Bài giảng Toán học cao cấp

486 trang Đức Chiến 03/01/2024 1490

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán học cao cấp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_hoc_cao_cap.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán học cao cấp

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI Biên soạn: Nguyễn Độc Lập NGUYÊN Bộ môn: Toán - Tin Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Giới thiệu Chương I Chương II Chương III Chương IV Chương V Chương VI Chương VII Chương VIII MỤC LỤC Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Trong chương trỡnh đào tạo theo hướng đổi mới lấy người học làm trung tâm, chuyển đổi từ niên chế sang tín chỉ, chương trỡnh Toán đào tạo cho Trường đại học Y Dược có sự đổi mới theo hướng tinh giản để phù hợp với cách học tự nghiên cứu của sinh viên. Phần Toán cao cấp mà chúng tôi trỡnh bày dưới đây sẽ bám sát mục tiêu phục vụ việc nghiên cứu khoa học, điều trị trong Y học. Phần bài tập tự ôn luyện sẽ được trỡnh bày kỹ trong các giờ giải đáp thắc mắc và cuốn Bài tập Toán hoc cao cấp- Xác suất thông kê của cùng tác giả. Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Với thời lượng 45 tiết , tương đương với 2 tín chỉ, người học cần nắm được lý thuyết cơ bản và giải được phương trỡnh ma trận, hệ phương trỡnh tuyến tính. Tính được tích phân suy rộng loại I, II. Giải được phương trỡnh vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 có dạng đặc biệt. Xét được sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, tính được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tập hợp, quan hệ và logic suy luận Đ1. Tập hợp 1. Các khái niệm cơ bản 2. Các phép toán về tập hợp Đ2. Các tập hợp số thực 1. Số thực 2. Biểu diễn hỡnh học các số thực 3. Các khoảng số thực 4. Tập hợp bị chặn Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Quan hệ 1. Tích Descartes 2. Quan hệ 3. ánh xạ Đ4. Đại cương về logic suy luận 1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 2. Hàm mệnh đề 3. Logic suy luận, điều kiện cần và điều kiện đủ 4. Logic chứng minh mệnh đề Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương II. Ma trận - Định thức Đ1. Ma trận 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận 2. Các phép toán đối với ma trận 3. Ma trận chuyển vị 4. Chuyển vị của tích hai ma trận Đ2. Định thức 1. Định thức của ma trận vuông 2. Tính chất của định thức Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Các phương pháp tính định thức 1. Phương pháp khai triển 2. Định thức của tích hai ma trận Đ4. Ma trận nghịch đảo 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo 2. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo 3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó 4. Tỡm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp 5. Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận 6. ứng dụng của ma trận nghịch đảo Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ5. Hạng của ma trận 1. Hạng của ma trận 2. Tỡm hạng của ma trân bằng biến đổi sơ cấp Chương III. Hệ phương trỡnh tuyến tính Đ1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trỡnh tuyến tính 1. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát 2. Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tính 3. Hệ tương đương 4. Các phép biến đổi sơ cấp 5. Hệ tam giác và hệ hỡnh thang Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ2. Hệ Cramer 1. Định nghĩa 2. Quy tắc Cramer Đ3. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát 1. Điều kiện có nghiệm 2. Giải hệ phương trỡnh tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp Đ4. Hệ thuần nhất 1. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường 2. Mối liên hệ với hệ không thuần nhất Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương IV. Hàm số 4.1. Hàm một biến 4.2 Các hàm sơ cấp cơ bản 4.3. Hàm hai biến 4.4. Định nghĩa và tính chất giới hạn hàm một biến 4.5. Giới hạn hàm hai biến 4.6. Sự liên tục của hàm một biến - hàm hai biến Chương V: Phép tính vi phân 5.1. Đạo hàm - vi phân của hàm một biến 5.2. Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VI. Phép tính tích phân 6.1. Tích phân bất định 6.2. Tích phân đơn giản chứa tam thức bậc hai 6.3. Tích phân các hàm lượng giác 6.4. Tích phân xác định 6.5. Công thức Newton- Leibnitz (Niutơn-Lepnit) 6.6. Tích phân suy rộng Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VII. Phương trỡnh vi phân 7.1. Phương trỡnh vi phân cấp I 7.2. Phương trỡnh vi phân cấp hai 7.3. Hệ phương trỡnh vi phân Chương VIII. Lý thuyết chuỗi 8.1 Chuỗi số 8.2. Chuỗi số dương 8.3 Chuỗi số dấu bất kỳ 8.4 Chuỗi lũy thừa Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Ch¬ng I TËp hîp, quan hÖ vµ logic suy luËn Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. TËp hîp 1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thuû cña to¸n häc, kh«ng ®îc ®Þnh nghÜa vµ ta chØ miªu t¶, h×nh dung kh¸i niÖm nµy b»ng nh÷ng vÝ dô cô thÓ. Ch¼ng h¹n nh tËp hîp c¸c sinh viªn trong mét líp häc, tËp hîp c¸c sè tù nhiªn, tËp hîp c¸c nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh ®¹i sè .v.v. C¸c ®èi tîng t¹o nªn tËp hîp ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp ®ã. §Ó nãi r»ng a lµ phÇn tö thuéc tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a thuéc A). NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a kh«ng thuéc A). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c ®èi tîng t¹o nªn tËp hîp ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp ®ã. §Ó nãi r»ng a lµ phÇn tö thuéc tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a thuéc A). NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a kh«ng thuéc A). TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu . TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu . §Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp ta sö dông mét trong hai ph¬ng ph¸p sau: Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1. LiÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A = {a, b, c, d} B = {2, 4, 6, 8} 2. ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc trng cña c¸c phÇn tö cña tËp hîp A = {x: x2 = 4} Cho hai tËp hîp A vµ B. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A còng lµ phÇn tö cña tËp hîp B th× ta nãi r»ng A lµ tËp hîp con cña tËp hîp B, hay A chøa trong B, hay B bao hµm A, ký hiÖu A B hay B  A. Ngêi ta coi tËp rçng lµ tËp con cña mäi tËp hîp. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp a) PhÐp hîp §Þnh nghÜa: Hîp cña hai tËp hîp A vµ B lµ mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp hîp ®ã. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B ®îc ký hiÖu: A B A B = {x: x A hoÆc x B} b) PhÐp giao §Þnh nghÜa: Giao cña hai tËp hîp A vµ B lµ mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö ®ång thêi thuéc c¶ hai tËp hîp A vµ B. Giao cña hai tËp hîp A vµ B ®îc ký hiÖu: A  B A B = {x: x A vµ x B} NÕu A B =  ta nãi A vµ B lµ c¸c tËp hîp rêi nhau. VÝ dô: Cho hai tËp hîp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6} A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) C¸c tÝnh chÊt cña phÐp hîp vµ phÐp giao 1. TÝnh giao ho¸n A B = B A ; A B = B A 2. TÝnh chÊt kÕt hîp A (B  C) = (A B) C A (B  C) = (A B) C 1. TÝnh chÊt ph©n phèi A (B  C) = (A B) (A C) A (B  C) = (A B) (A C) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chøng minh c¸c tÝnh chÊt trªn ta cÇn chØ ra mçi phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ tr¸i ®Òu lµ phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ ph¶i vµ ngîc l¹i mçi phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ ph¶i ®Òu lµ phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ tr¸i. ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt trªn dµnh cho b¹n ®äc . d) PhÐp trõ tËp hîp vµ phÇn bï cña mét tËp hîp §Þnh nghÜa: HiÖu cña tËp hîp A vµ tËp hîp B lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc A nhng kh«ng thuéc B. HiÖu cña tËp hîp A vµ tËp hîp B ®îc ký hiÖu: A\ B A\ B = {x: x A vµ x B} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Cho hai tËp hîp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6} A\ B = {1, 3, 5} Cho A lµ tËp con cña mét tËp hîp X. Khi ®ã X\ A ®îc gäi lµ phÇn bï cña cña tËp hîp A trong X. PhÇn bï cña tËp hîp A ®îc ký hiÖu A. VËy A = X\ A VÝ dô: Trong tËp hîp c¸c sè thùc, TËp hîp c¸c sè v« tØ lµ phÇn bï cña tËp hîp c¸c sè h÷u tØ. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý: PhÇn bï cña hîp c¸c tËp hîp b»ng giao c¸c phÇn bï cña chóng. PhÇn bï cña giao c¸c tËp hîp b»ng hîp c¸c phÇn bï cña chóng, tøc lµ: A  B A  B , A  B A  B Chøng minh: Ta chøng minh ®¼ng thøc ®Çu, ®¼ng thøc cßn l¹i chøng minh t¬ng tù. Gäi x lµ phÇn tö bÊt kú cña A  B , khi ®ã: x A  B x A vµ x B x A vµ x B x A  B Ngîc l¹i, gäi x lµ phÇn tö bÊt kú cña A  B , khi ®ã: x A vµ x B x A vµ x B x A  B x A  B Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. C¸c tËp hîp sè thùc 1. Sè thùc Ta ®· biÕt tËp c¸c sè tù nhiªn N: N = {0, 1, 2, , n, } Trong ph¹m vi c¸c sè tù nhiªn cã thÓ thùc hiÖn ®îc phÐp céng vµ phÐp nh©n. Tuy nhiªn phÐp trõ bÞ h¹n chÕ. Ch¼ng h¹n kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n sao cho 3 + n = 0. §Ó thùc hiÖn ®îc phÐp trõ ngêi ta më réng hÖ thèng sè tù nhiªn thµnh hÖ thèng sè nguyªn Z: Z = { , - n, , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, , n, } Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong tËp c¸c sè nguyªn cã thÓ thùc hiÖn ®îc phÐp céng, phÐp trõ vµ phÐp nh©n. Tuy nhiªn phÐp chia bÞ h¹n chÕ. Ch¼ng h¹n, kh«ng tån t¹i sè nguyªn m sao cho 4.m = 7. §Ó thùc hiÖn ®îc phÐp chia ngêi ta më réng hÖ thèng sè nguyªn thµnh hÖ thèng sè h÷u tØ Q: m Q = { : m, n Z, n 0} n NÕu biÓu diÔn díi d¹ng sè thËp ph©n th× sè h÷u tØ lµ sè thËp ph©n h÷u h¹n hoÆc sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn. Sè nguyªn còng lµ sè h÷u tØ (víi mÉu sè b»ng 1). Ta cã bao hµm thøc: N Z  Q. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong tËp c¸c sè h÷u tØ cã thÓ thÓ thùc hiÖn ®îc c¶ bèn phÐp to¸n céng, trõ, nh©n vµ chia. Tuy nhiªn, tËp c¸c sè h÷u tØ vÉn cha ®ñ ®Ó ®¸p øng nhu cÇu tÝnh to¸n. Ch¼ng h¹n, ®é dµi ®êng chÐo cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 1 kh«ng thÓ biÓu diÔn ®îc b»ng mét sè h÷u tØ. §Ó hoµn thiÖn hÖ thèng sè, ngêi ta bæ xung thªm tËp c¸c sè v« tØ. NÕu biÓu diÔn díi d¹ng sè thËp ph©n th× sè v« tØ lµ sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn. Ch¼ng h¹n, sè ®o ®é dµi ®êng chÐo cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 1 lµ mét sè v« tØ: 2 1,4142135624 C¸c sè h÷u tØ vµ c¸c sè v« tØ ®îc gäi lµ sè thùc. TËp hîp c¸c sè thùc ®îc ký hiÖu lµ R. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. BiÓu diÔn h×nh häc c¸c sè thùc a) Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc x ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: x khi x 0 x x khi x 0 Tõ ®Þnh nghÜa, víi mäi sè thùc x, y ta cã thÓ suy ra c¸c kÕt qu¶: . x y x y x x . víi y 0 y y . x y x y . x y x y Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) Trôc sè vµ ®é dµi ®¹i sè cña mét ®o¹n th¼ng Trôc sè lµ mét ®êng th¼ng, trªn ®ã cã x¸c ®Þnh: - Híng cña ®êng th¼ng (theo chiÒu mòi tªn) - Mét ®iÓm O cè ®Þnh, gäi lµ gèc to¹ ®é - §¬n vÞ ®o ®é dµi A O B Trªn trôc sè lÊy hai ®iÓm A, B bÊt kú. §é dµi h×nh häc cña ®o¹n th¼ng AB (kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B) còng ®îc ký hiÖu AB. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: §é dµi ®¹i sè cña ®o¹n th¼ng AB trªn trôc sè lµ mét sè thùc, ký hiÖu lµ AB vµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau: AB = AB nÕu híng tõ A ®Õn B cïng híng víi trôc sè. AB = BA nÕu híng tõ A ®Õn B ngîc híng víi trôc sè. c) BiÓu diÔn sè thùc trªn trôc sè Trªn trôc sè lÊy mét ®iÓm bÊt M bÊt kú O M §Þnh nghÜa: Sè thùc x OM ®îc gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Nh vËy, mçi ®iÓm M trªn trôc sè ®îc ®Æt t¬ng øng víi mét sè thùc x x¸c ®Þnh, gäi lµ to¹ ®é cña nã. Ngîc l¹i mçi sè thùc x cho t¬ng øng víi mét ®iÓm M trªn trôc sè cã to¹ ®é b»ng x. PhÐp t¬ng øng mét ®èi mét nãi trªn cho phÐp ta ®ång nhÊt sè thùc x víi ®iÓm M trªn trôc sè. Mçi tËp sè thùc XR lµ mét tËp hîp ®iÓm cña trôc sè. Trôc sè cßn gäi lµ ®êng th¼ng thùc. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. C¸c kho¶ng sè thùc a) Kho¶ng h÷u h¹n Víi a, b lµ hai sè thùc cho tríc vµ a b ta cã c¸c kho¶ng sau: Kho¶ng ®ãng (cßn gäi lµ ®o¹n): a;b  x R: a x b  Kho¶ng më: a; b x R: a x b  C¸c kho¶ng nöa më:  a;b x R: a x b  a;b  x R: a x b  Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) L©n cËn cña mét ®iÓm Víi xo lµ mét sè thùc cho tríc vµ r lµ mét sè d¬ng cho tríc. Kho¶ng xo r ; xo r ®îc gäi lµ l©n cËn b¸n kÝnh r cña ®iÓm xo vµ ®îc ký hiÖu Vr( xo ). Nh vËy: Vr( xo ) = x R: x xo r  Trong to¸n häc ngêi ta dïng c¸c ký hiÖu vµ ®Ó chØ c¸c ®Çu mót bªn tr¸i vµ bªn ph¶i cña trôc sè. Víi mäi sè thùc x ta cã x . C¸c tËp sè thùc sau ®©y ®îc gäi lµ c¸c kho¶ng v« h¹n:  a; x R: x a ; a; x R: x a  ; b x R: x b ; ;b x R: x b  ; R Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.TËp hîp bÞ chÆn a) Kh¸i niÖm tËp hîp bÞ chÆn Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn trªn nÕu tån t¹i sè thùc b sao cho víi mäi x X ta lu«n cã: x b. Sè b ®îc gäi lµ cËn trªn cña tËp X. Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn díi nÕu tån t¹i sè thùc a sao cho víi mäi x X ta lu«n cã: x a. Sè a ®îc gäi lµ cËn díi cña tËp X. Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn díi, tøc lµ tån t¹i c¸c sè thùc a vµ b sao cho víi mäi x X ta lu«n cã: a x b. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: C¸c kho¶ng h÷u h¹n lµ c¸c tËp bÞ chÆn. C¸c kho¶ng (a; + ); [a; + ) lµ c¸c tËp bÞ chÆn díi nhng kh«ng bÞ chÆn trªn. C¸c kho¶ng (- ; b);(- ;b] lµ c¸c tËp bÞ chÆn trªn nhng kh«ng bÞ chÆn díi. b) CËn trªn ®óng vµ cËn díi ®óng §Þnh nghÜa: CËn trªn nhá nhÊt cña mét tËp hîp bÞ chÆn trªn ®îc gäi lµ cËn trªn ®óng cña tËp hîp ®ã. CËn díi lín nhÊt cña mét tËp hîp bÞ chÆn díi ®îc gäi lµ cËn díi ®óng cña tËp hîp ®ã. CËn trªn ®óng cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu supX CËn díi ®óng cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu infX Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra: supX = b khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n: . x b víi mäi x X (b lµ cËn trªn cña X) . Víi mäi sè b’ b’ (mäi sè b’ a lu«n tån t¹i sè x0 sao cho x0 a kh«ng ph¶i lµ cËn díi cña X) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp X =(a; b) cã cËn trªn ®óng lµ b. ThËt vËy, râ rµng x b’. VËy supX = b. T¬ng tù ta chøng minh ®îc infX = a. Trong to¸n häc ngêi ta ®· chøng minh ®Þnh lý sau: §Þnh lý: Mäi tËp sè thùc kh¸c rçng bÞ chÆn trªn (bÞ chÆn díi) ®Òu cã cËn trªn ®óng(cËn díi ®óng). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Sè cùc ®¹i vµ sè cùc tiÓu CËn trªn ®óng vµ cËn díi ®óng cña mét tËp hîp X cã thÓ thuéc hoÆc kh«ng thuéc tËp hîp X. VÝ dô: sup[a; b) = b [a; b), inf[a; b) = a [a; b) sup(a; b] = b (a; b], inf(a; b] = a (a; b] §Þnh nghÜa: NÕu supX = b X th× sè b ®îc gäi lµ sè cùc ®¹i, hay sè lín nhÊt cña tËp hîp X. NÕu infX = a X th× sè a ®îc gäi lµ sè cùc tiÓu, hay sè nhá nhÊt cña tËp hîp X. Sè lín nhÊt cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu maxX Sè nhá nh©t cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu minX Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra: maxX = b b X vµ x b víi mäi x X minX = a a X vµ x a víi mäi x X VÝ dô: max[a; b] = b, min[a; b] = a TËp (a; b) kh«ng cã sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. Quan hÖ 1. TÝch Descartes §Þnh nghÜa: TÝch Descartes cña hai tËp hîp X vµ Y, ký hiÖu X Y lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp cã thø tù (x, y), trong ®ã x X vµ y Y. X Y = {(x, y): x X vµ y Y} VÝ dô: Cho X = {1, 2, 3}; Y = {a, b} X Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} Y X = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} Tæng qu¸t ta gäi tÝch Descartes cña n tËp hîp X1, X2, , Xn lµ tËp hîp ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: X1 X2 Xn = {(x1, x2, , xn): xi Xi, i = 1, 2, , n} n §Æc biÖt, khi X1 = X2 = = Xn = X ta ký hiÖu X X X = X n X = {(x1, x2, , xn): xi X, i = 1, 2, , n} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quan hÖ a) Kh¸i niÖm quan hÖ §Þnh nghÜa: Quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X lµ mét tËp con cña tËp hîp X2. VÝ dô: - Trong tËp c¸c sè thùc R, quan hÖ “kh«ng nhá h¬n” lµ tËp hîp: {(x, y): x R, y R, x y} R2 - Trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c quan hÖ “®ång d¹ng” lµ tËp hîp c¸c cÆp tam gi¸c ( , ) mµ ®ång d¹ng víi . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Quan hÖ t¬ng ®¬ng Cho   X2 lµ mét quan hÖ trong tËp hîp X. NÕu (x, y)  th× ta nãi phÇn tö x cã quan hÖ  víi phÇn tö y vµ viÕt x y. §Þnh nghÜa: Mét quan hÖ  trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X (mäi phÇn tö a cña X cã quan hÖ  víi chÝnh nã) 2. TÝnh ®èi xøng: NÕu a b th× b a (nÕu a cã quan hÖ  víi b th× b còng cã quan hÖ  víi a) 3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c (nÕu a cã quan hÖ  víi b vµ b cã quan hÖ  víi c th× a cã quan hÖ  víi c) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: . Quan hÖ “x ®ång d¹ng víi y” lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c. . Quan hÖ “x lµ b¹n cña y” trong tËp hîp sinh viªn cña mét trêng ®¹i häc kh«ng ph¶i lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng v× nã kh«ng cã tÝnh b¾c cÇu. c) Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa: Mét quan hÖ  trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X 2. TÝnh ph¶n ®èi xøng: NÕu a b vµ b a th× a = b 3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:. Quan hÖ “x y” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè thùc . Quan hÖ “p chia hÕt cho q” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn. 3. ¸nh x¹ a) Kh¸i niÖm ¸nh x¹: Cho hai tËp hîp X, Y kh«ng rçng bÊt kú §Þnh nghÜa: Mét ¸nh x¹ f tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y lµ mét quy t¾c ®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö x cña tËp X víi mét vµ chØ mét phÇn tö y cña tËp Y. §Ó nãi r»ng f lµ ¸nh x¹ tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y ta dïng ký hiÖu: f: X Y PhÇn tö y Y t¬ng øng víi phÇn tö x X qua ¸nh x¹ f ®îc gäi lµ ¶nh cña phÇn tö x, ký hiÖu lµ y = f(x) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi phÇn nguyªn cña nã (ký hiÖu [x]) lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo Z. VÝ dô 2: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi b×nh ph¬ng cña nã lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo [0; + ]. VÝ dô 3: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi lËp ph¬ng cña nã lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo R. b) ¶nh vµ nghÞch ¶nh cña mét tËp hîp Cho ¸nh x¹ f: X Y; A  X; B  Y. §Þnh nghÜa: ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp ¶nh cña tÊt c¶ c¸c phÇn tö x A. ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f(A): f(A) = {y Y: tån t¹i x A, y = f(x)} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña X cã ¶nh thuéc tËp B. NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f-1(B): f-1(B) = {x X: f(x) = y B} NghÞch ¶nh cña tËp hîp gåm mét phÇn tö b Y ®îc gäi lµ nghÞch ¶nh cña phÇn tö b vµ ký hiÖu f-1(b): f-1(b) = {x X: f(x) = b} VÝ dô: XÐt ¸nh x¹ f: R [0; + ) x¸c ®Þnh bëi f(x) = x2 f([-1; 2]) = [0; 4], f([-2; -1]) = [1; 4] f-1([1; 4]) = [-2; -1] [1; 2] f-1(1) = {-1; 1} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý: Víi mäi ¸nh x¹ f: X Y ta lu«n cã: 1. f(A1 A2) = f(A1)f(A2), víi mäi A1  X, A2  X -1 -1 -1 2. f (B1 B2) = f (B1)f (B2), víi mäi B1  Y, B2  Y -1 -1 -1 3. f (B1 B2) = f (B1) f (B2), víi mäi B1  Y, B2  Y ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc. c) §¬n ¸nh, toµn ¸nh vµ song ¸nh - ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu hai phÇn tö kh¸c nhau bÊt kú cña tËp X lu«n cã ¶nh kh¸c nhau: x1 x2 f(x1) f(x2) Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ ®¬n ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña mäi phÇn tö y Y hoÆc lµ tËp rçng, hoÆc chØ cã mét phÇn tö duy nhÊt x X. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ toµn ¸nh nÕu ¶nh cña tËp hîp X lµ toµn bé tËp hîp Y: f(X) = Y. Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ toµn ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña mäi phÇn tö y Y ®Òu kh«ng rçng. - ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ song ¸nh nÕu nã võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh. VÝ dô: - ¸nh x¹ f: R [-1;1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x R víi sè y=cosx [1;1] lµ mét toµn ¸nh, nhng kh«ng ph¶i ®¬n ¸nh. - ¸nh x¹ f: [0; ] R ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y = cosx R lµ mét ®¬n ¸nh, nhng kh«ng ph¶i toµn ¸nh. - ¸nh x¹ f: [0; ] [-1; 1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y = cosx [-1; 1] lµ mét song ¸nh. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) ¸nh x¹ ngîc Gi¶ sö ¸nh x¹ f: X Y lµ mét song ¸nh. Khi ®ã, víi mçi phÇn tö y Y ®Òu cã nghÞch ¶nh kh«ng rçng (do f lµ toµn ¸nh) vµ nghÞch ¶nh cña nã ph¶i lµ phÇn tö duy nhÊt x X (do f lµ ®¬n ¸nh). Trong trêng hîp nµy ta cã ¸nh x¹ f-1: Y X ®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö y Y víi phÇn tö x = f-1(y). ¸nh x¹ f-1 ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña song ¸nh f. ¸nh x¹ f-1 còng lµ mét song ¸nh. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Gäi X lµ tËp hîp sinh viªn cña mét líp häc vµ Y lµ danh s¸ch ghi ®Çy ®ñ hä vµ tªn cña c¸c sinh viªn líp ®ã. Gi¶ sö líp häc kh«ng cã sinh viªn nµo trïng tªn. Khi ®ã, ¸nh x¹ f: X Y ®Æt t¬ng øng mçi sinh viªn víi tªn gäi cña sinh viªn ®ã trong danh s¸ch, f lµ mét song ¸nh. ¸nh x¹ ngîc f-1 ®Æt t¬ng øng mçi tªn trong danh s¸ch víi sinh viªn cã tªn ®ã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. §¹i c¬ng vÒ logic suy luËn 1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề a) MÖnh ®Ò trong logic to¸n. Trong ng«n ng÷ th«ng thêng, ta hiÓu mÖnh ®Ò lµ nh÷ng c©u m« t¶ mét ®iÒu g× ®ã, hoÆc ph¸t biÓu mét ý kiÕn mang tÝnh kh¼ng ®Þnh. §èi víi c¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh kh¼ng ®Þnh, chóng ta thêng cã lêi bµn: nãi nh vËy lµ ®óng hoÆc nãi nh vËy lµ sai. Môc ®Ých cña ho¹t ®éng khoa häc lµ kh¼ng ®Þnh ch©n lý kh¸ch quan. Nh÷ng lêi bµn ®óng sai mang tÝnh chñ quan kh«ng cã gi¸ trÞ khoa häc. M«n logic to¸n häc ®Ò cËp tíi cÊu tróc logic ®Ó ph©n ®Þnh ®óng sai. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong logic to¸n häc chóng ta chØ xÐt c¸c mÖnh ®Ò cã hai kh¶ n¨ng x¶y ra: MÖnh ®Ò ®óng hoÆc mÖnh ®Ò sai. Ta gäi c¸c mÖnh ®Ò ®ã lµ c¸c mÖnh ®Ò logic. §óng vµ sai ®îc gäi lµ c¸c gi¸ trÞ ch©n lý hay gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò. Ngêi ta dïng sè 1 vµ sè 0 ®Ó chØ gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò: 1 lµ ®óng vµ 0 lµ sai. Mệnh ®Ò logic lµ mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ logic. Ta ký hiÖu mÖnh ®Ò b»ng c¸c ch÷: p, q, r, Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) C¸c phÐp to¸n mÖnh ®Ò: - PhÐp phñ ®Þnh: Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò “kh«ng p”, ®îc ký hiÖu p. Gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p ngîc l¹i víi gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p. Quan hÖ gi÷a p vµ p thÓ hiÖn ë b¶ng gi¸ trÞ logic sau: p p 0 1 1 0 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu pq, ®äc lµ “p vµ q”. MÖnh ®Ò pq ®óng khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q ®Òu ®óng vµ sai trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i. B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq: p q p q 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu lµ pq, ®äc lµ “p hoÆc q”. MÖnh ®Ò pq sai khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q ®Òu sai vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i. B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq: p q pq 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp kÐo theo: Cho hai mÖnh ®Ò p vµ q, mÖnh ®Ò “p kÐo theo q”, ký hiÖu p q lµ mét mÖnh ®Ò sai khi vµ chØ khi p ®óng nhng q sai vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p q: p q p q 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Gi¸ trÞ logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc hîp XuÊt ph¸t tõ c¸c mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n ta cã thÓ lËp c¸c mÖnh ®Ò míi b»ng phÐp phñ ®Þnh, phÐp héi, phÐp tuyÓn, phÐp kÐo theo. Tõ nh÷ng mÖnh ®Ò míi ®ã ta l¹i tiÕp tôc lËp c¸c mÖnh ®Ò kh¸c C¨n cø vµo c¸c b¶ng gi¸ trÞ logic nªu trªn ta cã thÓ lËp ®îc b¶ng gi¸ trÞ logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc t¹p h¬n. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt mÖnh ®Ò (p q) (q p). B¶ng logic cña mÖnh ®Ò nµy ®îc x¸c ®Þnh nh sau: p q p q q p (p q) (q p) 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 MÖnh ®Ò (p q) (q p), tøc lµ “p kÐo theo q vµ q kÐo theo p” ®îc ký hiÖu lµ: p q, ®äc lµ “p t¬ng ®¬ng q”. Ta thÊy mÖnh ®Ò p q ®óng khi vµ chØ khi p, q cã cïng gi¸ trÞ logic (cïng ®óng hoÆc cïng sai) vµ sai khi p, q cã gi¸ trÞ logic ngîc nhau. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Hµm mÖnh ®Ò a) Kh¸i niÖm biÕn §Þnh nghÜa: Mét ký hiÖu mµ ta cã thÓ g¸n cho nã mét phÇn tö bÊt kú cña tËp hîp X ®îc gäi lµ biÕn. TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn biÕn thiªn cña biÕn ®ã. C¸c biÕn thêng ®îc ký hiÖu b»ng ch÷ x, y, z, Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp sè ®îc gäi lµ biÕn sè. Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò ®îc gäi lµ biÕn mÖnh ®Ò. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Hµm mÖnh ®Ò §Þnh nghÜa: Mét mÖnh ®Ò cã chøa biÕn x, víi miÒn biÕn thiªn X, mµ khi ta g¸n cho x mét phÇn tö x¸c ®Þnh cña tËp hîp X ta ®îc mét mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ logic x¸c ®Þnh ®îc gäi lµ hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. VÝ dô: * “NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chi hÕt cho 3” lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp Z. * p q lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò (p,q). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta sÏ ký hiÖu “p(x), x X” ®Ó nãi r»ng p lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Khi ®· nãi tríc vÒ miÒn biÕn thiªn cña x th× ta viÕt ®¬n gi¶n lµ p(x). B¶n th©n hµm mÖnh ®Ò p(x) kh«ng cã gi¸ trÞ logic, nhng khi g¸n cho x mét phÇn tö cô thÓ cña tËp X th× nã cã gi¸ trÞ logic. - TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò p(x) ®óng gäi lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu X®. - TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò p(x) sai gäi lµ miÒn sai cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu Xs. Ta cã: X® Xs = X ; X® Xs = . VÝ dô: XÐt hµm mÖnh ®Ò “x2 - 3x + 2 = 0, x R”. Khi ®ã: X® = {1; 2}, Xs = R\ {1; 2}. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Lîng tõ Hai lîng tõ ®îc sö dông nhiÒu trong c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc ®ã lµ lîng tõ phæ biÕn vµ lîng tõ tån t¹i. Tõ “víi mäi” ®îc ký hiÖu  gäi lµ lîng tõ phæ biÕn. C¸c mÖnh ®Ò sö dông lîng tõ  ®îc viÕt díi d¹ng: “x X: p(x)” hoÆc “p(x), x X”. MÖnh ®Ò “x X: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) lµ toµn bé tËp X vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) kh¸c rçng. Tõ “tån t¹i” ®îc ký hiÖu  gäi lµ lîng tõ tån t¹i. C¸c mÖnh ®Ò sö dông lîng tõ  ®îc viÕt díi d¹ng: “x X: p(x)”. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò “x X: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) cã Ýt nhÊt mét phÇn tö x X vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) lµ toµn bé tËp X. Tõ ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò “x X: p(x)” vµ “x X: p(x)” ta suy ra: . Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “x X: p(x)” lµ “x X: p(x)”. . Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “x X: p(x)” lµ “x X: p(x)”. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Logic suy luËn, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ a) LuËt Mçi lÜnh vùc khoa häc cã nh÷ng ®èi tîng riªng. C¸c kÕt luËn khoa häc thêng mang tÝnh kh¸i qu¸t, ph¶n ¸nh nh÷ng mèi liªn hÖ mang tÝnh quy luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp nhÊt ®Þnh. C¸c kÕt luËn nh vËy thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c hµm mÖnh ®Ò mµ miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp hîp ®ã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: Mét hµm mÖnh ®Ò p(x), x¸c ®Þnh trªn tËp X, ®îc gäi lµ mét luËt trªn tËp hîp ®ã nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X (miÒn sai lµ tËp rçng). Nãi c¸ch kh¸c, p(x) lµ mét luËt trªn tËp hîp X nÕu mÖnh ®Ò “x X:p(x)” ®óng. Mét luËt trªn tËp h¬p tÊt c¶ c¸c mÖnh ®Ò ®îc gäi lµ luËt logic. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: . MÖnh ®Ò “x R: x2 0” lµ mét luËt trªn tËp hîp c¸c sè thùc. . MÖnh ®Ò “p p” lµ mét luËt logic. B¶ng logic díi ®©y cho thÊy mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng bÊt kÓ p lµ mÖnh ®Ò ®óng hay mÖnh ®Ò sai: p p pp 0 1 1 1 0 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: §Þnh nghÜa trªn cã thÓ ¸p dông cho hµm mÖnh ®Ò nhiÒu biÕn nÕu ta gép mét bé n biÕn thµnh mét biÕn x. Mét luËt trªn tËp hîp Xn (luËt chøa n biÕn, nhng c¶ n biÕn cã cïng miÒn biÕn thiªn X) cã thÓ gäi lµ mét luËt trªn tËp hîp X. VÝ dô: . MÖnh ®Ò “(x, y) R ta lu«n cã: x + y = y + x” lµ mét luËt trªn R. §ã lµ luËt giao ho¸n cña phÐp céng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
. Hµm mÖnh ®Ò hai biÕn “p q (pq)” lµ mét luËt logic. B¶ng logic dưíi ®©y cho thÊy mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng víi (p, q) lµ cÆp mÖnh ®Ò bÊt kú: p q p q q pq pq pp (pq) 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ Khi nghiªn cøu c¸c ®èi tîng trong ph¹m vi mét tËp hîp X, c¸c nhËn ®Þnh mang tÝnh kh¸i qu¸t thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c hµm mÖnh ®Ò chøa biÕn x X. C¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh diÔn gi¶i cã d¹ng: x X: p(x) q(x) (1.1) Ta ®· biÕt r»ng mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò “p(x) q(x)” lµ toµn bé tËp X. Tuy nhiªn víi nh÷ng phÇn tö x X mµ p(x) sai th× “p(x) q(x)” lu«n lu«n ®óng, do ®ã mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña p(x) lµ tËp con cña miÒn ®óng cña q(x), tøc lµ víi bÊt kú phÇn tö x X nµo mµ p(x) ®óng th× q(x) còng ®óng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò (1.1) thêng ®îc ph¸t biÓu nh sau: . NÕu p(x) th× q(x), . q(x) khi p(x), . §iÒu kiÖn cÇn ®Ó p(x) lµ q(x), . §iÒu kiªn ®ñ ®Ó q(x) lµ p(x). Khi chøng minh mÖnh ®Ò (1.1), p(x) lµ gi¶ thiÕt cßn q(x) lµ kÕt luËn. VÝ dô: Víi sè nguyªn x chia hÕt cho 6 ta chøng minh ®îc x chia hÕt cho 3, khi ®ã ta ph¸t biÓu nh sau: . NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chia hÕt cho 3, . x chia hÕt cho 3 khi x chia hÕt cho 6, . §iÒu kiÖn cÇn ®Ó x chia hÕt cho 6 lµ x chia hÕt cho 3 . §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x chia hÕt cho 3 lµ x chia hÕt cho 6. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ NÕu p(x) võa lµ ®iÒu kiÖn cÇn, võa lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó q(x) th× ta nãi: . p(x) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó q(x), . p(x) khi vµ chØ khi q(x), . p(x) t¬ng ®¬ng q(x). Khi p(x) t¬ng ®¬ng q(x) ta ký hiÖu: p(x) q(x) (1.2) HÖ thøc (1.2) cã nghÜa lµ víi mäi x X hai mÖnh ®Ò p(x) vµ q(x) cã cïng gi¸ trÞ logic. Khi ®ã nÕu mét trong hai mÖnh ®Ò nµy cã mÆt trong mét mÖnh ®Ò phøc hîp nµo ®ã ta cã thÓ thay mÖnh ®Ò nµy b»ng mÖnh ®Ò kia mµ kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò phøc hîp Êy. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. Logic chøng minh mÖnh ®Ò V× mçi mÖnh ®Ò logic chØ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ: ®óng hoÆc sai do ®ã chøng minh mét mÖnh ®Ò cã nghÜa lµ x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò ®ã lµ ®óng. a) C¨n cø ®Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò C¨n cø ®Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. Cã hai lo¹i mÖnh ®Ò ®îc sö dông lµm c¨n cø ®Ó chøng minh: - C¸c mÖnh ®Ò ®îc thõa nhËn lµ ®óng: ®ã lµ c¸c mÖnh ®Ò ®Þnh nghÜa vµ c¸c tiªn ®Ò, - C¸c mÖnh ®Ò ®· ®îc chøng minh lµ ®óng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) PhÐp suy luËn ®óng PhÐp suy luËn ®óng lµ phÐp suy luËn dùa trªn c¸c luËt logic hoÆc luËt kÐo theo trªn mét tËp hîp X. LuËt kÐo theo trªn mét tËp X cã d¹ng: p(x) q(x) (1.3) Trong ®ã x lµ mét biÕn hoÆc mét bé gåm c¸c biÕn víi miÒn biÕn thiªn lµ tËp X. Ta ®· biÕt r»ng hµm mÖnh ®Ò (1.3) lµ mét luËt trªn tËp X nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X, do ®ã khi p(x) ®óng cã thÓ kÕt luËn r»ng q(x) ®óng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
B¶n th©n c¸c luËt logic vµ c¸c luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp X còng lµ c¸c mÖnh ®Ò ®îc chøng minh lµ ®óng vµ thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c ®Þnh lý. C¸c ®Þnh lý ®ã ®îc thiÕt lËp tõ c¸c ®Þnh nghÜa vµ hÖ th«ng tiªn ®Ò. Mçi ®Þnh lý ®îc chøng minh lµ c¨n cø ®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lý kh¸c. §ã lµ logic ph¸t triÓn cña mäi hÖ thèng lý thuyÕt trong khoa häc nãi chung vµ trong to¸n häc nãi riªng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Mét sè luËt logic cÇn chó ý 1. LuËt bµi trung: p p ; p  p 2. LuËt phñ ®Þnh cña phñ ®Þnh: p p 3. LuËt ®èi ngÉu: p  q p  q p  q p  q 4. LuËt ph¶n chøng: ( p q) (q p) 5. LuËt giao ho¸n: p  q q  p p  q q  p Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. LuËt kÕt hîp: ( p  q)  r q  ( p  r) ( p  q)  r q  ( p  r) 7. LuËt ph©n phèi: p  (q  r) (q  p)  ( p  r) p  (q  r) (q  p)  (q  r) 8. LuËt p q ( p  q) 9. LuËt x X : p(x) [x X : p(x)] 10. LuËt x X : p(x) [ x X : p(x)] Ta cã thÓ chøng minh c¸c luËt nµy b»ng c¸ch lËp b¶ng gi¸ trÞ logic (dµnh cho sinh viªn). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng II. Ma trËn - §Þnh thøc Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. Ma trËn 1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ma trËn a) Kh¸i niÖm ma trËn §Þnh nghÜa: Mét b¶ng gåm mxn sè xÕp thµnh m hµng vµ n cét ®îc gäi lµ mét ma trËn cÊp mxn vµ ®îc ký hiÖu nh sau: a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     am1 am2  amn C¸c sè aij ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn A. Cô thÓ aij lµ phÇn tö n»m trªn hµng i vµ cét j cña ma trËn A. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó kÝ hiÖu ma trËn ngêi ta thêng viÕt b¶ng sè bªn trong hai dÊu ngoÆc vu«ng nh trªn hoÆc hai dÊu ngoÆc trßn. §Ó nãi A lµ ma trËn cÊp mxn cã phÇn tö n»m ë hµng i cét j lµ aij ta A a viÕt  ij m n Khi m n , ta cã ma trËn víi n hµng n cét, ta gäi nã lµ ma trËn vu«ng cÊp n . . Trong ma trËn vu«ng cÊp n : a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     an1 an2  ann Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c phÇn tö a11,a22 ,,ann gäi lµ c¸c phÇn tö chÐo. §êng th¼ng ®i qua c¸c phÇn tö chÐo gäi lµ ®êng chÐo chÝnh cña ma trËn, ®êng chÐo cßn l¹i gäi lµ ®êng chÐo phô. - Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m vÒ mét phÝa cña ®êng chÐo chÝnh b»ng kh«ng gäi lµ ma trËn tam gi¸c. Cã hai lo¹i ma trËn tam gi¸c: a a  a 11 12 1n a11 0  0 0 a22  a2n a a  0 vµ 21 22         0 0  ann an1 an2  ann Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®êng chÐo chÝnh b»ng kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn chÐo. Ma trËn chÐo cÊp n cã d¹ng: a11 0  0 0 a22  0     0 0  ann Trêng hîp ®Æc biÖt, khi a11 a22  ann 1 ma trËn chÐo ®îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ. Ma trËn ®¬n vÞ ®îc ký hiÖu I hoÆc E: 1 0  0 0 1  0 I     0 0  1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: 1 2 3 4 A 5 6 7 8 lµ mét ma trËn cÊp 2 4 víi c¸c phÇn tö: a 11 1 , a12 2 , a13 3 , a14 4 a 21 5 , a 22 6 , a 23 7 , a 24 8. VÝ dô 2: B 1 2 3 lµ ma trËn cÊp 1x3 (cßn gäi lµ ma trËn hµng) víi c¸c phÇn tö: b11 1, b12 2, b13 3. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4 VÝ dô 3: C 5 6 lµ ma trËn cÊp 3 1(cßn gäi lµ ma trËn cét) víi c¸c phÇn tö: c11 4 , c21 5 , c31 6 . b) Ma trËn kh«ng vµ ma trËn ®èi . Ma trËn kh«ng lµ ma trËn cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng. Ma trËn kh«ng ký hiÖu lµ 0. . Víi mçi ma trËn A a ta ®Æt A a . Ma trËn A ®îc gäi  ij m n  ij m n lµ ma trËn ®èi cña ma trËn A. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Ma trËn b»ng nhau §Þnh nghÜa: Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau, tøc lµ: 1) A a , B b  ij m n  ij m n 2) aij bij víi mäi i vµ mäi j . Khi A b»ng B ta viÕt A B . VÝ dô: 1 2 a b 3 4 c d cã nghÜa lµ a 1 ,b 2 , c 3 , d 4 . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. C¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn a) PhÐp céng ma trËn §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn A [aij ]m n , B [bij ]m n . Tæng cña hai ma trËn A vµ B lµ mét ma trËn cÊp m n, ký hiÖu A B vµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau: A B [aij bij ]m n Nh vËy muèn céng hai ma trËn cïng cì ta céng c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ víi nhau. VÝ dô: 1 2 4 1 5 1 . 3 4 2 6 5 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp céng ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt sau: A B B A (A B) C A (B C) A 0 0 A A A ( A) ( A) A 0 b) PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè §Þnh nghÜa: Cho ma trËn A a , k lµ sè thùc bÊt kú. TÝch cña  ij m n ma trËn A víi sè k lµ mét ma trËn cÊp m n , ký hiÖu kA vµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau: kA [kaij ]m n Nh vËy, muèn nh©n mét ma trËn víi mét sè ta nh©n tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña ma trËn víi sè ®ã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: 3 4 6 8 2 1 4 2 8 TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè cã c¸c tÝnh chÊt sau: k(A B) kA kB (k h)A kA hA k(hA) (kh)A 1.A A 0.A 0 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn A a , B b §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn  ij m n  ij n p . TÝch cña ma trËn A víi ma trËn B lµ mét ma trËn cÊp m p , ký hiÖu AB vµ ®îc AB c x¸c ®Þnh nh sau:  ij m p n trong ®ã: cij ai1b1 j ai2b2 j  ainbnj aik bkj , k 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸ch tÝnh cij cã thÓ h×nh dung b»ng s¬ ®å sau: b1 j b2 j a a  a i1 i2 in  bnj vµ cã thÓ nãi t¾t: c b»ng hµng i cña A nh©n víi cét j cña B . ij Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: 3 3 12 1 4 2 2 8 3 1 4 11 2 1 2 1 2 3 10 18 3 2 4 1 2 9 18 1 4 1 2 3 0 5 8 0 1 1 4 1 4 3 0 1 2 3 6 1 4 0 1 1 2 2 3 2 1 16 3 2 0 1 8 4 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: - Muèn nh©n AB( A bªn tr¸i, B bªn ph¶i) ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét cña A b»ng sè hµng cña B. Muèn nh©n BA(B bªn tr¸i, A bªn ph¶i) ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét cña B b»ng sè hµng cña A. Do ®ã khi nh©n AB ®îc cha ch¾c ®· nh©n BA ®îc. Trêng hîp ®Æc biÖt khi A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp th× nh©n AB vµ BA ®Òu ®îc. . Khi nh©n AB vµ BA ®îc, cha ch¾c ®· cã AB BA. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn cã tÝnh chÊt sau A(B C) AB AC (B C)A BA CA A(BC) (AB)C k(BC) (kB)C B(kC) IA A ; BI B §Æc biÖt, trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp ta cã: AI IA A Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Ma trËn chuyÓn vÞ A a A §Þnh nghÜa: XÐt ma trËn  ij m n , nÕu chuyÓn c¸c hµng cña thµnh c¸c cét víi thø tù t¬ng øng (khi ®ã c¸c cét trë thµnh hµng víi thø tù t¬ng øng) ta ®îc ma trËn míi gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña A, ký hiÖu lµ At . At a Nh vËy  ji n m . VÝ dô: 2 3 2 1 4 A 1 0 t th× A 3 0 5 4 5 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. ChuyÓn vÞ cña tÝch hai ma trËn Gi¶ sö A a , B b . Qua phÐp chuyÓn vÞ ta cã:  ij m n  ij n p A t a , B t b  ji n m  ji p n V× vËy ta cã thÓ nh©n B t A t ®îc. §Þnh lý: (AB)t Bt At Chøng minh. Víi hai ma trËn: A a , B b  ij m n  ij n p n AB C c trong ®ã c a b  ij m p ij  ik kj k 1 Ta cã: At a t trong ®ã a t a  ij n m ij ji B t b t trong ®ã b t b  ij p n ij ji n C t c t trong ®ã c t c a b  ij p n ij ji  jk ki k 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n t t Bt At D d d bt at Do ®ã cã thÓ nh©n B A vµ  ij p m trong ®ã ij  ik kj k 1 n n t Ta nhËn thÊy: dij bki a jk  a jk bki c ji cij k 1 k 1 t t t t Do ®ã: B A C (AB) §Þnh lý ®îc chøng minh. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 2 2 1 VÝ dô: A , B 1 4 3 1 Ta cã 8 3 t 8 14 AB , (AB) 14 5 3 5 t 1 1 t 2 3 A , B 2 4 1 1 t t 8 14 B A 3 5 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. §Þnh thøc 1. §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng XÐt ma trËn vu«ng cÊp n : a11 a12  a1 j  a1n a21 a22  a2 j  a2n       A ai1 ai2  aij  ain       an1 an2  anj  ann Ta chó ý ®Õn phÇn tö aij , bá ®i hµng thø i vµ cét thø j ta thu ®îc ma trËn cÊp n 1. Ta ký hiÖu nã lµ M ij vµ gäi nã lµ ma trËn con øng víi phÇn tö aij . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a11 a12 a13 A a a a Ch¼ng h¹n, víi: 21 22 23 a31 a32 a33 ta cã: a22 a23 a21 a23 a21 a22 M11 , M12 , M13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a12 a13 a11 a13 a11 a12 M 21 , M 22 , M 23 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a12 a13 a a a11 a12 M , M 11 13 , M 31 a a 32 33 22 23 a21 a23 a21 a22 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: §Þnh thøc cña ma trËn A, ký hiÖu lµ det(A) , ®îc ®Þnh nghÜa dÇn dÇn nh sau: NÕu A lµ ma trËn cÊp 1: A a11 th× det(A) a11 . NÕu A lµ ma trËn cÊp 2: a11 a12 A a21 a22 th× det(A) a11det(M11) a12 det(M12) a11a22 a12a21. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Mét c¸ch tæng qu¸t, nÕu A lµ ma trËn cÊp n: a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     an1 an2  ann 1 n th× det( A) a11 det(M11) a12 det(M12 )  1 a1n det(M1n ) . (2.1) §Ó ký hiÖu ®Þnh thøc, ngêi ta dïng hai g¹ch ®øng ®Æt ë hai bªn: a11 a12 a13 a11 a12 , a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 §Þnh thøc cña ma trËn cÊp n gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: 1 2 1.4 3.2 2 3 4 1 2 3 5 6 4 6 4 5 4 5 6 1 2 3 8 9 7 9 7 8 7 8 9 1(45 48) 2( 36 42) 3(32 35) 240 §èi víi ®Þnh thøc cÊp 3 ta cã thÓ tÝnh theo quy t¾c ®êng chÐo nh sau: a11 a12 a13 A A a a a Cho lµ ma trËn cÊp 3: 21 22 23 a31 a32 a33 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Theo ®Þnh nghÜa ta cã: det(A) a11 det(M11) a12 det(M12 ) a13 det(M13 ) a22 a23 a21 a23 a21 a22 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a33 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31a22a13 a12a21a33 a32a23 + Ba thµnh phÇn mang dÊu (+) lµ: tÝch c¸c phÇn tö thuéc ®êng chÐo chÝnh; tÝch cña hai phÇn tö n»m trªn mçi ®êng song song víi ®êng chÐo chÝnh vµ phÇn tö ë gãc ®èi diÖn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
