện x2−2 xy + 2 − 4 y = 0 ; Trang 4
5. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 1 1 1 1 1 5) Hàm s ố z = + v ới điều ki ện + = . x y x2 y 2 4 Câu 4*. Dùng ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange, tìm điểm M thu ộc: 1) đường tròn x2+ y 2 = 1 và có kho ảng cách đế n đường th ẳng x+ y = 3 ng ắn nh ất, dài nh ất; 2) đường tròn x2+ y 2 −4 x = 0 và có kho ảng cách đế n đường th ẳng x+ y = 10 ng ắn nh ất, dài nh ất; x 2 3) elip +y 2 = 1 và có kho ảng cách đế n đường th ẳng x− y −6 = 0 ng ắn nh ất, dài nh ất; 4 x2 y 2 4) elip + = 1 và có kho ảng cách đến đường th ẳng x− y −6 = 0 ng ắn nh ất, dài nh ất. 4 9 Câu 5*. Tìm c ực tr ị toàn c ục (giá tr ị max – min) c ủa các hàm hai bi ến s ố sau 1) Hàm s ố fxy(,)= x3 + y 3 − 3 xy trên mi ền 0≤x ≤ 2, −≤ 1 y ≤ 2 ; 2) Hàm s ố fxy( , ) = x2 + y 2 − xy −− x y trên mi ền x≥0, y ≥ 0, xy +≤ 3 ; 3) Hàm s ố f( x , y ) = xy 2 trên mi ền x2+ y 2 ≤ 1 ; 4) Hàm s ố fxy( , ) = x2 − xy + y 2 trên mi ền x+ y ≤ 1 ; 2x+ y ≥ 4 2 2  5) Hàm s ố fxy( , ) = x + y trên mi ền  (x− 1)2 + ( y − 2) 2 ≤ 5.  Ch ươ ng 2. TÍCH PHÂN B ỘI I. TÍCH PHÂN B ỘI HAI (KÉP) Câu 1. Đư a các tích phân kép I= ∫∫ fxydxdy( , ) v ề tích phân l ặp, bi ết mi ền D gi ới h ạn b ởi D 1) y= 3 x và y= x 2 ; 2) y=2 x2 − x và y= x2 +2 x + 4 ; 3) y= x và y= 2 x ; 4) y= x 2 và y= x 3 ; 5) y= 3 x và y= x 2 + 2 ; 6) x=3, x = 5,3 xy −+= 2 4 0 và 3x− 2 y + 10 = ; 7) xy2+≤ 2 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ; 8) xy+≤1, xy −≤ 1, x ≥ 0 . 9) yxy≥2, ≤ 4 − x 2 ; 10) (x− 2)2 + ( y − 3) 2 ≤ 4 ; x2 y 2 11) y= xy2, = x ; 12) + ≤ 1. 4 9 Câu 2. Đổi th ứ t ự l ấy tích phân c ủa các tích phân sau 2 x2 2 4 −x 1) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 2) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 1 2 1 2 1 x 3 1 ex 3) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 4) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 0 0 0 1 ln 2 2 2 2 x− x 2 5) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 6) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 0 ex 1 2 −x Trang 5
6. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH eln x 1 x 7) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 8) I= ∫ dx ∫ f( x , y ) dy ; 1 0 0 x 1 1 −x2 1 4 y 9) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) ; 10) I= ∫ dy ∫ f( x , y ) dx . −1 0 0 y Câu 3. Chuy ển các tích phân kép sau sang t ọa độ c ực 1) I=∫∫ fx(2 + ydxdy 2 ) , bi ết mi ền D gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 ≤ 4 y ; D 2) I=∫∫ fx(2 + ydxdy 2 ) , bi ết mi ền D gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 ≤ 4 x ; D 3) I=∫∫ f( x2 + ydxdy 2 ) , bi ết mi ền D gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 ≤1, y ≥ 0 ; D 4) I=∫∫ f( x2 + ydxdy 2 ) , bi ết mi ền D gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 ≤2 xy , ≥ 0 . D Câu 4. Tính các tích phân kép sau đây 1 y2 1 2 x 1) I= ∫ dy ∫ 3 yedx3 xy ; 2) I=∫ dx ∫ 3( x + ydy ) ; 0 0 0 0 π x 1 y 3) I= ∫ dx ∫ 3 x .sin ydy ; 4) I= 2∫ dy ∫ ex+ y dx ; 0 0 0 0 π/2 y 2 ln x 5) I=∫ dy ∫ sin( x + y ) dx ; 6) I= ∫ dx ∫ 6 xedyy ; 0 0 1 0 2 1 1−y 2 4 −x2 7) I=∫ dy ∫ ( x2 + ydx 2 ) ; 8) I= ∫ dx ∫ dy . 0 0 0 −4 − x2 Câu 5. Tính các tích phân kép sau đây π  1) I=(sin x + 2 cos ydxdy ) , trong đó D:0≤≤ x ;0 ≤≤ y π  ; ∫∫ 2  D   x 2) I= ln ydxdy , trong đó D: {0≤ x ≤ 2; 1 ≤≤ ye } ; ∫∫ y D π  3) I= sin5 x cos 10 ydxdy , trong đó D:0≤≤ x 2;0π ≤≤ y  ; ∫∫ 4  D   x 2 4) I= dxdy , trong đó D: {0≤≤ x 1; 0 ≤≤ y 1} ; ∫∫ 2 D y + 1 dxdy 5) I = , trong đó D: {0≤≤ x 1; 0 ≤≤ y 1} ; ∫∫ 2 D (x+ y + 1) dxdy 6) I = , trong đó D: {1≤≤ x 2; 0 ≤≤ y 1} ; ∫∫ 2 D (x+ y ) 7) I=∫∫ ( ex + edxdy y ) , trong đó D: {0≤≤ x 1; 0 ≤≤ y 1} ; D Trang 6
7. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 8) I=∫∫ (sin x + cos ydxdy ) , trong đó D:{0≤≤ x 2;0π ≤≤ y π } ; D cos y π  9) I= dxdy , trong đó Dx:= 1; x = 2; y = 0; y =  ; ∫∫ x 2  D   10) I= ∫∫ xln ydxdy , trong đó Dx: {= 0; x = 2; y = 1; ye = } ; D Câu 6. Tính các tích phân kép sau đây 1) I=∫∫ (3 x + 2) dxdy , trong đó mi ền D là OAB v ới O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1); D 2) I=∫∫ 2( x + ydxdy ) , trong đó mi ền D là OAB v ới O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1); D y 3) I= ∫∫ ex dxdy , trong đó Dx: {= 1; y = 0; yx = } ; D 4) I= ∫∫ 2 xydxdy , trong đó Dy:{= xy ; = x } ; D 5) I= ∫∫ xdxdy , trong đó Dyx:{=−2 2; xy = 2 x 2 − 4} x ; D 6) I=∫∫ ( x2 + ydxdy 2 ) , trong đó D là hình tròn x2+ y 2 ≤ 1 ; D 7) I=∫∫ ( x2 + y 2 ) 2 dxdy , trong đó D là hình tròn x2+ y 2 ≤ 1 ; D dxdy 8) I = , trong đó D là hình tròn x2+ y 2 ≤ 9 ; ∫∫ 2 2 D x+ y 9) I=∫∫ x2 + ydxdy 2 , trong đó D là hình vành kh ăn 1≤x2 + y 2 ≤ 4 ; D 10) I=∫∫ x2 + ydxdy 2 , trong đó D là ph ần hình tròn x2+ y 2 ≤ 4 thu ộc góc ph ần t ư th ứ nh ất. D Câu 7. Chuy ển sang t ọa độ c ực và tính các tích phân sau trong t ọa độ m ới 1) I= ∫∫ xydxdy2 3 , trong đó D là n ửa hình tròn x≥0, x2 + y 2 ≤ 1 ; D 2) I=∫∫ ( x2 + ydxdy 2 ) , trong đó D là n ửa hình tròn x2+ y 2 ≤4, y ≥ 0 ; D 1 −x2 − y 2 3) I= dxdy , trong đó Dxy: {2+≤ 2 1, x ≥ 0, y ≥ 0} ; ∫∫ 2 2 D 1 +x + y dxdy 4) I = , trong đó Dxy: {2+≤ 2 4, x ≥ 0, y ≥ 0} ; ∫∫ 2 2 D 4 −x − y y 5) I= arctan dxdy , trong đó D: {1≤+≤ xy2 2 9, xy ≤ 3 ≤ 3 x } ; ∫∫ x D R R2− x 2 6) I=∫ dx ∫ ln(1 + xydy2 + 2 ) ; 0 0 Trang 7
8. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH a a2− x 2 2 2 7) I= ∫ dx ∫ ex+ y dy ; 0 0 x2 y 2 x2 y 2 8) I=1 − − dxdy , trong đó D :+ ≤ 1 ( đặt x= racosϕ , y = rb sin ϕ ). ∫∫ 2 2 2 2 D a b a b Câu 8. Tính di ện tích hình ph ẳng S gi ới h ạn b ởi 1) y=3 x2 + x + 1 và 7x− y + 1 = 0 ; 2) y= x2 +2 x + 1 và x− y +1 = 0 ; 3) y= 2 x và y= x + x ; 4) x=1, ye =x + x và y= e−x + x ; y 2 5) x= 2 y và x = ; 6) y= x 3 và y= x ; 3 π 7) y=sin xy , = cos xx , = 0 và x = ; 8) y2 =4 − x và 2y2 = x + 8 . 4 Câu 9. Tính th ể tích V c ủa mi ền gi ới h ạn b ởi 1) xy2+= 2 1, z = 4, z = 0 ; 2) x2+= y 2 2 xz , = 3, z = 0 ; 3) x2+= y 2 2 yz , = 3, z = 0 ; 4) x2+= y 2 xz, = 7, z = 3 ; 5) xy2+≤ 2 4, x ≥ 0, z = 7, z = 5 ; 6) xy2+≤ 2 2, x ≥ 0, y ≥ 0, z = 9, z = 5 ; 7) xy2+≤ 2 2, x ≥ 0, yxz ≥ , = 9, z = 1 ; 8) xy2+≤≥ 2 2, y 3 xz , = 19, z = 15 . Câu 10*. Tính th ể tích V c ủa mi ền gi ới h ạn b ởi x2 y 2 1) z= +, x =± 1, y =± 1 ; 2) z=−−4 xyz22 ,2 =++ 2 xy 22 ; a2 b 2 3) x22+= y2, yx 222 += y zz ,0 = ; 4) 2zyx=2 , 2 += y 2 4, z = 0 ; 5) zx=+22 yz, =+ 2 x 22 2, yyxyx = 2 , = ; 6) y= xy, = 2 xxz , +== 6, z 0 ; 2 2 7) z= xyx,2 += y 2 4, z = 0 ; 8) zae=.