Bài giảng Toán kĩ thuật

277 trang vanle 3320

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kĩ thuật", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_ki_thuat.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật

Toán kĩ thuật Toán kĩ thuật Nguyễn Hồng Quân email: nguyenhongquan1978@gmail.com Điện thoại: 0988942043
Toán kĩ thuật
Toán kĩ thuật §1. Số phức §2.Hàm biến phức và phép tính vi phân §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư §4. Hàm Gam-ma và hàm Bê-ta §5. Phép biến đổi Laplace §6. Phép biến đổi Fourier
Toán kĩ thuật §1. Số phức §1. Số phức
• Với số phức z = a + ib. Số phức đối của z, kí hiệu −z, là số phức −z =−a + i(−b) := −a − ib. Số phức liên hợp của z, kí hiệu z, là số phức z = a + i(−b) := a − ib. • Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có các phần thực bằng nhau và các phần ảo bằng nhau. Tức là, nếu z = a + ib và w = c + id thì a = c z = w ⇐⇒ . b = d Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi là z, là một số được viết dưới dạng z = a + ib, (1) ở đây a, b là các số thực, a gọi là phần thực và kí hiệu a = Rez, b gọi là phần ảo và kí hiệu b = Imz, i gọi là đơn vị ảo và qui ước i2 = −1. Số phức z viết dưới dạng (1) được gọi là dạng tổng quát (hay dạng đại số). Tập các số phức kí hiệu là C.
• Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có các phần thực bằng nhau và các phần ảo bằng nhau. Tức là, nếu z = a + ib và w = c + id thì a = c z = w ⇐⇒ . b = d Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi là z, là một số được viết dưới dạng z = a + ib, (1) ở đây a, b là các số thực, a gọi là phần thực và kí hiệu a = Rez, b gọi là phần ảo và kí hiệu b = Imz, i gọi là đơn vị ảo và qui ước i2 = −1. Số phức z viết dưới dạng (1) được gọi là dạng tổng quát (hay dạng đại số). Tập các số phức kí hiệu là C. • Với số phức z = a + ib. Số phức đối của z, kí hiệu −z, là số phức −z =−a + i(−b) := −a − ib. Số phức liên hợp của z, kí hiệu z, là số phức z = a + i(−b) := a − ib.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi là z, là một số được viết dưới dạng z = a + ib, (1) ở đây a, b là các số thực, a gọi là phần thực và kí hiệu a = Rez, b gọi là phần ảo và kí hiệu b = Imz, i gọi là đơn vị ảo và qui ước i2 = −1. Số phức z viết dưới dạng (1) được gọi là dạng tổng quát (hay dạng đại số). Tập các số phức kí hiệu là C. • Với số phức z = a + ib. Số phức đối của z, kí hiệu −z, là số phức −z =−a + i(−b) := −a − ib. Số phức liên hợp của z, kí hiệu z, là số phức z = a + i(−b) := a − ib. • Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có các phần thực bằng nhau và các phần ảo bằng nhau. Tức là, nếu z = a + ib và w = c + id thì a = c z = w ⇐⇒ . b = d
• Sinh viên tự chứng minh các tính chất sau xem như bài tập (a) z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1; (b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3; (c) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3; (d) z + z = z + z , z z = z .z , z1 = z1 . 1 2 1 2 1 2 1 2 z2 z2 Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Các phép toán trên C. Với z = a + ib ∈ C và w = c + id ∈ C, phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d), phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc), (Chứng minh rằng: zz = a2 + b2). z zw (a+ib)(c−id) ac+bd bc−ad phép chia: w := ww = (c+id)(c−id) = c2+d2 + i c2+d2 .
Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Các phép toán trên C. Với z = a + ib ∈ C và w = c + id ∈ C, phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d), phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc), (Chứng minh rằng: zz = a2 + b2). z zw (a+ib)(c−id) ac+bd bc−ad phép chia: w := ww = (c+id)(c−id) = c2+d2 + i c2+d2 . • Sinh viên tự chứng minh các tính chất sau xem như bài tập (a) z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1; (b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3; (c) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3; (d) z + z = z + z , z z = z .z , z1 = z1 . 1 2 1 2 1 2 1 2 z2 z2
Toán kĩ thuật §1. Số phức 1. Định nghĩa số phức • Ví dụ-Bài tập. 1) Tính (a) (5 − 2i)(1 + 4i), −2+3i (b) 1−4i , i+i2+i3+i4+i5 (c) 1+i , 2) Tìm các số thực x, y là nghiệm của phương trình 5(x + y)(1 + i) − (x + 2i)(3 + i) = 3 − 11i. 3) Giải hệ phương trình z + iw = 1 . 2z + w = 1 + i 4) Giải phương trình: z2 + 2z + 5 = 0.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 2. Biểu diễn hình học số phức • Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxy. Khi đó với mỗi điểm A(a, b), ta xác định được số phức z = a + ib. Ngược lại, với mỗi số phức z = a + ib ta xác định được điểm A(a, b). Như vậy ta có một phép tương ứng 1-1 giữa mặt phẳng Oxy và C: A(a, b) ! z = a + ib. Vì vậy, ta đồng nhất số phức z = a + ib với điểm A(a, b) của mặt phẳng Oxy. Khi đó ta nói điểm A(a, b) biểu diễn số phức z = a + ib, hay số phức z = a + ib được biểu diễn bằng điểm A(a, b). Mặt phẳng Oxy khi đó được gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số phức dạng z = a + i0 = a ( các số thực), nó được gọi là trục thực. Trục Oy biểu diễn các số phức dạng z = 0 + ib = ib (gọi là các số thuần ảo), và được gọi là trục ảo.
• Ta định nghĩa mô-đun và argument của z tương ứng là: √ |z| := r = a2 + b2 và argz = ϕ + k2π, k ∈ Z. ( tan ϕ = b Góc ϕ được xác định bởi a . Giá trị của argz cos ϕ = √ a a2+b2 nằm giữa −π và π gọi là argument chính, kí hiệu Argz. Vậy ta có −π < Argz ≤ π. Toán kĩ thuật §1. Số phức 3. Các dạng cực của số phức • Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy ta chọn hệ tọa độ cực có gốc tại O và trục cực là Ox. Số phức z = a + ib được biểu diễn bằng điểm A(a, b), điểm A này có tọa độ cực (r, ϕ) xác định bởi r = −→ −→ OA, ϕ = (Ox, OA). Ta có a = r cos ϕ . b = r sin ϕ
Toán kĩ thuật §1. Số phức 3. Các dạng cực của số phức • Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy ta chọn hệ tọa độ cực có gốc tại O và trục cực là Ox. Số phức z = a + ib được biểu diễn bằng điểm A(a, b), điểm A này có tọa độ cực (r, ϕ) xác định bởi r = −→ −→ OA, ϕ = (Ox, OA). Ta có a = r cos ϕ . b = r sin ϕ • Ta định nghĩa mô-đun và argument của z tương ứng là: √ |z| := r = a2 + b2 và argz = ϕ + k2π, k ∈ Z. ( tan ϕ = b Góc ϕ được xác định bởi a . Giá trị của argz cos ϕ = √ a a2+b2 nằm giữa −π và π gọi là argument chính, kí hiệu Argz. Vậy ta có −π < Argz ≤ π.
• Ta đã biết khai triển Maclaurin của cos ϕ và sin ϕ là: ∞ ∞ X ϕ2n X ϕ2n+1 cos ϕ = (−1)n , sin ϕ = (−1)n . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 P∞ n ϕ2n P∞ n ϕ2n+1 Do đó: cos ϕ + i sin ϕ = n=0(−1) (2n)! + i n=0(−1) (2n+1)! P∞ (iϕ)2n P∞ (iϕ)2n+1 P∞ (iϕ)n iϕ = n=0 (2n)! + n=0 (2n+1)! = n=0 n! := e . Vậy cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ. Công thức này gọi là công thức Euler. Từ dạng lượng giác của số phức z và công thức Euler ta suy ra z = reiϕ, dạng này gọi là dạng mũ của z. Toán kĩ thuật §1. Số phức 3. Các dạng cực của số phức • Ta có a + ib = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ). Vậy z = r(cos ϕ + i sin ϕ), dạng này gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 3. Các dạng cực của số phức • Ta có a + ib = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ). Vậy z = r(cos ϕ + i sin ϕ), dạng này gọi là dạng lượng giác của số phức z. • Ta đã biết khai triển Maclaurin của cos ϕ và sin ϕ là: ∞ ∞ X ϕ2n X ϕ2n+1 cos ϕ = (−1)n , sin ϕ = (−1)n . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 P∞ n ϕ2n P∞ n ϕ2n+1 Do đó: cos ϕ + i sin ϕ = n=0(−1) (2n)! + i n=0(−1) (2n+1)! P∞ (iϕ)2n P∞ (iϕ)2n+1 P∞ (iϕ)n iϕ = n=0 (2n)! + n=0 (2n+1)! = n=0 n! := e . Vậy cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ. Công thức này gọi là công thức Euler. Từ dạng lượng giác của số phức z và công thức Euler ta suy ra z = reiϕ, dạng này gọi là dạng mũ của z.
• Lũy thừa nguyên. Với m là số nguyên dương và z là một số phức, ta định nghĩa 1 zm = z.z z, z−m = . | {z } zm m lan Bằng qui nạp ta dễ chứng minh được: với m là số nguyên dương và z = r(cos ϕ + i sin ϕ), zm = rm(cos mϕ + i sin mϕ). Khi đó 1 z−m = = r−m[cos(−mϕ) + i sin(−mϕ)]. rm(cos mϕ + i sin mϕ) Đặt n = −m ta có n < 0 và zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Vậy, với mọi số nguyên n, zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Công thức này gọi là công thức Moivre. Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Lũy thừa của số phức
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Lũy thừa của số phức • Lũy thừa nguyên. Với m là số nguyên dương và z là một số phức, ta định nghĩa 1 zm = z.z z, z−m = . | {z } zm m lan Bằng qui nạp ta dễ chứng minh được: với m là số nguyên dương và z = r(cos ϕ + i sin ϕ), zm = rm(cos mϕ + i sin mϕ). Khi đó 1 z−m = = r−m[cos(−mϕ) + i sin(−mϕ)]. rm(cos mϕ + i sin mϕ) Đặt n = −m ta có n < 0 và zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Vậy, với mọi số nguyên n, zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Công thức này gọi là công thức Moivre.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Lũy thừa của số phức • Lũy thừa hữu tỷ. Với n là số nguyên dương, z là số phức. Định 1 √ nghĩa z n hay n z, gọi là căn bậc n của z, là một số phức ω thỏa 1 √ n n n n ω = (z n ) ≡ ( z) = z. 1 Giả sử z = r(cos ϕ + i sin ϕ) và z n = ρ(cos ψ + i sin ψ). Thế thì ta có √ n n 1 n ρ = r ρ = r (z n ) = z ⇐⇒ ⇐⇒ ϕ+2kπ . nψ = ϕ + 2kπ ψ = n 1 Vì argz sai khác bội nguyên của 2π, nên có đúng n lũy thừa n (n căn bậc n) của z, chúng được xác định như sau √ h ϕ 2kπ ϕ 2kπ i ω = n r cos + + i sin + , k = 0, 1, , n − 1. k n n n n Ta thấy các giá trị này nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O √ bán kính n r.
