Bài tập giải tích II liên tục và vi phân

405 trang vanle 3080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập giải tích II liên tục và vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_giai_tich_ii_lien_tuc_va_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài tập giải tích II liên tục và vi phân

Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tr−ờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội W. J. Kaczor M. T. Nowak Bài tập Giải Tích II Liên tục và Vi phân (Có Lời Giải Chi Tiết) Biên dịch: Nguyễn Duy Tiến, D− Đức Thắng, Lê Huy Tiễn Hà nội 2002
Mục lục Lời nói đầu 7 Ký hiệu và khái niệm 11 Bài tập 3 1 Giới hạn và liên tục 3 1.1Giớihạncủahàmsố 3 1.2Cáctínhchấtcủahàmliêntục 9 1.3Tínhchấtgiátrịtrunggian 14 1.4Hàmnửaliêntục 17 1.5Tínhliêntụcđều 22 1.6 Ph−ơngtrìnhhàm 26 1.7 Hàm liên tục trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Phép tính vi phân 35 2.1Đạohàmcủahàmthực 35 2.2Địnhlýgiátrịtrungbình 43 2.3CôngthứcTaylorvàquytắcL’Hospital 49 2.4Hàmlồi 58 2.5 Các ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz . . . . . . . . . . . . 72 3
4 3 Dãy và chuỗi hàm 77 3.1Dãyhàmvàsựhộitụđều 77 3.2Chuỗihàmvàsựhộitụđều 83 3.3Chuỗiluỹthừa 91 3.4ChuỗiTaylor 96 Lời giải 105 1 Giới hạn và liên tục 105 1.1Giớihạncủahàmsố 105 1.2Cáctínhchấtcủahàmliêntục 123 1.3Tínhchấtgiátrịtrunggian 141 1.4Hàmnửaliêntục 155 1.5Tínhliêntụcđều 166 1.6 Ph−ơngtrìnhhàm 176 1.7 Hàm liên tục trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 193 2 Phép tính vi phân 207 2.1Đạohàmcủahàmsốthực 207 2.2Cácđịnhlýgiátrịtrungbình 229 2.3CôngthứcTaylorvàquytắcL’Hospital 241 2.4Hàmlồi 263 2.5 Các ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz . . . . . . . . . . . . 307 3 Dãy hàm và chuỗi hàm 315 3.1Dãyhàmvàsựhộitụđều 315 3.2Chuỗihàmvàsựhộitụđều 334 3.3Chuỗiluỹthừa 353 3.4ChuỗiTaylor 370
5 Tài liệu tham khảo 389
Lời nói đầu Bạn đang có trong tay tập II của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới. Tr−ớc đây, hầu hết những ng−ời làm toán của Việt Nam th−ờng sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ−ợc dịch ra tiếng Việt): 1. “Bài tập giải tích toán học” của Demidovich (B. P. Demidoviq; 1969, Sbornik Zadaq i Upraẳneni$i po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo "Nauka", Moskva) 2. “Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập” của Ljaszko, Bo- jachuk, Gai, Golovach (I. I. LÂxko, A. K. BoÂquk, º. G. Ga$i, G. P. Golobaq; 1975, Matematiqeski$i Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom1,2,Izdatel~stvoVixaÂXkola) để giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ−ợc dịch ra tiếng Anh): 3. “Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, D∙ysốvàChuỗisố” (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czes´c´ Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), 4. “Bàitậpgiảitích.TậpII:LiêntụcvàViphân”(W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czes´c´ Druga, Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek Rozniczowy,´ Wydawnictwo Univer- sytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). 7
8Lờinóiđầu để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh: 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001. Sáchnàycócác−uđiểmsau: Các bài tập đ−ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. • Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. • Kết hợp đ−ợc những ý t−ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện • đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh−, American Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics To- day (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan). Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh− cho các sinh viên đại học ngành toán. Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong 5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hil Book Company, New York, 1964. Tuy vậy, tr−ớc mỗi ch−ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch−ơng t−ơng ứng. Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân. Chúng tôi đã biên dịch tập I, và đã xuất bản. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới GS. Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, GS.
Lời nói đầu 9 TSKH. Nguyễn Hữu Việt H−ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập II của sách này, GS. Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976, GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, TS. Nguyễn Vũ L−ơng, TS. Hoàng Quốc Toàn và PGS. TSKH. Nguyễn Văn Minh đã đọc kỹ bản thảo và góp cho chúng tôi nhiềuýkiếnđểbảndịchđ−ợc hoàn thiện hơn. Chúng tôi cũng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào tạo Cử nhân Khoa học Tài năng, Tr−ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ−ợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đ−ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc. Mọi ý kiến góp ý xin gửi về: Nguyễn Duy Tiến, Khoa Toán - Cơ - Tin học, tr−ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Tr∙i, Thanh Xuân, Hà Nội. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, Xuân 2002. Nhóm biên dịch
Ký hiệu và khái niệm Ac = X A -phầnbùcủatạpA, • \ BX(x, r), B¯ X(x, r) - hình cầu mở và đóng có tâm tại x và bán kính r>0 • t−ơng ứng. Nếu cố định X thì ta chỉ cần viết B(x, r), B¯ (x, r), Ao -phầntrongcủaA trong không gian metric (X,d), • A¯ - bao đóng của A trong không gian metric (X,d), • ∂A = A¯ X A -biêncủaA, • ∩ \ diam(A)=sup d(x, y):x, y A -đ−ờng kính của tập A, • { ∈ } dist(x, A)=inf d(x, y):y A - khoảng cách giữa x và tập A, • { ∈ } A đ−ợc gọi là có dạng σ nếu nó là hợp của một số đếm đ−ợc các tập • đóng trong (X,d), F A đ−ợc gọi là có dạng δ nếunólàgiaocủamộtsốđếmđ−ợc các tập • mở trong (X,d), G X đ−ợc gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở khác rỗng rời nhau • B, C X sao cho X = B C, ⊂ ∪ Hàm • 1 nếu x A, χA(x)= ∈ 0 nếu x (X A) ∈ \ đ−ợc gọi là hàm đặc tr−ng của A, Nếu A X và nếu f là hàm xác định trên X thì f A đ−ợc ký hiệu là • hạn chế⊂ của f trên A, | 11
12 Ký hiệu và khái niệm Nếu f và g là hai hàm thực biến thực thì f(a+) và f(a ) là giới hạn trái và phải của f tại a,t−ơng ứng, • − nếu th−ơng f(x)/g(x) dần tới không (hay bị chặn) khi x x0 thì ta viết • f(x)= (g(x)) (hay f(x)=O(g(x))) → ◦ C(A) - tập các hàm liên tục trên A, • C(a, b) - tập các hàm liên tục trên khoảng (a, b), • f (n) - đạo hàm cấp n của f, • Cn(a, b) - tập các hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng (a, b), • f+ (a), f (a) - đạo hàm trái, phải của f tại điểm a, • − C1([a, b]) - tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b], trong đó đạo hàm tại • các điểm mút đ−ợc hiểu là đạo hàm trái, đạo hàm phải, t−ơng ứng. Tập Cn([a, b]) là tập các hàm khả vi liên tục đến cấp n đ−ợc định nghĩa quy nạp. C∞(a, b), C∞([a, b]) - tập các hàm khả vi liên tục vô hạn lần trên (a, b) • và [a, b],t−ơng ứng. [a, b] - đoạn đóng, (a, b) -khoảngmở(a, b có thể vô hạn), [a, b) - khoảng • đóng trái (b có thể vô hạn), (a, b] khoảng đóng phải (a có thể vô hạn). I ký hiệu một trong bốn tập này và đ−ợc gọi là khoảng.
Bài tập
Ch−ơng 1 Giớihạnvàliêntục 1.1 Giới hạn của hàm số Ta dùng các định nghĩa sau. Định nghĩa 1. Hàm f gọi là tăng (t−ơng ứng, tăng thực sự, giảm, giảm thực sự) trên tập khác rỗng A R nếu x1 f(x2) ). Hàm tăng hay giảm (t−ơngứng,tăngthựcsựhay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (t−ơng ứng, đơn điệu thực sự). Định nghĩa 2. Tập (a ε,a+ ε) a ,ởđâyε > 0 gọi là lân cận − \{ } khuyết của điểm a R. ∈ 1.1.1. Tìm các hoặc chứng minh chúng không tồn tại. 1 1 (a) lim x cos , (b) lim x , x 0 x x 0 x → → x b [x] (c) lim ,a,b>0, (d) lim , x 0 a x x 0 x → → cos( π cos x) (e) lim x( x2 +1 3 x3 +1), (f) lim 2 . x + − x 0 sin(sin x) → ∞ → 1.1.2. Giả sử f :( a, a) 0 R. Chứng minh rằng − \{ } → (a) lim f(x)=l nếu và chỉ nếu lim f(sin x)=l, x 0 x 0 → → 3
4Ch−ơng 1. Giới hạn và liên tục (b) nếu lim f(x)=l thì lim f( x )=l.Điềung−ợc lại có đúng x 0 x 0 | | không→ ? → 1.1.3. Giả sử hàm f :( a, a) 0 (0, + ) thoả m∙n điều kiện − \{ } → ∞ lim f(x)+ 1 =2. Chứng minh rằng lim f(x)=1. x 0 f(x) x 0 → → 1.1.4. Giả sử hàm f đ−ợcxácđịnhtrênmộtlâncậnkhuyếtcủaa 1 và lim f(x)+ f(x) =0.Tìmlim f(x). x a | | x a → → 1.1.5. Chứngminhrằngnếuf là hàm bị chặn trên đoạn [0, 1] và 1 thoả m∙n f(ax)=bf(x) với 0 x a và a, b > 1 thì lim f(x)=f(0). ≤ ≤ x 0+ → 1.1.6. Tính 2 1 (a) lim x 1+2+3+ + x , x 0 ããã | | → 1 2 k (b) lim x x + x + + x ,k N. x 0+ ããã ∈ → 1.1.7. Tính lim [P (x)] ,ởđâyP (x) làđathứcvớihệsốd−ơng. x P ( x ) →∞ | | 1.1.8. Chỉrabằngvídụrằngtừđiềukiện ( ) lim(f(x)+f(2x)) = 0 ∗ x 0 → không suy ra f có giới hạn tại 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm ϕ sao cho bất đẳng thức f(x) ϕ(x) đ−ợc thoả m∙ntrongmột lân cận khuyết của 0 và lim ϕ(x)=0≥ ,thì()suyralim f(x)=0. x 0 x 0 → ∗ → 1.1.9. (a) Cho ví dụ hàm f thoả m∙nđiềukiệnlim(f(x)f(2x)) = 0 và x 0 lim f(x) không tồn tại. → x 0 → (b) Chứng minh rằng nếu trong một lân cận khuyết của 0,các α 1 bất đẳng thức f(x) x , 2 < α < 1, và f(x)f(2x) x đ−ợc thoả m∙n, thì lim f(≥x)=0| | . ≤ | | x 0 → f(ax) 1.1.10. Cho tr−ớc số thực α,giảsử lim α = g(a) với mỗi số d−ơng x x a. Chứng minh rằng tồn tại c sao cho→∞ g(a)=caα.
1.1. Giới hạn của hàm số 5 1.1.11. Giả sử f : là hàm đơn điệu sao cho lim f(2x) =1. R R x f(x) → →∞ Chứng minh rằng lim f(cx) =1với mọi c>0. x f(x) →∞ 1.1.12. Chứngminhrằngnếua>1 và α R thì ∈ ax ax (a) lim =+ , (b) lim =+ . x x x xα →∞ ∞ →∞ ∞ ln x 1.1.13. Chứngminhrằngnếuα > 0,thì lim α =0. x x →∞ 1.1.14. Cho a>0, chứng minh lim ax =1.Dùngđẳngthứcnàyđể x 0 chứng minh tính liên tục của hàm→ mũ. 1.1.15. Chứng minh rằng 1 x 1 x (a) lim 1+ = e, (b) lim 1+ = e, x x x x →∞ →−∞ 1 (c) lim(1 + x) x = e. x 0 → 1.1.16. Chứng minh rằng lim ln(1 + x)=0. Dùng đẳng thức này, x 0 suy ra hàm logarit liên tục→ trên (0, ). ∞ 1.1.17. Tính các giới hạn sau: ln(1 + x) ax 1 (a) lim , (b) lim − ,a>0, x 0 x x 0 x → → (1 + x)α 1 (c) lim − , α R. x 0 x ∈ → 1.1.18. Tìm 1 sin x (a) lim (ln x) x , (b) lim x , x x 0+ →∞ → 1 x 1 (c) lim(cos x) sin2 x , (d) lim (e 1) x , x 0 x − → 1 →∞ (e) lim (sin x) ln x . x 0+ → 1.1.19. Tìm các giới hạn sau: sin 2x + 2 arctan 3x +3x2 ln cos x (a) lim , (b) lim , x 0 ln(1 + 3x +sin2 x)+xex x 0 tan x2 → → √1 e x √1 cos x (c) lim − − − − , (d) lim(1 + x2)cot x. x 0+ √sin x x 0 → →
6Ch−ơng 1. Giới hạn và liên tục 1.1.20. Tính 1 πx x x x (a) lim tan , (b) lim x ln 1+ ln . x 2x +1 x 2 − 2 →∞ →∞ 1.1.21. Giả sử rằng lim g(x)=0và tồn tại α R,cácsốd−ơng x 0+ ∈ → m, M sao cho m f(x) M vớinhữnggiátrịd−ơng của x trong ≤ xα ≤ lân cận của 0. Chứngminhrằngnếu α lim g(x)lnx = γ, thì x 0+ lim f(x)g(x) = eγ.Tr−ờng hợp γ = hoặc →γ = ,taquy−ớc x 0+ ∞ −∞ e→ = và e =0. ∞ ∞ −∞ 1.1.22. Biết rằng lim f(x)=1và lim g(x)= . Chứng minh rằng x 0 x 0 ∞ nếu lim g(x)(f(x) →1) = γ,thìlim f→(x)g(x) = eγ. x 0 − x 0 → → 1.1.23. Tính 1 x (a) lim 2sin√x + √x sin , x 0+ x → 1 e x2 1 1 (b) lim 1+xe− x2 sin , x 0 x4 → 1 e x2 1 1 1 1 (c) lim 1+e− x2 arctan + xe− x2 sin . x 0 x2 x4 → 1.1.24. Cho f :[0, + ) R là hàm sao cho mỗi d∙y f(a+n) ,a 0, hộitụtớikhông.Hỏigiớihạn∞ → lim f(x) có tồn tại không{ ? } ≥ x →∞ 1.1.25. Cho f :[0, + ) R làhàmsaochovớimọisốd−ơng a,d∙y f(an) hộitụtớikhông.Hỏigiớihạn∞ → lim f(x) có tồn tại không ? x { } →∞ 1.1.26. Cho f :[0, + ) R là hàm sao cho với mọi a 0 và mọi b>0,d∙y f(a + bn∞) hộitụtớikhông.Hỏigiớihạn→ ≥lim f(x) có { } x tồn tại không ? →∞ f(2x) f(x) 1.1.27. Chứngminhrằngnếulim f(x)=0và lim − =0thì x 0 x 0 x → → f(x) lim =0. x 0 x →
1.1. Giới hạn của hàm số 7 1.1.28. Giả sử f xác định trên (a, + ), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn (a, b),a ∞ 0 với x (a, + ). Chứng minh f(x+1) ≥ 1∈ ∞ rằng nếu lim tồn tại thì lim f(x) x cũng tồn tại và x + f(x) x + → ∞ → ∞ 1 f(x +1) lim (f(x)) x =lim . x + x + f(x) → ∞ → ∞ 1 1 1.1.32. Giả thiết rằng lim f − =0.Từđócósuyralim f(x) x 0 x x 0 → → tồn tại không ? a 1.1.33. Cho f : R R sao cho với mọi a R,d∙y f n hội tụ tới không. Hỏi f có giới→ hạn tại 0 không ? ∈ 1.1.34. Chứngminhrằngnếulim f x 1 1 =0,thìlim f(x)= x 0 x − x x 0 → → 0. 1.1.35. Chứng minh rằng nếu f đơnđiệutăng(giảm)trên(a, b), thì với mọi x0 (a, b), ∈ (a) f(x+)= lim f(x)= inf f(x) f(x+)= supf(x) , 0 + 0 x x x>x0 x>x0 → 0 (b) f(x−)= lim f(x)= supf(x) f(x−)= inf f(x) , 0 0 x<x x x− x<x0 0 → 0
8Ch−ơng 1. Giới hạn và liên tục + + (c) f(x−) f(x0) f(x ) f(x−) f(x0) f(x ) . 0 ≤ ≤ 0 0 ≥ ≥ 0 1.1.36. Chứngminhrằngnếu f đơnđiệutăngtrên (a, b),thìvới mọi x0 (a, b), ∈ + (a) lim f(x−)=f(x0 ), x x+ → 0 + (b) lim f(x )=f(x0−). x x− → 0 1.1.37. Chứng minh định lí Cauchy sau đây. Để f có giới hạn hữu hạn khi x a, điều kiện cần và đủ là với mọi ε > 0,tồntạiδ > 0 sao cho f(→x) f(x ) 0 và p là số nguyên→ d−ơng− cố định. Kí n hiệu f là phép lặp thứ n của f. Chứng minh rằng nếu mp là số nguyên d−ơng nhỏ nhất sao cho f mp (0) >p,thì p f n(0) f n(0) p 1+f(0) lim lim + . mp ≤ n n ≤ n n ≤ mp mp →∞ →∞ 1.1.42. Giả sử f : R R là hàm tăng và x f(x) x có chu kỳ 1. → n → − Chứng minh rằng lim f (x) tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi n n →∞ x R,ởđâyf n kí hiệu phép lặp thứ n của f. ∈