−x − y , x2 += y 2 Rz 2 , => 0(0) a . II. TÍCH PHÂN B ỘI BA Câu 1. Đư a tích phân b ội ba I= ∫∫∫ fxyzdxdydz(, , ) v ề tích phân l ặp, trong đó mi ền được gi ới h ạn b ởi 1) x=0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 1, z = 2 ; 2) x=0, y = 0, xy += 2, z = 0, z = 2 ; 3) x=0, y = 0, z = 0, z = 2, xy += 1 ; 4) x=0, x = 2, y = 0, z = 0, yz += 1 ; 5) xyz++−=5 0, x = 0, y = 0, z = 0 ; 6) xyz++−=1 0, x = 0, y = 0, z = 0 . Câu 2. Tính các tích phân b ội ba sau 1) I= ∫∫∫ 2 xydxdydz , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y 1, 0 ≤≤ z 2} ; 2) I= ∫∫∫ 3 zdxdydz2 , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y 1, 0 ≤≤ z 1} ; 3) I= ∫∫∫ xyedxdydzz , trong đó mi ền : {0 ≤≤−≤≤x 2, 2 y 2, ln2 ≤≤ z ln 4} ; Trang 8
9. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH π 4) I= ∫∫∫ xsin2 ydxdydz , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y , 0 ≤≤ z 2} ; 2 5) I= ∫∫∫ xyzdxdydz3 2 , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y x , 0 ≤≤ z xy } ; π 6) I= ∫∫∫ xcos ydxdydz , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 2, 0 ≤≤ y , 0 ≤≤ z 3} ; 2 7) I=∫∫∫ ( x − y + zdxdydz ) , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y 1, 0 ≤≤ z 1} ; 8) I= ∫∫∫ ze2x dxdydz , trong đó mi ền : {0 ≤≤x ln 2, 0 ≤≤ y 2, 0 ≤≤ z 2} ; π 9) I= ∫∫∫ xycos zdxdydz , trong đó mi ền : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y 2, 0 ≤≤ z } ; 2 π 10) I=∫∫∫ xy(2 + 1)tan zdxdydz , trong đó mi ền −≤≤:{1x 1,0 ≤≤ y 2,0 ≤≤ z } . 4 Câu 3. Chuy ển các tích phân sau sang t ọa độ tr ụ 1) I= ∫∫∫ fxyzdxdydz(, , ) , trong đó là mi ền gi ới h ạn b ởi các m ặt z= x2 + y 2 và z = 4 ; 2) I= ∫∫∫ fxyzdxdydz(, , ) , trong đó là ph ần hình tr ụ x2+ y 2 ≤ 1 và 1≤z ≤ 4 ; 3) I= ∫∫∫ fxyzdxdydz(, , ) , trong đó là mi ền gi ới h ạn b ởi các m ặt x2+ y 2 = 2 x , z= x2 + y 2 , z = 0 ; 4) I=∫∫∫ fx(2 + yzdxdydz 2 , ) , trong đó là ph ần chung c ủa hai hình c ầu: x2+ y 2 + z 2 ≤ R 2 và x22+ y +( zR − ) 22 ≤ R . Câu 4. B ằng cách chuy ển sang t ọa độ tr ụ, hãy tính các tích phân b ội ba sau dxdydz 1) I = , trong đó mi ền : {x2 +≤ y 2 4, 0 ≤≤ z 2} ; ∫∫∫ 2 2 x+ y cos x2+ y 2 dxdydz 2) I = , trong đó mi ền : {x2 +≤ y 2π 2 , 0 ≤≤ z 3} ; ∫∫∫ 2 2 x+ y dxdydz 3) I = , trong đó mi ền gi ới h ạn b ởi các m ặt z = 0 và z=4 − x2 − y 2 ; ∫∫∫ 2 2 x+ y 4) I=∫∫∫ cos x2 + y 2 dxdydz , trong đó mi ền gi ới h ạn b ởi các m ặt z = − 8 và z=1 − x2 − y 2 ; 5) I=∫∫∫ ln( x2 + y 2 + 1 ) dxdydz , trong đó mi ền : {x2 +≤ y 2 4, 0 ≤≤ z 3} ; 6) I=∫∫∫ x2 + y 2 dxdydz , trong đó mi ền : {x2 +≤ y 2 9, 1 ≤≤ z 2} . Câu 5. Chuy ển các tích phân sau sang t ọa độ c ầu 1) I=∫∫∫ ( x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz , trong đó là mi ền 1≤x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ; Trang 9
10. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 2) I=∫∫∫ x2 + y 2 + zdxdydz 2 , trong đó là mi ền x2+ y 2 + z 2 ≤ 4 ( z ≥ 0 ); 3) I= ∫∫∫ fxzdxdydz( , ) , trong đó là 1/8 hình c ầu x2+ y 2 + z 2 ≤ R 2 thu ộc tam di ện t ọa độ th ứ nh ất; 4) I=∫∫∫ fx(2 + yzdxdydz 2 , ) , trong đó là n ửa hình c ầu x2+ y 2 + z 2 ≤ R 2 ( x ≥ 0); 5) I=∫∫∫ fx(2 + y 2 + zdxdydz 2 ) , trong đó mi ền là ph ần hình nón z2≥ x 2 + y 2 (z ≥ 0) n ằm trong hình c ầu x2+ y 2 + z 2 ≤ 16 . Câu 6*. B ằng cách chuy ển sang t ọa độ tr ụ ho ặc t ọa độ c ầu, hãy tính các tích phân b ội ba sau R R2− x 2 R2− x 2 − y 2 1) I=∫ dx ∫ dy ∫ ( x2 + ydz 2 ) ; −R −R2 − x 2 0 1 1 −x 2 1−x2 − y 2 2) I=∫ dx ∫ dy ∫ x2 + y 2 + zdz 2 ; 0 0 0 3) I= ∫∫∫ xydxdydz , trong đó gi ới h ạn b ởi x22+= y1, zx =+ 22 yz , = 0 ; 4) I=∫∫∫ ( x2 + ydxdydz 2 ) , trong đó gi ới h ạn b ởi x222++= y z2, Rzz = x 22 + yz ,0 ≥ ; 5) I=∫∫∫ [( x + y )2 − zdxdydz ] , trong đó gi ới h ạn b ởi (z− 1)2 =+ xyz 2 2 , = 0 ; 6) I=∫∫∫ x2 + y 2 + zdxdydz 2 , trong đó mi ền là hình c ầu x2+ y 2 + z 2 −≤ z 0 ; 7) I=∫∫∫ zx2 + ydxdydz 2 , trong đó gi ới h ạn b ởi z= x2 + yz 2 , = 1 . Ch ươ ng 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN M ẶT I. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Câu 1. Tính các tích phân đường lo ại 1 sau đây 1) I=∫ ( x + ydl ) , trong đó C có ph ươ ng trình x+= y1, 0 ≤≤ x 1 ; C 2) I=∫ ( x + ydl ) 2 , trong đó C có ph ươ ng trình xya+=, 0 ≤≤ xa ; C 3) I=∫ ( x − ydl ) , trong đó C có ph ươ ng trình x+= y1, 0 ≤≤ x 1 ; C 4) I= ∫ xydl5 2 , trong đó C có ph ươ ng trình yx=, 0 ≤ xa ≤ ; C 5) I= ∫ sin ydl5 , trong đó C có ph ươ ng trình y= x, 0 ≤ x ≤ 2 π ; C 6) I=∫ (6 x + 6 y + 2) dl , trong đó C có ph ươ ng trình 3y+ 4 x = 0, 0 ≤≤ x 1 ; C Trang 10
11. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 7) I=∫ (2 x + 3 ydl2 ) , trong đó C là đoạn th ẳng n ối các điểm A(0; 0) và B(1; 1); C 8) I=∫ ( x + ydl ) , trong đó C là đoạn th ẳng n ối các điểm A(0; 1) và B(1; 2); C 9) I=∫ ( x + ydl ) 2 , trong đó C là đoạn th ẳng n ối các điểm A(2; 0) và B(0; 2); C 8x 10) I= dl , trong đó C là parabol y= x 2 n ối điểm các điểm A(0; 0) và B(1; 1); ∫ 2 C 1+ 4 x 11) I= ∫ xydl , trong đó C là đường biên c ủa hình vuông 0≤≤x 2, 0 ≤≤ y 2 ; C 12) I=∫ ( x + ydl ) , trong đó C là đường biên c ủa hình vuông 0≤≤x 2, 0 ≤≤ y 2 ; C 13) I=∫ ( x + ydl ) , trong đó C là đường biên c ủa tam giác v ới các đỉ nh O(0; 0), A(1; 0) và B(0; 1); C 14) I= ∫ xydl , trong đó C là đường biên c ủa tam giác v ới các đỉ nh A(–1; 0), B(0; 1) và C(1; 0); C 15) I=∫ ( x2 + ydl 2 ) , trong đó C là đường tròn x2+ y 2 = R 2 ; C 16) I=∫ ( x2 + ydl 2 ) , trong đó C là 1/4 đường tròn xy2+= 2 16, x ≥ 0, y ≥ 0 . C Câu 2. Tìm độ dài các cung tròn C có ph ươ ng trình sau 1) x2+ y 2 = 4 th ỏa điều ki ện y≥ x ; 2) x2+ y 2 = 4 th ỏa điều ki ện y≥ xy, ≥ − x ; 3) x2+ y 2 = 16 th ỏa điều ki ện y≥ 3 x ; 4) x2+ y 2 = 25 th ỏa điều ki ện y≥3 x , y ≥ 0 ; 5) x2+ y 2 = 25 th ỏa điều ki ện y≥3 x , x ≥ 0 ; 6) x2+ y 2 = 144 th ỏa điều ki ện y≤3 xyx , ≥ ; 7) x2+ y 2 = 16 th ỏa điều ki ện y≥ −3 xyx , ≥ ; 8) x2+ y 2 = 4 th ỏa điều ki ện y≥− xy, ≤− 3 x . Câu 3. Tính các tích phân đường lo ại 2 sau 1) I=∫ ydx + xdy , AB l ấy theo đường x2+ y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ nh ất l ấy theo chi ều d ươ ng; AB 2) I=∫ ydx − xdy , AB l ấy theo đường x2+ y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ hai l ấy theo chi ều âm; AB x 2 3) I=∫ xdy + ydx , AB l ấy theo đường +y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ nh ất l ấy theo chi ều âm; AB 4 x 2 4) I=∫ xdy − ydx , AB l ấy theo đường +y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ hai l ấy theo chi ều