• Ví dụ - Bài tập. 1) Tìm giá trị của √ √ 1 4 1 − 1 a) (−1) 2 ; b) 1 + i; c) (1 + i 3) 5 ; d)(1 − i) 3 . √ 2 2 −5 1 − 1 e) (i) 3 ; f) (1 + i) 3 ; g) (− 3 − i) ; h) (3 + 4i) 2 (1 + i) 2 . 2) Giải các phương trình sau √ 4 3 a) z 3 + 2i = 0; z − i = − 3; √ c) z6 − 2z3 + 2 = 0; z4 − 2 3z2 + 4 = 0. Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Lũy thừa của số phức m 1 m n n m • Với số hữu tỷ q = n , ta định nghĩa z = (z ) . Từ trên suy ra m rằng, z n có đúng n giá trị, và khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì n giá m trị của z n được xác định bởi √ h mϕ 2kmπ mϕ 2kmπ i ξ = ( n r)m cos + +i sin + , k = 0, n − 1 k n n n n
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Lũy thừa của số phức m 1 m n n m • Với số hữu tỷ q = n , ta định nghĩa z = (z ) . Từ trên suy ra m rằng, z n có đúng n giá trị, và khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì n giá m trị của z n được xác định bởi √ h mϕ 2kmπ mϕ 2kmπ i ξ = ( n r)m cos + +i sin + , k = 0, n − 1 k n n n n • Ví dụ - Bài tập. 1) Tìm giá trị của √ √ 1 4 1 − 1 a) (−1) 2 ; b) 1 + i; c) (1 + i 3) 5 ; d)(1 − i) 3 . √ 2 2 −5 1 − 1 e) (i) 3 ; f) (1 + i) 3 ; g) (− 3 − i) ; h) (3 + 4i) 2 (1 + i) 2 . 2) Giải các phương trình sau √ 4 3 a) z 3 + 2i = 0; z − i = − 3; √ c) z6 − 2z3 + 2 = 0; z4 − 2 3z2 + 4 = 0.
• Cho mặt phẳng phức Oxy. Dựng mặt cầu S có cực nam tiếp xúc với (Oxy) tại O. Gọi N là điểm cực bắc của S. Với mỗi điểm P ∈ (Oxy), tia NP cắt S tại điểm duy nhất P 0. Ta có phép tương ứng 1-1: 0 z = a + ib ≡ P (a, b) ! P . Như vậy ta có thể xem P 0 là điểm biểu diễn của z trên mặt cầu S. Ta thấy điểm N không ứng với số phức nào. Bởi vậy người gán điểm N với một "số phức vô cùng ∞". Tập số phức C bổ sung thêm số phức vô cùng ∞ gọi là tập số phức mở rộng, kí hiệu là C. Mặt cầu S khi đó được gọi là mặt cầu phức Riemann. z Qui ước: với số phức z: 0 = ∞ (z 6= 0), z∞ = ∞ (z 6= 0), z ± ∞ = ∞. Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Mặt phẳng phức mở rộng. Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Mặt phẳng phức mở rộng. Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức • Cho mặt phẳng phức Oxy. Dựng mặt cầu S có cực nam tiếp xúc với (Oxy) tại O. Gọi N là điểm cực bắc của S. Với mỗi điểm P ∈ (Oxy), tia NP cắt S tại điểm duy nhất P 0. Ta có phép tương ứng 1-1: 0 z = a + ib ≡ P (a, b) ! P . Như vậy ta có thể xem P 0 là điểm biểu diễn của z trên mặt cầu S. Ta thấy điểm N không ứng với số phức nào. Bởi vậy người gán điểm N với một "số phức vô cùng ∞". Tập số phức C bổ sung thêm số phức vô cùng ∞ gọi là tập số phức mở rộng, kí hiệu là C. Mặt cầu S khi đó được gọi là mặt cầu phức Riemann. z Qui ước: với số phức z: 0 = ∞ (z 6= 0), z∞ = ∞ (z 6= 0), z ± ∞ = ∞.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Mặt phẳng phức mở rộng. Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Mặt phẳng phức mở rộng. Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức • Cho z0 ∈ C. -lân cận của z0 là tập: B(z0, ) = {x ∈ C : |z − z0| N} ∪ {∞}. + Cho z0 ∈ C và tập con E ⊂ C. Điểm z0 gọi là một điểm trong của E nếu tồn tại một -lân cận của z0 nằm trọn trong E. Điểm z0 gọi là một điểm biên của E nếu mọi -lân cận của z0 đều chứa các điểm của E và các điểm không thuộc E. + Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của E. + Tập E gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của E. + Tập E gọi là liên thông nếu với bất kì hai điểm của E ta đều có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm trong E. + Một tập mở và liên thông được gọi là miền. Miền cùng với biên của nó gọi là miền đóng. + Miền có một biên gọi là miền đơn liên. Miền có nhiều hơn một biên gọi là miền đa liên.
Toán kĩ thuật §1. Số phức 4. Mặt phẳng phức mở rộng. Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức • Qui ước: Hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó thì miền ở bên tay trái.
Toán kĩ thuật
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân
Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C). Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z). + Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. + Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị. Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm.
Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z). + Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. + Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị. Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm. Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C).
+ Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. + Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị. Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm. Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C). Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z).
+ Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị. Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm. Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C). Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z). + Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm.
Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm. Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C). Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z). + Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. + Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức a) Khái niệm. Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C). Cụ thể hơn như sau: Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w. Kí hiệu: w = f(z). + Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. + Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm đơn trị. Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là hàm đa trị. Ví dụ. Hàm w = f(z) = z2 − 3 là hàm đơn trị. √ Hàm w = f(z) = 5 z − 3 là hàm đa trị.
+ Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền xác định). Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa. z2−1 Ví dụ. Khi hàm cho bởi công thức f(z) = z2+1 chúng ta ngầm hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i. + Mọi hàm biến phức f(z) đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm hai biến u(x, y), v(x, y): Với mọi z = x + iy ∈ D, w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ví dụ: w = z2 − 1 = (x + iy)2 − 1 = (x2 − y2 − 1) + i.2xy. Ta có ở đây u(x, y) = x2 − y2 − 1 và v(x, y) = 2xy. + Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức. Nếu D là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức ∞ zn = f(n), và kí hiệu là {zn}n=1. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức
z2−1 Ví dụ. Khi hàm cho bởi công thức f(z) = z2+1 chúng ta ngầm hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i. + Mọi hàm biến phức f(z) đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm hai biến u(x, y), v(x, y): Với mọi z = x + iy ∈ D, w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ví dụ: w = z2 − 1 = (x + iy)2 − 1 = (x2 − y2 − 1) + i.2xy. Ta có ở đây u(x, y) = x2 − y2 − 1 và v(x, y) = 2xy. + Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức. Nếu D là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức ∞ zn = f(n), và kí hiệu là {zn}n=1. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền xác định). Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa.
+ Mọi hàm biến phức f(z) đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm hai biến u(x, y), v(x, y): Với mọi z = x + iy ∈ D, w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ví dụ: w = z2 − 1 = (x + iy)2 − 1 = (x2 − y2 − 1) + i.2xy. Ta có ở đây u(x, y) = x2 − y2 − 1 và v(x, y) = 2xy. + Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức. Nếu D là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức ∞ zn = f(n), và kí hiệu là {zn}n=1. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền xác định). Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa. z2−1 Ví dụ. Khi hàm cho bởi công thức f(z) = z2+1 chúng ta ngầm hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i.
+ Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức. Nếu D là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức ∞ zn = f(n), và kí hiệu là {zn}n=1. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền xác định). Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa. z2−1 Ví dụ. Khi hàm cho bởi công thức f(z) = z2+1 chúng ta ngầm hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i. + Mọi hàm biến phức f(z) đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm hai biến u(x, y), v(x, y): Với mọi z = x + iy ∈ D, w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ví dụ: w = z2 − 1 = (x + iy)2 − 1 = (x2 − y2 − 1) + i.2xy. Ta có ở đây u(x, y) = x2 − y2 − 1 và v(x, y) = 2xy.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền xác định). Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa. z2−1 Ví dụ. Khi hàm cho bởi công thức f(z) = z2+1 chúng ta ngầm hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i. + Mọi hàm biến phức f(z) đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm hai biến u(x, y), v(x, y): Với mọi z = x + iy ∈ D, w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Ví dụ: w = z2 − 1 = (x + iy)2 − 1 = (x2 − y2 − 1) + i.2xy. Ta có ở đây u(x, y) = x2 − y2 − 1 và v(x, y) = 2xy. + Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức. Nếu D là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức ∞ zn = f(n), và kí hiệu là {zn}n=1.
∞ ∗ Ta nói dãy số phức {zn}n=1 tiến tới ∞ (hay có giới hạn là ∞) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞ zn = ∞, nếu với mọi > 0, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| > . ∞ + Ta thấy rằng với {zn = xn + iyn}n=1 và z0 = x0 + y0 thì limn→∞ xn = x0; lim zn = z0 ⇐⇒ n→∞ limn→∞ yn = y0. ∗ Ta nói hàm w = f(z) có giới hạn là l khi z dần đến z0 nếu với mọi dãy điểm {zn} hội tụ đến z0 ta đều có lim f(zn) = l. n→∞ Kí hiệu: limz→z0 f(z) = l. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức ∞ b) Giới hạn, liên tục. ∗ Ta nói dãy số phức {zn}n=1 hội tụ về z0 (hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞ zn = z0, nếu với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn − z0| < .
∞ + Ta thấy rằng với {zn = xn + iyn}n=1 và z0 = x0 + y0 thì limn→∞ xn = x0; lim zn = z0 ⇐⇒ n→∞ limn→∞ yn = y0. ∗ Ta nói hàm w = f(z) có giới hạn là l khi z dần đến z0 nếu với mọi dãy điểm {zn} hội tụ đến z0 ta đều có lim f(zn) = l. n→∞ Kí hiệu: limz→z0 f(z) = l. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức ∞ b) Giới hạn, liên tục. ∗ Ta nói dãy số phức {zn}n=1 hội tụ về z0 (hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞ zn = z0, nếu với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn − z0| 0, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| > .
∗ Ta nói hàm w = f(z) có giới hạn là l khi z dần đến z0 nếu với mọi dãy điểm {zn} hội tụ đến z0 ta đều có lim f(zn) = l. n→∞ Kí hiệu: limz→z0 f(z) = l. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức ∞ b) Giới hạn, liên tục. ∗ Ta nói dãy số phức {zn}n=1 hội tụ về z0 (hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞ zn = z0, nếu với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn − z0| 0, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| > . ∞ + Ta thấy rằng với {zn = xn + iyn}n=1 và z0 = x0 + y0 thì limn→∞ xn = x0; lim zn = z0 ⇐⇒ n→∞ limn→∞ yn = y0.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức ∞ b) Giới hạn, liên tục. ∗ Ta nói dãy số phức {zn}n=1 hội tụ về z0 (hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞ zn = z0, nếu với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn − z0| 0, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| > . ∞ + Ta thấy rằng với {zn = xn + iyn}n=1 và z0 = x0 + y0 thì limn→∞ xn = x0; lim zn = z0 ⇐⇒ n→∞ limn→∞ yn = y0. ∗ Ta nói hàm w = f(z) có giới hạn là l khi z dần đến z0 nếu với mọi dãy điểm {zn} hội tụ đến z0 ta đều có lim f(zn) = l. n→∞ Kí hiệu: limz→z0 f(z) = l.
+ Chú ý: Tất cả các kết quả về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống hàm số một biến số thực. ∗ Ta nói hàm f(z) liên tục tại z0 nếu và chỉ nếu lim f(z) = f(z0). z→z0 Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định D của nó. Dễ thấy rằng nếu f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì f liên tục nếu và chỉ nếu các hàm hai biến u(x, y) và v(x, y) là liên tục. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Ta dễ dàng thấy rằng: với z = x + iy, z0 = x0 + y0, l = A + iB, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì lim u(x, y) = A; lim f(z) = l ⇐⇒ (x,y)→(x0,y0) z→z 0 lim(x,y)→(x0,y0) v(x, y) = B.
∗ Ta nói hàm f(z) liên tục tại z0 nếu và chỉ nếu lim f(z) = f(z0). z→z0 Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định D của nó. Dễ thấy rằng nếu f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì f liên tục nếu và chỉ nếu các hàm hai biến u(x, y) và v(x, y) là liên tục. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Ta dễ dàng thấy rằng: với z = x + iy, z0 = x0 + y0, l = A + iB, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì lim u(x, y) = A; lim f(z) = l ⇐⇒ (x,y)→(x0,y0) z→z 0 lim(x,y)→(x0,y0) v(x, y) = B. + Chú ý: Tất cả các kết quả về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống hàm số một biến số thực.