1.2. Các tính chất của hàm liên tục 9 1.2 Các tính chất của hàm liên tục 1.2.1. Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm f xác định bởi 0 nếu x vô tỷ, f(x)= sin x nếu x hữu tỷ. | | 1.2.2. Xác định tập các điểm liên tục của hàm f đ−ợc cho bởi x2 1 nếu x vô tỷ, f(x)= − 0 nếu x hữu tỷ. 1.2.3. Nghiêncứutínhliêntụccủacáchàmsau: 0 nếu x vô tỷ hoặc x =0, (a) f(x)= 1/q nếu x = p/q, p Z,q N,và  ∈ ∈  p, q nguyên tố cùng nhau,  x nếu x vô tỷ hoặc x =0, | | (b) f(x)= qx/(qx +1) nếu x = p/q, p Z,q N,và  ∈ ∈  p, q nguyên tố cùng nhau. (Hàm định nghĩa ở (a) đ−ợc gọi là hàm Riemann.) 1.2.4. Chứng minh rằng nếu f C([a, b]),thì f C([a, b]).Chỉra bằng ví dụ rằng điều ng−ợc lại∈ không đúng. | | ∈ 1.2.5. Xác định tất cả các an và bn sao cho hàm xác định bởi an +sinπx nếu x [2n, 2n +1],n Z, f(x)= ∈ ∈ bn +cosπx nếu x (2n 1, 2n),n Z, ∈ − ∈ liên tục trên R. 1.2.6. Cho f(x)= x2 sin πx với x R. Nghiên cứu tính liên tục của f. ∈ 1.2.7. Biết 1 f(x)=[x]+(x [x])[x] với x . − ≥ 2 Chứng minh rằng f liên tục và tăng thực sự trên [1, ). ∞
10 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.2.8. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng x x n n− (a) f(x)= lim − ,xR, n nx + n x →∞ − ∈ x2enx + x (b) f(x)= lim ,xR, n enx +1 →∞ ∈ ln(en + xn) (c) f(x)= lim ,x0, n n →∞ ≥ 1 (d) f(x)= lim n 4n + x2n + ,x=0, n x2n →∞ (e) f(x)= lim 2n cos2n x +sin2n x, x . n R →∞ ∈ 1.2.9. Chứngminhrằngnếuf : R R liên tục và tuần hoàn thì nó nhận supremum và infimum. → 2n 2n 1 1.2.10. Cho P (x)=x +a2n 1x − + +a1x+a0, chứng minh rằng − ããã tồn tại x R sao cho P (x )=inf P (x):x R . Chứng minh rằng giá trị tuyệt∗ ∈ đối của mọi∗ đa thức{ P nhận∈ infimum} của nó, tức là tồn tại x∗ R sao cho P (x∗) =inf P (x) : x R . ∈ | | {| | ∈ } 1.2.11. (a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0, 1] nh−ng không đạt đ−ợc infimum và supremum. (b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0, 1] nh−ng không đạt đ−ợc infimum của nó trên mọi đoạn [a, b] [0, 1],a 0,đặt → ∈ ωf (x0, δ)=sup f(x) f(x0) : x R, x x0 < δ {| − | ∈ | − | } và ωf (x0)= lim ωf (x0, δ). Chứng minh rằng f liên tục tại x0 nếu δ 0+ → và chỉ nếu ωf (x0)=0. 1.2.13. (a) Cho f,g C([a, b]) và với x [a, b],đặth(x)=minf(x),g(x) và H(x)=max∈ f(x),g(x) . Chứng∈ minh rằng h, H { C([a, b]). } { } ∈
1.2. Các tính chất của hàm liên tục 11 (b) Cho f1,f2,f3 C([a, b]) và với x [a, b],đặtf(x) là một trong ∈ ∈ ba giá trị f1(x),f2(x) và f3(x) mà nằm giữa hai giá trị còn lại. Chứng minh rằng f C([a, b]). ∈ 1.2.14. Chứngminhrằngnếuf C([a, b]),thìcáchàm ∈ m(x)=inf f(ζ):ζ [a, x] và M(x)=sup f(ζ):ζ [a, x] { ∈ } { ∈ } cũng liên tục trên [a, b]. 1.2.15. Cho f là hàm bị chặn trên [a, b]. Chứng minh rằng các hàm m(x)=inf f(ζ):ζ [a, x) và M(x)=sup f(ζ):ζ [a, x) { ∈ } { ∈ } liên tục trái trên (a, b). 1.2.16. Với các giả thiết của bài toán tr−ớc, kiểm tra các hàm m∗(x)=inf f(ζ):ζ [a, x] và M ∗(x)=sup f(ζ):ζ [a, x] { ∈ } { ∈ } có liên tục trái trên (a, b) hay không? 1.2.17. Giả sử f liên tục trên [a, ) và lim f(x) hữu hạn. Chứng ∞ x minh rằng f bị chặn trên [a, ). →∞ ∞ 1.2.18. Cho f là hàm liên tục trên R và đặt xn là d∙ybịchặn. Các bất đẳng thức sau { } lim f(xn)=f lim xn và lim f(xn)=f lim xn n n n n →∞ →∞ →∞ →∞ có đúng không? 1.2.19. Cho f : R R là hàm liên tục, tăng và gọi xn là d∙ybị chặn. Chứng minh→ rằng { } (a) lim f(xn)=f lim xn , n n →∞ →∞ (b) lim f(xn)=f lim xn . n n →∞ →∞ 1.2.20. Cho f : R R là hàm liên tục, giảm và d∙y xn bị chặn. Chứng minh rằng→ { } (a) lim f(xn)=f lim xn , n n →∞ →∞ (b) lim f(xn)=f lim xn . n n →∞ →∞
12 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.2.21. Giả sử f liên tục trên , lim f(x)= và lim f(x)= R x x →−∞ −∞ →∞ + . Định nghĩa g bằng cách đặt ∞ g(x)=sup t : f(t) <x với x R. { } ∈ (a) Chứng minh rằng g liên tục trái. (b) g có liên tục không? 1.2.22. Cho f : R R là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kỳ → T và T không thông −ớc,tứclà T1 vô tỷ. Chứng minh rằng f là 1 2 T2 hàm hằng. Cho ví dụ hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kỳ không thông −ớc. 1.2.23. (a)Chứngminhrằngnếuf : R R là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm hằng, thì nó có chu→ kỳ d−ơng nhỏ nhất, gọi là chu kỳ cơ bản. (b) Cho ví dụ hàm tuần hoàn khác hàm hằng mà không có chu kỳ cơ bản. (c)Chứngminhrằngnếuf : R R là hàm tuần hoàn không có chu kỳ cơ bản, thì tập tất cả→ các chu kỳ của f trù mật trong R. 1.2.24. (a) Chứng minh rằng định lí trong mục (a) của bài toán tr−ớc vẫn còn đúng khi tính liên tục của f trên R đ−ợc thay bởi tính liên tục tại một điểm. (b)Chứngminhrằngnếuf : R R là hàm tuần hoàn không có chu kỳ cơ bản và liên tục tại→ ít nhất một điểm thì nó là hàm hằng. 1.2.25. Chứngminhrằngnếuf,g : R R là hàm liên tục, tuần hoàn và lim (f(x) g(x)) = 0 thì f = g. → x →∞ − 1.2.26. Chovídụhaihàmtuầnhoànf và g sao cho mọi chu kỳ của f không thông −ớc với bất kỳ chu kỳ nào của g và sao cho f +g
1.2. Các tính chất của hàm liên tục 13 (a) không tuần hoàn, (b) tuần hoàn. 1.2.27. Cho f,g : R R là các hàm liên tục và tuần hoàn lần l−ợt → T1 với chu kỳ cơ bản d−ơng T1 và T2. Chứng minh rằng nếu / Q, T2 ∈ thì h = f + g không là hàm tuần hoàn. 1.2.28. Cho f,g : R R là các hàm tuần hoàn. Giả sử f liên tục và không có chu kỳ→ nào của g thông −ớc với chu kỳ cơ bản của f. Chứng minh rằng f + g không là hàm tuần hoàn. 1.2.29. Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu f : R R không quá đếm đ−ợc. → 1.2.30. Giả sử f liên tục trên [0, 1]. Chứng minh rằng 1 n k lim ( 1)kf =0. n n − n →∞ k=1 1.2.31. Cho f liên tục trên [0, 1]. Chứng minh rằng 1 n n k lim ( 1)k f =0. n 2n − k n →∞ k=0 1.2.32. Giả sử f :(0, ) R là hàm liên tục sao cho f(x) f(nx) với mọi số d−ơng x và mọi∞ → số tự nhiên n. Chứng minh rằng≤ lim f(x) x tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn). →∞ 1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I R đ−ợc gọi là lồi trên I nếu ⊂ f(λx1 +(1 λ)x2) λf(x1)+(1 λ)f(x2) − ≤ − với mọi x1,x2 I và λ (0, 1). Chứng minh rằng nếu hàm f lồi trên khoảng mở∈ thì nó∈ liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kỳ có nhất thiết liên tục không? 1.2.34. Chứng minh rằng nếu d∙y fn các hàm liên tục trên A hội tụ đều tới f trên A,thìf liên tục{ trên} A.
14 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.3 Tính chất giá trị trung gian Ta nhắc lại định nghĩa sau: Định nghĩa. Hàm thực f có tính chất giá trị trung gian trên khoảng I chứa [a, b] nếu f(a) → g(b). Chứng minh rằng tồn tại x0 (a, b) sao cho f(x0)=g(x0). ∈ 1.3.5. Cho f : R R liên tục và tuần hoàn với chu kỳ T>0. Chứng → minh rằng tồn tại x0 sao cho T f x + = f(x ). 0 2 0 1.3.6. Hàm f :(a, b) R liên tục. Chứng minh rằng, với x1,x2, ,xn → cho tr−ớc trong (a, b),tồntạix0 (a, b) sao cho ∈ 1 f(x0)= (f(x1)+f(x2)+ + f(xn)). n ããã 1.3.7. (a) Chứng minh rằng ph−ơng trình (1 x)cosx =sinx có ít nhất một nghiệm trong (0, 1). − (b) Với đa thức khác không P ,chứngminhrằngph−ơng trình P (x) = ex có ít nhất một nghiệm. | | 1.3.8. Với a0 <b0 <a1 <b1 < <an <bn, chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức ããã n n P (x)= (x + ak)+2 (x + bk),xR, ∈ k=0 k=0
1.3. Tính chất giá trị trung gian 15 đều là thực. 1.3.9. Giả sử f và g có tính chất giá trị trung gian trên [a, b].Hỏi f + g có tính chất giá trị trung gian trên khoảng đó không ? 1.3.10. Giả sử f C([0, 2]) và f(0) = f(2). Chứng minh rằng tồn tại ∈ x1 và x2 trong [0, 2] sao cho x2 x1 =1 và f(x2)=f(x1). − Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên. 1.3.11. Cho f C([0, 2]). Chứng minh rằng tồn tại x1 và x2 trong [0, 2] sao cho ∈ 1 x2 x1 =1 và f(x2) f(x1)= (f(2) f(0)). − − 2 − 1.3.12. Với n N,chof C([0,n]) sao cho f(0) = f(n). Chứng minh ∈ ∈ rằng tồn tại x1 và x2 thuộc [0,n] thoả m∙n x2 x1 =1 và f(x2)=f(x1). − 1.3.13. Hàm liên tục f trên [0,n],n N,thoảm∙n f(0) = f(n). ∈ Chứng minh rằng với mọi k 1, 2, ,n 1 ,tồntạixk và x ∈ { − } k sao cho f(xk)=f(x ),vớixk x = k hoặc xk x = n k.Hỏi k − k − k − với mọi k 1, 2, ,n 1 , có tồn tại hay không xk và x sao cho ∈ { − } k f(xk)=f(x ),vớixk x = k? k − k 1.3.14. Với n N,chof C([0,n]) sao cho f(0) = f(n). Chứng minh ∈ ∈ rằng ph−ơng trình f(x)=f(y) có ít nhất n nghiệm với x y N. − ∈ 1.3.15. Giả sử các hàm thực liên tục f và g xác định trên R giao hoán với nhau, tức là f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x R. Chứng minh rằng nếu ph−ơng trình f 2(x)=g2(x) có nghiệm,∈ thì ph−ơng trình f(x)=g(x) cũng có nghiệm ởđâyf 2(x)=f(f(x)) và g2(x)= g(g(x)) . Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục của f và g trong bài toán trên không thể bỏ qua. 1.3.16. Chứng minh rằng đơn ánh liên tục f : R R thì hoặc tăng thực sự, hoặc giảm thực sự. →
16 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.3.17. Giả sử f : R R là đơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại n sao cho→ phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất, tức là f n(x)=x với mọi x R,thì ∈ (a) f(x)=x, x R,nếuf tăng thực sự, ∈ (b) f 2(x)=x, x R,nếuf giảm thực sự. ∈ 1.3.18. Giả sử f : R R thoả m∙nđiềukiệnf(f(x)) = f 2(x)= → x, x R. Chứng minh rằng f không thể liên tục. − ∈ 1.3.19. Tìm tất cả các hàm f : R R có tính chất giá trị trung → gian và tồn tại n N sao cho f n(x)= x, x R,ởđâyf n kí hiệu phép lặp thứ n của∈ f. − ∈ 1.3.20. Chứngminhrằngnếuf : R R có tính chất giá trị trung gian và f 1( q ) đóng với mọi q hữu→ tỷ, thì f liên tục. − { } 1.3.21. Giả sử f :(a, ) R liên tục và bị chặn. Chứng minh ∞ → rằng, với T cho tr−ớc, tồn tại d∙y xn sao cho { } lim xn =+ và lim (f(xn + T ) f(xn)) = 0. n n →∞ ∞ →∞ − 1.3.22. Chovídụhàmliêntụcf : R R đạt mỗi giá trị của nó → đúng ba lần. Hỏi có tồn tại hay không hàm liên tục f : R R đạt mỗi giá trị của nó đúng hai lần ? → 1.3.23. Cho f :[0, 1] R liên tục và đơn điệu thực sự từng khúc. (Hàm f gọi là đơn điệu→ thực sự từng khúc trên [0, 1] nếu tồn tại phân hoạch của [0, 1] thành hữu hạn khoảng con [ti 1,ti],trongđó − i =1, 2, ,n và 0=t0 <t1 < <tn =1,saochof đơnđiệuthực sự trên mỗi khoảng con đó). Chứngããã minh rằng f nhận ít nhất một trong các giá trị của nó một số lẻ lần. 1.3.24. Hàm liên tục f :[0, 1] R nhận mỗi giá trị của nó hữu hạn lần và f(0) = f(1). Chứng minh→ rằng f nhận ít nhất một trong các giá trị của nó một số lẻ lần. 1.3.25. Giả sử f : K K liên tục trên tập con compact K R. → ⊂ Hơn nữa, giả sử x0 K là số sao cho mọi điểm giới hạn của d∙y n ∈ n lặp f (x0) là điểm bất động của f. Chứng minh rằng f (x0) hội tụ.{ } { }
1.4. Hàm nửa liên tục 17 1.3.26. Hàm f : R R liên tục, tăng sao cho F xác định bởi F (x)= f(x) x tuần hoàn→ với chu kỳ 1. Chứng minh rằng nếu α(f)= −f n(0) lim ,thìtồntạix0 [0, 1] sao cho F (x0)=α(f). Chứng minh n n →∞ ∈ rằng f có điểm bất động trong [0, 1] nếu và chỉ nếu α(f)=0.(Xem 1.1.40 - 1.1.42.) 1.3.27. Hàm f :[0, 1] R thoả m∙n f(0) 0,vàtồntại hàm g liên tục trên →[0, 1] sao cho f + g giảm. Chứng minh rằng ph−ơng trình f(x)=0có nghiệm trong khoảng mở (0, 1). 1.3.28. Chứng minh rằng mọi song ánh f : R [0, ) có vô hạn điểm gián đoạn. → ∞ 1.3.29. Nhắc lại rằng mỗi x (0, 1) có thể đ−ợc biểu diễn bởi số ∈ nhị phân .a1a2a3 ,ởđâyai 0, 1 ,i=1, 2, Trongtr−ờng hợp x có hai khai triển nhị phân∈ khác{ } nhau, ta chọn khai triển có vô hạn chữ số 1.Tiếpđó,gọihàmf :(0, 1) [0, 1] đ−ợc xác định bởi → 1 n f(x)= lim ai. n n →∞ i=1 Chứng minh rằng f gián đoạn tại mọi x (0, 1), tuy nhiên, nó có tính chất giá trị trung gian. ∈ 1.4 Hàm nửa liên tục Định nghĩa 1. Tập số thực suy rộng R bao gồm tập số thực và hai kí hiệu + , với các tính chất sau: ∞ −∞ (i) Nếu x là số thực thì 0 thì x (+ )=+ , x ( )= . ã ∞ ∞ ã −∞ −∞ (iii) Nếu x<0 thì x (+ )= , x ( )=+ . ã ∞ −∞ ã −∞ ∞ Định nghĩa 2. Nếu A R là tập khác rỗng, thì sup A (t−ơng ứng inf A) là số thực mở suy⊂ rộng nhỏ nhất (t−ơng ứng, lớn nhất) mà
18 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục lớn hơn (t−ơng ứng, nhỏ hơn) hoặc bằng mọi phần tử của A. Cho f là hàm thực xác định trên tập khác rỗng A R. ⊂ Định nghĩa 3. Nếu x0 là điểm giới hạn của A,thìgiới hạn d−ới (t−ơng ứng giới hạn trên)củaf(x) khi x x0 đ−ợc định nghĩa là → inf (t−ơng ứng sup)củatậptấtcảcácy R sao cho tồn tại d∙y ∈ xn các điểm trong A khác x0, hội tụ tới x0 và y =limf(xn).Giới n { } →∞ hạn d−ới và giới hạn trên của f(x) khi x x0 đ−ợc kí hiệu t−ơng ứng bởi lim f(x) và lim f(x). → x x x x0 0 → → Định nghĩa 4. Giả sử x0 A là điểm giới hạn của A.Hàmgiá ∈ trị thực đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng trên)tạix0 nếu lim f(x) f(x0) (t−ơng ứng lim f(x) f(x0)). Nếu x0 là điểm cô x x x x0 ≥ 0 ≤ → → lập của A thì ta nói rằng f là nửa liên tục trên và d−ới tại điểm này. 1.4.1. Chứngminhrằngnếux0 là điểm giới hạn của A và f : A → R,thì (a) lim f(x)=supinf f(x):x A, 0 0 { ∈ | − | } → (b) lim f(x)=infsup f(x):x A, 0 0 → { ∈ | − | } 1.4.2. Chứngminhrằngnếu x0 là điểm giới hạn của A và f : A → R,thì (a) lim f(x)= lim inf f(x):x A, 0 0, hai điều kiện sau đây đ−ợc thoả m∙n: (i) tồn tại δ > 0 sao cho f(x) >y0 ε với mọi x A thoả m∙n − ∈ 0 0,tồntạix A sao cho 0 < x x0 < δ và ∈ | − | f(x) <y0 + ε.