+ Ba thµnh phÇn mang dÊu (-) ®îc thµnh lËp hoµn toµn t¬ng tù nhng theo ®êng chÐo phô. Quy t¾c ®êng chÐo ®îc biÓu diÔn theo s¬ ®å sau: * * * * * * * * * * * * * * * * * * VÝ dô: 1 2 3 4 5 6 1.5.9 2.6.7 ( 4)( 8).3 7.5.3 ( 4).2.9 ( 8).6.1 240 7 8 9 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc TÝnh chÊt 1. det(A) det(At ) . VÝ dô: 1 2 1 3 2 ; 2 3 4 2 4 HÖ qu¶: Mét tÝnh chÊt ®· ®óng khi ph¸t biÓu vÒ hµng cña ®Þnh thøc th× nã vÉn cßn ®óng khi trong ph¸t biÓu ta thay hµng b»ng cét. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 2. §æi chç hai hµng (hay hai cét) cña mét ®Þnh thøc ta ®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò ®æi dÊu. VÝ dô: 1 2 3 4 2 ; 2 3 4 1 2 TÝnh chÊt 3. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau th× b»ng kh«ng. TÝnh chÊt 4. Dùa vµo ®Þnh nghÜa (2.1) vµ ¸p dông tÝnh chÊt 2 ta suy ra i 1 det(A) ( 1) ai1det(Mi1) ai2 det(Mi2)  ain det(Min) (2.2) C«ng thøc (2.2) gäi lµ khai triÓn cña ®Þnh thøc theo hµng i . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo cét j 1 j det(A) ( 1) a1 j det(M1 j ) a2 j det(M 2 j )  anj det(M nj ) (2.3) 1 2 3 VÝ dô: XÐt 4 5 6 7 8 9 ë vÝ dô trªn ta ®· t×m ®îc 240 . B©y giê ¸p dông khai triÓn ®Þnh thøc theo hµng 3 ta cã 3 1 2 3 1 3 1 2  ( 1) 7 ( 8) 9  7(12 15) 8(6 12) 9(5 8) 240 ¸p 5 6 4 6 4 5  dông khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 2 ta còng cã 1 2 4 6 1 3 1 3  ( 1) 2 5 ( 8)  2( 36 42) 5(9 21) 8(6 12) 240 7 9 7 9 4 6  Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 5. Mét ®Þnh thøc cã mét hµng (hay mét cét) toµn sè kh«ng th× b»ng kh«ng. §ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3). TÝnh chÊt 6. Khi nh©n c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) víi cïng mét sè k th× ®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò nh©n víi k . §ã còng lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3). HÖ qu¶: Tõ tÝnh chÊt 6 ta suy ra nhËn xÐt sau: khi c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) cã thõa sè chung, ta cã thÓ ®a thõa sè chung ®ã ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2 3 2 3 4 4(4 3) 4 VÝ dô: 4 8 1 2 TÝnh chÊt 7. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) tØ lÖ th× b»ng kh«ng. ThËt vËy, ®a hÖ sè tØ lÖ ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc th× ®îc mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau nªn nã b»ng kh«ng. TÝnh chÊt 8. Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) cã d¹ng tæng cña hai sè h¹ng th× ®Þnh thøc cã thÓ ph©n tÝch thµnh tæng cña hai ®Þnh thøc, ch¼ng h¹n nh: a a a a a a a 11 12 12 11 12 11 12 a 21 a 22 a 22 a 21 a 22 a 21 a 22 a a a a a a a a 11 11 12 12 11 12 11 12 a 21 a 22 a 21 a 22 a 21 a 22 §ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 9. Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c phÇn tö t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi cïng mét sè th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi. 2 1 3 2 1 3 2 1 3 VÝ dô: 4 5 7 4 ( 2)2 5 ( 2)1 7 ( 2)3 0 3 1 6 1 5 6 1 5 6 1 5 TÝnh chÊt 10. C¸c ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c b»ng tÝch c¸c phÇn tö chÐo. a11 a12  a1n a11 0  0 0 a  a a a  0 22 2n a a  a , 21 22 a a  a     11 22 nn     11 22 nn 0 0  ann an1 an2  ann Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chøng minh ta dùa vµo khai triÓn (2.2) vµ (2.3). VÝ dô: 1 2 3 0 5 4 1.5.7 35 0 0 7 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc 1. Ph¬ng ph¸p khai triÓn Ph¬ng ph¸p khai triÓn lµ ph¬ng ph¸p sö dông c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3). B©y giê ta ®a vµo kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè, khi ®ã c¸c c«ng thøc nµy ®îc viÕt ®¬n gi¶n h¬n. a) Kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè Cho ma trËn vu«ng cÊp n: a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     an1 an2  ann Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
ë phÇn trªn ta ®· gäi ma trËn M ij suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i hµng i j i cét lµ ma trËn con øng víi phÇn tö aij .Ta gäi Cij ( 1) det(M ij ) lµ phÇn bï ®¹i sè cña phÇn tö aij . Víi c¸c ký hiÖu ®ã c«ng thøc (2.2) kÕt hîp víi tÝnh chÊt 3 cña ®Þnh thøc ta cã: det(A) khi k i ak1Ci1 ak 2Ci2  aknCin 0 khi k i (2.4) KÕt hîp c«ng thøc (2.3) víi tÝnh chÊt 3 ta cã: det(A) khi k j a1k C1 j a2k C2 j  ank Cnj 0 khi k j (2.5) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy c«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc b»ng c¸ch khai triÓn theo hµng i hoÆc cét j bÊt kú ®îc viÕt l¹i nh sau: + Khai triÓn theo hµng i : det(A) ai1Ci1 ai2Ci2 ainCin (2.6) + Khai triÓn theo cét j : det(A) a1 jC1 j a2 jC2 j anjCnj (2.7) VÝ dô: TÝnh ®Þnh thøc sau: 1 1 4 2 2 1 3 1 d = 0 2 0 0 1 1 0 1 Khai triÓn ®Þnh thøc ®ã theo hµng 3 ta ®îc: 1 4 2 d = 2.( 1)3 2 2 3 1 14 1 0 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi vÒ d¹ng tam gi¸c §Ó tÝnh mét ®Þnh thøc ta cã thÓ ¸p dông mét sè tÝnh chÊt cña nã ®Ó ®a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c. 0 1 5 VÝ dô: H·y tÝnh 3 6 9 2 6 1 3 6 9 Ta cã 0 1 5 (®æi chç hµng 1 vµ hµng 2) 2 6 1 1 2 3 = 3 0 1 5 (®a thõa sè 3 ë hµng 1 ra ngoµi) 2 6 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 2 3 = 3 0 1 5 (céng -2 lÇn hµng 1 vµo hµng 3) 0 10 5 1 2 3 = 3 0 1 5 (céng -10 lÇn hµng 2 vµo hµng 3) 0 0 55 3.1.1.( 55) 165 Chó ý: Còng cã thÓ xÐt c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ cét vµ ¸p dông chóng ®Ó tÝnh ®Þnh thøc. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. §Þnh thøc cña tÝch hai ma trËn §Þnh lÝ: NÕu A vµ B lµ hai ma trËn cïng cÊp th× cã: det(AB) det(A) det(B). VÝ dô: Cho 3 1 1 3 A B 2 1 5 8 Khi ®ã 2 17 AB 3 14 Ta thÊy: det(A) 1, det(B) 23, det(AB) 23 VËy râ rµng: det(AB) det(A) det(B) . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. Ma trËn nghÞch ®¶o 1. Kh¸i niÖm ma trËn nghÞch ®¶o §Þnh nghÜa: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. NÕu tån t¹i ma trËn vu«ng B cÊp n sao cho: AB BA I trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n th× ta nãi A kh¶ ®¶o vµ gäi B lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A. Ngêi ta ký hiÖu ma trËn nghÞch ®¶o cña A lµ A 1, nghÜa lµ: AA 1 A 1A I . 