Dễ thấy rằng nếu f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì f liên tục nếu và chỉ nếu các hàm hai biến u(x, y) và v(x, y) là liên tục. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Ta dễ dàng thấy rằng: với z = x + iy, z0 = x0 + y0, l = A + iB, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì lim u(x, y) = A; lim f(z) = l ⇐⇒ (x,y)→(x0,y0) z→z 0 lim(x,y)→(x0,y0) v(x, y) = B. + Chú ý: Tất cả các kết quả về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống hàm số một biến số thực. ∗ Ta nói hàm f(z) liên tục tại z0 nếu và chỉ nếu lim f(z) = f(z0). z→z0 Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định D của nó.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 1.Hàm biến phức + Ta dễ dàng thấy rằng: với z = x + iy, z0 = x0 + y0, l = A + iB, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì lim u(x, y) = A; lim f(z) = l ⇐⇒ (x,y)→(x0,y0) z→z 0 lim(x,y)→(x0,y0) v(x, y) = B. + Chú ý: Tất cả các kết quả về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống hàm số một biến số thực. ∗ Ta nói hàm f(z) liên tục tại z0 nếu và chỉ nếu lim f(z) = f(z0). z→z0 Hàm f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định D của nó. Dễ thấy rằng nếu f(z) = u(x, y) + iv(x, y) thì f liên tục nếu và chỉ nếu các hàm hai biến u(x, y) và v(x, y) là liên tục.
Ví dụ: Với f(z) = z2. Ta có : ∆f = f(z + ∆z) - f(z) = (z + ∆z)2 2 2 ∆f 2z∆z+(∆z)2 - z = 2z∆z + (∆z) . Do đó ∆z = ∆z = 2z + ∆z. Và 0 ∆f như vậy f (z) = lim∆z→0 ∆z = lim∆z→0(2z + ∆z) = 2z. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann • Cho w = f(z) là một hàm biến phức xác định trên miền D và z ∈ D. Giả sử với mọi số gia ∆z = ∆x + i∆y, điểm z + ∆z cũng nằm trong D. Ta thiết lập đại lượng f(z + ∆z) − f(z) . ∆z Nếu đại lượng trên có giới hạn khi ∆z tiến đến 0 thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của hàm w = f(z) tại điểm z, và kí hiệu là w0 = f 0(z). Hàm f khi đó cũng gọi là khả vi tại z. 0 f(z+∆z)−f(z) Vậy f (z) = lim∆z→0 ∆z .
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann • Cho w = f(z) là một hàm biến phức xác định trên miền D và z ∈ D. Giả sử với mọi số gia ∆z = ∆x + i∆y, điểm z + ∆z cũng nằm trong D. Ta thiết lập đại lượng f(z + ∆z) − f(z) . ∆z Nếu đại lượng trên có giới hạn khi ∆z tiến đến 0 thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của hàm w = f(z) tại điểm z, và kí hiệu là w0 = f 0(z). Hàm f khi đó cũng gọi là khả vi tại z. 0 f(z+∆z)−f(z) Vậy f (z) = lim∆z→0 ∆z . Ví dụ: Với f(z) = z2. Ta có : ∆f = f(z + ∆z) - f(z) = (z + ∆z)2 2 2 ∆f 2z∆z+(∆z)2 - z = 2z∆z + (∆z) . Do đó ∆z = ∆z = 2z + ∆z. Và 0 ∆f như vậy f (z) = lim∆z→0 ∆z = lim∆z→0(2z + ∆z) = 2z.
Ví dụ: Với f(z) = z2 = x2 − y2 + i.2xy, ta có ( ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂x = 2x = ∂y ; ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂y = −2y = − ∂x . do đó hàm khả vi tại mọi điểm và f 0(z) = 2x + i2y = 2z. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann • Ta dễ thiết lập được rằng: Nếu hàm phức w =f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại z = x + iy thì các hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng tại (x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann sau: ( ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂x = ∂y ; (C − R) ∂u(x,y) ∂v(x,y) . ∂y = − ∂x . Ngược lại, nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w =f(z) khả vi tại z = x + iy và ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) f 0(z) = + i = − i . ∂x ∂x ∂y ∂y
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann • Ta dễ thiết lập được rằng: Nếu hàm phức w =f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại z = x + iy thì các hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng tại (x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann sau: ( ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂x = ∂y ; (C − R) ∂u(x,y) ∂v(x,y) . ∂y = − ∂x . Ngược lại, nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w =f(z) khả vi tại z = x + iy và ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) f 0(z) = + i = − i . ∂x ∂x ∂y ∂y Ví dụ: Với f(z) = z2 = x2 − y2 + i.2xy, ta có ( ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂x = 2x = ∂y ; ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂y = −2y = − ∂x . do đó hàm khả vi tại mọi điểm và f 0(z) = 2x + i2y = 2z.
• Hàm f(z) gọi là giải tích tại điểm z nếu f 0(z) không chỉ tồn tại tại z mà còn tồn tại tại mọi điểm của một lân cận nào đó của z. Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm của một miền D nào đó thì ta nói f(z) giải tích trên D. • Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm của hàm thực vẫn còn đúng cho hàm biến phức. Cụ thể là: Với các hàm f(z), g(z), u(z), (f(z) ± g(z))0 = f 0(z) ± g0(z); (f(z)g(z))0 = f 0(z)g(z) + f(z)g0(z); 0 f(z) f 0(z)g(z)−f(z)g0(z) g(z) = (g(z))2 (g(z) 6= 0); (f(u(z)))0 = f 0(u).u0(z). Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann ∂u(x,y) ∂v(x,y) Ví dụ: với f(z) =z ¯ = x − i.y. Ta có ∂x = 1, ∂y = −1. Do đó hàm không khả vi tại bất kì điểm nào.
• Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm của hàm thực vẫn còn đúng cho hàm biến phức. Cụ thể là: Với các hàm f(z), g(z), u(z), (f(z) ± g(z))0 = f 0(z) ± g0(z); (f(z)g(z))0 = f 0(z)g(z) + f(z)g0(z); 0 f(z) f 0(z)g(z)−f(z)g0(z) g(z) = (g(z))2 (g(z) 6= 0); (f(u(z)))0 = f 0(u).u0(z). Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann ∂u(x,y) ∂v(x,y) Ví dụ: với f(z) =z ¯ = x − i.y. Ta có ∂x = 1, ∂y = −1. Do đó hàm không khả vi tại bất kì điểm nào. • Hàm f(z) gọi là giải tích tại điểm z nếu f 0(z) không chỉ tồn tại tại z mà còn tồn tại tại mọi điểm của một lân cận nào đó của z. Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm của một miền D nào đó thì ta nói f(z) giải tích trên D.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann ∂u(x,y) ∂v(x,y) Ví dụ: với f(z) =z ¯ = x − i.y. Ta có ∂x = 1, ∂y = −1. Do đó hàm không khả vi tại bất kì điểm nào. • Hàm f(z) gọi là giải tích tại điểm z nếu f 0(z) không chỉ tồn tại tại z mà còn tồn tại tại mọi điểm của một lân cận nào đó của z. Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm của một miền D nào đó thì ta nói f(z) giải tích trên D. • Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm của hàm thực vẫn còn đúng cho hàm biến phức. Cụ thể là: Với các hàm f(z), g(z), u(z), (f(z) ± g(z))0 = f 0(z) ± g0(z); (f(z)g(z))0 = f 0(z)g(z) + f(z)g0(z); 0 f(z) f 0(z)g(z)−f(z)g0(z) g(z) = (g(z))2 (g(z) 6= 0); (f(u(z)))0 = f 0(u).u0(z).
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 2. Hàm khả vi. Phương trình Cauchy-Riemann Bài tập: 1) Tìm những điểm mà tại đó hàm sau có đạo hàm. a) f(z) = z10; b) f(z) = z−5; c) f(z) = x2 − y2 − 2xy + i(2xy + x2 − y2); d) f(z) = ex cos y − iex sin y. 2) Tìm những điểm mà tại đó hàm sau giải tích. a) f(z) = 2z2 + 3. b) f(z) = z + z−1; i 2 2 c) f(z) = −xy + 2 (x − y ); d) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3). 3) Tìm hàm phức giải tích f(z) = u(x, y) + iv(x, y) biết a) u(x, y) = x3 − 3xy2 + 2y; b) v(x, y) = 6x2y2 − x4 − y4 + y − x + 1; c) u(x, y, z) = x2 − y2 + 2x; d) v(x, y) = 2xy + 3x + 1; e) v(x, y, z) = ex(y cos y + x sin y) + x + y.
√ • Hàm căn w = f(z) = n z. Hàm căn là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n. Hàm căn là hàm đa trị. • Hàm mũ w = f(z) = ez. Khi định nghĩa hàm mũ này ta muốn hàm có các tính chất sau (i) ez qui về ex nếu z là số thực; (ii) ez là hàm giải tích với mọi z. Ta định nghĩa: với z = x + iy, ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). Dễ dàng kiểm tra được w = f(z) = ez có hai tính chất trên. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa w = f(z) = zn(n ≥ 2). + Hàm xác định và giải tích với mọi z. + Đạo hàm: f 0(z) = nzn−1. + Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì f(z) = rn(cos nϕ + i sin nϕ).
• Hàm mũ w = f(z) = ez. Khi định nghĩa hàm mũ này ta muốn hàm có các tính chất sau (i) ez qui về ex nếu z là số thực; (ii) ez là hàm giải tích với mọi z. Ta định nghĩa: với z = x + iy, ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). Dễ dàng kiểm tra được w = f(z) = ez có hai tính chất trên. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa w = f(z) = zn(n ≥ 2). + Hàm xác định và giải tích với mọi z. + Đạo hàm: f 0(z) = nzn−1. + Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì f(z) = rn(cos nϕ + i sin nϕ). √ • Hàm căn w = f(z) = n z. Hàm căn là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n. Hàm căn là hàm đa trị.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa w = f(z) = zn(n ≥ 2). + Hàm xác định và giải tích với mọi z. + Đạo hàm: f 0(z) = nzn−1. + Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì f(z) = rn(cos nϕ + i sin nϕ). √ • Hàm căn w = f(z) = n z. Hàm căn là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n. Hàm căn là hàm đa trị. • Hàm mũ w = f(z) = ez. Khi định nghĩa hàm mũ này ta muốn hàm có các tính chất sau (i) ez qui về ex nếu z là số thực; (ii) ez là hàm giải tích với mọi z. Ta định nghĩa: với z = x + iy, ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). Dễ dàng kiểm tra được w = f(z) = ez có hai tính chất trên.
• Các hàm lượng giác Ta định nghĩa: eiz−e−iz sin z = 2i ; eiz+e−iz cos z = 2 ; sin z π tan z = cos z (z 6= (2k + 1) 2 ); cos z cot z = sin z (z 6= 2kπ). Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản + Ta có: (ez)0 = ez. + Nếu g(z) là một hàm giải tích thì: (eg(z))0 = eg(z)g0(z). + (ez)m = emz. z e 1 z1−z2 + ez2 = e . + |ez| = ex (x = Rez). + argez = y + 2kπ (k = 0, ±1, ). + Đặc biệt ta có: eiπ + 1 = 0.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản + Ta có: (ez)0 = ez. + Nếu g(z) là một hàm giải tích thì: (eg(z))0 = eg(z)g0(z). + (ez)m = emz. z e 1 z1−z2 + ez2 = e . + |ez| = ex (x = Rez). + argez = y + 2kπ (k = 0, ±1, ). + Đặc biệt ta có: eiπ + 1 = 0. • Các hàm lượng giác Ta định nghĩa: eiz−e−iz sin z = 2i ; eiz+e−iz cos z = 2 ; sin z π tan z = cos z (z 6= (2k + 1) 2 ); cos z cot z = sin z (z 6= 2kπ).
• Các hàm lượng giác hypebolic phức Ta định nghĩa: ez−e−z ez+e−z sinh z = 2 ; cosh z = 2 ; sinh z cosh z tanh z = cosh z ; coth z = sinh z . Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Sinh viên kiểm tra các tính chất sau: (a) Các hàm sin z, cos z tuần hoàn với chu kì 2π; Các hàm tan z, cot z tuần hoàn với chu kì π; (b) sin2 z + cos2 z = 1; (c) sin(z1 ± z2) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2; (d) cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2; (e) (sin z)0 = cos z; (f) (cos z)0 = − sin z; 0 1 0 1 (g) (tan z) = (cos z)2 ; (h) (cot z) = − (sin z)2 . (k) Các hàm sin z, cos z giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức.