1.4. Hàm nửa liên tục 19 Thiết lập điều khẳng định t−ơng tự đối với giới hạn trên của f tại x0. 1.4.4. Cho f : A R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng → (a) lim f(x)= nếu và chỉ nếu với mọi y thực và với mọi δ > 0, x x0 −∞ → tồn tại x A sao cho 0 0, x x0 → ∞ tồn tại x A sao cho 0 y. ∈ | − | 1.4.5. Giả sử f : A R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng nếu l =limf→(x) (t−ơng ứng L = lim f(x)),thìtồntạid∙y x x x x0 0 → → xn ,xn A,xn = x0,hộitụtớix0 sao cho l =limf(xn) (t−ơng ứng n { } ∈ →∞ L =limf(xn)). n →∞ 1.4.6. Cho f : A R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng → lim ( f(x)) = lim f(x) và lim ( f(x)) = lim f(x). x x x x x x0 − − 0 0 − −x x0 → → → → 1.4.7. Cho f : A (0, ) và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng → ∞ 1 1 1 1 lim = và lim = . f(x) x x0 f(x) lim f(x) x x0 lim f(x) → → x x0 x x0 → → 1 1 (Quy −ớc + =0và 0+ =+ .) ∞ ∞ 1.4.8. Giả sử f,g : A R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng các bất đẳng→ thức sau đây đúng (trừ tr−ờng hợp các dạng bất định + và + ): ∞−∞ −∞ ∞ lim f(x)+ lim g(x) lim (f(x)+g(x)) lim f(x)+ lim g(x) x x x x0 x x0 ≤ x x0 ≤ x x0 0 → → → → → lim (f(x)+g(x)) lim f(x)+ lim g(x). x x0 x x0 x x0 ≤ → ≤ → → Chovídụcáchàmsaocho“ ” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bởi “ < ”. ≤
20 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.4.9. Giả sử f,g : A [0, ) và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng các bất đẳng→ ∞ thức sau đây đúng (trừ tr−ờng hợp các dạng bất định 0 (+ ) và (+ ) 0): ã ∞ ∞ ã lim f(x) lim g(x) lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x) x x x x0 ã x x0 ≤ x x0 ã ≤ x x0 ã 0 → → → → → lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x). x x0 x x0 x x0 ≤ → ã ≤ → ã → Chovídụcáchàmsaocho“ ” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bởi “ < ”. ≤ 1.4.10. Chứngminhrằngnếu lim f(x) tồn tại thì (trừ tr−ờng hợp x x0 → các dạng bất định + và + ): ∞−∞ −∞ ∞ lim (f(x)+g(x)) = lim f(x)+ lim g(x), x x x0 0 x x0 → → → lim (f(x)+g(x)) = lim f(x)+ lim g(x). x x0 x 0 x x0 → → → Ngoài ra, nếu f và g là các hàm không âm thì (trừ tr−ờng hợp các dạng bất định 0 (+ ) và (+ ) 0): ã ∞ ∞ ã lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x), x x x0 ã 0 ã x x0 → → → lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x). x x0 x 0 x x0 → ã → ã → 1.4.11. Chứngminhrằngnếuf liên tục trên (a, b),l=limf(x) và x a → L = lim f(x),thìvớimọiλ [l, L],tồntạid∙y xn gồm các điểm x a → ∈ { } trong (a, b) hội tụ tới a sao cho lim f(xn)=λ. n →∞ 1.4.12. Cho f : R R → 0 nếu x vô tỷ, f(x)= sin x nếu x hữu tỷ. Tìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục. 1.4.13. Cho f xác định bởi x2 1 nếu x vô tỷ, f(x)= − 0 nếu x hữu tỷ Tìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục.
1.4. Hàm nửa liên tục 21 1.4.14. Chứng minh rằng 0 nếu x vô tỷ hoặc x =0, 1 p f(x)= nếu x = ,p Z,q N,  q q ∈ ∈  và p, q nguyên tố cùng nhau, là nửa liên tục trên. 1.4.15. Tìm tất cả các điểm tại đó hàm xác định bởi x nếu x vô tỷ hoặc x =0, | qx| p (a) f(x)= nếu x = ,p Z,q N  qx+1 q ∈ ∈  và p, q nguyên tố cùng nhau  ( 1)qp p  − nếu x Q (0, 1] và x = ,p,q N q+1 ∈ ∩ q ∈ (b) f(x)= và p, q nguyên tố cùng nhau, 0 nếu x (0, 1) và x vô tỷ ∈ không nửa liên tục trên, cũng không nửa liên tục d−ới. 1.4.16. Cho f,g : A R nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại → x0 A. Chứng minh rằng ∈ (a) nếu a>0 thì af nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0. Nếu a<0 thì af nửa liên tục trên (t−ơng ứng, d−ới) tại x0. (b) f + g nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0. 1.4.17. Giả sử rằng fn : A R,n N, nửa liên tục d−ới (t−ơng → ∈ ứng, trên) tại x0 A. Chứng minh rằng sup fn (t−ơng ứng, inf fn) ∈ n n N ∈N ∈ nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0. 1.4.18. Chứng minh rằng giới hạn theo từng điểm của một d∙y tăng (t−ơng ứng, giảm) các hàm nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) là nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên). 1.4.19. Với f : A R và x là điểm giới hạn của A,địnhnghĩagiao độ của f tại x bởi→ of (x)= lim sup f(z) f(u) : z,u A, z x < δ, u x < δ . δ 0+ {| − | ∈ | − | | − | } →
22 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục Chứng minh rằng of (x)=f1(x) f2(x),ởđây − f1(x)=max f(x), lim f(z) và f2(x)=min f(x), lim f(z) . z x z x → → 1.4.20. Xét f1,f2,vàof đ−ợc định nghĩa trong bài toán tr−ớc. Chứng minh rằng f1 và of là nửa liên tục trên, và f2 là nửa liên tục d−ới. 1.4.21. Chứngminhrằngđểf : A R là nửa liên tục d−ới (t−ơng → ứng, trên) tại x0 A, điều kiện cần và đủ là với mọi a f(x0)), tồn tại δ > 0 sao cho f(x) >a(t−ơng ứng, f(x) a (t−ơng ứng, x A : f∈(x) 0 sao cho với mọi x, y A, x y < δ,tacó f(x) f(y) < ε. ∈ | − | | − |
1.5. Tính liên tục đều 23 1.5.1. Kiểm tra các hàm sau đây có liên tục đều trên (0, 1) hay không: 1 (a) f(x)=ex, (b) f(x)=sin , x 1 1 (c) f(x)=x sin , (d) f(x)=e x , x 1 x 1 (e) f(x)=e x , (f) f(x)=e cos , − x π (g) f(x)=lnx, (h) f(x)=cosx cos , ã x (i) f(x)=cotx. 1.5.2. Hàm nào trong số các hàm sau đây liên tục đều trên [0, )? ∞ (a) f(x)=√x, (b) f(x)=x sin x, (c) f(x)=sin2 x, (d) f(x)=sin(x2), 2 (e) f(x)=ex, (f) f(x)=esin(x ), (g) f(x) = sin(sin x), (h) f(x)=sin(x sin x), (i) f(x)=sin√x. 1.5.3. Chứngminhrằngnếuf liên tục đều trên (a, b),a,b R thì các giới hạn lim f(x) và lim f(x) tồn tại và hữu hạn. ∈ x a+ x b → → − 1.5.4. Giả sử f và g liêntụcđềutrên(a, b)([a, )).Từđócósuyra tính liên tục đều trên (a, b)([a, )) của các hàm∞ ∞ (a) f + g, (b) fg, (c) x f(x)sinx? → 1.5.5. (a)Chứngminhrằngnếuf là liên tục đều trên (a, b] và trên [b, c) , thì nó cũng liên tục đều trên (a, c). (b) Giả sử A và B là các tập đóng trong R và gọi f : A B R là liên tục đều trên A và B.Hỏif có nhất thiết liên∪ tục→ đều trên A B? ∪ 1.5.6. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục và tuần hoàn trên R thì liêntụcđềutrênR.
24 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.5.7. (a) Chứng minh rằng nếu f : liên tục sao cho lim f(x) R R x → →−∞ và lim f(x) là hữu hạn, thì f cũng liên tục đều trên . x R →∞ (b)Chứngminhrằngnếuf :[a, + ) R liên tục và lim f(x) là ∞ → x hữu hạn, thì f cũng liên tục đều trên [a, ). →∞ ∞ 1.5.8. Kiểm tra tính liên tục đều của (a) f(x) = arctan x trên ( , + ), −∞ ∞ (b) f(x)=x sin 1 trên (0, + ), x ∞ 1 (c) f(x)=e− x trên (0, + ). ∞ 1.5.9. Giả sử f liêntụcđềutrên(0, ).Hỏicácgiớihạn lim f(x) ∞ x 0+ và lim f(x) có tồn tại không ? → x →∞ 1.5.10. Chứng minh rằng mọi hàm bị chặn, đơn điệu và liên tục trên khoảng I R là liên tục đều trên I. ⊂ 1.5.11. Giả sử f liên tục đều và không bị chặn trên [0, ).Phải chăng hoặc lim f(x)=+ hoặc lim f(x)= ? ∞ x x →∞ ∞ →∞ −∞ 1.5.12. Hàm f :[0, ) R liêntụcđềuvàvớimọix 0,d∙y f(x + n) hội tụ tới∞ không.→ Chứng minh rằng lim f(x)=0≥ . x { } →∞ 1.5.13. Giả sử f :[1, ) R liên tục đều. Chứng minh rằng tồn ∞ →f(x) tại số d−ơng M sao cho | | M với x 1. x ≤ ≥ 1.5.14. Gọi f :[0, ) R liên tục đều. Chứng minh rằng tồn tại số d−ơng M với tính∞ → chất sau đây : sup f(x + u) f(u) M(x +1) với mọi x 0. u>0{| − |} ≤ ≥ 1.5.15. Cho f : A R, A R, liên tục đều. Chứng minh rằng nếu → ⊂ xn là d∙y Cauchy các phần tử trong A,thì f(xn) cũng là d∙y Cauchy.{ } { }
1.5. Tính liên tục đều 25 1.5.16. Giả sử A R bị chặn. Chứng minh rằng nếu f : A R biến d∙y Cauchy⊂ các phần tử của A thành d∙yCauchy,thìf →liên tục đều trên A.GiảthiếtA bị chặn của có thể bỏ đ−ợc không? 1.5.17. Chứng minh rằng f liên tục đều trên A R nếu và chỉ nếu ⊂ với mọi d∙y xn và yn cácphầntửcủaA, { } { } lim (xn yn)=0 suy ra lim (f(xn) f(yn)) = 0. n n →∞ − →∞ − 1.5.18. Giả sử f :(0, ) (0, ) liên tục đều. Từ đó có suy ra ∞ → ∞ f x + 1 lim x =1? x f(x) →∞ 1.5.19. Hàm f : R R liên tục tại 0 và thoả m∙n các điều kiện sau đây → f(0) = 0 và f(x1 + x2) f(x1)+f(x2) với mọi x1,x2 R. ≤ ∈ Chứng minh rằng f liên tục đều trên R. 1.5.20. Với f : A R, A R, ta định nghĩa → ⊂ ωf (δ)=sup f(x1) f(x2) : x1,x2 A, x1 x2 0 cho tr−ớc, tồn tại N>0 sao cho với mọi x1,x2 I,x1 = x2, ∈ f(x1) f(x2) − >N suy ra f(x1) f(x2) < ε. x x | − | 1 2 −
26 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.6 Ph−ơng trình hàm 1.6.1. Chứng minh rằng hàm duy nhất liên tục trên R và thoả m∙n ph−ơng trình hàm Cauchy f(x + y)=f(x)+f(y) là hàm tuyến tính dạng f(x)=ax. 1.6.2. Chứngminhrằngnếuf : R R thoả m∙nph−ơng trình hàm Cauchy → f(x + y)=f(x)+f(y) và một trong các điều kiện (a) f liên tục tại x0 R, ∈ (b) f bị chặn trên khoảng (a, b) nào đó, (c) f đơnđiệutrênR, thì f(x)=ax. 1.6.3. Xác định tất cả các hàm liên tục f : R R sao cho f(1) > 0 và → f(x + y)=f(x)f(y). 1.6.4. Chứng minh rằng các nghiệm duy nhất mà không đồng nhất bằng không và liên tục trên (0, ) của ph−ơng trình hàm ∞ f(xy)=f(x)+f(y) là các hàm logarit. 1.6.5. Chứng minh rằng các nghiệm duy nhất mà không đồng nhất bằng không và liên tục trên (0, ) của ph−ơng trình hàm ∞ f(xy)=f(x)f(y) là các hàm dạng f(x)=xa. 1.6.6. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R R sao cho f(x) f(y) hữu tỷ với x y hữu tỷ. → − −
1.6. Ph−ơng trình hàm 27 1.6.7. Với q < 1,tìmtấtcảcáchàmf : R R liên tục tại không và thoả m∙| nph| −ơng trình hàm → f(x)+f(qx)=0. 1.6.8. Tìm tất cả các hàm f : R R liên tục tại không và thoả m∙nph−ơng trình hàm → 2 f(x)+f x = x. 3 1.6.9. Xác định mọi nghiệm f : R R liên tục tại không của ph−ơng trình hàm → 2f(2x)=f(x)+x. 1.6.10. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R R thoả m∙n ph−ơng trình Jensen → x + y f(x)+f(y) f = . 2 2 1.6.11. Tìm tất cả các hàm liên tục trên (a, b),a,b R,thoảm∙n ph−ơng trình Jensen ∈ x + y f(x)+f(y) f = . 2 2 1.6.12. Xác định tất cả các nghiệm liên tục tại 1 của ph−ơng trình hàm − f(2x +1)=f(x). 1.6.13. Với a thực, chứng minh rằng nếu f : R R là nghiệm liên tục của ph−ơng trình → f(x + y)=f(x)+f(y)+axy, thì f(x)= a x2 + bx,ởđâyb = f(1) a . 2 − 2 1.6.14. Xác định mọi nghiệm liên tục tại 0 của ph−ơng trình hàm x f(x)=f ,x=1. 1 x −
28 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.6.15. Cho f :[0, 1] [0, 1] là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao cho f(f(x)) = x với x [0→, 1].Hỏif(x)=1 x có phải là hàm duy nhất nh− vậy không ?∈ − 1.6.16. Giả sử rằng f và g thoả m∙nph−ơng trình f(x + y)+f(x y)=2f(x)g(y),x,yR. − ∈ Chứng minh rằng nếu f không đồng nhất bằng không và f(x) 1 | | ≤ với x R, thì ta cũng có g(x) 1 với x R. ∈ | | ≤ ∈ 1.6.17. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R R thoả m∙nph−ơng trình hàm → f(x + y)=f(x)ey + f(y)ex. 1.6.18. Xác định mọi nghiệm liên tục tại không f : R R của → f(x + y) f(x y)=f(x)f(y). − − 1.6.19. Giải ph−ơng trình hàm x 1 f(x)+f − =1+x với x =0, 1. x 1.6.20. D∙y xn hội tụ theo nghĩa Cesàro nếu { } x1 + x2 + x3 + + xn C lim xn =lim ããã n n n →∞ →∞ tồn tại và hữu hạn. Tìm tất cả các hàm liên tục Cesàro,tứclà f C lim xn = C lim f(xn) n n →∞ →∞ với mọi d∙yhộitụCesàro xn . { } 1.6.21. Cho f :[0, 1] [0, 1] là đơn ánh sao cho f(2x f(x)) = x với x [0, 1]. Chứng minh→ rằng f(x)=x, x [0, 1]. − ∈ ∈ 1.6.22. Với m khác không, chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : R R thoả m∙nph−ơng trình → f(x) f 2x = mx, − m thì f(x)=m(x c). −
1.6. Ph−ơng trình hàm 29 1.6.23. Chứng minh rằng các nghiệm duy nhất của ph−ơng trình hàm f(x + y)+f(y x)=2f(x)f(y) − liên tục trên R vàkhôngđồngnhấtbằngkhônglàf(x)=cos(ax) và f(x)=cosh(ax) với a thực. 1.6.24. Xác định tất cả các nghiệm liên tục trên ( 1, 1) của − x + y f = f(x)+f(y). 1+xy 1.6.25. Tìm tất cả các đa thức P sao cho P (2x x2)=(P (x))2. − 1.6.26. Cho m, n 2 là các số nguyên. Tìm tất cả các hàm f : ≥ [0, ) R liên tục tại ít nhất một điểm thuộc [0, ) và thoả m∙n ∞ → ∞ n n 1 m 1 m f x = (f(xi)) với xi 0,i=1, 2, ,n. n i n ≥ i=1 i=1 1.6.27. Tìm tất cả các hàm không đồng nhất bằng không f : R R thoả m∙nph−ơng trình → f(xy)=f(x)f(y) và f(x + z)=f(x)+f(z) với z =0nào đó. 1.6.28. Tìm tất cả các hàm f : R 0 R sao cho \{ } → 1 f(x)= f ,x=0. − x 1.6.29. Tìm tất cả các hàm f : R 0 R thoả m∙nph−ơng trình hàm \{ } → 1 1 f(x)+f(x2)=f + f ,x=0 x x2 1.6.30. Chứng minh rằng các hàm f,g,φ : R R thoả m∙nph−ơng trình → f(x) g(y) x + y − = φ ,y= x, x y 2 − nếu và chỉ nếu tồn tại a, b và c sao cho f(x)=g(x)=ax2 + bx + c, φ(x)=2ax + b.