d ươ ng; AB 4 5) I=∫ 2 xdx + dy , AB l ấy theo đường x2+ y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ t ư l ấy theo chi ều d ươ ng; AB 6) I=∫ 2 xdx − dy , AB l ấy theo đường x2+ y 2 = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ ba l ấy theo chi ều âm; AB 7) I= ∫ 2 ydx , AB l ấy theo đường x2+ y 2 = 1 n ằm ở ph ần t ư th ứ hai l ấy theo chi ều d ương; AB x2 y 2 8) I= ∫ 4 xdy , AB l ấy theo đường + = 1 n ằm ở góc ph ần t ư th ứ t ư l ấy theo chi ều âm. AB 9 4 Trang 11
12. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH Câu 4. Tính các tích phân đường lo ại 2 sau 1) I=∫ (2 xy ++− 4 x3 1) dx (2 xy +− 4 y 3 1) dy l ấy theo đường y = 1 đi t ừ điểm A(0; 1) đến B(1; 1); AB 2) I=∫ (2 xy ++− 4 x3 1) dx (2 xy +− 4 y 3 1) dy l ấy theo đường x = 2 đi t ừ điểm A(2; 1) đế n B(2; 0); AB 3) I=∫ ( y ++ 2 x 1) dxy +− ( 1) dy l ấy theo đường y= − x + 1 đi t ừ điểm A(0; 1) đế n B(1; 0); AB 4) I=∫ 2 xydx + xdy2 l ấy theo đường x+ y = 0 đi t ừ g ốc to ạ độ O đế n điểm A(–1; 1); OA 5) I=∫ ( xy2 − 1) dx + ( yx 2 + 3) dy l ấy theo đường y= 2 x 2 đi t ừ g ốc to ạ độ O đế n điểm A(1; 2); OA 6) I=∫ 2 xydx + xdy2 l ấy theo cung parabol y= x 2 đi t ừ điểm A(–1; 1) đến B(1; 1); AB 7) I=∫ ( y + 2 xdx ) ++ (4 y xdy ) l ấy theo cung y3 = x đi t ừ điểm O(0; 0) đế n A(1; 1); OA 8) I=∫ ydx +( y3 + xdy ) l ấy theo cung y2 = 2 x đi t ừ điểm O(0; 0) đến A(2; 2); OA 9) I=∫ 6 xydx2 + 2 xdy 3 l ấy theo cung y= x 4 đi t ừ điểm A(–1; 1) đến B(1; 1); AB 10) I=∫ ydx + xdy l ấy theo cung parabol y=2 x 2 + 1 đi t ừ điểm A(0; 1) đế n B(1; 3). AB Câu 5. Áp d ụng công th ức Green, tính các tích phân đường lo ại 2 sau 1) I=∫ ysin xdx − cos xdy , trong đó C là biên c ủa hình vuông D =[ − 1; 1] × [0; 2] ; C 2) I=∫ xydx2 + 3 xydy 2 , trong đó C là biên c ủa hình ch ữ nh ật D =[0; 1] × [0; 2] ; C 3) I=∫ ( xy +−2 3) dx + (2 xy ++ 3 x 2) dy , trong đó C: x2+ y 2 = 1 ; C 4) I=∫ ( xy ++ 3) dx +−+ ( x 3 y 5) dy , trong đó C: x2+ y 2 = 1 ; C 5) I=∫ ( x2 + ydx 2 )( ++ x ydy ) 2 , trong đó Cx: 2+ y 2 = R 2 ; C 6) I=∫ (3 x + ydx2 ) + 2 xy ( + 1) dy , trong đó Cx: 2+ y 2 = R 2 ; C 7) I=∫ ( y + 3 sin xdx ) ++ (2 x cos ydy ) , trong đó C: x2+ y 2 = 16 ; C x 2 8) I=∫ (3 y − 4 cos xdx ) ++ (4 x 5 cos ydy ) , trong đó C:+ y 2 = 1 ; C 16 9) I=∫ edxy + x(2 + edy y ) , trong đó C: ( x− 1)2 + ( y − 2) 2 = 4 ; C x2 y 2 10) I=∫ y(sin x + 1) dx +− ( x cos xdy ) , trong đó C :+ = 1 . C 4 9 Trang 12
13. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH II. TÍCH PHÂN M ẶT Câu 1. Tính các tích phân m ặt lo ại 1 sau 1) I=∫∫ (2 x2 − xy + 3) ds , trong đó S là m ặt y=2 xx ,2 + z 2 ≤ 1 ; S 2) I=∫∫ ( x2 −−++ y 2 xzyz 2) ds , trong đó S là m ặt z=+ x yx,2 + y 2 ≤ 9 ; S 3) I= ∫∫ xds , trong đó S là m ặt x+2 yz += 0, yz2 +≤ 2 6 ; S 4) I=∫∫ ( x + yds ) , trong đó S là m ặt c ủa hình l ập ph ươ ng [0; 1]× [0; 1] × [0; 1] ; S 5) I=∫∫ ( x + yzds + ) , trong đó S là m ặt c ủa hình l ập ph ươ ng [0; 1]× [0; 1] × [0; 1] ; S 6) I=∫∫ ( x + yzds + ) , trong đó S là m ặt xyz++=2, 0 ≤≤ x 1, 0 ≤≤ y 1 ; S 7) I=∫∫ ( x + yzds + ) , trong đó S là m ặt xyz++=1, 0 ≤≤ x 1, 0 ≤≤ yz 1, ≥ 0 ; S 8) I=∫∫ xyx(2 + 2 y + zds ) , trong đó S là m ặt 2xyz+ 2 += 2, 0 ≤≤ x 2, 0 ≤≤ y 2 ; S ds 9) I = , trong đó S là m ặt