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Sinh viên kiểm tra các tính chất sau: (a) Các hàm sin z, cos z tuần hoàn với chu kì 2π; Các hàm tan z, cot z tuần hoàn với chu kì π; (b) sin2 z + cos2 z = 1; (c) sin(z1 ± z2) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2; (d) cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2; (e) (sin z)0 = cos z; (f) (cos z)0 = − sin z; 0 1 0 1 (g) (tan z) = (cos z)2 ; (h) (cot z) = − (sin z)2 . (k) Các hàm sin z, cos z giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức. • Các hàm lượng giác hypebolic phức Ta định nghĩa: ez−e−z ez+e−z sinh z = 2 ; cosh z = 2 ; sinh z cosh z tanh z = cosh z ; coth z = sinh z .
• Hàm lô-ga-rit w = ln z Hàm lô-ga-rit w = ln z là một hàm đa trị, được xác định như sau w = ln z = ln |z| + iargz = ln |z| + i(Argz + k2π). Hàm lô-ga-rit có vô số giá trị cho mỗi z, các giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau 2kπ. Ứng với mỗi k ta có một nhánh của hàm lô-ga-rit. Nhánh ứng với argument chính gọi là nhánh chính. Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Sinh viên kiểm tra các tính chất sau: (a) sinh z + cosh z = ez; (b) cosh z − sinh z = e−z; (c) sin iz = i sinh z; (d) (cos iz) = cosh z; (e) cosh2 z − sinh2 z = 1; (f) (sinh z)0 = cosh z; 0 0 1 (g) (cosh z) = sinh z; (h) (tanh z) = (cosh z)2 ; 0 1 (k) (coth z) = − (sinh z)2 .
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Sinh viên kiểm tra các tính chất sau: (a) sinh z + cosh z = ez; (b) cosh z − sinh z = e−z; (c) sin iz = i sinh z; (d) (cos iz) = cosh z; (e) cosh2 z − sinh2 z = 1; (f) (sinh z)0 = cosh z; 0 0 1 (g) (cosh z) = sinh z; (h) (tanh z) = (cosh z)2 ; 0 1 (k) (coth z) = − (sinh z)2 . • Hàm lô-ga-rit w = ln z Hàm lô-ga-rit w = ln z là một hàm đa trị, được xác định như sau w = ln z = ln |z| + iargz = ln |z| + i(Argz + k2π). Hàm lô-ga-rit có vô số giá trị cho mỗi z, các giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau 2kπ. Ứng với mỗi k ta có một nhánh của hàm lô-ga-rit. Nhánh ứng với argument chính gọi là nhánh chính.
• Ví dụ-Bài tập. Tính giá trị của i 1 −i 1) a) e3+4i; b) e3−4i; c) ei; d) ee ; e) e 1−i ; f) e−e . 2) a) sin(1 − 2i); b) cos(2 + i); c) tan(2 + i); d) cos(e1+i). iπ iei 3) a) Ln10i; b) Lne 3 ; c) Ln(sinh(1 + i)); d) Ln(e )). Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Hàm lô-ga-rit có các tính chất sau (a) ln(z z ) = ln z + ln z ; (b) ln z1 = ln z − ln z ; 1 2 1 2 z2 1 2 (c) ln zn = n ln z ( n nguyên); (d) ln(−1) = iπ; (e) ln ez = z + i2kπ, k = 0, ±1, ; (f) Các nhánh của hàm lô-ga-rit giải tích trên mặt phẳng phức bỏ đi nửa trục thực âm. (g) Kí hiệu nhánh chính là Lnz = ln |z| + iArgz. Ta có: 1 (Lnz)0 = . z
Toán kĩ thuật §2. Hàm biến phức và phép tính vi phân 3. Các hàm sơ cấp cơ bản Hàm lô-ga-rit có các tính chất sau (a) ln(z z ) = ln z + ln z ; (b) ln z1 = ln z − ln z ; 1 2 1 2 z2 1 2 (c) ln zn = n ln z ( n nguyên); (d) ln(−1) = iπ; (e) ln ez = z + i2kπ, k = 0, ±1, ; (f) Các nhánh của hàm lô-ga-rit giải tích trên mặt phẳng phức bỏ đi nửa trục thực âm. (g) Kí hiệu nhánh chính là Lnz = ln |z| + iArgz. Ta có: 1 (Lnz)0 = . z • Ví dụ-Bài tập. Tính giá trị của i 1 −i 1) a) e3+4i; b) e3−4i; c) ei; d) ee ; e) e 1−i ; f) e−e . 2) a) sin(1 − 2i); b) cos(2 + i); c) tan(2 + i); d) cos(e1+i). iπ iei 3) a) Ln10i; b) Lne 3 ; c) Ln(sinh(1 + i)); d) Ln(e )).
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư §3 Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Giả sử L là đường cong trơn nằm trong miền D với điểm đầu là A, điểm cuối là B, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm biến phức xác định trên D. Chia L bởi n điểm A=z0 = x0 + iy0, z1 = x1 + iy1, , zn = xn + iyn = B sao cho cung z0zi là một phần của cung z0zi+1. Kí hiệu ∆zk = zk − zk−1 và Ln = max1≤k≤n |∆zk|. Chọn ξk = µk + iνk ∈ zk−1zk và lập tổng n X Sn = f(ξk)∆zk. k=1 Nếu khi n → ∞ thì Ln → 0 và n X lim Sn = lim f(ξk)∆zk n→∞ n→∞ k=1 tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ξk, thế thì giới hạn này được gọi là tích phân của f dọc cung L và kí hiệu: Z Z B f(z)dz hay f(z)dz L A
• Sau đây là vài tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa R R + L αf(z)dz = α L f(z)dz với mọi α ∈ C. R R R + L(f1(z) + f2(z))dz = L f1(z)dz + L f2(z)dz. + Nếu L = L ∪ L thì R f(z)dz = R f(z)dz + R f(z)dz. 1 2 L L1 L2 R B R A + A f(z)dz = − B f(z)dz. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta có n n X X Sn = f(ξk)∆zk = [u(µk, νk) + iv(µk, νk)](∆xk + i∆yk) k=1 k=1 n n X X = [u(µk, νk)∆xk−v(µk, νk)∆yk]+i [v(µk, νk)∆xk+u(µk, νk)∆yk]. k=1 k=1 Chuyển qua giới hạn khi n → ∞ ta có: Z Z Z f(z)dz = [ u(x, y)dx−v(x, y)dy]+i[ v(x, y)dx+u(x, y)dy]. (2) L L L
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta có n n X X Sn = f(ξk)∆zk = [u(µk, νk) + iv(µk, νk)](∆xk + i∆yk) k=1 k=1 n n X X = [u(µk, νk)∆xk−v(µk, νk)∆yk]+i [v(µk, νk)∆xk+u(µk, νk)∆yk]. k=1 k=1 Chuyển qua giới hạn khi n → ∞ ta có: Z Z Z f(z)dz = [ u(x, y)dx−v(x, y)dy]+i[ v(x, y)dx+u(x, y)dy]. (2) L L L • Sau đây là vài tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa R R + L αf(z)dz = α L f(z)dz với mọi α ∈ C. R R R + L(f1(z) + f2(z))dz = L f1(z)dz + L f2(z)dz. + Nếu L = L ∪ L thì R f(z)dz = R f(z)dz + R f(z)dz. 1 2 L L1 L2 R B R A + A f(z)dz = − B f(z)dz.
• Ví dụ-Bài tập. Tính các tích phân sau R B 2 a) A (z + 1)dz từ A = 0 + i0 đến B = 1 + i dọc cung y = x . (đs: 1 + 2i). R B 2 2 b) A z dz từ A = 0 + i đến B = 1 + 2i dọc cung y = x + 1 3 10 (đs: 5 − i 3 ) R B 2 2 c) A z dz từ A = 1 + i đến B = 2 + 4i dọc cung y = x 86 (đs: − 3 − 6i). Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức R R + | L f(z)dz| ≤ L |f(z)|dz. Đặc biệt nếu M = sup(z∈L |f(z)| thì Z | f(z)dz| ≤ M`(L), L trong đó `(L) là độ dài cung L. Khi A ≡ B, tức L là đường cong kín thì, nếu không nói gì khác, ta qui ước lấy tích phân theo chiều dương. Tích phân khi đó được H kí hiệu là L f(z)dz.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức R R + | L f(z)dz| ≤ L |f(z)|dz. Đặc biệt nếu M = sup(z∈L |f(z)| thì Z | f(z)dz| ≤ M`(L), L trong đó `(L) là độ dài cung L. Khi A ≡ B, tức L là đường cong kín thì, nếu không nói gì khác, ta qui ước lấy tích phân theo chiều dương. Tích phân khi đó được H kí hiệu là L f(z)dz. • Ví dụ-Bài tập. Tính các tích phân sau R B 2 a) A (z + 1)dz từ A = 0 + i0 đến B = 1 + i dọc cung y = x . (đs: 1 + 2i). R B 2 2 b) A z dz từ A = 0 + i đến B = 1 + 2i dọc cung y = x + 1 3 10 (đs: 5 − i 3 ) R B 2 2 c) A z dz từ A = 1 + i đến B = 2 + 4i dọc cung y = x 86 (đs: − 3 − 6i).
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Với L là đường cong kín, từ công thức (2) ta có I I I f(z)dz = [ u(x, y)dx−v(x, y)dy]+i[ v(x, y)dx+u(x, y)dy]. L L L Khi f là hàm giải tích trong miền D có biên là L thì ta có phương trình Cauchy-Riemann : ( ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂x = ∂y ; (C − R) ∂u(x,y) ∂v(x,y) . ∂y = − ∂x . Từ phương trình (C-R) và định li Green suy ra I ZZ ∂v(x, y) ∂u(x, y) u(x, y)dx−v(x, y)dy = − − dxdy = 0 L D ∂x ∂y I ZZ ∂u(x, y) ∂v(x, y) v(x, y)dx + u(x, y)dy = − dxdy = 0. L D ∂x ∂y Do đó I f(z)dz = 0. L
Hệ quả là: Cho D là miền đa liên có biên ngoài là Γ và các biên trong là Γ1, Γ2, , Γn. Nếu f(z) là hàm giải tích trong D và giải tích trên các biên của D thì H f(z)dz = Pn H f(z)dz. Đặc Γ k=1 Γk biệt nếu D được giới hạn bởi hai đường cong kín Γ1 và Γ2 thì H f(z)dz = H f(z)dz. Γ1 Γ2 Thật vậy, Cắt D theo các lát cắt nối Γ, Γ1, Γ2, , Γn ta được một miền đơn liên.Tích phân trên biên của miền này bằng 0. Chú ý rằng tích phân trên đường nối Γ với Γ1, Γ2, , Γn được lấy hai lần ngược chiều nhau, vì vậy tích phân trên biên bằng: H f(z)dz − Pn H f(z)dz = 0. Γ k=1 Γk Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức Vậy (Định lí Cauchy-Goursat):Nếu L là đường cong kín (đơn giản), H f(z) là hàm giải tích trong miền D có biên là L thì L f(z)dz = 0.