30 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.6.31. Chứngminhrằngtồntạihàmf : R Q thoả m∙nbađiều kiện sau đây : → (a) f(x + y)=f(x)+f(y) với x, y R, ∈ (b) f(x)=x với x Q, ∈ (c) f không liên tục trên R. 1.7 Hàm liên tục trong không gian metric Trong mục này, X và Y lần l−ợt kí hiệu là các không gian metric (X,d1) và (Y,d2). Để đơn giản, ta nói rằng X là không gian n metric thay cho (X,d1) là không gian metric. R và R luôn giả sử đ−ợc trang bị metric Euclid, nếu không không nói gì thêm. 1.7.1. Gọi (X,d1) và (Y,d2) là các không gian metric và f : X Y. Chứng minh rằng các điều kiện sau đây t−ơng đ−ơng: → (a) Hàm f liên tục. (b) Với mỗi tập đóng F Y,tậpf 1(F) đóng trong X. ⊂ − (c) Với mỗi tập mở G Y,tậpf 1(G) mở trong X. ⊂ − (d) Với mỗi tập con A của X, f(A) f(A). ⊂ (e) Với mỗi tập con B của Y, f 1(B) f 1(B). − ⊂ − 1.7.2. Gọi (X,d1) và (Y,d2) là các không gian metric và f : X Y 1 → liên tục. Chứng minh rằng nghịch ảnh f − (B) của tập Borel B trong (Y,d2) là tập Borel trong (X,d1). 1.7.3. Cho ví dụ hàm liên tục f : X Y sao cho ảnh f(F) (t−ơng ứng, f(G)) không đóng (t−ơng ứng, mở)→ trong Y với F đóng (t−ơng ứng, G mở) trong X. 1.7.4. Gọi (X,d1) và (Y,d2) là các không gian metric và f : X Y liên tục. Chứng minh rằng ảnh của tập compact F trong X là→ tập compact trong Y.
1.7. Hàm liên tục trong không gian metric 31 1.7.5. Cho f xác định trên hợp các tập đóng F1, F2, ,Fm. Chứng minh rằng nếu giới hạn của f trên mỗi Fi,i=1, 2, ,m, là liên tục, thì f liên tục trên F1 F2 Fm. ∪ ∪ ∪ Cho ví dụ để chứng tỏ mệnh đề trên không đúng trong tr−ờng hợp vô hạn Fi. 1.7.6. Cho f xác định trên hợp của các tập mở Gt,t T. Chứng ∈ minh rằng nếu với mỗi t T,giớihạnf Gt là liên tục, thì f liên ∈ | tục trên Gt. t T ∈ 1.7.7. Cho (X,d1) và (Y,d2) là các không gian metric. Chứng minh rằng f : X Y liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi A compact trong → X,hàmf A liên tục. | 1.7.8. Giả sử f là song ánh liên tục từ không gian metric compact 1 X lên không gian metric Y. Chứng minh rằng hàm ng−ợc f − liên tục trên Y. Chứng minh rằng giả thiết compact không thể bị bỏ qua. 1.7.9. Gọi f là ánh xạ liên tục từ không gian metric compact X vào không gian metric Y. Chứng minh rằng f liêntụcđềutrên X. 1.7.10. Gọi (X,d) là không gian metric và A là tập con khác rỗng của X. Chứng minh rằng hàm f : X [0, ) xác định bởi → ∞ f(x)=dist(x, A)=inf d(x, y):y A { ∈ } liêntụcđềutrênX. 1.7.11. Giả sử f là ánh xạ liên tục từ không gian metric liên thông X vào không gian metric Y. Chứng minh rằng f(X) liên thông trong Y. 1.7.12. Cho f : A Y, = A X.Vớix A định nghĩa → ∅ ⊂ ∈ of (x, δ)=diam(f(A B(x, δ))), (diam(A) là bán kính của tập A). ∩ Giao độ của f tại x đ−ợc xác định bởi of (x) = lim of (x, δ). δ 0+ → Chứng minh rằng f liên tục tại x0 A nếu và chỉ nếu of (x0)=0 (so sánh với 1.4.19 và 1.4.20). ∈
32 Ch−ơng 1. Giới hạn và tính liên tục 1.7.13. Giả sử f : A Y, = A X và với x A,gọiof (x) là giao độ của f tại x đựoc→ xác định∅ nh⊂ − trong bài∈ toán tr−ớc. Chứng minh rằng với mọi ε > 0,tập x A : of (x) ε là đóng trong X. { ∈ ≥ } 1.7.14. Chứng minh rằng tập điểm liên tục của f : X Y là giao → đếm đ−ợc các tập mở, nói cách khác, là δ trong (X,d1). Chứng minh rằng tập điểm gián đoạn của f là hợpG đếm đ−ợc các tập đóng, nói cách khác, là σ trong (X,d1). F 1.7.15. Cho ví dụ hàm f : R R có tập điểm gián đoạn là Q. → 1.7.16. Chứng minh rằng với mỗi tập con σ của R là tập điểm F gián đoạn của hàm f : R R nào đó. → 1.7.17. Cho A là tập con σ của không gian metric X.Cótồntại F hay không hàm f : X R mà tập điểm gián đoạn là A ? → 1.7.18. Gọi χA là hàm đặc tr−ng của A X. Chứng minh rằng ⊂ x X : oχ (x) > 0 = ∂A,ởđâyχf (x) là giao độ của f tại x đ−ợc { ∈ A } xác định nh− trong 1.7.12. Suy ra rằng χA liên tục trên X nếu và chỉ nếu A vừamở,vừađóngtrongX. 1.7.19. Giả sử g1 và g2 là các ánh xạ liên tục từ không gian metric (X,d1) vào không gian metric (Y,d2),vàtậpA có phần trong rỗng, trù mật trong X. Chứng minh rằng nếu g1(x) với x A, f(x)= ∈ g2(x) với x X A, ∈ \ thì of (x)=d2(g1(x),g2(x)),xX, ∈ trong đó of (x) là giao độ của f tại x đ−ợc xác định nh− trong 1.7.12. 1.7.20. Ta nói rằng hàm thực f xác định trên không gian metric X là thuộc lớp Baire thứ nhất nếu f là giới hạn điểm của d∙y hàm liên tục trên X.Chứngminhrằngnếuf thuộc lớp Baire thứ nhất, thì tập các điểm gián đoạn của f là tập thuộc phạm trù thứ nhất; tức là, nó là hợp của một số đếm đ−ợc các tập không đâu trù mật. 1.7.21. Chứng minh rằng nếu X là không gian metric đầy đủ và f thuộc lớp Baire thứ nhất trên X, thì tập các điểm liên tục của f trù mật trong X.
1.7. Hàm liên tục trong không gian metric 33 1.7.22. Gọi f :(0, ) R liên tục sao cho với mỗi số d−ơng x,d∙y x ∞ → f n hội tụ tới không. Từ đó có suy ra lim f(x)=0không? (So { } x 0+ → sánh với 1.1.33.) 1.7.23. Kí hiệu là họ các hàm liên tục trên không gian metric F compact X sao cho với mọi x X,tồntạiMx thoả m∙n ∈ f(x) Mx với mọi f . | | ≤ ∈ F Chứng minh rằng tồn tại hằng số d−ơng M và tập mở khác rỗng G X sao cho ⊂ f(x) M với mọi f và với mọi x G. | | ≤ ∈ F ∈ 1.7.24. Gọi F1 F2 F3 là d∙y các tập con khác rỗng lồng ⊃ ⊃ ⊃ nhau của không gian metric đầy đủ X sao cho lim diam Fn =0. n Chứng minh rằng nếu f liên tục trên X,thì →∞ ∞ ∞ f Fn = f(Fn). n=1 n=1 1.7.25. Gọi (X,d1) là không gian metric và p là điểm bất động trong X.Vớiu X, xác định hàm fu bởi fu(x)=d1(u, x) d1(p, x),x X. ∈ − ∈ Chứng minh rằng u fu là ánh xạ bảo toàn khoảng cách, nói cách → khác, là đẳng cự của (X,d1) vào không gian C(X, R) các hàm thực liên tục trên X đ−ợc trang bị metric d(f,g)=sup f(x) g(x) : x X . {| − | ∈ } 1.7.26. Chứng minh rằng không gian metric X là compact nếu và chỉ nếu với mọi hàm liên tục f : X R là bị chặn. → 1.7.27. Cho (X,d1) là không gian metric và với x X,xácđịnh ρ(x)=dist(x, X x ). Chứng minh rằng hai điều∈ kiện sau đây t−ơng đ−ơng: \{ } (a) Mọi hàm f : X R là liên tục đều. → (b) Mọi d∙y xn cácphầntửcủaX sao cho { } lim ρ(xn)=0 n →∞ chứa d∙y con hội tụ.
1.7.28. Chứng minh rằng không gian metric X là compact nếu và chỉnếumọihàmthựcliêntụctrênX là liên tục đều và với mọi ε > 0,tập x X : ρ(x) > ε ,ởđâyρ đ−ợc xác định nh− trong 1.7.27, là hữu{ ∈ hạn. } 1.7.29. Cho ví dụ không gian metric không compact sao cho mọi hàm liên tục f : X R là liên tục đều trên X. → 34
Ch−ơng 2 Phép tính vi phân 2.1 Đạo hàm của hàm thực 2.1.1. Tính đạo hàm (nếu có) của các hàm sau: (a) f(x)=x x ,xR, | | ∈ (b) f(x)= x ,xR, | | ∈ 2 (c) f(x)=[x]sin (πx),xR, ∈ 2 (d) f(x)=(x [x]) sin (πx),xR, − ∈ (e) f(x)=ln x ,xR 0 , | | ∈ \{ } 1 (f) f(x)=arccos , x > 1. x | | | | 2.1.2. Tìm đạo hàm các hàm số sau: (a) f(x)=logx 2,x>0,x=1, π (b) f(x)=log cos x, x 0, 1 . x ∈ 2 \{ } 2.1.3. Nghiên cứu tính khả vi của các hàm số sau: arctan x với x 1, (a) f(x)= π x 1 | | ≤ sgn x + − với x > 1, 4 2 | | x2e x2 với x 1, (b) f(x)= − | | ≤ 1 với x > 1, e | | 35
36 Ch−ơng 2. Vi phân arctan 1 với x =0, (c) f(x)= x π | | 2 với x =0. 2.1.4. Chứngminhrằnghàmsố x2 cos π với x =0 f(x)= x 0 với x =0, 2 không khả vi tại các điểm xn = ,n Z,nh−ng khả vi tại 0, 2n+1 ∈ trong đó 0 là điểm giới hạn của d∙y xn,n Z . { ∈ } 2.1.5. Xác định a, b, c, d sao cho hàm f khả vi trên R: 4x với x 0, 2 ≤ (a) f(x)=ax + bx + c 0 1, − x  ax + b với x 1, 2 ≤ (c) f(x)=ax + c với 1 2. 2.1.6. Tính tổng: n kx (a) ke ,xR, ∈ k=0 2n 2n (b) ( 1)k kn,n1, − k ≥ k=0 n (c) k cos(kx),xR. ∈ k=1 2.1.7. Chứng minh rằng nếu a1 sin x + a2 sin 2x + + an sin nx | ããã | ≤ sin x với x R thì a1 +2a2 + + nan 1. | | ∈ | ããã | ≤
2.1. Đạo hàm của hàm thực 37 2.1.8. Giả sử rằng f và g khả vi tại a,h∙yxácđịnh xf(a) af(x) f(x)g(a) f(a)g(x) (a) lim − , (b) lim − . x a x a x a x a → − → − 2.1.9. Giả sử rằng f(a) > 0 và f khả vi tại a.H∙ytínhcácgiới hạn sau: 1 1 1 n f a + f(x) ln x ln a (a) lim n , (b) lim − ,a>0. n f(a) x a f(a) →∞ → 2.1.10. Cho f khả vi tại a.H∙y tính các giới hạn sau: anf(x) xnf(a) (a) lim − ,nN, x a x a → ∈ f(x)ex− f(a) (b) lim − ,a=0,f(0) =0, x a f(x)cosx f(a) → − 1 2 k (c) lim n f a + + f a + + + f a + kf(a) ,k N, n n n ããã n − ∈ →∞ 1 2 n (d) lim f a + + f a + + + f a + nf(a) . n n2 n2 ããã n2 − →∞ 2.1.11. Cho a>0 và m, k N.Tính ∈ (n +1)m +(n +2)m + +(n + k)m (a) lim ããã kn , n nm 1 →∞ − − n a + 1 n a + 2 n a + k (b) lim n n ããã n , n ank →∞ a 2a na (c) lim 1+ 1+ 1+ . n n2 n2 ããã n2 →∞ 2.1.12. Giả sử rằng f(0) = 0 và f khả vi tại điểm 0. Tính 1 x x x lim f(x)+f + f + + f , x 0 x 2 3 ããã k → với k là một số nguyên d−ơng cho tr−ớc. 2.1.13. Cho f là hàm khả vi tại điểm a và các d∙y xn và zn hội { } { } tụ tới a sao cho xn = a, zn = a, xn = zn, n N.H∙y cho ví dụ về hàm f sao cho giới hạn ∈ f(xn) f(zn) lim − n xn zn →∞ −
38 Ch−ơng 2. Vi phân (a) bằng f (a), (b) không tồn tại hoặc có tồn tại nh−ng khác f (a). 2.1.14. Cho f là hàm khả vi tại a và xét hai d∙y xn và zn cùng { } { } hội tụ tới a sao cho xn <a<zn với mọi n N. Chứng minh rằng ∈ f(xn) f(zn) lim − = f (a). n xn zn →∞ − 2.1.15. (a) Chứng minh rằng hàm f xác định trong khoảng (0, 2) theo công thức x2 với các giá trị x hữu tỷ trong khoảng (0, 2), f(x)= 2x 1 với các giá trị x vô tỷ trong khoảng (0, 2) − chỉ khả vi tại duy nhất điểm x =1và f (1) =0.Hàmng−ợc của f có khả vi tại điểm 1=y = f(1) không? (b) Cho A = y (0, 3) : y Q, √y/Q , { ∈ ∈ ∈ } 1 B = x : x = (y +4),y A . 2 ∈ Xét hàm x2 với x hữu tỷ thuộc (0, 2), f(x)= 2x 1 với x vô tỷ thuộc (0, 2),  − 2x 4 với x B. − ∈ Chứng minh rằng khoảng (0, 3) chứa trong miền giá trị của f và hàm ng−ợc của f không khả vi tại điểm 1. 2.1.16. Xét hàm f xác định trên R nh− sau 0 nếu x vô tỉ hoặc bằng 0, f(x)= p aq nếu x = ,p Z,q N và p, q nguyên tố cùng nhau, q ∈ ∈ k trong đó d∙y aq thoả m∙n điều kiện lim n an =0với số nguyên { } n k 2 nào đó. Chứng minh rằng f khả→∞ vi tại mọi số vô tỷ có bậc đại≥ số nhỏ hơn hoặc bằng k,tứclàtạimọisôvôtỷđạisốcóbậc không v−ợt quá k.