zxy=+2 2 , 0 ≤≤ x 2, 0 ≤≤ y 3 ; ∫∫ 2 2 S 1+ 4x + 4 y ds 10) I = , trong đó S là m ặt xy=+22 zy 22 , +≤ z 2 4 . ∫∫ 2 2 S 1+ 4y + 16 z Câu 2. Tính di ện tích S c ủa các m ặt sau 1) 2xyz− 2 += 1, 0 ≤≤ x 1, 0 ≤≤ y 2 ; 2) 2xyz− 2 += 1, 0 ≤≤ y 1, 0 ≤≤ z 2 ; 3) x2+ y 2 ≤2 xz , = 2 ; 4) z=+22, x yx2 +≤ y 2 4 x ; x2 y 2 x 2 5) + ≤1,z = 2 ; 6) 2xyz−+= 2 3, +≤ y 2 1 ; 4 9 4 7) z= x2 + yx 22, +≤ z 2 1 ; 8) z= xyxz2 + 22, +≤ 2 4 x ; x2 y 2 x2 y 2 9) x+4 y += z 1, + ≤ 1 ; 10) 2x++= 2 y z 1, + ≤ 1 . 4 9 16 9 Câu 3* 1) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = 100 n ằm gi ữa hai mp x = − 8 và x = 6 ; 2) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt tr ụ x2+ y 2 = Rz 2 ( ≥ 0) n ằm gi ữa hai mp z= 5 x và z= 3 x ; x2 y 2 3) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 n ằm trong m ặt tr ụ elip + = 1 ; 9 4 4) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 n ằm trong m ặt tr ụ x2+ y 2 = Ry ; 5) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt nón z= x2 + y 2 n ằm trong m ặt tr ụ x2+ y 2 = 1; 6) Tính di ện tích S c ủa ph ần m ặt nón z= x2 + y 2 n ằm trong m ặt tr ụ x2+ y 2 = 2 x . Trang 13
14. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH Câu 4. Tính các tích phân m ặt lo ại 2 sau 1) I= ∫∫ zdxdy , trong đó S là m ặt trên c ủa m ặt 0≤≤x 2, 0 ≤≤ y 2, z = 2 ; S 2) I= ∫∫ zdxdy , trong đó S là m ặt d ưới c ủa m ặt xyx+≤1, ≥ 0, 0 ≤≤ yz 1, = 2 ; S 3) I= ∫∫ dxdy , trong đó S là m ặt trên c ủa m ặt x2+ y 2 ≤2, z = 4 ; S 4) I= ∫∫ dxdy , trong đó S là m ặt d ưới c ủa m ặt 2x+ 3 y = 4, xy2 +≤ 2 2 ; S dxdy 5) I = , trong đó S là m ặt d ưới c ủa m ặt x2+ y 2 ≤9, z = 4 ; ∫∫ 2 2 S x+ y x2 y 2 6) I= ∫∫ dxdy , trong đó S là m ặt d ưới c ủa m ặt + ≤1,z = 2 ; S 4 9 7) I= ∫∫ x2 dydz , trong đó S là m ặt trên c ủa m ặt xyz2+ 2 + 2 =1, z ≥ 0 ; S 8) I= ∫∫ x2 dydz , trong đó S là m ặt d ưới c ủa m ặt xyz2+ 2 + 2 =1, z ≥ 0 ; S 9) I= ∫∫ xydxdy , trong đó S là m ặt ngoài c ủa m ặt x2+ z 2 =1, 0 ≤≤ z 2 ; S 10) I= ∫∫ xydxdy , trong đó S là m ặt trong c ủa m ặt x2+ z 2 =4, 0 ≤≤ y 1 . S Câu 5. Cho S là m ặt biên ngoài c ủa mi ền đóng và b ị ch ặn ⊂ ℝ3 , dùng công th ức Gauss – Ostrogradski bi ến đổ i các tích phân m ặt lo ại 2 sau đây sang tích phân b ội ba 1) I=∫∫ ydydz2 + zdxdz 2 + xdxdy 2 ; 2) I=∫∫ xdydz2 + ydxdz 2 + zdxdy 2 ; S S 3) I=∫∫ xydydz2 + yzdxdz 2 + zxdxdy 2 ; 4) I=∫∫ zdydz3 + ydxdz 3 + zdxdy 3 ; S S 5) I=∫∫ xzdydz3 + zydxdz 3 + yzdxdy 3 ; 6) I=∫∫ ydydz3 +++3( x y zydxdz ) + xdxdy3 ; S S 7) I=∫∫ xydydz3 ++3( xy zdxdz ) + xdxdy2 ; 8) I=∫∫ yzdydz3 ++3( x yzdxdz ) + ydxdy3 . S S Câu 6. Tính các tích phân m ặt lo ại 2 sau, v ới S là m ặt biên ngoài c ủa mi ền đã ch ỉ ra 1) I=∫∫ zdxdy +2 xdydz + ydzdx , trong đó : {0 ≤≤x 1, 0 ≤≤ y 2, 0 ≤≤ z 3} ; S 2) I=∫∫ zdxdy +3 xdydz − 3 ydzdx , trong đó : {x2 +≤ y 2 4, 0 ≤≤ z 4} ; S 3) I=∫∫ zdxdy − xdydz + ydzdx , trong đó :x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ; S 4) I=∫∫ zdxdy −2 ydydz + 2 ydzdx , trong đó :x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 z ; S y2 z 2 5) I=∫∫ 2 xydxdy + 2 xdydz + 4 ydzdx , trong đó :x 2 + + ≤ 1 ; S 4 9 x2 y 2 6) I=∫∫ 2 ydxdy + 3 xdydz + ydzdx , trong đó : + +z 2 ≤ 1 ; S 4 9 Trang 14
15. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 7) I=∫∫ 2 xdxdy + xdydz + 3 ydzdx , trong đó : {x2 +≤ y 2 1, 0 ≤≤ z 1} ; S x2 y 2  8) I=2 zdxdy + 3 ydydz + 6 zdzdx , trong đó : +≤ 1, 0 ≤≤z 1  ; ∫∫ 4 9  S   9) I=∫∫ zdxdy + xdydz − ydzdx , trong đó :x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ; S y2 z 2 10) I=∫∫ 3 xdxdy + 2 xdydz − ydzdx , trong đó :x 2 + + ≤ 1 . S 4 9 Ch ươ ng 4. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN I. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I Câu 1. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân v ới bi ến phân ly (tách bi ến) sau đây dx dy 1) + = 0 ; 2) (1−y2 ) dx + x ln xdy = 0 ; 2 1 + x 1 − y 2 1 − y 2 3) dx+1 + xdy2 = 0 ; 4) xy2+1 dx + yx 2 + 1 dy = 0 ; y dx dy 5) xy(2+ 1) dx + yx ( 2 + 1) dy = 0 ; 6) + =0,y (1) = 1 ; xy(− 1) yx ( + 2) yy ′ 7) cos2 y dx+ x tan y dy = 0 ; 8) +ey =0, y (1) = 0 ; x 2x 2 e π 9) e1+x tan y dx− dy = 0, y (1) = ; 10) (1+e2x ) ydy 2 = edxy x , (0) = 0 ; x −1 2 π 11) y′ +cos( xy += 2 ) cos( xyy − 2 ), (0) = ; 12) y′ =2x− y , y ( −=− 3) 5 ; 4   3  15  xy+ xy − 13) yyyxln+′ += 1 0, y − = e ; 14) ye′ = + e, y (0) = 0 .  16  Câu 2. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân đẳng c ấp sau đây x2− y 2 1) y′ = ; 2) xy′ = y + x ; 3) (2)x2 + xydx + xydy = 0 ; y2 − xy y π y y 4) xy′ = yx +sin , y (1) = ; 5) xy′ ln= xy + ln ; 6) xyy′ = y2 + 2 x 2 ; x 2 x x y π 7) xy′ − yx =tan , y (1) = ; 8) xy2′ =4 x 2 ++ xy yy 2 , (1) = 2 ; x 2 y y 9) (xyy′ − )arctan = x ; 10) xy′ = xex + yy, (1) = 0 ; x 11) xy′ =2 y − 2 xy ; 12) (x4+++ 6 xy 224 ydx ) 4 xyx ( 22 += ydy ) 0, y (1) = 0 . Câu 3*. B ằng cách đưa v ề d ạng đẳ ng c ấp ho ặc tách bi ến, hãy gi ải các ph ươ ng trình vi phân sau đây 1) (2x++ y 1) dx ++− ( x 2 y 1) dy = 0 ; 2) (xy++ 2) dx + (2 x +− 2 y 1) dy = 0 ; 3) (x−+ 2 y 3) dx + (2 xy +− 1) dy = 0 ; 4) (xy−+ 4) dx ++− ( x y 2) dy = 0 ; Trang 15
16. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 5) 2(xydy+ ) ++− (3 x 3 y 1) dx = 0, y (0) = 2 ; 6) (y−− x 4) dy =+− ( x y 2) dxy , (1) = 1 . ax+ by + c Hướng d ẫn. Các ph ươ ng trình trên có d ạng y′ = 1 1 1 . ax2+ by 2 + c 2 axbyc+ + = 0 ab  111 11 Xét h ệ  , = ta có hai tr ường h ợp: axbyc+ + = 0 ab  222 22 • N ếu ≠ 0 thì h ệ có nghi ệm duy nh ất (α ; β ) , ta đổi bi ến x= u + α và y= v + β . ế đổ ế đư ươ ề ạ ế • N u = 0 thì ta i bi n t= ax111 + by ⇒ bdy =− dt adx 1 và a ph ng trình v d ng tách bi n. Câu 4. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần sau đây 1) 2(xy+ sin ydx ) ++ ( x2 x cos ydy ) = 0 ; 2) (ex++ y sin ydx ) +++ ( e y x x cos ydy ) = 0 ; 3) (x+ sin) ydx + (cos x y + sin) ydy = 0 ; 4) (cosy− 2sin2) y xdx −− (sin x y cos2) xdy = 0 ; 5) (y+ ex sin) ydx ++ ( x e x cos) ydy = 0 ; 6) (arcsinx+ 2 xydx ) ++ ( x2 arctan y += 1) dy 0 ; x 2    2 3 7) (yxydx+ ln) +++ x 1 dy = 0 ; 8) (3xy+ sin xdx ) +− ( x cos ydy ) = 0 ; 2y   9) (exy++ 3 xdx2 ) ++ ( e xy + 4 ydy 3 ) = 0, y (0) = 0 ; 10) (x2++ y 2 ydx ) + (2 xy ++ x edyy ) = 0, y (0) = 0 ;   x2 x 2 x  11) (2xye+ ln ydx ) ++ e dy = 0, y (0) = 1 ;  y    2 x  12) (lnyy− 5 sin 5 xdx ) ++ 2 y cos 5 xdy == 0, y (0) e . y  Chú ý. Ngoài cách gi ải thông th ường đã h ọc, ta còn có công th ức tìm nghi ệm t ổng quát sau: x y Pxydx(,)+ Qxydy (,) =⇒ 0 Pxydx (,) + Qxydy (,) = C ∫ ∫ 0 x0 y 0 ị đượ ọ ỏ ươ đ ườ ườ ọ Giá tr x0, y 0 c ch n th a ph ng trình ã cho (ng i ta th ng ch n x0= y 0 = 0 ). Câu 5. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 và Bernoulli sau đây 2 1) xy′ − y = x2 cos x ; 2) y′ +2 xy = xe −x ; 4 3 3) yxy′ cos+ = 1 − sin x ; 4) y′ + y =, y (1) = 0 ; x x 4 5) (1+xyy2 )′ + = arctan x ; 6) y′ 1−+= xy2 arcsin xy , (0) = 0 ;   y2  x  y 1 2 7) y′ − = cos x .ln tan ; 8) y′ − = xxyeln , () = e ; sinx  2  xln x 2   1 π 9) y′ +3 y tan3 x = sin6 xy , (0) = ; 10) y′ sin xy− cos x = 1, y   = 0 ; 3 2  11) (2xy+ 3) dy − ydx2 = 0 ; 12) (y4 + 2 xy ) ′ = y ; 2 2 2 y 13) y′ + y = 3 xy2 . 3 4 ; 14) y′ + y = ; x x cos 2 x y y 2 15) y′ − = ; 16) 4xy′ + 3 y = − exyx 4 5 ; x−1 x − 1 Trang 16
17. ThS. Đoàn V ươ ng Nguyên Bài t ập th ường k ỳ Toán cao c ấp A3 ĐH 3x2 y 17) y′ −2tan y xy +2 sin 2 x = 0 ; 18) y′ + =+ yx2( 3 1)sin xy , (0) = 1 ; x 3 + 1 19) ydx+( x + x2 y 2 ) dy = 0 ; 20) (y2++ 2 yxy 2 )′ += 2 x 0, y (1) = 0 . Hướng d ẫn. Trong các câu 11), 12), 19) và 20) ta xem x là hàm ch ưa bi ết, ngh ĩa là dx= x′ dy . II. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO Câu 1. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân c ấp cao (d ạng khuy ết) sau đây 1 1 1) y(4)=cos 2 xy , (0) = , y′ (0) == 0, y ′′ (0) , y ′′′ (0) = 0 ; 32 8 2) yxxy′′′=sin , (0) == y ′ (0) 0, y ′′ (0) = 2 ; 3) y′′′= xey−x , (0) = 0, y ′ (0) == y ′′ (0) 2 ; 4) y′′′ sin4 x= sin2 x ; 5) (1−x2 ) y′′ − xy ′ = 2 ; 6) 2xyy′′ ′′′= ()1 y ′′ 2 − ; 7) (1+x2 ) y′′ + () y ′ 2 += 10 ; 8) (xyy−−= 1)′′′ ′′ 0, y (2) = 2, y ′ (2) = y ′′ (2) = 1 ; 9) (2y+ 3) y′′ − 2( y ′ )2 = 0 ; 10) yy′′−=( y ′ )2 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 2 ; 11) (y′ ) 2 + yy ′′ = yy ′ ; 12) 3(y′ )2= 4 yy ′′ + y 2 ; y′ Hướng d ẫn. Trong 11) ta s ử d ụng (yy ′ ) ′ và trong 12) ta chia 2 v ế cho y 2 r ồi đặ t z = . y Câu 2. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp cao thu ần nh ất v ới h ệ s ố h ằng sau đây 1) 3y′′− 8 y ′ + 5 y = 0 ; 2) 2y′′− 7 y ′ − y = 0 ; 3) y′′− y ′ +6 y = 0 ; 4) y(4) + y = 0 ; 5) y(4) −2 y′′′ + y ′′ = 0 ; 6) y′′′+5 y ′′ + 8 y ′ + 4 y = 0 ; 7) yyy′′++=5 ′ 6 0, y (0) = 1, y ′ (0) =− 6 ; 8) y′′−+=10 yyy ′ 25 0, (0) = 0, y ′ (0) = 1 ; π  π π π  π    6 3  3  9) yyyy′′−+=2 ′ 10 0, = 0, y ′   = e ; 10) 9yyy′′+= 0, = 2, y ′   = 0 ; 6  6  2  2      π π 11) yy′′ +=9 0, y() 0 = 0, y   = 1 ; 12) yy′′+=0, y ′() 0 = 1, y ′   = 0 .  4   3  Câu 3. Gi ải các ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp hai v ới h ệ s ố h ằng sau đây 1) y′′−4 y ′ + 5 = 0 ; 2) y′′−7 y ′ − 1 = 0 ; 3) y′′− y ′ +6 = 0 ; 4) y′′+ y ′ +3 = 0 ; 5) y′′+2 y ′ − 3 = 0 ; 6) y′′+4 y ′ + 4 = 0 . Câu 4*. Tìm m ột nghi ệm riêng và gi ải các ph ươ ng trình vi phân sau đây 1) y′′−2 y ′ + 2 y = 2 e x ; 2) yy′′+ ′ =2 sin x + 3 cos2 x ; 3) yyy′′−−=4 ′ 5 4 sin x − 6 cos x ; 4) y′′+2 y ′ + 26 y = 29 e x ; 5) y′′−4 y ′ += 4 yex2x ( 3 −+ 4 x 2) ; 6) y′′+4 yy ′ + 4 = cos x ; 7) y′′−4 y ′ + 3 ye = 3x sin x ; 8) y′′++=6 yyxx ′ 8 2 sin + cos x ; 9) y′′−+8 y ′ 12 yex =2x ( 2 − 1) ; 10) y′′+3 y ′ + 2 yex = x 2 ; 11) y′′+3 y ′ + 2 yex = −x 2 ; 12) y′′−6 y ′ + 10 yxe = 3x sin x ; 13) y′′ +3 yx = 2 sin x ; 14) y''− 6 y ' + 8 ye = 2x sin 4 x . H ết Trang 17