Thật vậy, Cắt D theo các lát cắt nối Γ, Γ1, Γ2, , Γn ta được một miền đơn liên.Tích phân trên biên của miền này bằng 0. Chú ý rằng tích phân trên đường nối Γ với Γ1, Γ2, , Γn được lấy hai lần ngược chiều nhau, vì vậy tích phân trên biên bằng: H f(z)dz − Pn H f(z)dz = 0. Γ k=1 Γk Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức Vậy (Định lí Cauchy-Goursat):Nếu L là đường cong kín (đơn giản), H f(z) là hàm giải tích trong miền D có biên là L thì L f(z)dz = 0. Hệ quả là: Cho D là miền đa liên có biên ngoài là Γ và các biên trong là Γ1, Γ2, , Γn. Nếu f(z) là hàm giải tích trong D và giải tích trên các biên của D thì H f(z)dz = Pn H f(z)dz. Đặc Γ k=1 Γk biệt nếu D được giới hạn bởi hai đường cong kín Γ1 và Γ2 thì H f(z)dz = H f(z)dz. Γ1 Γ2
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức Vậy (Định lí Cauchy-Goursat):Nếu L là đường cong kín (đơn giản), H f(z) là hàm giải tích trong miền D có biên là L thì L f(z)dz = 0. Hệ quả là: Cho D là miền đa liên có biên ngoài là Γ và các biên trong là Γ1, Γ2, , Γn. Nếu f(z) là hàm giải tích trong D và giải tích trên các biên của D thì H f(z)dz = Pn H f(z)dz. Đặc Γ k=1 Γk biệt nếu D được giới hạn bởi hai đường cong kín Γ1 và Γ2 thì H f(z)dz = H f(z)dz. Γ1 Γ2 Thật vậy, Cắt D theo các lát cắt nối Γ, Γ1, Γ2, , Γn ta được một miền đơn liên.Tích phân trên biên của miền này bằng 0. Chú ý rằng tích phân trên đường nối Γ với Γ1, Γ2, , Γn được lấy hai lần ngược chiều nhau, vì vậy tích phân trên biên bằng: H f(z)dz − Pn H f(z)dz = 0. Γ k=1 Γk
Từ nguyên lí này ta rút ra rằng: Khi tính tích phân R z2 f(z)dz ta z1 cố gắng chọn cung nối z1 và z2 sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất có thể được. • Ví dụ-Bài tập. Tính các tích phân sau H n a) L z dz, L là đường cong kín bao quanh gốc O. H dz b) L z , L là hình vuông có các đỉnh (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). H cos z c) L z+2 dz, L là đường tròn |z| = 1. H dz d) L 1−ez dz, L là đường tròn |z| = 3. H dz e) L z−1−i dz, L là hình vuông có các đỉnh tại z = 0, 3i, 3, 3 + 3i. H dz f) L (z+1+i)5 dz, L là hình vuông có các đỉnh z = 0, 3i, 3, 3 + 3i. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Từ định lí Cauchy-Goursat ta suy ra nguyên lí không phụ thuộc đường lấy tích phân sau: Cho f(z) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D, z , z ∈ D. Khi đó tích phân R z2 f(z)dz không phụ 1 2 z1 thuộc vào cung (nằm trong D) nối z1 và z2.
• Ví dụ-Bài tập. Tính các tích phân sau H n a) L z dz, L là đường cong kín bao quanh gốc O. H dz b) L z , L là hình vuông có các đỉnh (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). H cos z c) L z+2 dz, L là đường tròn |z| = 1. H dz d) L 1−ez dz, L là đường tròn |z| = 3. H dz e) L z−1−i dz, L là hình vuông có các đỉnh tại z = 0, 3i, 3, 3 + 3i. H dz f) L (z+1+i)5 dz, L là hình vuông có các đỉnh z = 0, 3i, 3, 3 + 3i. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Từ định lí Cauchy-Goursat ta suy ra nguyên lí không phụ thuộc đường lấy tích phân sau: Cho f(z) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D, z , z ∈ D. Khi đó tích phân R z2 f(z)dz không phụ 1 2 z1 thuộc vào cung (nằm trong D) nối z1 và z2. Từ nguyên lí này ta rút ra rằng: Khi tính tích phân R z2 f(z)dz ta z1 cố gắng chọn cung nối z1 và z2 sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất có thể được.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Từ định lí Cauchy-Goursat ta suy ra nguyên lí không phụ thuộc đường lấy tích phân sau: Cho f(z) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D, z , z ∈ D. Khi đó tích phân R z2 f(z)dz không phụ 1 2 z1 thuộc vào cung (nằm trong D) nối z1 và z2. Từ nguyên lí này ta rút ra rằng: Khi tính tích phân R z2 f(z)dz ta z1 cố gắng chọn cung nối z1 và z2 sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất có thể được. • Ví dụ-Bài tập. Tính các tích phân sau H n a) L z dz, L là đường cong kín bao quanh gốc O. H dz b) L z , L là hình vuông có các đỉnh (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). H cos z c) L z+2 dz, L là đường tròn |z| = 1. H dz d) L 1−ez dz, L là đường tròn |z| = 3. H dz e) L z−1−i dz, L là hình vuông có các đỉnh tại z = 0, 3i, 3, 3 + 3i. H dz f) L (z+1+i)5 dz, L là hình vuông có các đỉnh z = 0, 3i, 3, 3 + 3i.
Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz. Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0 Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu. Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D). 3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z).
Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0 Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu. Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D). 3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z). Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz.
Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu. Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D). 3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z). Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz. Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0
Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D). 3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z). Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz. Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0 Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu.
3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z). Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz. Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0 Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu. Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D).
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Ta nói rằng: hàm F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) nếu F 0(z) = f(z). Dễ thấy nếu F (z) là một nguyên hàm của hàm f(z) thì F (z) + C (C là hằng số phức) cũng là một nguyên hàm của f(z). Vậy hàm f(z) có vô số nguyên hàm. Tập các nguyên hàm của f(z) ta kí hiệu là R f(z)dz. Có thể kiểm tra được rằng nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và z ∈ D thì R z f(z)dz là một nguyên hàm của f(z). 0 z0 Chú ý rằng công thức tích phân từng phần trong giải tích thực vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức: R udv = uv − R vdu. Chú ý hơn nữa rằng ta cũng có công thức Newton-Lepnitz: nếu f(z) có một nguyên hàm F (z) giải tích trong miền D thì với mọi z , z ∈ D ta có R z2 f(z)dz = F (z ) − F (z ) (tích phân lấy dọc 1 2 z0 1 2 theo cung nối z1 và z2 mà nằm trong D). 3 2+2i Ví dụ: R 2+2i z2dz = z = 1 [(2 + 2i)3 - (1 + i)3]. 1+i 3 1+i 3
Ví dụ: 1) Cho C là tam giác với các đỉnh (0,0), (2,-2), (2,2). H cos z H cos z a) Tính C z−1 dz (= 2πi cos 1), b)Tính C z+1 dz (= 0). H cos z 2) Tính C (z−i)(z+i) dz với a) C: |z − 2i| = 2; b) C: |z − 2i| = 4. cos z Ta có: a) H cos z dz = H (z+i) dz = 2πi cos z = π cos i. C (z−i)(z+i) C (z−i) (z+i) z=i H cos z 1 H 1 1 1 H cos z H cos z b) C (z−i)(z+i) dz = 2i C( z−i − z+i ) cos zdz = 2i [ C z−i dz− C z+i )dz] h i 1 1 = 2i 2πi cos z − 2πi cos z = 2i [2πi cos i − 2πi cos(−i)] = 0. z=i z=−i Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D có biên là C và z0 ∈ D. Thế thì 1 I f(z) f(z0) = dz, 2πi C z − z0 hoặc tương đương I f(z) dz = 2πif(z0). C z − z0 Công thức này được gọi là công thức tích phân Cauchy.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D có biên là C và z0 ∈ D. Thế thì 1 I f(z) f(z0) = dz, 2πi C z − z0 hoặc tương đương I f(z) dz = 2πif(z0). C z − z0 Công thức này được gọi là công thức tích phân Cauchy. Ví dụ: 1) Cho C là tam giác với các đỉnh (0,0), (2,-2), (2,2). H cos z H cos z a) Tính C z−1 dz (= 2πi cos 1), b)Tính C z+1 dz (= 0). H cos z 2) Tính C (z−i)(z+i) dz với a) C: |z − 2i| = 2; b) C: |z − 2i| = 4. cos z Ta có: a) H cos z dz = H (z+i) dz = 2πi cos z = π cos i. C (z−i)(z+i) C (z−i) (z+i) z=i H cos z 1 H 1 1 1 H cos z H cos z b) C (z−i)(z+i) dz = 2i C( z−i − z+i ) cos zdz = 2i [ C z−i dz− C z+i )dz] h i 1 1 = 2i 2πi cos z − 2πi cos z = 2i [2πi cos i − 2πi cos(−i)] = 0. z=i z=−i
H z3+2z+1 Ví dụ: 1) Tính C (z−1)3 dz với C: |z| = 2. 3 H z +2z+1 2πi 3 Ta có: (z−1)3 dz = 2! (z + 2z + 1)” = πi(6z) = 6πi. C z=1 z=1 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Mở rộng công thức tích phân cauchy ta có: Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D có biên là C và z0 ∈ D. Nếu f có các đạo hàm đến cấp n trên D và các đạo hàm này là nhưng hàm giải tích trên D thì I (n) n! f(z) f (z0) = n+1 dz, 2πi C (z − z0) hoặc tương đương I f(z) 2πi (n) n+1 dz = f (z0). C (z − z0) n! Công thức này được gọi là công thức tích phân Cauchy mở rộng.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức • Mở rộng công thức tích phân cauchy ta có: Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D có biên là C và z0 ∈ D. Nếu f có các đạo hàm đến cấp n trên D và các đạo hàm này là nhưng hàm giải tích trên D thì I (n) n! f(z) f (z0) = n+1 dz, 2πi C (z − z0) hoặc tương đương I f(z) 2πi (n) n+1 dz = f (z0). C (z − z0) n! Công thức này được gọi là công thức tích phân Cauchy mở rộng. H z3+2z+1 Ví dụ: 1) Tính C (z−1)3 dz với C: |z| = 2. 3 H z +2z+1 2πi 3 Ta có: (z−1)3 dz = 2! (z + 2z + 1)” = πi(6z) = 6πi. C z=1 z=1
H cos z 3) Tính C (z+1)z2 dz với C: |z − 1| = 3. H cos z H 1 1 1 H cos z Ta có: C (z+1)z2 dz = C cos z − z + z2 + z+1 dz = − C z dz + H cos z dz + H cos z dz = −2πi(cos z) + 2πi(cos z)0 + C z2 C z+1 z=0 z=0 2πi(cos z) = 2πi(−1 + cos 1). z=1 • Bài tập. Tính các tích phân sau H dz x2 y2 1) C (z−2)ez với C: 9 + 16 = 1 , H cos z+sin z x2 y2 2) C (z2+25)(z+1) dz với C: 9 + 16 = 1 , H sinh z 2 2 3) C z2(z+1) dz với C: (x − 1) + (y − 1) = 1 , Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức H cos z 2) Tính C (z−1)3(z−5)2 dz với C: |z − 4| = 2. cos z 0 H cos z H (z−1)3 2πi cos z Ta có: 3 2 dz = 2 dz = 3 C (z−1) (z−5) C (z−5) 1! (z−1) z=5 πi = − 2 (4 sin 5 + 3 cos 5).