2.1. Đạo hàm của hàm thực 39 2.1.17. Cho P là một đa thức bậc n với n nghiệm thực x1, ,xn khác nhau và Q là đa thức bậc không quá n 1. Chứng minh rằng − Q(x) n Q(x ) = k P (x) P (xk)(x xk) k=1 − với x R x1,x2, ,xn .Tìmtổng ∈ \{ } n 1 ,n2. P (xk) ≥ k=1 2.1.18. Sử dụng kết quả bài tr−ớc h∙y kiểm tra các đẳng thức sau: n n ( 1)k n! (a) − = k x + k x(x +1)(x +2) (x + n) k=0 ããã với x R n, (n 1), , 1, 0 , ∈ \{− − − − } n n ( 1)k n!2n (b) − = k x +2k x(x +2)(x +4) (x +2n) k=0 ããã với x R 2n, 2(n 1), , 2, 0 . ∈ \{− − − − } 2.1.19. Cho f khả vi trên R.H∙y chỉ ra những điểm mà tại đó hàm f khả vi. | | 2.1.20. Giả sử f1,f2, ,fn là các hàm xác định trong một lân cận nào đó của x,khác0vàkhảvitạix. Chứng minh rằng n fk n k=1 fk (x) n (x)= . fk(x) fk k=1 k=1 2.1.21. Giả sử các hàm f1,f2, ,fn; g1,g2, ,gn xác định trong lân cận của x,khác0vàkhảvitạix. Chứng minh rằng n f n f n f (x) g (x) k (x)= k (x) k k . gk gk fk(x) − gk(x) k=1 k=1 k=1
40 Ch−ơng 2. Vi phân 2.1.22. Nghiên cứu tính khả vi của f và f với | | x nếu x Q, (a) f(x)= ∈ sin x nếu x R Q. ∈ \ 3 1 1 x k nếu x Q k 1 , k 2 ,k2, 2 2 − 2 − (b) f(x)= − 3 ∈ ∩ 1 1 ≥ sin x k nếu x (R Q) k 1 , k 2 ,k2. − 2 ∈ \ ∩ 2 − 2 − ≥ 2.1.23. Chứng minh rằng nếu các đạo hàm một phía f (x0) và − f+ (x0) tồn tại thì f liên tục tại x0. 2.1.24. Chứng minh rằng nếu f :(a, b) R đạt cực đại tại c (a, b), tức là f(c)=max f(x):x (a, b) và tồn→ tại các đạo hàm∈ trái và { ∈ } đạo hàm phải f (c) và f+ (c),thìf (c) 0 và f+ (c) 0.H∙yphát − − ≥ ≤ biểu bài toán t−ơng ứng cho tr−ờng hợp f đạt cực tiểu. 2.1.25. Chứng minh rằng nếu f C([a, b]),f(a)=f(b) và f tồn tại trên (a, b) thì ∈ − inf f (x):x (a, b) 0 sup f (x):x (a, b) . { − ∈ } ≤ ≤ { − ∈ } 2.1.26. Chứngminhrằngnếuf C([a, b]) và f tồn tại trên (a, b) thì ∈ − f(b) f(a) inf f (x):x (a, b) − sup f (x):x (a, b) . { − ∈ } ≤ b a ≤ { − ∈ } − 2.1.27. Chứngminhrằngnếuf tồntạivàliêntụctrên(a, b) thì − f khả vi trên (a, b) và f (x)=f (x) với x (a, b). − ∈ 2.1.28. Tồn tại hay không hàm f :(1, 2) R sao cho f (x)=x và f (x)=2x với x (1, 2)? → − + ∈ 2.1.29. Cho f khả vi trên [a, b] thoả m∙n (i) f(a)=f(b)=0, (ii) f (a)=f+ (a) > 0,f(b)=f (b) > 0. − Chứng minh rằng tồn tại c (a, b) sao cho f(c)=0và f (c) 0. ∈ ≤
2.1. Đạo hàm của hàm thực 41 2.1.30. Chứng minh rằng f(x) = arctan x thoả m∙nph−ơng trình 2 (n) (n 1) (n 2) 1+x f (x)+2(n 1)xf − (x)+(n 2)(n 1)f − (x)=0 − − − với x R và n 2. Chứng minh rằng ∈ ≥ f (2m)(0) = 0,f(2m+1)(0) = ( 1)m(2m)! với m 0. − ≥ 2.1.31. Chứng minh rằng x (n) n x π (a) (e sin x) =22 e sin x + n ,xR,n 1, 4 ∈ ≥ 1 1 (b) (xn ln x)(n) = n! ln x +1+ + + ,x>0,n 1, 2 ããã n ≥ (n) ln x n n 1 1 1 (c) =( 1) n!x− − ln x 1 ,x>0,n 1, x − − − 2 − ããã− n ≥ 1 (n) n 1 1 n e x (d) x − e x =( 1) ,x=0,n 1. − xn+1 ≥ 2.1.32. Chứng minh các đồng nhất thức sau: n n π n π (a) sin x + k =22 sin x + n ,xR,n 1 k 2 4 ∈ ≥ k=0 n 1 n 1 1 (b) ( 1)k+1 =1+ + + ,n1 − k k 2 ããã n ≥ k=1 2.1.33. Cho f(x)=√x2 1 với x>1. Chứng minh rằng f (n)(x) > 0 nếu n lẻ và f (n)(x) < 0 với− n chẵn. 2n 2.1.34. Cho f2n(x)=ln(1+x ),n N. Chứng minh rằng ∈ f (2n)( 1) = 0. 2n − 2.1.35. Cho P là một đa thức bậc n, chứng minh rằng n P (k)(0) n P (k)(x) xk+1 = ( 1)k xk+1. (k +1)! − (k +1)! k=0 k=0
42 Ch−ơng 2. Vi phân k k k 2.1.36. Cho các số λ1, λ2, ,λn thoả m∙n λ +λ + +λ > 0, k 1 2 n ∀ ∈ N. Khi đó hàm 1 f(x)= (1 λ1x)(1 λ2x) (1 λnx) − − ããã − sẽ đ−ợc xác định trong lân cận của điểm 0. Chứng minh rằng với k N,tacóf (k)(0) > 0. ∈ 2.1.37. Cho f là hàm khả vi đến cấp n trên (0, + ). Chứng minh rằng với x>0, ∞ (n) 1 (n) 1 n n 1 1 f =( 1) x − f . xn+1 x − x 2.1.38. Cho I, J là hai khoảng mở và f : J R, g : I J lần l−ợt là các hàm khả vi vô hạn trên J và I. Chứng→ minh công→ thức Faà di Bruno cho đạo hàm cấp n của h = f g sau: ◦ k1 k2 kn n! g(1)(t) g(2)(t) g(n)(t) h(n)(t)= f (k)(g(t)) , k1!k2! kn! 1! 2! n! trong đó k = k1 + k2 + + kn và tổng lấy trên tất cả các giá trị ããã k1,k2, ,kn sao cho k1 +2k2 + + nkn = n. ããã 2.1.39. Chứng minh rằng các hàm số sau : 1 e− x2 nếu x =0, (a) f(x)= 0 nếu x =0, 1 e x nếu x>0, (b) g(x)= − 0 nếu x 0, ≤ 1 + 1 e− x a x b nếu x (a, b), (c) h(x)= − − ∈ 0 nếu x/(a, b), ∈ thuộc C∞(R). 2.1.40. Cho f khả vi trên (a, b) sao cho với x (a, b) ta có f (x)= g(f(x)),trongđóg C (a, b). Chứng minh rằng∈ f C (a, b). ∈ ∞ ∈ ∞ 2.1.41. Cho f là hàm khả vi cấp hai trên (a, b) và với các số α, β, γ thực thoả m∙n α2 + β2 > 0 ta có αf (x)+βf (x)+γf(x)=0,x(a, b). ∈ Chứng minh rằng f C (a, b). ∈ ∞
2.2. Các định lý giá trị trung bình 43 2.2 Định lý giá trị trung bình 2.2.1. Chứngminhrằngnếuf là hàm liên tục trên [a, b],khảvi trên (a, b) và f(a)=f(b)=0thì với α R,tồntạix (a, b) sao cho ∈ ∈ αf(x)+f (x)=0. 2.2.2. Cho f và g là các hàm liên tục trên [a, b],khảvitrên(a, b) và giả sử f(a)=f(b)=0. Chứng minh rằng tồn tại x (a, b) sao cho ∈ g(x)f(x)+f (x)=0. 2.2.3. Cho f là hàm liên tục trên [a, b],a>0 và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f(a) f(b) = , a b thì tồn tại x0 (a, b) sao cho x0f (x0)=f(x0). ∈ 2.2.4. Giả sử f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f 2(b) f 2(a)=b2 a2 thì ph−ơng trình − − f (x)f(x)=x có ít nhất một nghiệm trong (a, b). 2.2.5. Giả sử f và g liên tục, không triệt tiêu trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f(a)g(b)=f(b)g(a) thì tồn tại x0 (a, b) sao cho ∈ f (x ) g (x ) 0 = 0 . f(x0) g(x0) 2.2.6. Giả sử a0,a1, ,an là các số thực thoả m∙n a0 a1 an 1 + + + − + an =0. n +1 n ããã 2 n n 1 Chứng minh rằng đa thức P (x)=a0x + a1x − + + an có ít nhất một nghiệm trong (0, 1). ããã 2.2.7. Xét các số thực a0,a1, ,an thoả m∙n 2 n 1 n a0 2a1 2 a2 2 − an 1 2 an + + + − + =0. 1 2 3 ããã n n +1
44 Ch−ơng 2. Vi phân Chứng minh rằng hàm số n 2 f(x)=an ln x + + a2 ln x + a1 ln x + a0 ããã có ít nhất một nghiệm trong (1,e2). 2.2.8. Chứng minh rằng nếu mọi nghiệm của đa thức P có bậc n 2 đều là thực thì mọi nghiệm của đa thức P cũng đều là thực. ≥ 2.2.9. Cho f khả vi liên tục trên [a, b] vàkhảvicấphaitrên(a, b), giả sử f(a)=f (a)=f(b)=0. Chứngminhrằngtồntạix1 (a, b) ∈ sao cho f (x1)=0. 2.2.10. Cho f khả vi liên tục trên [a, b] vàkhảvicấphaitrên(a, b), giả sử f(a)=f(b) và f (a)=f (b)=0. Chứng minh rằng tồn tại hai số x1,x2 (a, b),x1 = x2 sao cho ∈ f (x1)=f (x2). 2.2.11. Chứngminhrằngcácph−ơng trình sau: (a) x13 +7x3 5=0, − (b) 3x +4x =5x có đúng một nghiệm thực. 2.2.12. Chứng minh rằng với các số a1,a2, ,an khác0vàvớicác số α1, α2, ,αn thoả m∙n αi = αj,i= j,ph−ơng trình α1 α2 αn a1x + a2x + + anx =0 ããã có nhiều nhất là n 1 nghiệm trong (0, + ). − ∞ 2.2.13. Chứng minh rằng với các giả thiết của bài toán trên, ph−ơng trình α1x α2x αnx a1e + a2e + + ane =0 ããã có nhiều nhất là n 1 nghiệm trong (0, + ). − ∞ 2.2.14. Cho các hàm f,g,h liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), ta định nghĩa hàm f(x) g(x) h(x) F (x)=det f(a) g(a) h(a) ,x[a, b]. ∈ f(b) g(b) h(b)
2.2. Các định lý giá trị trung bình 45 Chứng minh rằng tồn tại x0 (a, b) sao cho F (x0)=0. Sử dụng kết quả vừa nhận đ−ợc phát∈ biểu định lý giá trị trung bình và định lý giá trị trung bình suy rộng. 2.2.15. Cho f liên tục trên [0, 2] và khả vi cấp hai trên (0, 2). Chứng minh rằng nếu f(0) = 0,f(1) = 1 và f(2) = 2 thì tồn tại x0 (0, 2) ∈ sao cho f (x0)=0. 2.2.16. Giả sử f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f khônglàhàmtuyếntínhthìtồntạix1 và x2 thuộc (a, b) sao cho f(b) f(a) f (x ) 2 với c (0, 1) nào đó, tức là tồn tại c (0, 1) sao cho f (c|) > 2|. ∈ ∈ | | 2.2.18. Cho f liên tục trên [a, b],a>0,khảvitrên(a, b). Chứng minh rằng tồn tại x1 (a, b) sao cho ∈ bf(a) af(b) − = f(x1) x1f (x1). b a − − 2.2.19. Chứng minh rằng các hàm số x ln(1 + x), x ln(1 + x2) và x arctan x liêntụcđềutrên[0, + ).→ → → ∞ 2.2.20. Giả sử f khả vi cấp hai trên (a, b) và tồn tại M 0 sao cho ≥ f (x) M với mọi x (a, b). Chứng minh rằng f liêntụcđềutrên (|a, b). | ≤ ∈ 2.2.21. Giả sử f :[a, b] R, b a 4, khả vi trên khoảng mở (a, b). → − ≥ Chứng minh rằng tồn tại x0 (a, b) sao cho ∈ 2 f (x0) < 1+f (x0). 2.2.22. Chứngminhrằngnếuf khả vi trên (a, b) và nếu (i) lim f(x)=+ , lim f(x)= , x a+ ∞ x b −∞ → → − 2 (ii) f (x)+f (x)+1 0, với x (a, b), ≥ ∈ thì b a π. − ≥
46 Ch−ơng 2. Vi phân 2.2.23. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu lim f (x)=A thì f (b)=A. x b − → − 2.2.24. Giả sử f khả vi trên (0, ) và f (x)=O(x) khi x . Chứng minh rằng f(x)=O(x2) khi∞ x . →∞ →∞ 2.2.25. Cho f1,f2, ,fn và g1,g2, ,gn là các hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b).Giảsửrằnggk(a) = gk(b) với mọi k = 1, 2, ,n. Chứng minh rằng tồn tại c (a, b) sao cho ∈ n n fk(b) fk(a) fk (c)= gk (c) − . gk(b) gk(a) k=1 k=1 − 2.2.26. Cho hàm f khả vi trên khoảng mở I và giả sử [a, b] I.Ta nói rằng f khả vi đều trên [a, b] nếu với mọi ε > 0,tồntạiδ ⊂> 0 sao cho f(x + h) f(x) − f (x) < ε h − với mọi x [a, b] và h < δ, x + h I. Chứng minh rằng f khả vi ∈ | | ∈ đều trên [a, b] khi và chỉ khi f liên tục trên [a, b]. 2.2.27. Cho f liên tục trên [a, b], g khả vi trên [a, b] và g(a)=0. Chứng minh rằng nếu tồn tại λ =0sao cho g(x)f(x)+λg(x) g(x) , với x [a, b], | | ≤ | | ∈ thì g(x) 0 trên [a, b]. ≡ 2.2.28. Cho f khả vi trên (0, + ). Chứng minh rằng nếu lim f(x) = x + x ∞ → ∞ 0 thì lim f (x) =0. x + | | → ∞ 2.2.29. Chứng minh rằng hàm số f : R R duy nhất thoả m∙n ph−ơng trình → f(x + h) f(x) 1 − = f x + h với x, h R,h=0. h 2 ∈ là đa thức bậc hai.
2.2. Các định lý giá trị trung bình 47 2.2.30. Cho các số d−ơng p, q thoả m∙n p + q =1,h∙ytìmtấtcảcác hàm f : R R thoả m∙nph−ơng trình → f(x) f(y) − = f (px + qy) với x, y R,x= y. x y ∈ − 2.2.31. Chứngminhrằngnếuf khả vi trên khoảng mở I thì f có tính chất giá trị trung gian trong I. 2.2.32. Cho f khả vi trên (0, ). Chứng minh rằng ∞ (a) nếu lim (f(x)+f (x)) = 0 thì lim f(x)=0, x + x + → ∞ → ∞ (b) nếu lim (f(x)+2√xf (x)) = 0 thì lim f(x)=0. x + x + → ∞ → ∞ 2.2.33. Chứng minh rằng nếu f C2([a, b]) có ít nhất ba không ∈ điểm phân biệt trong [a, b] thì ph−ơng trình f(x)+f (x)=2f (x) có ít nhất một nghiệm trong [a, b]. 2.2.34. Chứng minh rằng nếu đa thức P bậc n có n nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì đa thức 2 2 2 Q(x)=(x +1)P (x)P (x)+x P (x)+(P (x)) có ít nhất 2n 1 nghiệm thực phân biệt. − m m 1 2.2.35. GiảsửrằngđathứcP (x)=amx + am 1x − + + a1x + a0 − ããã với am > 0 có m nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đa thức Q(x)=(P (x))2 P (x) có − (1) đúng m +1 nghiệm thực phân biệt nếu m lẻ, (2) đúng m nghiệm thực phân biệt nếu m chẵn. 2.2.36. Giả sử đa thức P (x) bậc n 3 có các nghiệm đều thực, viết ≥ P (x)=(x a1)(x a2) (x an), − − ããã − trong đó ai ai+1,i=1, 2, , n 1 và ≤ − P (x)=n(x c1)(x c2) (x cn 1), − − ããã − −
48 Ch−ơng 2. Vi phân trong đó ai ci ai+1,i=1, 2, , n 1. Chứng minh rằng nếu ≤ ≤ − Q(x)=(x a1)(x a2) (x an 1), − − ããã − − Q(x)=(n 1)(x d1)(x d2) (x dn 2), − − − ããã − − thì di ci với i =1, 2, ,n 2. Hơn nữa chứng minh rằng nếu ≥ − R(x)=(x a2)(x a3) (x an), − − ããã − R(x)=(n 1)(x e1)(x e2) (x en 2), − − − ããã − − thì ei ci+1 với i =1, 2, ,n 2. ≤ − 2.2.37. Sử dụng giả thiết của bài toán trên, chứng minh rằng (1) nếu S(x)=(x a1 ε)(x a2) (x an),trongđóε 0 thoả − − − − ≥ m∙n a1 + ε an 1 và nếu S(x)=n(x f1)(x f2) (x fn 1) ≤ − − − − − thì fn 1 cn 1, − ≥ − (2) nếu T (x)=(x a1)(x a2) (x an + ε),vớiε 0 thoả m∙n − − − ≥ an ε a2 và nếu T (x)=n(x g1)(x g2) (x gn 1) thì − ≥ − − − − g1 c1. ≤ 2.2.38. Với các giả thiết của bài 2.2.36 h∙y chứng minh rằng ai+1 ai ai+1 ai ai + − ci ai+1 − ,i=1, 2, ,n 1. n i +1 ≤ ≤ − i +1 − − 2.2.39. Chứngminhrằngnếuf khả vi trên [0, 1] và (i) f(0) = 0, (ii) tồn tại K>0 sao cho f (x) K f(x) với x [0, 1], | | ≤ | | ∈ thì f(x) 0. ≡ 2.2.40. Cho f là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng ( 1, 1), J ( 1, 1) làmộtkhoảngcóđộdàiλ.GiảsửJ đ−ợc chia− thành ba⊂ − khoảng liên tiếp J1, J2, J3 có độ dài t−ơng ứng là λ1, λ2, λ3,tứclà ta có J1 J2 J3 = J và λ1 + λ2 + λ3 = λ.Chứngminhrằngnếu ∪ ∪ (k) mk(J)=inf f (x) : x J ,kN, | | ∈ ∈ thì 1 mk(J) (mk 1(J1)+mk 1(J3)). ≤ λ2 − −
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 49 2.2.41. Chứng minh rằng với giả thiết của bài toán tr−ớc, nếu f(x) 1 với x ( 1, 1) thì | | ≤ ∈ − k(k+1) k 2 2 k mk(J) ,kN. ≤ λk ∈ n n 1 2.2.42. GiảsửrằngđathứcP (x)=anx + an 1x − + + a1x + a0 có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng− nếu tồnããã tại p, 1 ≤ p n 1 sao cho ap =0và ai =0với mọi i = p thì ap 1ap+1 0 tồn tại θ (0, 1) sao cho , ∈ ∈ f (x0) f (x0) 2 f(x)=f(x0)+ (x x0)+ (x x0) 1! − 2! − (n) f (x0) n + + (x x0) + rn(x), ããã n! − trong đó (n+1) f (x0 + θ(x x0)) n+1 p n+1 rn(x)= − (1 θ) − (x x0) n!p − − đ−ợc gọi là phần d− dạng Schloămilch-Roche.