• Bài tập. Tính các tích phân sau H dz x2 y2 1) C (z−2)ez với C: 9 + 16 = 1 , H cos z+sin z x2 y2 2) C (z2+25)(z+1) dz với C: 9 + 16 = 1 , H sinh z 2 2 3) C z2(z+1) dz với C: (x − 1) + (y − 1) = 1 , Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức H cos z 2) Tính C (z−1)3(z−5)2 dz với C: |z − 4| = 2. cos z 0 H cos z H (z−1)3 2πi cos z Ta có: 3 2 dz = 2 dz = 3 C (z−1) (z−5) C (z−5) 1! (z−1) z=5 πi = − 2 (4 sin 5 + 3 cos 5). H cos z 3) Tính C (z+1)z2 dz với C: |z − 1| = 3. H cos z H 1 1 1 H cos z Ta có: C (z+1)z2 dz = C cos z − z + z2 + z+1 dz = − C z dz + H cos z dz + H cos z dz = −2πi(cos z) + 2πi(cos z)0 + C z2 C z+1 z=0 z=0 2πi(cos z) = 2πi(−1 + cos 1). z=1
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức H cos z 2) Tính C (z−1)3(z−5)2 dz với C: |z − 4| = 2. cos z 0 H cos z H (z−1)3 2πi cos z Ta có: 3 2 dz = 2 dz = 3 C (z−1) (z−5) C (z−5) 1! (z−1) z=5 πi = − 2 (4 sin 5 + 3 cos 5). H cos z 3) Tính C (z+1)z2 dz với C: |z − 1| = 3. H cos z H 1 1 1 H cos z Ta có: C (z+1)z2 dz = C cos z − z + z2 + z+1 dz = − C z dz + H cos z dz + H cos z dz = −2πi(cos z) + 2πi(cos z)0 + C z2 C z+1 z=0 z=0 2πi(cos z) = 2πi(−1 + cos 1). z=1 • Bài tập. Tính các tích phân sau H dz x2 y2 1) C (z−2)ez với C: 9 + 16 = 1 , H cos z+sin z x2 y2 2) C (z2+25)(z+1) dz với C: 9 + 16 = 1 , H sinh z 2 2 3) C z2(z+1) dz với C: (x − 1) + (y − 1) = 1 ,
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 1. Tích phân phức H sin(ez+cos z) x2 2 4) C (z−1)2(z+3) dz với C: 2 + y = 1 , H e3z x2 2 5) C (z−2i)(z−1)2 dz với C: 2 + y = 1 , H cos(2z) 6) C z20 dz với C: |z| = 1 , H cos(2z) 7) C z21 dz với C: |z| = 1 , H dz 8) C ez(z2−1) với C là hinh vuông có các đỉnh tại ±2, ±2i, H Lnz 9) C z2−z+1/2 dz với C: |z − 1| = 8/9 , H dz 10) C ez(z2−1) với C là hình vuông có các đỉnh tại ±2, ±2i, 11)Cho D là miền đa liên với biên ngoài là C0, các biên trong là C1, C2, , Cn. Cho f(z) là hàm giải tích trên D và trên các biên của nó. Gọi z0 ∈ D. Chứng minh công thức cauchy cho miền đa liên: n 1 I f(z) X 1 I f(z) dz = f(z ) + dz. 2πi z − z 0 2πi z − z C0 0 i=1 Ci 0
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent
Bằng cách đặt ξ = z − z0 ta có thể đưa chuỗi trên về dạng sau: ∞ X n 2 n (4) cnz = c0 + c1z + c2z + + cnz + n=0 Chuỗi (3) (tương ứng chuỗi (4)) gọi là hội tụ tại a ∈ C nếu chuỗi P∞ n P∞ n số n=0 cn(a − z0) (t.ư, n=0 cna ) hội tụ tức là tồn tại giới Pn k Pn k hạn limn→∞ k=0 ck(a − z0) (t.ư, limn→∞ k=0 cka ) . Ngược lại thì chuỗi gọi là phân kì. P∞ n Pn k 1−zn Ví dụ: Chuỗi cấp số nhân n=0 z có tổng riêng Sn = k=0 z = 1−z P∞ n 1 (z 6= 1), do đó n=0 z = 1−z nếu |z| < 1 và phân kì nếu |z| ≥ 1. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Tổng hình thức ∞ X n 2 n (3) cn(z−z0) = c0+c1(z−z0)+c2(z−z0) + cn(z−z0) + n=0 ở đây cn, z, z0 ∈ C được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm z0.
Chuỗi (3) (tương ứng chuỗi (4)) gọi là hội tụ tại a ∈ C nếu chuỗi P∞ n P∞ n số n=0 cn(a − z0) (t.ư, n=0 cna ) hội tụ tức là tồn tại giới Pn k Pn k hạn limn→∞ k=0 ck(a − z0) (t.ư, limn→∞ k=0 cka ) . Ngược lại thì chuỗi gọi là phân kì. P∞ n Pn k 1−zn Ví dụ: Chuỗi cấp số nhân n=0 z có tổng riêng Sn = k=0 z = 1−z P∞ n 1 (z 6= 1), do đó n=0 z = 1−z nếu |z| < 1 và phân kì nếu |z| ≥ 1. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Tổng hình thức ∞ X n 2 n (3) cn(z−z0) = c0+c1(z−z0)+c2(z−z0) + cn(z−z0) + n=0 ở đây cn, z, z0 ∈ C được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm z0. Bằng cách đặt ξ = z − z0 ta có thể đưa chuỗi trên về dạng sau: ∞ X n 2 n (4) cnz = c0 + c1z + c2z + + cnz + n=0
P∞ n Pn k 1−zn Ví dụ: Chuỗi cấp số nhân n=0 z có tổng riêng Sn = k=0 z = 1−z P∞ n 1 (z 6= 1), do đó n=0 z = 1−z nếu |z| < 1 và phân kì nếu |z| ≥ 1. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Tổng hình thức ∞ X n 2 n (3) cn(z−z0) = c0+c1(z−z0)+c2(z−z0) + cn(z−z0) + n=0 ở đây cn, z, z0 ∈ C được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm z0. Bằng cách đặt ξ = z − z0 ta có thể đưa chuỗi trên về dạng sau: ∞ X n 2 n (4) cnz = c0 + c1z + c2z + + cnz + n=0 Chuỗi (3) (tương ứng chuỗi (4)) gọi là hội tụ tại a ∈ C nếu chuỗi P∞ n P∞ n số n=0 cn(a − z0) (t.ư, n=0 cna ) hội tụ tức là tồn tại giới Pn k Pn k hạn limn→∞ k=0 ck(a − z0) (t.ư, limn→∞ k=0 cka ) . Ngược lại thì chuỗi gọi là phân kì.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Tổng hình thức ∞ X n 2 n (3) cn(z−z0) = c0+c1(z−z0)+c2(z−z0) + cn(z−z0) + n=0 ở đây cn, z, z0 ∈ C được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm z0. Bằng cách đặt ξ = z − z0 ta có thể đưa chuỗi trên về dạng sau: ∞ X n 2 n (4) cnz = c0 + c1z + c2z + + cnz + n=0 Chuỗi (3) (tương ứng chuỗi (4)) gọi là hội tụ tại a ∈ C nếu chuỗi P∞ n P∞ n số n=0 cn(a − z0) (t.ư, n=0 cna ) hội tụ tức là tồn tại giới Pn k Pn k hạn limn→∞ k=0 ck(a − z0) (t.ư, limn→∞ k=0 cka ) . Ngược lại thì chuỗi gọi là phân kì. P∞ n Pn k 1−zn Ví dụ: Chuỗi cấp số nhân n=0 z có tổng riêng Sn = k=0 z = 1−z P∞ n 1 (z 6= 1), do đó n=0 z = 1−z nếu |z| < 1 và phân kì nếu |z| ≥ 1.
Từ kết quả này suy ra tồn tại số thực R ≥ 0 sao cho chuỗi (4) hội tụ trong hình tròn |z| |b|.
Người ta chứng tỏ được rằng: nếu ρ = lim |cn+1| hoặc n→∞ |cn| pn ρ = limn→∞ |cn| thì  0, ρ = ∞  1 R = ρ , 0 |b|. Từ kết quả này suy ra tồn tại số thực R ≥ 0 sao cho chuỗi (4) hội tụ trong hình tròn |z| < R và phân kì ngoài hình tròn này. Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (4).
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Định lí Abel khẳng định rằng: Nếu chuỗi (4) hội tụ tại a thì nó hội P∞ n tụ tuyệt đối (tức chuỗi n=0 |cnz | hội tụ) tại mọi điểm trong hình tròn |z| |b|. Từ kết quả này suy ra tồn tại số thực R ≥ 0 sao cho chuỗi (4) hội tụ trong hình tròn |z| < R và phân kì ngoài hình tròn này. Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (4). Người ta chứng tỏ được rằng: nếu ρ = lim |cn+1| hoặc n→∞ |cn| pn ρ = limn→∞ |cn| thì  0, ρ = ∞  1 R = ρ , 0 < ρ < ∞ .  ∞, ρ = 0 P∞ n Hơn nữa, nếu (4) có bán kính hội tụ R, thì f(z) = n=0 cnz là một hàm giải tích trong hình tròn |z| < R, có đạo hàm f 0(z)= P∞ n−1 P∞ cn n+1 n=1 ncnz và có một nguyên hàm là F (z) = n=1 n+1 z .
Chuỗi Taylor tại z0 = 0 gọi là chuỗi Maclaurin. vậy khai triển Maclaurin của f(z) là ∞ X f (n)(0) f(z) = zn, |z| < R. n! n=0 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Định lí Taylor khẳng định rằng: nếu f(z) giải tích trong hình tròn tâm z0, bán kính R, thế thì tồn tại một chuỗi lũy thừa P∞ n n=0 cn(z − z0) hội tụ đến f(z) trong hình tròn đó, nghĩa là ∞ X n f(z) = cn(z − z0) , |z − z0| < R, n=0 (n) f (z0) ở đây cn = n! . Chuỗi này được gọi là chuỗi khai triển Taylor của f(z) tại z0.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Định lí Taylor khẳng định rằng: nếu f(z) giải tích trong hình tròn tâm z0, bán kính R, thế thì tồn tại một chuỗi lũy thừa P∞ n n=0 cn(z − z0) hội tụ đến f(z) trong hình tròn đó, nghĩa là ∞ X n f(z) = cn(z − z0) , |z − z0| < R, n=0 (n) f (z0) ở đây cn = n! . Chuỗi này được gọi là chuỗi khai triển Taylor của f(z) tại z0. Chuỗi Taylor tại z0 = 0 gọi là chuỗi Maclaurin. vậy khai triển Maclaurin của f(z) là ∞ X f (n)(0) f(z) = zn, |z| < R. n! n=0
eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! .
0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! .
1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1,
1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z ,
1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z ,
1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z ,
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Ví dụ. + Với hàm f(z) = ez ta có: với mọi n, f (n)(z) = ez, do đó f (n)(0) = 1. Vậy khai triển Maclaurin của ez là z z z2 zn P∞ zn e = 1 + 1! + 2! + + n! + = n=0 n! . eiz+e−iz 1 P∞ (iz)n P∞ (−iz)n + Ta có: cos z = 2 = 2 n=0 n! + n=0 n! = 1 P∞ [1+(−1)n](iz)n P∞ i2kz2k P∞ n z2n = 2 n=0 n! = k=0 (2k)! := n=0(−1) (2n)! . 0 0 P∞ k z2k P∞ k z2k−1 + sin z = (cos z) = k=0(−1) (2k)! = k=1(−1) (2k−1)! P∞ n z2n+1 = n=0(−1) (2n+1)! . Ta có vài khai triển sau: Với |z| < 1, 1 2 n P∞ n 1−z = 1 + z + z + + z + = n=0 z , 1 2 3 n n P∞ n n 1+z = 1 − z + z − z + + (−1) z + = n=0(−1) z , 1 n P∞ n (1−z)2 = 1 + 2z + + (n + 1)z + = n=0(n + 1)z , 1 n n P∞ n n (1+z)2 = 1−2z + +(−1) (n+1)z + = n=0(−1) (n+1)z .
Khai triển Taylor của f(z) tại không điểm a có dạng ∞ X f k(a) f(z) = (z − a)k. k! k=n f k(a) Số tự nhiên n bé nhất sao cho cn = k! 6= 0 được gọi là cấp của không điểm a. Nếu n là cấp của không điểm a thì f(z) = (z − a)nϕ(z), với ϕ(a) = Cn 6= 0, và ϕ(z) giải tích trong một lân cận của a. Ta có các kết quả sau ∗ Cho f(z) giải tích tại a, không đồng nhất bằng 0 trong bất kì lân cận của a. Khi đó, nếu a là không điểm của f(z) thì a là không điểm duy nhất của f(z) trong một lân cận nào đó của a. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f(z) nếu f(a) = 0.
f k(a) Số tự nhiên n bé nhất sao cho cn = k! 6= 0 được gọi là cấp của không điểm a. Nếu n là cấp của không điểm a thì f(z) = (z − a)nϕ(z), với ϕ(a) = Cn 6= 0, và ϕ(z) giải tích trong một lân cận của a. Ta có các kết quả sau ∗ Cho f(z) giải tích tại a, không đồng nhất bằng 0 trong bất kì lân cận của a. Khi đó, nếu a là không điểm của f(z) thì a là không điểm duy nhất của f(z) trong một lân cận nào đó của a. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f(z) nếu f(a) = 0. Khai triển Taylor của f(z) tại không điểm a có dạng ∞ X f k(a) f(z) = (z − a)k. k! k=n
Ta có các kết quả sau ∗ Cho f(z) giải tích tại a, không đồng nhất bằng 0 trong bất kì lân cận của a. Khi đó, nếu a là không điểm của f(z) thì a là không điểm duy nhất của f(z) trong một lân cận nào đó của a. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f(z) nếu f(a) = 0. Khai triển Taylor của f(z) tại không điểm a có dạng ∞ X f k(a) f(z) = (z − a)k. k! k=n f k(a) Số tự nhiên n bé nhất sao cho cn = k! 6= 0 được gọi là cấp của không điểm a. Nếu n là cấp của không điểm a thì f(z) = (z − a)nϕ(z), với ϕ(a) = Cn 6= 0, và ϕ(z) giải tích trong một lân cận của a.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent • Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f(z) nếu f(a) = 0. Khai triển Taylor của f(z) tại không điểm a có dạng ∞ X f k(a) f(z) = (z − a)k. k! k=n f k(a) Số tự nhiên n bé nhất sao cho cn = k! 6= 0 được gọi là cấp của không điểm a. Nếu n là cấp của không điểm a thì f(z) = (z − a)nϕ(z), với ϕ(a) = Cn 6= 0, và ϕ(z) giải tích trong một lân cận của a. Ta có các kết quả sau ∗ Cho f(z) giải tích tại a, không đồng nhất bằng 0 trong bất kì lân cận của a. Khi đó, nếu a là không điểm của f(z) thì a là không điểm duy nhất của f(z) trong một lân cận nào đó của a.
∗ Nếu f(z), g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a ∈ D thì f(z) = g(z), ∀z ∈ D. • Khai triển Laurent của hàm f(z) trong tập D tại z0 (tâm tại z0) là khai triển có dạng ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây chuỗi hội tụ đến f(z) trong D . P−1 n −2 −1 Tổng n=−∞ cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) gọi là P∞ n phần chính của chuỗi, và tổng n=0 cn(z − z0) = c0 + c1(z − z0) + ··· gọi là phần đều của chuỗi. z z z z2 zn Ví dụ: + Khai triển Laurent của e là e = 1 + 1! + 2! + + n! + = P∞ zn n=0 n! . Khai triển này chỉ có phần đều. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent ∞ ∗ Hệ quả là: Nếu f(z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=1 sao cho limn→∞ an = a, thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a.
• Khai triển Laurent của hàm f(z) trong tập D tại z0 (tâm tại z0) là khai triển có dạng ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây chuỗi hội tụ đến f(z) trong D . P−1 n −2 −1 Tổng n=−∞ cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) gọi là P∞ n phần chính của chuỗi, và tổng n=0 cn(z − z0) = c0 + c1(z − z0) + ··· gọi là phần đều của chuỗi. z z z z2 zn Ví dụ: + Khai triển Laurent của e là e = 1 + 1! + 2! + + n! + = P∞ zn n=0 n! . Khai triển này chỉ có phần đều. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent ∞ ∗ Hệ quả là: Nếu f(z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=1 sao cho limn→∞ an = a, thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a. ∗ Nếu f(z), g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a ∈ D thì f(z) = g(z), ∀z ∈ D.
P−1 n −2 −1 Tổng n=−∞ cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) gọi là P∞ n phần chính của chuỗi, và tổng n=0 cn(z − z0) = c0 + c1(z − z0) + ··· gọi là phần đều của chuỗi. z z z z2 zn Ví dụ: + Khai triển Laurent của e là e = 1 + 1! + 2! + + n! + = P∞ zn n=0 n! . Khai triển này chỉ có phần đều. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent ∞ ∗ Hệ quả là: Nếu f(z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=1 sao cho limn→∞ an = a, thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a. ∗ Nếu f(z), g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a ∈ D thì f(z) = g(z), ∀z ∈ D. • Khai triển Laurent của hàm f(z) trong tập D tại z0 (tâm tại z0) là khai triển có dạng ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây chuỗi hội tụ đến f(z) trong D .
z z z z2 zn Ví dụ: + Khai triển Laurent của e là e = 1 + 1! + 2! + + n! + = P∞ zn n=0 n! . Khai triển này chỉ có phần đều. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent ∞ ∗ Hệ quả là: Nếu f(z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=1 sao cho limn→∞ an = a, thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a. ∗ Nếu f(z), g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a ∈ D thì f(z) = g(z), ∀z ∈ D. • Khai triển Laurent của hàm f(z) trong tập D tại z0 (tâm tại z0) là khai triển có dạng ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây chuỗi hội tụ đến f(z) trong D . P−1 n −2 −1 Tổng n=−∞ cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) gọi là P∞ n phần chính của chuỗi, và tổng n=0 cn(z − z0) = c0 + c1(z − z0) + ··· gọi là phần đều của chuỗi.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent ∞ ∗ Hệ quả là: Nếu f(z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=1 sao cho limn→∞ an = a, thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a. ∗ Nếu f(z), g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a ∈ D thì f(z) = g(z), ∀z ∈ D. • Khai triển Laurent của hàm f(z) trong tập D tại z0 (tâm tại z0) là khai triển có dạng ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây chuỗi hội tụ đến f(z) trong D . P−1 n −2 −1 Tổng n=−∞ cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) gọi là P∞ n phần chính của chuỗi, và tổng n=0 cn(z − z0) = c0 + c1(z − z0) + ··· gọi là phần đều của chuỗi. z z z z2 zn Ví dụ: + Khai triển Laurent của e là e = 1 + 1! + 2! + + n! + = P∞ zn n=0 n! . Khai triển này chỉ có phần đều.
• Định lí Laurent khẳng định rằng: Nếu f(z) giải tích trong hình vành khăn D: r1 < |z − z0| < r2 và z ∈ D, thế thì ta có khai triển Laurent ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây các hệ số được cho bởi 1 I f(z) cn = n+1 dz, 2πi C (z − z0) với C là đường cong đóng (đơn giản) bất kì nằm trong D bao quanh z0. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent 1 (z−1)−3 (z−1)−2 1 z−1 + Thay z bởi z−1 ta thu được e = ··· + 3! + 2! + −1 (z−1) 2 1! + 1. Nhân hai vế của đẳng thức vừa nhận được với (z − 1) ta 1 (z−1)−1 2 z−1 1 2 có: (z − 1) e = ··· + 3! + 2! + (z − 1) + (z − 1) . Khai triển này có cả phần chính và phần đều.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent 1 (z−1)−3 (z−1)−2 1 z−1 + Thay z bởi z−1 ta thu được e = ··· + 3! + 2! + −1 (z−1) 2 1! + 1. Nhân hai vế của đẳng thức vừa nhận được với (z − 1) ta 1 (z−1)−1 2 z−1 1 2 có: (z − 1) e = ··· + 3! + 2! + (z − 1) + (z − 1) . Khai triển này có cả phần chính và phần đều. • Định lí Laurent khẳng định rằng: Nếu f(z) giải tích trong hình vành khăn D: r1 < |z − z0| < r2 và z ∈ D, thế thì ta có khai triển Laurent ∞ X n −2 −1 f(z) = cn(z − z0) = ··· + c−2(z − z0) + c−1(z − z0) n=−∞ 2 +c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0) + ··· ở đây các hệ số được cho bởi 1 I f(z) cn = n+1 dz, 2πi C (z − z0) với C là đường cong đóng (đơn giản) bất kì nằm trong D bao quanh z0.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent 1 Ví dụ. Khai triển hàm f(z) = (z−1)(z−2) thành chuỗi Laurent có tâm tại z = 1. Vì f(z) không giải tích tại 1 và 2 nên ta chỉ khai triển được trong các miền D1 : 0 1 mà thôi. a) Trong miền D1. Ta có 1 1 H z−2 c = n+2 dz, n 2πi C1 (z−1) với C1 là đường cong kín bất kì bao quanh z = 1 và nằm trong miền D1. ∗ n ≤ −2, cn = 0 (do Định lý Cauchy-Goursat). 1 1 H z−2 1 ∗ n = −1, cn = 2πi z−1 dz = z−2 = −1. C1 z=1 1 (n+1) 1 H z−2 1 1 ∗ n ≥ 0, cn = 2πi (z−1)n+2 dz = (n+1)! z−2 = −1. C1 z=1 P+∞ n P+∞ n Vậy, f(z) = n=−∞ cn(z − 1) = − n=−1(z − 1) .
• Nếu hàm f(z) giải tích trong hình vành khăn 0 < |z − a| < R nhưng không giải tích tại a thì a được gọi là điểm bất thường cô lập hay điểm kì dị của f(z). Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent 1 H 1 b) Trong miền D . Ta có c = n+2 dz, với C là 2 n 2πi C2 (z−2)(z−1) 2 đường cong kín bất kì bao quanh z = 1 và nằm trong miền D2. Chọn Γ1 và Γ2 là các đường cong bao quanh 1 và 2, nằm trong C2. Ta có 1 H 1 c = n+2 dz n 2πi C2 (z−2)(z−1) 1 1 1 H z−2 1 H (z−1)n+2 = n+2 dz + dz. 2πi Γ1 (z−1) 2πi Γ2 z−2 0, n ≤ −2, 1 = + n+2 − 1, n ≥ −1 (z−1) z=2 1, n ≤ −2, = 0, n ≥ −1. P+∞ n P+∞ 1 Vậy, f(z) = n=−∞ cn(z − 1) = n=2 (z−1)n .
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent 1 H 1 b) Trong miền D . Ta có c = n+2 dz, với C là 2 n 2πi C2 (z−2)(z−1) 2 đường cong kín bất kì bao quanh z = 1 và nằm trong miền D2. Chọn Γ1 và Γ2 là các đường cong bao quanh 1 và 2, nằm trong C2. Ta có 1 H 1 c = n+2 dz n 2πi C2 (z−2)(z−1) 1 1 1 H z−2 1 H (z−1)n+2 = n+2 dz + dz. 2πi Γ1 (z−1) 2πi Γ2 z−2 0, n ≤ −2, 1 = + n+2 − 1, n ≥ −1 (z−1) z=2 1, n ≤ −2, = 0, n ≥ −1. P+∞ n P+∞ 1 Vậy, f(z) = n=−∞ cn(z − 1) = n=2 (z−1)n . • Nếu hàm f(z) giải tích trong hình vành khăn 0 < |z − a| < R nhưng không giải tích tại a thì a được gọi là điểm bất thường cô lập hay điểm kì dị của f(z).
- Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn. - Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu. sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z . 1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1. 1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được.
- Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu. sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z . 1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1. 1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. - Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn.
sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z . 1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1. 1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. - Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn. - Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu.
1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1. 1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. - Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn. - Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu. sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z .
1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. - Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn. - Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu. sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z . 1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 2. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Có ba khả năng xảy ra - Nếu khai triển Laurent của f(z) chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , thì limz→a f(z) = c0. Do đó khi đặt f(a) = c0 ta có f(z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − a| < R. Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. - Nếu phần chính chỉ có hữu hạn số hạng, nghĩa là z−n c1 2 f(z) = (z−a)n + + z−a + c0 + c1(z − a) + c2(z − a) + , trong đó c−n 6= 0, thì a gọi là cực điểm và n gọi là cấp của cực điểm. Nếu n = 1 thì a gọi là cực điểm đơn. - Nếu phần chính có vô số số hạng thì a gọi là điểm bất thường cốt yếu. sin z z2 z4 Ví dụ. I Vì z = 1 − 3! + 5! − , nên z = 0 là điểm bất thường sin z bỏ được của hàm f(z) = z . 1 I Hàm f(z) = (z−1)(z−2) có z = 1 là cực điểm cấp 1. 1 z 1 1 1 I Hàm f(z) = e = 1 + z + 2!z2 + n!zn + có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu.