50 Ch−ơng 2. Vi phân 2.3.3. Sử dụng kết quả trên h∙y chứng minh các dạng phần d− sau: (n+1) f (x0 + θ(x x0)) n+1 (a) rn(x)= − (x x0) (n +1)! − (dạng Lagrange), (n+1) f (x0 + θ(x x0)) n n+1 (b) rn(x)= − (1 θ) (x x0) n! − − (dạng Cauchy). 2.3.4. Cho f :[a, b] R là hàm khả vi cấp n+1 trên [a, b], x, x0 [a, b]. Chứng minh công→ thức Taylor với phần d− dạng tích phân∈sau: f (x0) f (x0) 2 f(x)=f(x0)+ (x x0)+ (x x0) 1! − 2! − (n) x f (x0) n 1 (n+1) n + + (x x0) + f (t)(x t) dt. ããã n! − n! − x0 2.3.5. Cho f :[a, b] R là hàm khả vi cấp n+1 trên [a, b], x, x0 [a, b]. Chứng minh công→ thức Taylor sau: ∈ f (x0) f (x0) 2 f(x)=f(x0)+ (x x0)+ (x x0) 1! − 2! − (n) f (x0) n + + (x x0) + Rn+1(x), ããã n! − trong đó x tn+1 tn t2 (n+1) Rn+1(x)= f (t1)dt1 dtndtn+1. ããã ããã x0 x0 x0 x0 2.3.6. Chứngminhcôngthứcxấpxỉ 1 1 √1+x 1+ x2 ≈ 2 − 8 cho sai số không v−ợt quá 1 x 3 khi x 1+αx với α > 1 hoặc α 1,x=0. −
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 51 2.3.8. Cho các hàm f,g C2([0, 1]), g (x) =0với x (0, 1) thoả m∙n ∈ ∈ f (0)g(0) = f (0)g(0).Vớix (0, 1) xét hàm θ(x) là một số thoả m∙n định lý giá trị trung bình∈ suy rộng, tức là f(x) f(0) f (θ(x)) − = . g(x) g(0) g (θ(x)) − H∙y tính giới hạn θ(x) lim . x 0+ x → 2.3.9. Cho f : R R khả vi cấp n +1 trên R. Chứngminhrằngvới → mọi x R tồn tại θ (0, 1) sao cho ∈ ∈ 2 n x n+1 x (n) (a) f(x)=f(0) + xf (x) f (x)+ +( 1) f (x) − 2 ããã − n! xn+1 +( 1)n+2 f (n+1)(θx), − (n +1)! 2 2n (n) x x n x f (x) (b) f = f(x) f (x)+ +( 1) 1+x − 1+x ããã − (1 + x)n n! (n+1) x+θx2 x2n+2 f 1+x +( 1)n+1 ,x= 1. − (1 + x)n+1 (1 + n)! − 2.3.10. Cho f : R R khả vi cấp 2n +1 trên R. Chứng minh rằng → với mọi x R tồn tại θ (0, 1) sao cho ∈ ∈ 2 x x 2 x x 3 f(x)=f(0) + f + f (3) 1! 2 2 3! 2 2 2n 1 2 (2n 1) x x − + + f − ããã (2n 1)! 2 2 − 2 x 2n+1 + f (2n+1)(θx) . (2n +1)! 2 2.3.11. Sử dụng kết quả bài trên h∙y chứng minh rằng n 1 x 2k+1 ln(1 + x) > 2 2k +1 2+x k=0 với n =0, 1, và x>0.
52 Ch−ơng 2. Vi phân 2.3.12. Chứngminhrằngnếuf (x) tồn tại thì f(x + h) 2f(x)+f(x h) (a) lim − − = f (x), h 0 h2 → f(x +2h) 2f(x + h)+f(x) (b) lim − = f (x). h 0 h2 → 2.3.13. Chứngminhrằngnếuf (x) tồn tại thì f(x +3h) 3f(x +2h)+3f(x + h) f(x) lim − − = f (x). h 0 h3 → 2.3.14. Cho x>0,h∙y kiểm tra các bất đẳng thức sau: n xk (a) ex > , k! k=0 x2 x3 x4 x2 x3 (b) x + < ln(1 + x) <x + , − 2 3 − 4 − 2 3 1 1 1 1 1 (c) 1+ x x2 < √1+x<1+ x x2 + x3. 2 − 8 2 − 8 16 2.3.15. Chứngminhrằngnếutồntạif (n+1)(x) khác 0 và θ(h) là giá trị đ−ợc xác định theo công thức Taylor n 1 n h − (n 1) h (n) f(x + h)=f(x)+hf (x)+ + f − (x)+ f (x + θ(h)h), ããã (n 1)! n! − thì 1 lim θ(h)= . h 0 n +1 → 2.3.16. Cho f là hàm khả vi trên [0, 1] và f(0) = f(1) = 0.Hơnnữa, giả sử tồn tại f bị chặn trong (0, 1),tứclà f (x) A với mọi x (0, 1). Chứng minh rằng | | ≤ ∈ A f (x) với x [0, 1] | | ≤ 2 ∈ 2.3.17. Giả sử f :[ c, c] R khả vi cấp hai trên [ c, c] và đặt (k) − → − Mk =sup f (x) : x [ c, c] với k =0, 1, 2. Chứng minh rằng {| | ∈ − } M0 2 2 M2 (a) f (x) +(x + c ) với x [ c, c], | | ≤ c 2c ∈ − M (b) M 2M M với c 0 . 1 0 2 M ≤ ≥ 2
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 53 2.3.18. Cho f khả vi cấp p trên (a, ), a R,đặt ∞ ∈ (k) Mk =sup f (x) : x (a, + 0 sao cho (1 x)2 f (x) M với x (0, 1). − | | ≤ ∈ Chứng minh rằng lim (1 x)f (x)=0. x 1 − → −
54 Ch−ơng 2. Vi phân 2.3.24. Cho f khả vi trên [a, b] và giả sử rằng f (a)=f (b)=0. Chứng minh rằng nếu f tồn tại trong (a, b) thì tồn tại c (a, b) sao cho ∈ 4 f (c) f(b) f(a) . | | ≥ (b a)2 | − | − 2.3.25. Giả sử f :[ 1, 1] R khả vi cấp ba và biết rằng f( 1) = − → − f(0) = 0,f(1) = 1 và f (0) = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ( 1, 1) sao cho f (c) 3. ∈ − ≥ 2.3.26. Cho f khả vi liên tục cấp n trên [a, b] và đặt f(x) f(t) Q(t)= − ,x,t[a, b],t= x. x t ∈ − Chứng minh dạng sau của công thức Taylor: (n) f (x0) f (x0) n f(x)=f(x0)+ (x x0)+ + (x x0) + rn(x), 1! − ããã n! − với (n) Q (x0) n+1 rn(x)= (x x0) . n! − 2.3.27. Giả sử rằng f :( 1, 1) R khả vi tại 0, các d∙y xn , yn − → { } { } thoả m∙n 1 <xn <yn < 1,n N sao cho lim xn =limyn =0.Xét − ∈ n n th−ơng →∞ →∞ f(yn) f(xn) Dn = − . yn xn − Chứng minh rằng (a) nếu xn < 0 <yn thì lim Dn = f (0), n →∞ (b) nếu 0 <x <y và d∙y yn bị chặn thì lim D = f (0), n n yn xn n − n →∞ (c) nếu f tồn tại trên ( 1, 1) và liên tục tại 0 thì lim Dn = f (0). n − →∞ (H∙y so sánh với 2.1.13 và 2.1.14.)
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 55 2.3.28. Cho m N ,xétđathứcP sau ∈ m+1 m +1 k m P (x)= ( 1) (x k) ,xR. k − − ∈ k=1 Chứng minh rằng P (x) 0. ≡ 2.3.29. Giả sử rằng f (n+2) liên tục trên [0,x]. Chứng minh rằng tồn tại θ (0, 1) sao cho ∈ x (n 1) f (n) f (0) f − (0) n 1 n+1 n f(x)=f(0) + x + + x − + x 1! ããã (n 1)! n! − n xn+2 + f (n+2)(θx) . 2(n +1) (n +2)! (n+p) 2.3.30. Giả sử rằng f tồn tại trong [a, b] và liên tục tại x0 (n+j) ∈ [a, b]. Chứng minh rằng nếu f (x0)=0với j =1, 2, ,p 1, (n+p) − f (x0) =0và (n 1) f (x0) f − (x0) n 1 f(x)=f(x0)+ (x x0)+ + (x x0) − 1! − ããã (n 1)! − (n) − f (x0 + θ(x)(x x0)) n + − (x x0) . n! − thì 1 n + p − p lim θ(x)= . x x0 n → 2.3.31. Cho f là hàm khả vi liên tục cấp hai trên ( 1, 1) và f(0) = 0. H∙y tính giới hạn − 1 √x lim > " f(kx). x 0+ k=1 → 2.3.32. Cho f khả vi vô hạn trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f triệt tiêu tại vô hạn điểm trong khoảng đóng [c, d] (a, b) và ⊂ sup f (n)(x) : x (a, b) = O(n!) khi n {| | ∈ } →∞ thì f triệt tiêu trên một khoảng mở nằm trong (a, b).
56 Ch−ơng 2. Vi phân 2.3.33. Giả sử rằng (i) f khả vi vô hạn trên R, (ii) tồn tại L>0 sao cho f (n)(x) L với mọi x R và mọi n N, | | ≤ ∈ ∈ 1 (iii) f =0với n N. n ∈ Chứng minh rằng f(x) 0 trên R. ≡ 2.3.34. Sử dụng quy tắc l’Hospital để tính các giới hạn sau: x2 1 x arctan 2− 1 (a) lim x +1 , (b) lim x 1+ e , x 1 x 1 x + x − → → ∞ − 1 1 sin x x x 5 (c) lim(6 x) − , (d) lim , x 5 − x 0+ x → → 1 sin x x2 (e) lim . x 0+ x → 2.3.35. Chứngminhrằngvớif khả vi liên tục cấp hai trên R thoả m∙n f(0) = 1, f (0) = 0 và f (0) = 1 thì với a R, − ∈ x a a2 lim f = e− 2 . x + √x → ∞ 2.3.36. Cho a>0 và a =1.Tính 1 ax 1 x lim − . x + x(a 1) → ∞ − 2.3.37. Có thể sử dụng quy tắc l’Hospital trong những tr−ờng hợp sau đ−ợc không ? x sin x (a) lim − , x 2x +sinx →∞ 2x +sin2+1 (b) lim , x (2x +sin2x)(sin x +3)2 →∞ 1 x (c) lim 2sin√x + √x sin , x 0+ x → 2 e1/x 1 1 (d) lim 1+xe− x2 sin . x 0 x4 →
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 57 2.3.38. Hàm 1 1 x ln 2 2x 1 nếu x =0, f(x)= 1 − − 2 nếu x =0 cókhảvitạiđiểm0không? 2.3.39. Giả sử f khả vi liên tục cấp n trên R.Vớia R, chứng minh đẳng thức sau: ∈ n (n) 1 n k n f (a)=lim ( 1) − f(a + kh) . h 0 hn − k → k=0 2.3.40. Chứng minh dạng sau của quy tắc l’Hospital: Giả sử f,g :(a, b) R , a 0. ∞ L (a) Nếu lim (af(x)+f (x)) = L, thì lim f(x)= . x + x + a → ∞ → ∞ L (b) Nếu lim (af(x)+2√xf (x)) = L, thì lim f(x)= . x + x + a → ∞ → ∞ Các kết quả trên có còn đúng đối với tr−ờng hợp a âm không ? 2.3.42. Giả sử f khả vi cấp ba trên (0, ) sao cho f(x) > 0, f (x) > 0, ∞ f (x) > 0 với x>0.Chứngminhrằngnếu f (x)f (x) lim = c, c =1, x (f (x))2 →∞
58 Ch−ơng 2. Vi phân thì f(x)f (x) 1 lim = . x (f (x))2 2 c →∞ − 2.3.43. Giả sử rằng f thuộc C∞ trên ( 1, 1) và f(0) = 0. Chứng minh rằng nếu g đ−ợc xác định trên −( 1, 1) 0 theo công thức f(x) − \{ } g(x)= x thìtồntạimộtmởrộngcủag cũng thuộc C∞ trên ( 1, 1). − 2.4 Hàm lồi Định nghĩa. Một hàm f đ−ợc gọi là lồi trong khoảng I R nếu ⊂ (1) f(λx1 +(1 λ)x2) λf(x1)+(1 λ)f(x2) − ≤ − trong đó x1,x2 I và λ (0, 1). Một hàm lồi f đ−ợc gọi là lồi thực ∈ ∈ sự trên I nếu bất đẳng thức (1) là thực sự với x1 = x2. f là hàm lõm nếu f là hàm lồi. − 2.4.1. Chứng minh rằng f khả vi trên một khoảng mở I là lồi khi và chỉ khi f tăng trên I. 2.4.2. Chứngminhrằnghàmf khảvicấphaitrênmộtkhoảng mở I là lồi khi và chỉ khi f (x) 0 với mọi x I. ≥ ∈ 2.4.3. Chứng minh rằng nếu hàm f lồi trong khoảng mở I thì bất đẳng thức Jensen f(λ1x1 + λ2x2 + + λnxn) λ1f(x1)+λ2f(x2)+ + λnf(xn) ããã ≤ ããã đúng với mọi x1,x2, ,xn I vàmọibộsốthựckhôngâmλ1, λ2, ,λn ∈ thoả m∙n λ1 + λ2 + + λn =1. ããã 1 1 2.4.4. Cho x, y > 0 và p, q > 0 thoả m∙n p + q =1. Chứng minh bất đẳng thức xp yq xy + . ≤ p q 2.4.5. Chứng minh rằng n n 1 n xk xk với x1,x2, ,xn > 0. n ≥ k=1 k=1
2.4. Hàm lồi 59 2.4.6. Chứngminhrằngvớia = b ta có bất đẳng thức eb ea ea + eb − 1 và các số d−ơng x1,x2, ,xn. Chứng minh rằng n α n 1 1 α xk x . n ≤ n k k=1 k=1 2.4.9. Cho x1,x2, ,xn (0, 1) và các số d−ơng p1,p2, ,pn thoả n ∈ m∙n pk =1. Chứng minh rằng k=1 1 n − n pk 1+xk (a) 1+ pkxk , ≤ xk k=1 k=1 n 1+ p x k k n pk k=1 1+xk (b) n . ≤ 1 xk 1 pkxk k=1 − − k=1 n 1 2.4.10. Cho x = n xk với x1,x2, ,xn (0, π). Chứng minh rằng k=1 ∈ n n (a) sin xk (sin x) , ≤ k=1 n sin x sin x n (b) k . xk ≤ x k=1 2.4.11. Chứng minh rằng với a>1 và x1,x2, ,xn (0, 1) thoả ∈ m∙n x1 + x2 + + xn =1thì ããã n 1 a (n2 +1)a xk + a 1 . xk ≥ n k=1 −
60 Ch−ơng 2. Vi phân 2.4.12. Cho n 2,h∙ykiểmtrakhẳngđịnhsau: ≥ n 2k 1 2 1 n − 2 + . 2k 1 ≤ − n n 2n 1 k=1 − − ã 2.4.13. Chứng minh các bất đẳng thức sau: (a) n2 1 1 1 + + + ,x1,x2, ,xn > 0, x1 + x2 + + xn ≤ x1 x2 ããã xn ããã (b) 1 α1 α2 αn x x x α1x1 + + αnxn α1 + α2 + + αn ≤ 1 2 ããã n ≤ ããã x1 x2 ããã xn n với αk,xk > 0,k=1, 2, ,n thoả m∙n αk =1, k=1 (c) α1 α2 αn α1 α2 αn α1 α2 αn x1 x2 xn + y1 y2 yn (x1 + y1) (x2 + y2) (xn + yn) ããã ããã ≤ n ããã với xk,yk 0, αk > 0,k =1, 2, ,n sao cho αk =1, ≥ k=1 (d) α m n n m i αi x xi,j i,j ≤   j=1 i=1 i=1 j=1   n với xi,j 0, αi > 0,i=1, 2, ,n, j =1, 2, ,n thoả m∙n αk =1. ≥ k=1 2.4.14. Chứng minh rằng hàm f : R R lồivàbịchặntrênsẽlà → hàm hằng trên R. 2.4.15. Liệumộthàmlồibịchặntrên(a, ) hoặc trên ( ,a) có luôn là hàm hằng không? ∞ −∞ 2.4.16. Giả sử rằng f :(a, b) R lồi trên (a, b) (kể cả tr−ờng hợp a = hoặc b = . Chứng minh→ rằng hoặc f đơnđiệutrên(a, b) hoặc−∞ tồn tại c (a,∞ b) sao cho ∈ f(c)=min f(x):x (a, b) { ∈ } đồng thời f giảm trên (a, c] và tăng trên [c, b).