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư
h i Từ công thức Laurent ta có Resf(z); a = c−1, trong đó c−1 là hệ số ứng với số hạng (z − a)−1 trong khai triển Laurent của f(z). Nếu a là cực điểm đơn của f(z) thì h i Resf(z); a = lim(z − a)f(z). z→a ϕ(z) 0 Đặc biệt, nếu f(z) = ψ(z) thỏa ϕ(a) 6= 0, ψ(a) = 0, ψ (a) 6= 0 thì h ϕ(z) i ϕ(a) Res ψ(z) ; a = ψ0(a) . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư • Cho f(z) giải tích trong hình vành khăn K : 0 < |z − a| < R có a là điểm bất thường cô lập. Khi đó với mọi đường cong kín C bao 1 H quanh a và nằm trong K, tích phân 2πi C f(z)dz là một số phức không đổi, nó được gọi là thặng dư của f(z) tại a, kí hiệu là h i 1 I Resf(z); a = f(z)dz. 2πi C
Nếu a là cực điểm đơn của f(z) thì h i Resf(z); a = lim(z − a)f(z). z→a ϕ(z) 0 Đặc biệt, nếu f(z) = ψ(z) thỏa ϕ(a) 6= 0, ψ(a) = 0, ψ (a) 6= 0 thì h ϕ(z) i ϕ(a) Res ψ(z) ; a = ψ0(a) . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư • Cho f(z) giải tích trong hình vành khăn K : 0 < |z − a| < R có a là điểm bất thường cô lập. Khi đó với mọi đường cong kín C bao 1 H quanh a và nằm trong K, tích phân 2πi C f(z)dz là một số phức không đổi, nó được gọi là thặng dư của f(z) tại a, kí hiệu là h i 1 I Resf(z); a = f(z)dz. 2πi C h i Từ công thức Laurent ta có Resf(z); a = c−1, trong đó c−1 là hệ số ứng với số hạng (z − a)−1 trong khai triển Laurent của f(z).
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư • Cho f(z) giải tích trong hình vành khăn K : 0 < |z − a| < R có a là điểm bất thường cô lập. Khi đó với mọi đường cong kín C bao 1 H quanh a và nằm trong K, tích phân 2πi C f(z)dz là một số phức không đổi, nó được gọi là thặng dư của f(z) tại a, kí hiệu là h i 1 I Resf(z); a = f(z)dz. 2πi C h i Từ công thức Laurent ta có Resf(z); a = c−1, trong đó c−1 là hệ số ứng với số hạng (z − a)−1 trong khai triển Laurent của f(z). Nếu a là cực điểm đơn của f(z) thì h i Resf(z); a = lim(z − a)f(z). z→a ϕ(z) 0 Đặc biệt, nếu f(z) = ψ(z) thỏa ϕ(a) 6= 0, ψ(a) = 0, ψ (a) 6= 0 thì h ϕ(z) i ϕ(a) Res ψ(z) ; a = ψ0(a) .
h 1 i 1 • Ví dụ.a) Res (z−1)(z−2) ; 1 = limz→1(z − 1) (z−1)(z−2) = −1. h i cos(0) b) Res cot z; 0 = 0 = 1. (sin z) |z=0 h 1 i 1 d2 h 2 i 1 c) Res z(z+2)3 ; −2 = 2! limz→−2 dz2 z = − 8 . • Áp dụng của thặng dư. Ta có các kết quả sau. Cho D là miền đóng có biên là ∂D, nếu f(z) giải tích trong D ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D, thì n I X h i f(z)dz = 2πi Resf(z); ak . ∂D k=1 H ez Ví dụ. Tính I = C (z−1)(z+3)2 dz, trong đó: a) C : |z| = 3/2; b) |z| = 10. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì h i 1 dm−1 h i Resf(z); a = lim (z − a)mf(z) . (m − 1)! z→a dzm−1
• Áp dụng của thặng dư. Ta có các kết quả sau. Cho D là miền đóng có biên là ∂D, nếu f(z) giải tích trong D ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D, thì n I X h i f(z)dz = 2πi Resf(z); ak . ∂D k=1 H ez Ví dụ. Tính I = C (z−1)(z+3)2 dz, trong đó: a) C : |z| = 3/2; b) |z| = 10. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì h i 1 dm−1 h i Resf(z); a = lim (z − a)mf(z) . (m − 1)! z→a dzm−1 h 1 i 1 • Ví dụ.a) Res (z−1)(z−2) ; 1 = limz→1(z − 1) (z−1)(z−2) = −1. h i cos(0) b) Res cot z; 0 = 0 = 1. (sin z) |z=0 h 1 i 1 d2 h 2 i 1 c) Res z(z+2)3 ; −2 = 2! limz→−2 dz2 z = − 8 .
H ez Ví dụ. Tính I = C (z−1)(z+3)2 dz, trong đó: a) C : |z| = 3/2; b) |z| = 10. Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì h i 1 dm−1 h i Resf(z); a = lim (z − a)mf(z) . (m − 1)! z→a dzm−1 h 1 i 1 • Ví dụ.a) Res (z−1)(z−2) ; 1 = limz→1(z − 1) (z−1)(z−2) = −1. h i cos(0) b) Res cot z; 0 = 0 = 1. (sin z) |z=0 h 1 i 1 d2 h 2 i 1 c) Res z(z+2)3 ; −2 = 2! limz→−2 dz2 z = − 8 . • Áp dụng của thặng dư. Ta có các kết quả sau. Cho D là miền đóng có biên là ∂D, nếu f(z) giải tích trong D ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D, thì n I X h i f(z)dz = 2πi Resf(z); ak . ∂D k=1
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì h i 1 dm−1 h i Resf(z); a = lim (z − a)mf(z) . (m − 1)! z→a dzm−1 h 1 i 1 • Ví dụ.a) Res (z−1)(z−2) ; 1 = limz→1(z − 1) (z−1)(z−2) = −1. h i cos(0) b) Res cot z; 0 = 0 = 1. (sin z) |z=0 h 1 i 1 d2 h 2 i 1 c) Res z(z+2)3 ; −2 = 2! limz→−2 dz2 z = − 8 . • Áp dụng của thặng dư. Ta có các kết quả sau. Cho D là miền đóng có biên là ∂D, nếu f(z) giải tích trong D ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D, thì n I X h i f(z)dz = 2πi Resf(z); ak . ∂D k=1 H ez Ví dụ. Tính I = C (z−1)(z+3)2 dz, trong đó: a) C : |z| = 3/2; b) |z| = 10.
Cho P (z),Q(z) là hai đa thức hệ số thực biến phức, degP ≤ degQ − 2. Nếu Q(x) 6= 0 ∀x ∈ R và a1, , an là các cực điểm P (z) nằm trong nữa mặt phẳng Imz > 0 của Q(z) , thì R +∞ P (x) Pn h P (z) i −∞ Q(x) dx = 2πi k=1 Res Q(z) ; ak . Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư ez Hàm f(z) = (z−1)(z+3)2 có z = 1 là cực điểm đơn và z = −3 là cực điểm kép. Ta có h ez i e h ez i 5e−3 Res (z−1)(z+3)2 ; 1 = 16 ; Res (z−1)(z+3)2 ; −3 = − 16 . a) Khi C : |z| = 3/2, hàm chỉ có một cực đơn z = 1 trong C nên h ez i eπi I= 2πi Res (z−1)(z+3)2 ; 1 = 8 . b) Khi C : |z| = 10, hàm có một cực đơn z = 1 và một cực điểm kép z = −3 trong C nên h ez i h ez i πi(e4−5) I = 2πi Res (z−1)(z+3)2 ; 1 + Res (z−1)(z+3)2 ; −3 = 8e3 .
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư ez Hàm f(z) = (z−1)(z+3)2 có z = 1 là cực điểm đơn và z = −3 là cực điểm kép. Ta có h ez i e h ez i 5e−3 Res (z−1)(z+3)2 ; 1 = 16 ; Res (z−1)(z+3)2 ; −3 = − 16 . a) Khi C : |z| = 3/2, hàm chỉ có một cực đơn z = 1 trong C nên h ez i eπi I= 2πi Res (z−1)(z+3)2 ; 1 = 8 . b) Khi C : |z| = 10, hàm có một cực đơn z = 1 và một cực điểm kép z = −3 trong C nên h ez i h ez i πi(e4−5) I = 2πi Res (z−1)(z+3)2 ; 1 + Res (z−1)(z+3)2 ; −3 = 8e3 . Cho P (z),Q(z) là hai đa thức hệ số thực biến phức, degP ≤ degQ − 2. Nếu Q(x) 6= 0 ∀x ∈ R và a1, , an là các cực điểm P (z) nằm trong nữa mặt phẳng Imz > 0 của Q(z) , thì R +∞ P (x) Pn h P (z) i −∞ Q(x) dx = 2πi k=1 Res Q(z) ; ak .
P (z) Cho P (z),Q(z) là hai đa thức thỏa degP ≤ degQ − 1, Q(z) giải tích trong nữa mặt phẳng Imz > 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn P (z) các cực điểm a1, , an, Q(z) có các cực điểm b1, , bm trên trục P (x) iβx thực và Q(x) e khả tích tại những điểm này. Thế thì n Z +∞ P (x) X h P (z) i eiβxdx = 2πi Res eiβz; a Q(x) Q(z) k −∞ k=1 m X h P (z) i +πi Res eiβz; b . Q(z) k k=1 Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư R +∞ dx Ví dụ. Tính I = 0 (x2+1)2 . 1 1 Hàm f(z) = (z2+1)2 = (z−i)2(z+i)2) có một cực điểm kép z = i nằm trong nữa mặt phẳng Imz > 0. Vậy, 1 R +∞ dx 1 h 1 i π I = 2 −∞ (x2+1)2 = 2 πi Res (z2+1)2 ; i = 4 .
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư R +∞ dx Ví dụ. Tính I = 0 (x2+1)2 . 1 1 Hàm f(z) = (z2+1)2 = (z−i)2(z+i)2) có một cực điểm kép z = i nằm trong nữa mặt phẳng Imz > 0. Vậy, 1 R +∞ dx 1 h 1 i π I = 2 −∞ (x2+1)2 = 2 πi Res (z2+1)2 ; i = 4 . P (z) Cho P (z),Q(z) là hai đa thức thỏa degP ≤ degQ − 1, Q(z) giải tích trong nữa mặt phẳng Imz > 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn P (z) các cực điểm a1, , an, Q(z) có các cực điểm b1, , bm trên trục P (x) iβx thực và Q(x) e khả tích tại những điểm này. Thế thì n Z +∞ P (x) X h P (z) i eiβxdx = 2πi Res eiβz; a Q(x) Q(z) k −∞ k=1 m X h P (z) i +πi Res eiβz; b . Q(z) k k=1
ix zn+z−n zn−z−n dz Đặt z = e ta có cos nx = 2 , sin nx = 2i , dx = iz . Khi x biến thiên từ 0 đến 2π thì z = eix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương, vì vậy Z 2π I zn + z−n zn − z−n dz R(cos nx, sin nx)dx = R( , ) . 0 C 2 2i iz R 2π dx Ví dụ. Tính I = 0 5+3 sin x R 2π dx H 2dz H 2dz Ta có I = 0 5+3 sin x = C 2 10i = C i = 3(z + 3 z−1) 3(z+ 3 )(z+3i) h 2 i i π 2πi Res 2 10i ; − 3 = 2 . 3(z + 3 z−1) Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư R +∞ cos λx Ví dụ. Tính I = 0 x2+a2 (λ, a > 0). 1 R +∞ cos λx Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I = 2 −∞ x2+a2 = 1 R +∞ eiλx 1 h eiλx i πe−λa 2 Re −∞ x2+a2 = 2 Re Res x2+a2 ; ai = 2a .
Toán kĩ thuật §3. Tích phân phức. Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent. Thặng dư 3. Thặng dư R +∞ cos λx Ví dụ. Tính I = 0 x2+a2 (λ, a > 0). 1 R +∞ cos λx Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I = 2 −∞ x2+a2 = 1 R +∞ eiλx 1 h eiλx i πe−λa 2 Re −∞ x2+a2 = 2 Re Res x2+a2 ; ai = 2a . ix zn+z−n zn−z−n dz Đặt z = e ta có cos nx = 2 , sin nx = 2i , dx = iz . Khi x biến thiên từ 0 đến 2π thì z = eix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương, vì vậy Z 2π I zn + z−n zn − z−n dz R(cos nx, sin nx)dx = R( , ) . 0 C 2 2i iz R 2π dx Ví dụ. Tính I = 0 5+3 sin x R 2π dx H 2dz H 2dz Ta có I = 0 5+3 sin x = C 2 10i = C i = 3(z + 3 z−1) 3(z+ 3 )(z+3i) h 2 i i π 2πi Res 2 10i ; − 3 = 2 . 3(z + 3 z−1)