2.4. Hàm lồi 61 2.4.17. Cho f :(a, b) R lồi trên (a, b) (kể cả tr−ờng hợp a = hoặc b = . Chứng minh→ rằng các giới hạn −∞ ∞ lim f(x) và lim f(x) x a+ x b → → − tồntại,hữuhạnhoặcvôhạn. 2.4.18. Giả sử f :(a, b) R lồivàbịchặntrên(a, b) (kể cả tr−ờng hợp a = hoặc b = →). Chứng minh rằng f liêntụcđềutrên (a, b). (So−∞ sánh với bài∞ 2.4.14). 2.4.19. Giả sử f :(a, b) R lồi trên (a, b),(kểcảtr−ờng hợp a = hoặc b = . Chứng minh→ rằng đạo hàm một phía của f tồn tại−∞ và đơnđiệutrên∞ (a, b). Hơn nữa, đạo hàm phải và trái của nó bằng nhau trừ ra một tập đếm đ−ợc. 2.4.20. Giả sử f khả vi cấp hai trên R và f,f,f tăng thực sự trên R.Vớia, b cố định, a b xét hàm x ξ(x),x>0 đ−ợc xác định bởi định lý giá trị trung≤ bình, tức là → f(b + x) f(a x) − − = f (ξ). b a +2x − Chứng minh rằng hàm ξ tăng trên (0, ). ∞ 2.4.21. Sử dụng kết quả bài 2.4.4 chứng minh bất đẳng thức Hoălder: 1 1 Cho p, q > 1 thoả m∙n p + q =1. Chứng minh rằng 1 1 n n p n q p q xiyi xi yi . | | ≤ | | | | i=1 i=1 i=1 2.4.22. áp dụng bất đẳng thức Hoălder, h∙ychứngminhbất đẳng thức Minkowski sau: Nếu p>1 thì 1 1 1 n p n p n p p p p xi + yi xi + yi . | | ≤ | | | | i=1 i=1 i=1 ∞ 4 ∞ an 2.4.23. Chứng minh rằng nếu chuỗi an hội tụ thì 4 hội tụ. n=1 n=1 n 5
62 Ch−ơng 2. Vi phân 2.4.24. Cho xi,yi 0, i =1, 2, ,n và p>1. Chứng minh bất đẳng thức sau ≥ p p 1 p p 1 p p 1 ((x1 + + xn) +(y1 + + yn) ) p (x + y ) p + +(x + y ) p . ããã ããã ≤ 1 1 ããã n n 2.4.25. Chứng minh bất đẳng thức Minkowski tổng quát sau: Cho xi,j 0, i =1, 2, ,n,j =1, 2, ,m và p>1, chứng minh rằng ≥ 1 p p 1 n m m n p p xi,j x .     ≤ i,j i=1 j=1 j=1 i=1     2.4.26. Giảsửhàmliêntụcf trên khoảng I là lồi trung bình trên khoảng đó, tức là x + y f(x)+f(y) f với x, y I. 2 ≤ 2 ∈ Chứng minh rằng f lồi trên I. 2.4.27. Chứng minh rằng điều kiện liên tục trong bài 2.4.26 là không thể bỏ đ−ợc. 2.4.28. Cho f liên tục trên I sao cho x + y f(x)+f(y) f < 2 2 với x, y I, x = y. Chứng minh rằng f lồi thực sự ctrên I. ∈ 2.4.29. Giả sử f lồi trong khoảng mở I. Chứng minh rằng f thoả m∙n điều kiện Lipschitz địa ph−ơng trên I. 2.4.30. Cho f :(0, ) R lồi, và giả sử ∞ → lim f(x)=0. x 0+ → Chứng minh rằng hàm x f(x) tăng trên (0, ). → x ∞ 2.4.31. Ta nói rằng hàm f cộng tính d−ới trên (0, ) nếu với x1,x2 (0, ), ∞ ∈ ∞ f(x1 + x2) f(x1)+f(x2). ≤ Chứng minh rằng
2.4. Hàm lồi 63 (a) nếu hàm x f(x) giảm trên (0, ) thì f cộng tính d−ới. → x ∞ f(x) (b) nếu f lồi và cộng tính d−ới trên [0, + ) thì hàm x x là hàm giảm trên khoảng đó. ∞ → 2.4.32. Giả sử f khả vi trên (a, b) và với mọi x, y (a, b), x = y,tồn tại duy nhất ζ sao cho ∈ f(y) f(x) − = f (ζ). y x − Chứng minh rằng f lồi thực sự hoặc lõm thực sự trên (a, b). 2.4.33. Cho f : R R liên tục và thoả m∙nđiềukiệnvớimỗid R, → ∈ hàm gd(x)=f(x + d) f(x) thuộc lớp C∞(R). Chứng minh rằng f − thuộc C∞(R). 2.4.34. Giả sử an a2 a1 và f lồi trên [an,a1]. Chứng minh rằng ≤ ããã ≤ ≤ n n f(ak+1)ak f(ak)ak+1, ≤ k=1 k=1 trong đó an+1 = a1. 2.4.35. Giả sử rằng f lõm và tăng thực sự trên một khoảng (a, b), kể cả tr−ờng hợp a = hoặc b = . Chứng minh rằng nếu a<f(x) <xvới x (a, b)−∞và ∞ ∈ lim f+ (x)=1, x a+ → thì với x, y (a, b) ta có ∈ f n+1(x) f n(x) lim − =1, n f n+1(y) f n(y) →∞ − trong đó f n là phép lặp thứ n của f (xem 1.1.40).
64 Ch−ơng 2. Vi phân 2.5 Các ứng dụng của đạo hàm 2.5.1. Sử dụng định lý giá trị trung bình suy rộng chứng minh rằng x2 (a) 1 0, − 3! x2 x4 (c) cos x 0. − 3! 5! 2.5.2. Cho n N và x>0 h∙y kiểm tra các khẳng định sau: ∈ x3 x5 x4n 3 x4n 1 (a) x + + − − < sin x − 3! 5! − ããã (4n 3)! − (4n 1)! − − x3 x5 x4n 3 x4n 1 x4n+1 <x + + − − + , − 3! 5! − ããã (4n 3)! − (4n 1)! (4n +1)! − − x2 x4 x4n 4 x4n 2 (b) 1 + + − − < cos x − 2! 4! − ããã (4n 4)! − (4n 2)! − − x2 x4 x4n 4 x4n 2 x4n < 1 + + − − + . − 2! 4! − ããã (4n 4)! − (4n 2)! (4n)! − − 2.5.3. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu a 0 thì tồn tại x1,x2,x3 (a, b) sao cho ≥ ∈ f (x2) 2 2 f (x3) f (x1)=(b + a) =(b + ab + a ) 2 . 2x2 3x3 2.5.4. Chứng minh kết quả tổng quát hoá của 2.2.32: Cho f là một hàm biến phức trên (0, ) và α là một số phức có phần thực ∞ d−ơng.Chứngminhrằngnếuf khả vi và lim (αf(x)+f (x)) = 0 x + thì lim f(x)=0. → ∞ x + → ∞ 2.5.5. Cho f khảvicấphaitrên(0, ). Chứng minh rằng nếu ∞ lim (f(x)+f (x)+f (x)) = L thì lim f(x)=L. x + x + → ∞ → ∞
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 65 2.5.6. Cho f khả vi cấp ba trên (0, ).Liệutừsựtồntạicủagiới hạn ∞ lim (f(x)+f (x)+f (x)+f (x)) x + → ∞ có suy ra sự tồn tại của giới hạn lim f(x) không ? x + → ∞ 2.5.7. (a) Giả sử f khả vi liên tục trên (0, ) và cho f(0) = 1. Chứng x ∞ minh rằng nếu f(x) e− với x 0 thì tồn tại x0 > 0 sao cho x | | ≤ ≥ f (x0)= e 0 . − − (b) Giả sử f khả vi liên tục trên (1, ) và cho f(1) = 1. Chứng 1 ∞ minh rằng nếu f(x) x với x 1 thì tồn tại x0 > 1 sao cho 2 | | ≤ ≥ f (x0)= 1/x . − 0 2.5.8. Giả sử rằng f và g khả vi trên [0,a] thoả m∙n f(0) = g(0) = 0, f và g(x) > 0, g(x) > 0 với mọi x (0,a]. Chứng minh rằng nếu g f ∈ tăng trên (0,a] thì g cũng tăng trên khoảng đó. 2.5.9. Chứngminhrằngcácph−ơng trình sin(cos x)=x và cos(sin x)=x có duy nhất nghiệm trong [0, π/2]. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu x1 và x2 lần l−ợt là nghiệm của hai ph−ơng trình trên thì x1 0. (1)xem bài 2.2.39
66 Ch−ơng 2. Vi phân 2.5.12. Chứng minh rằng ex 1+x với x R.Sửdụngkếtquảđó chứng minh bất đẳng thức liên≥ hệ giữa trung∈ bình cộng và trung bình nhân(2). 2.5.13. Chứng minh rằng xy ex + y(ln y 1) ≤ − với x R và y>0. Chứng minh rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi∈ y = ex. 2 2 2 2.5.14. Giả sử f : R [ 1, 1] thuộc lớp C (R) và (f(0)) +(f (0)) =4. → − Chứng minh rằng tồn tại x0 R sao cho f(x0)+f (x0)=0. ∈ 2.5.15. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 (a) x + arctan x>1 với x>0, x π (b) 2tanx sinh x>0 với 0 0,x= e, e x ln x 1 (d) 0,x=1. x2 1 2 − 2.5.16. So sánh các số sau: (a) eπ và πe, (b) 2√2 và e, (c) ln 8 và 2. 2.5.17. Chứng minh các khẳng định sau: x b b (a) ln 1+ ln 1+ 0, a x a x m x n (b) 1+ 1+ 0. x (2)Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 67 2.5.18. Cho x>0 h∙y chứng minh các bất đẳng thức sau: x (a) ln(1 + x) 0, 2 − 6 2 x2 (b) ln(1 + cos x) 0, kiểm tra các bất đẳng thức sau: (a) ex (e x)e+x với x (0,e). − − ∈ 2.5.22. Chứngminhrằngnếux>1 thì ex 1 +lnx 2x +1> 0. − − 2.5.23. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 2 π (a) tan x + sin x>x, với 0 3sinx, với x>0, sin2 x π (c) cos x 1 thì với 0 x 1 ta có ≤ ≤ 1 α α α 1 x +(1 x) 1. 2 − ≤ − ≤ 2.5.25. Chứngminhrằngvới0 0, (x + y)α <xα + yα.
68 Ch−ơng 2. Vi phân 2.5.26. Cho α (0, 1) và x [ 1, 1], chứng minh rằng ∈ ∈ − α(α 1) (1 + x)α 1+αx − x2. ≤ − 8 2.5.27. Chứng minh kết quả tổng quát của bài toán trên. Cho B 0 và x [ 1,B], chứng minh rằng: ≥ ∈ − α(1 α) (a) (1 + x)α 1+αx − x2 với 0 < α < 1, ≤ − 2(1 + B)2 α(1 α) (b) (1 + x)α 1+αx − x2 với 1 < α < 2. ≥ − 2(1 + B)2 2.5.28. Chứng minh rằng 2 π (a) sin x x, với x 0, , ≥ π ∈ 2 2 x π (b) sin x x + (π2 4x2), với x 0, . ≥ π π3 − ∈ 2 2.5.29. Chứngminhrằngvớix (0, 1) ta có ∈ πx(1 x) < sin πx 4x(1 x). − ≤ − 2.5.30. Chứngminhrằngvớix d−ơng và n nguyên d−ơng ta có n xk x ex < (ex 1). − k! n − k=0 2.5.31. Cho n nguyên d−ơng. H∙y tìm các cực trị địa ph−ơng của hàm 2 n x x x f(x)= 1+x + + + e− . 2! ããã n! 2.5.32. Cho m và n nguyên d−ơng, tìm các cực trị địa ph−ơng của f(x)=xm(1 x)n. − 2.5.33. Cho m, n nguyên d−ơng,tìmgiátrịcựcđạicủa f(x)=sin2m x cos2n x. ã 1 2 2.5.34. Tìm các cực trị địa ph−ơng của hàm f(x)=x 3 (1 x) 3 . −
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 69 2.5.35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x)=x arcsin x + 1 x2 − trên [ 1, 1]. − 2.5.36. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 f(x)= + 1+ x 1+ 1 x | | | − | trên R. 2.5.37. Cho các số không âm a1,a2, ,an. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 n 1 ak (a) ake− , n ≤ e k=1 n 1 2 a 4 (b) a e− k , n k ≤ e2 k=1 n n n 1 3 3 ak (c) ak eW k=1 }. ≤ e k=1 2.5.38. Tìm các cực trị địa ph−ơng của hàm 1 1 e− x √2+sin với x =0, f(x)= | | x 0 với x =0. 2.5.39. Cho x4 2+sin1 với x =0, f(x)= x 0 với x =0. Chứng minh rằng f khả vi trên R và f đạt giá trị nhỏ nhất đúng tại 0 nh−ng f không đơn điệu trong bất kỳ khoảng ( ε, 0) hay (0, ε) nào. − 2.5.40. Cho x>0, chứng minh bất đẳng thức sau sinh x 1 < tanh x<x<sinh x< sinh 2x. sinh2 x +cosh2 x 2
70 Ch−ơng 2. Vi phân 2.5.41. Sử dụng kết quả bài trên chứng minh rằng với a, b d−ơng và a = b thì 2 b a a + b a2 + b2 < √ab < − < < . 1 + 1 ln b ln a 2 2 a b − b a Số L(a, b)= − đ−ợc gọi là trung bình lôgarít của a và b, a = b. ln b ln a (Quy −ớc rằng−L(a, a)=a.) 2.5.42. Đại l−ợng trung bình mũ của hai số d−ơng x và y đ−ợc cho bởi công thức 1 xp + yp p Mp(x, y)= với p =0. 2 (a) Chứng minh rằng lim Mp(x, y)=√xy. p 0 → (Từđócóthểquy−ớc M0(x, y)=√xy.) (b) Chứng minh rằng nếu x = y và p<qthì Mp(x, y) <Mq(x, y). 2.5.43. Cho λ 1 ,cácsốd−ơng x, y và số nguyên n 2, chứng minh rằng ≥ ≥ xn + yn + λ((x + y)n xn yn) x + y √xy n − − . ≤ 2+λ(2n 2) ≤ 2 − 2.5.44. Chứng minh rằng π (a) sin(tan x) x với x 0, , ≥ ∈ 4 π (b) tan(sin x) x với x 0, . ≥ ∈ 3 2.5.45. Chứngminhrằngvớix (0, π/2] ta có ∈ 1 1 4 +1 . sin2 x ≤ x2 − π2
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 71 2.5.46. Cho x>0 chứng minh rằng 3x arctan x> . 1+2√1+x2 2.5.47. Cho ak,bk,k =1, 2, ,n d−ơng. Chứng minh bất đẳng thức n n n (xak +(1 x)bk) max ak, bk − ≤ k=1 k=1 k=1 đúng với x [0, 1] khi và chỉ khi ∈ n n ak bk ak bk − − 0. ak bk ≥ k=1 k=1 2.5.48. Sử dụng kết quả bài 2.5.1 chứng minh rằng cos x +cosy 1+cos(xy) với x2 + y2 π. ≤ ≤ 2.5.49. Cho x, y d−ơng, chứng minh rằng xy + yx > 1. 2.5.50. Chosốnguyênd−ơng n 2, chứng minh rằng nếu 0 0. − 6 24 x Chứng minh rằng với các giá trị y, z > 0 thoả m∙n y + z<1 ta có f(y + z) <f(y)+f(z). 2.5.52. Chứng minh bất đẳng thức n 2 n k n k n (k nx) x (1 x) − . − k − ≤ 4 k=0 2 2.5.53. Giả sử f C ([a, b]), f(a)f(b) < 0, f và f không đổi dấu trên [a, b].Chứngminhrằngd∈ ∙ytruyhồi f(xn) xn+1 = xn ,n=0, 1, 2, , − f (xn)
72 Ch−ơng 2. Vi phân trong đó đặt x0 = b nếu f và f cùng dấu, x0 = a nếu f và f trái dấu, sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất của ph−ơng trình f(x)=0trên (a, b).(Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp Newton xấp xỉ nghiệm của ph−ơng trình f(x)=0.) 2.5.54. Sử dụng các giả thiết của bài toán trên chứng minh rằng nếu M =max f (x) : x [a, b] và m =min f (x) : x [a, b] thì {| | ∈ } {| | ∈ } M 2 xn+1 ξ (xn ξ) ,n=0, 1, 2, , | − | ≤ 2m − trong đó ξ là nghiệm duy nhất của ph−ơng trình f(x)=0. x 1 2.5.55. Tìm sup 2− +2− x : x>0 . 2.5.56. Cho f khả vi vô hạn trên [0, 1],giảsửrằngvớimỗix [0, 1] tồn tại n(x) sao cho f (n(x))(x)=0. Chứngminhrằngtrênđoạn∈ [0, 1] f sẽ đồng nhất với một đa thức nào đó. 2.5.57. Chỉravídụđểchứngtỏrằnggiảthiếtkhảvivôhạntrên [0, 1] trong bài toán trên là cần thiết. Chứng minh rằng nếu lim f (n)(x)=0 n →∞ với mỗi x [0, 1] thì ta không thể suy ra kết luận trong bài 2.5.56. ∈ 2.6 Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz Định nghĩa 1. MộthàmthựcxácđịnhtrêntậpmởA R đ−ợc gọi là khả vi mạnh tại điểm a A nếu ⊂ ∈ f(x1) f(x2) lim − = f ∗(a) (x1,x2) (a,a) x1 x2 → x1=x2 − tồntạihữuhạn.f ∗(a) đ−ợc gọi là đạo hàm mạnh của f tại a. Định nghĩa 2. Một hàm thực f xácđịnhtrêntậpmởA R đ−ợc gọi là khả vi theo nghĩa Schwarz tại a A nếu giới hạn ⊂ ∈ f(a + h) f(a h) lim − − = f s(a) h 0 2h →
2.6. Khả vi mạnh và khả vi theo nghĩa Schwarz 73 tồntạihữuhạn,f s(a) đ−ợc gọi là đạo hàm theo nghĩa Schwarz hay nói gọn lại là đạo hàm Schwarz của f tại điểm a. Định nghĩa 3. Đạo hàm mạnh trên (t−ơng ứng d−ới) của f tại a đ−ợc xác định bằng cách thay thế lim trong định nghĩa 1 bằng lim (t−ơng ứng lim ), ký hiệu là D∗f(a) (t−ơng ứng D f(a)). Đạo hàm Schwarz trên và d−ới của f tại a đ−ợc xác định∗ t−ơng tự. Ta ký s hiệu chúng là D f(a) và Dsf(a). 2.6.1. Chứng minh rằng nếu f khả vi mạnh tại a thì nó khả vi tại a và f ∗(a)=f (a).H∙y chỉ ra phản ví dụ để chứng tỏ điều ng−ợc lại không đúng. 1 2.6.2. Cho f : A R và ký hiệu A , A∗ là tập các điểm mà tại đó f lần l−ợt khả vi→ và khả vi mạnh. Chứng minh rằng nếu a A ∈ ∗ là một điểm giới hạn của A∗ thì lim f (x)= lim f (x)=f (a)=f (a). x a ∗ x a ∗ 1 x →A∗ x →A ∈ ∈ 2.6.3. Chứng minh rằng mọi hàm khả vi liên tục tại a thì khả vi mạnh tại a. 2.6.4. Từ tính khả vi mạnh của f tại a có suy ra đ−ợc tính liên tục của f tại điểm đó không? 2.6.5. Cho tập mở G A. Chứng minh rằng f khả vi mạnh trên ⊂ G khi và chỉ khi đạo hàm f liên tục trên G. 2.6.6. Chứngminhrằngnếuf khả vi trên R thì nó khả vi mạnh trong một tập thặng d−,tứclàtrongtậpR B trong đó B là một \ tập thuộc phạm trù thứ nhất trên R. (xem, chẳng hạn, 1.7.20) 2.6.7. Giả sử f liên tục trên [a, b] và tồn tại đạo hàm Schwarz f s trên (a, b). Chứngminhrằngnếuf(b) >f(a) thì tồn tại c (a, b) sao cho f s(c) 0. ∈ ≥ 2.6.8. Giả sử f liên tục trên [a, b] và f(a)=f(b)=0. Chứng minh rằng nếu f khả vi Schwarz trên (a, b) thì tồn tại x1,x2 (a, b) sao s s ∈ cho f (x1) 0 và f (x2) 0. ≥ ≤ 2.6.9. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi Schwarz trên (a, b). Chứng minh rằng tồn tại x1,x2 (a, b) sao cho ∈ s f(b) f(a) s f (x2) − f (x1). ≤ b a ≤ −
74 Ch−ơng 2. Vi phân 2.6.10. Giả sử rằng f liên tục và khả vi Schwarz trên (a, b). Chứng minh rằng nếu đạo hàm Schwarz f s bị chặn trên (a, b) thì f thoả m∙n điều kiện Lipschitz trên khoảng này. 2.6.11. Giả sử f và f s liên tục trên (a, b). Chứng minh rằng f khả vi và f (x)=f s(x) với mọi x (a, b). ∈ 2.6.12. Giả sử rằng f liên tục và khả vi Schwarz trên một khoảng mở I. Chứng minh rằng nếu f s(x) 0 với mọi x I thì f tăng trên I. ≥ ∈ 2.6.13. Giả sử rằng f liên tục và khả vi Schwarz trên một khoảng mở I. Chứng minh rằng nếu f s(x)=0tại x I thì f là hàm hằng trên I. ∈ 2.6.14. Cho f khả vi Schwarz trên (a, b) và điểm x0 (a, b) là cực trị địa ph−ơng của f. Hỏi đạo hàm Schwarz của f có∈ bằng 0 tại x0 không? 2.6.15. Ta nói hàm f : R R có tính chất Baire nếu tồn tại một → tập thặng d− S R để f liên tục trên đó. Chứng minh rằng nếu f có tính chất Baire⊂ thì tồn tại một tập thặng d− B sao cho với mọi x B, ∈ s Dsf(x)=D f(x) và D f(x)=D∗f(x). ∗ 2.6.16. Chứng minh rằng nếu f có tính chất Baire và khả vi Schwarz trên R thì f khảvimạnhtrênmộttậpthặngd−. 2.6.17. Cho f khả vi Schwarz trên một khoảng mở I và xét [a, b] I, ta nói rằng f khả vi Schwarz đều trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 ⊂tồn tại δ > 0 sao cho với h < δ, | | f(x + h) f(x h) − − f s(x) < ε, 2h − với mọi x [a, b] và x + h, x h I.Giảsửf khả vi Schwarz trên ∈ − ∈ I và [a, b] I. Chứng minh rằng nếu tồn tại x0 (a, b) sao cho ⊂ ∈ lim f(x0 + h) =+ và tồn tại x1 sao cho f bị chặn địa ph−ơng h 0 | | ∞ → trong [x1,x0),thìf không khả vi Schwarz đều trên [a, b]. 2.6.18. Giả sử f liên tục trên I chứa [a, b]. Chứng minh rằng f khả vi Schwarz đều trên [a, b] khi và chỉ khi f s liên tục trên [a, b].
2.6.19. H∙y chỉ ra ví dụ để chứng tỏ rằng giả thiết liên tục của hàm f ở bài toán trên là cần thiết. 2.6.20. Chứng minh rằng một hàm bị chặn địa ph−ơng trên khoảng mở I f sẽ khả vi Schwarz đều trên mọi đoạn [a, b] I khi và chỉ ⊂ khi f liên tục trên I. 75
76 Ch−ơng 2. Vi phân
Ch−ơng 3 Dãyvàchuỗihàm 3.1 Dãy hàm và sự hội tụ đều Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau. Định nghĩa. Ta nói rằng d∙yhàm fn hội tụ đều tới hàm f { } trên A nếu với mọi ε > 0,tồntạin0 N sao cho với mọi n n0, bất ∈ ≥ đẳng thức fn(x) f(x) 0 sao cho f(x) <M A A | | và g(x) <M với mọi x A. Chứng minh rằng fn gn ⇒ f g. | | ∈ ã A ã 3.1.4. Cho an là d∙y số thực hội tụ, và fn là d∙yhàmthoảm∙n { } { } sup fn(x) fm(x) : x A an am ,n,mN. {| − | ∈ } ≤ | − | ∈ Chứng minh rằng d∙yhàm fn hội tụ đều trên A. { } 77
78 Ch−ơng 3. D∙yvàchuỗihàm 3.1.5. Chứng minh rằng hàm giới hạn của một d∙y hàm bị chặn hội tụ đều trên A là một hàm bị chặn. Khẳng định này có đúng trong tr−ờng hợp hội tụ điểm không? 3.1.6. Chứngminhrằngd∙yhàm fn ,với { } x n nếu n chẵn, fn(x)= 1 n nếu n lẻ, hội tụ điểm nh−ng không hội tụ đều trên R.Tìmmộtd∙yconhội tụ đều. 3.1.7. Chứng minh tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ đều. D∙yhàm fn ,xácđịnhtrênA,hộitụđềutrênA khi và chỉ khi { } với mọi ε > 0,tồntạisốn0 N sao cho với mọi m>n0 bất đẳng ∈ thức fn+m(x) fm(x) < ε thoả m∙nvớimọin N và với mọi x A. | − | ∈ ∈ 3.1.8. Xétsựhộitụđềutrênđoạn[0, 1] của các d∙yhàmchobởi các công thức sau 1 (a) f (x)= , n 1+(nx 1)2 − x2 (b) f (x)= , n x2 +(nx 1)2 n − (c) fn(x)=x (1 x), n − (d) fn(x)=nx (1 x), − 3 n 4 (e) fn(x)=n x (1 x) , − nx2 (f) f (x)= , n 1+nx 1 (g) f (x)= . n 1+xn 3.1.9. Xét sự hội tụ đều trên A và B của các d∙yhàmsau n n (a) fn(x)=cos x(1 cos x), A =[0, π/2], B =[π/4, π/2], − n 2n (b) fn(x)=cos x sin x, A = R, B =[0, π/4].
3.1. D∙yhàmvàsựhộitụđều 79 3.1.10. Xét sự hội tụ đều của d∙y fn trên A: { } 2x (a) f (x) = arctan , A = , n x2 + n3 R x2 (b) f (x)=n ln 1+ , A = , n n R 1+nx (c) fn(x)=n ln , A =(0, ), nx ∞ 2n 2n (d) fn(x)= 1+x , A = R, n n n (e) fn(x)= 2 + x , A = R, | | n (f) fn(x)=√n +1sin x cos x, A = R, n (g) fn(x)=n( √x 1), A =[1,a],a>1. − [nf(x)] 3.1.11. Với hàm f xácđịnhtrênđoạn[a, b],đặtfn(x)= , x n ∈ [a, b], n N. Chứng minh rằng fn ⇒ f. ∈ [a,b] 3.1.12. Kiểm tra rằng d∙yhàm fn ,với { } 2 2 2 fn(x)=n sin 4π n + x , hội tụ đều trên đoạn [0,a], a>0.D∙yhàm fn có hội tụ đều trên { } R không? 3.1.13. Chứngminhrằngd∙yđathức Pn xác định bởi công thức truy hồi { } 1 2 P0(x)=0,Pn+1(x)=Pn(x)+ (x P (x)),n=0, 1, 2, , 2 − n hội tụ đều trên đoạn [0, 1] đến hàm f(x)=√x. Từđósuyrarằngtồntạimộtd∙y đa thức hội tụ đều trên đoạn [ 1, 1] đến hàm x x . − → | | 3.1.14. Giả sử hàm f : R R khảvivàhàmf liên tục đều trên R . Kiểm tra rằng → 1 n f x + f(x) f (x) n − → đều trên R. Bằng ví dụ chỉ ra rằng giả thiết liên tục đều của hàm f là không thể bỏ qua đ−ợc.
80 Ch−ơng 3. D∙yvàchuỗihàm 3.1.15. Cho fn là d∙y hàm liên tục đều hội tụ đều trên R. Chứng { } minh rằng hàm giới hạn cũng là hàm liên tục đều trên R. 3.1.16. Chứng minh định lý Dini:Cho fn là d∙y hàm liên tục trên tập compact K hội tụ điểm tới hàm{ f}cũng là hàm liên tục trên K.Khiđónếufn+1(x) fn(x) với x K và n N thì d∙yhàm ≤ ∈ ∈ fn hội tụ tới hàm f đều trên K. { } Bằng ví dụ h∙y chỉ ra rằng các điều kiện trong định lý Dini (tính compact của tập K, tính liên tục của hàm giới hạn, tính liên tục và đơn điệu của d∙yhàm fn )làcầnthiết. { } 3.1.17. D∙yhàm fn xácđịnhtrêntậpA đ−ợc gọi là liên tục đồng { } bậc trên A nếu với mọi ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho fn(x) fn(x ) < | − | ε với mọi x, x A mà x x < δ và n N. Chứng minh rằng nếu ∈ | − | ∈ fn là d∙y hàm hội tụ đều của các hàm liên tục trên tập compact { } K thì fn là liên tục đồng bậc trên K. { } 3.1.18. Chúng ta nói rằng d∙yhàm fn xác định trên A hội tụ { } liên tục trên A tới hàm f nếu với mọi x A và với mọi d∙y xn ∈ { } nằm trong A hội tụ tới x,d∙y fn(xn) hội tụ tới f(x). Chứng minh { } rằng nếu d∙y fn hội tụ liên tục trên A tới hàm f thì { } lim fn (xk)=f(x), k k →∞ với mỗi d∙y xn các phần tử A hội tụ tới x A và với mỗi d∙y { } ∈ con fn . { k } 3.1.19. Chứngminhrằngnếu fn hội tụ liên tục trên A tới f thì { } f liên tục trên A (ngay cả khi fn không liên tục). 3.1.20. Chứng minh rằng nếu fn hội tụ đều trên A tới hàm liên { } tục f thì fn hội tụ liên tục trên A.Điềung−ợc lại có đúng không? { } 3.1.21. Cho fn là d∙y hàm xác định trên tập compact K. Chứng minh các mệnh{ } đề sau là t−ơng đ−ơng: (i) D∙yhàm fn hội tụ đều trên K tới hàm f C(K). { } ∈ (ii) D∙yhàm fn hội tụ liên tục trên K tới hàm f. { } 3.1.22. Giả sử fn là d∙y hàm tăng hoặc giảm trên đoạn [a, b] hội { } tụ điểm tới một hàm liên tục trên [a, b]. Chứng minh rằng fn hội tụ đều trên [a, b]. { }
3.1. D∙yhàmvàsựhộitụđều 81 3.1.23. Cho fn là d∙y hàm tăng hoặc giảm trên R và bị chặn đều { } trên R. Chứng minh fn chứa một d∙yconhộitụđiểmtrênR. { } 3.1.24. Sử dụng giả thiết cho trong bài toán trên chứng minh rằng: nếu d∙yhàmcon fn hội tụ điểm tới một hàm liên tục f thì d∙y { k } hàm fn hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact của R.D∙y { } hàm fn có hội tụ đều trên R không? { } 3.1.25. Chứng minh rằng giới hạn của d∙y đa thức hội tụ đều trên R là một đa thức. 3.1.26. Giả sử rằng Pn là một d∙y đa thức có dạng { } p p 1 Pn(x)=an,px + an,p 1x − + + an,1x + an,0. − ããã Chứng minh ba mệnh đề sau là t−ơng đ−ơng: (i) Pn hội tụ đều trên mỗi tập con compact của R, { } (ii) tồn tại p +1 số phân biệt c0,c1, ,cp sao cho Pn hội tụ trên { } c0,c1, ,cp , { } (iii) d∙ycáchệsố an,i hội tụ với i =0, 1, 2, ,p. { } 3.1.27. Chứngminhrằngnếu fn hội tụ điểm và liên tục đồng { } bậc trên tập compact K thì fn hội tụ đều trên K. { } 3.1.28. Cho fn là d∙y hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Giả sử f {bị} chặn đều trên (a, b),tứclàtồntạiM>0 sao cho { n } fn (x) M với mọi n N và x (a, b). Chứng minh rằng nếu fn | | ≤ ∈ ∈ { } hội tụ điểm trên [a, b] thì fn hội tụ đều trên đoạn đó. { } 3.1.29. Nghiên cứu sự hội tụ và sự hội tụ đều của fn và fn trên A,với { } { } sin nx (a) fn(x)= , A = R, √n x (b) fn(x)= , A =[ 1, 1]. 1+n2x2 − 3.1.30. Giả sử fn hội tụ đều trên A tới hàm f. Hơn nữa, giả sử { } rằng x0 là điểm tụ của A vàbắtđầutừmộtgiátrịnàođócủachỉ số n, lim fn(x) tồn tại. Chứng minh rằng x x0 → lim lim fn(x)= lim f(x). n x x0 x x0 →∞ → →