1 2 1 2 1 VÝ dô: A th× A 3 4 3 2 1 2 1 2 2 1 1 0 v×: 3 4 3 2 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 2 3 4 0 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Sù duy nhÊt cña ma trËn nghÞch ®¶o §Þnh lý: Ma trËn nghich ®¶o A 1 cña A nÕu cã th× chØ cã mét mµ th«i. ThËt vËy,gi¶ sö B vµ C ®Òu lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A, tøc lµ: AB BA I , AC CA I Khi ®ã ta cã: B(AC) BI B vµ (BA)C IC C Do phÐp nh©n ma trËn cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn ta suy ra B C Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Sù tån t¹i cña ma trËn nghÞch ®¶o vµ biÓu thøc cña nã XÐt ma trËn: a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     an1 an2  ann §Þnh lÝ: NÕu det(A) 0 th× ma trËn A cã nghÞch ®¶o A 1 tÝnh bëi c«ng thøc sau: C11 C21  Cn1 1 1 C C  C A 1 C t 12 22 n2 det(A) det(A)     C1n C2n  Cnn Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Mét ma trËn vu«ng cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn kh«ng suy biÕn. Chøng minh. Nh©n AC t vµ ¸p dông c«ng thøc (2.4) ta ®îc: det( A) 0  0 0 det( A)  0 AC t     0 0  det(A) Nh©n C t A vµ ¸p dông c«ng thøc (2.5) ta còng ®îc kÕt qu¶ nh vËy. 1 0 0 1 1 0 1 0 Do ®ã: AC t C t A I det(A) det(A) 0 0 1 vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 2 3 VÝ dô 1: Cho A 2 5 3 1 0 8 Ta cã: det(A) 1 0 C11 40 C12 13 C13 5 C21 16 C22 5 C23 2 C31 9 C32 3 C33 1 40 13 5 40 16 9 t Do ®ã: C 16 5 2 C 13 5 3 9 3 1 5 2 1 40 16 9 1 VËy: A 1 C t 13 5 3 1 5 2 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 2: XÐt ma trËn cÊp 2 a b A c d NÕu det(A) ad bc 0 th×: 1 1 d b A ad bc c a C11 C12 d c V× C C21 C22 b a t d b Do ®ã: C c a Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp: a) C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp: C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi ma trËn ®îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp: 1) Nh©n c¸c phÇn tö cña hµng (hoÆc cét) víi sè kh¸c kh«ng. 2) §æi chç hai hµng (hoÆc hai cét). 3) Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c phÇn tö t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi cïng mét sè. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp §Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A (cÊp n ) ta ghÐp ma trËn ®¬n vÞ I cÊp n bªn c¹nh ma trËn A, khi ®ã ta ®îc ma trËn cÊp n (2n): C [A I ] Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ®Ó ®a ma trËn C vÒ d¹ng: [ I B] Khi ®ã ma trËn B chÝnh lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A. VÝ dô: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn sau b»ng biÕn ®æi s¬ 1 2 3 cÊp: A 2 5 3 1 0 8 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Toµn bé qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®îc thÓ hiÖn trong b¶ng sau: 1 2 3 1 0 0 L1 2 5 3 0 1 0 L2 1 0 8 0 0 1 L3 1 2 3 1 0 0 2 L 1 L 2 L 2 0 1 -3 -2 1 0 1 L L L 0 -2 5 -1 0 1 1 3 3 1 2 3 1 0 0 0 1 -3 -2 1 0 2 L 2 L 3 L 3 0 0 -1 -5 2 1 1 2 3 1 0 0 0 1 -3 -2 1 0 1 L 3 L 3 0 0 1 5 -2 -1 1 2 0 -1 4 63 3 L 3 L 1 L 1 0 1 0 13 -5 -3 3 L L L 0 0 1 5 -2 - 1 3 2 2 1 0 0 -0 16 9 0 1 0 13 -5 -3 2 L 2 L 1 L 1 0 0 1 5 - 2 - 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
40 16 9 1 VËy A 13 5 3 5 2 1 Ph¬ng ph¸p nãi trªn cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss- Jordan. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. Ma trËn nghÞch ®¶o cña tÝch hai ma trËn §Þnh lÝ: Cho A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp. Gi¶ sö A vµ B lµ hai ma trËn kh¶ ®¶o. khi ®ã AB còng kh¶ ®¶o vµ (AB) 1 B 1 A 1 Chøng minh. Ta cã (AB)B 1 A 1 A(BB 1)A 1 AIA 1 I B 1 A 1(AB) B 1(A 1 A)B B 1IB I VËy AB kh¶ ®¶o vµ B 1 A 1lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña AB . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lÝ: NÕu A lµ ma trËn kh¶ ®¶o vµ cã nghÞch ®¶o A 1 th×: 1) A 1còng kh¶ ®¶o vµ (A 1) 1 A . 2) Am còng kh¶ ®¶o vµ (Am ) 1 (A 1)m , m nguyªn d¬ng. 1 k 0 ta cã kA còng kh¶ ®¶o vµ (kA) 1 A 1 . 3. k Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. øng dông cña ma trËn nghÞch ®¶o Trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n ta xÐt c¸c ph¬ng tr×nh: AX = B (2.8) YA = B (2.9) Trong ®è A vµ B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n cho tríc. NÕu A cã ma trËn nghÞch ®¶o, nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.8) víi A-1 vÒ bªn tr¸i ta ®îc: X = A-1B (2.10) T¬ng tù nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.9) víi A-1 vÒ bªn ph¶i ta ®îc: Y = B A-1 (2.11) Nh vËy, khi ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o th× mçi ph¬ng tr×nh (2.8) vµ (2.9) cã mét nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c¸c c«ng thøc (2.10) vµ (2.11). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 2 5 6 VÝ dô: Cho hai ma trËn: A ; B 3 4 7 8 V× det(A) 2 nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o: 1 1 4 2 A 2 3 1 Ph¬ng tr×nh AX = B cã mét nghiÖm duy nhÊt: 1 4 2 5 6 1 6 8 3 4 X 2 3 1 7 8 2 8 10 4 5 Ph¬ng tr×nh YA = B cã mét nghiÖm duy nhÊt: 1 5 6 4 2 1 2 4 1 2 Y 2 7 8 3 1 2 4 6 2 3 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: +) C«ng thøc (2.10) cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.8) khi B lµ ma trËn cÊp n p bÊt kú. T¬ng tù, c«ng thøc (2.11) cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.9) khi B lµ ma trËn cÊp q n bÊt kú. +) NÕu ma trËn A kh«ng cã nghÞch ®¶o ta cã thÓ gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh (2.8) vµ (2.9) b»ng c¸ch quy vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi c¸c Èn sè lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn ph¶i t×m mµ ta sÏ nghiªn cøu ë ch¬ng sau. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§5. h¹ng cña ma trËn 1. H¹ng cña ma trËn XÐt ma trËn cÊp m n a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     am1 am2  amn Gäi p lµ sè nguyªn d¬ng min m,n. §Þnh nghÜa 5.1. Ma tr©n vu«ng cÊp p suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i m p hµng vµ n p cét gäi lµ ma trËn con cÊp p cña A. §Þnh thøc cña ma trËn con ®ã gäi lµ ®Þnh thøc con cÊp p cña A. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt ma trËn 1 3 4 2 A 2 1 1 4 1 2 1 2 Ta cã min 3,4 3, vËy p 1, 2, 3. C¸c ®Þnh thøc con cÊp 3 cña A lµ: 1 3 4 1 4 2 3 4 2 1 3 2 2 1 1 0 ; 2 1 4 0 ; 1 1 4 0; 2 1 4 0 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 C¸c ®Þnh thøc con cÊp hai lµ 1 3 1 3 7 ; 5 ; 2 1 1 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: H¹ng cña ma trËn A lµ cÊp cao nhÊt cña ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cña A. Ta ký hiÖu h¹ng cña ma trËn A lµ (A). VÝ du: XÐt ma tr©n A ë vÝ dô trªn. Ta thÊy c¸c ®Þnh thøc con cÊp ba ®Òu b»ng kh«ng, nhng cã ®Þnh thøc con cÊp hai kh¸c kh«ng. VËy (A) 2. V× phÐp chuyÓn vÞ kh«ng lµm thay ®æi c¸c ®Þnh thøc con nªn ta lu«n cã: (A) (At ) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp a) Ma trËn bËc thang: §ã lµ nh÷ng ma trËn cã hai tÝnh chÊt sau 1) C¸c hµng kh¸c kh«ng (lµ hµng cã Ýt nhÊt 1 phÇn tö kh¸c kh«ng) lu«n ë trªn c¸c hµng kh«ng (lµ hµng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö b»ng kh«ng), nÕu nh trong ma trËn ®ã cã hµng kh«ng. 2) Trªn hai hµng kh¸c kh«ng th× phÇn tö kh¸c kh«ng ®Çu tiªn ë hµng díi bao giê còng ë bªn ph¶i cét chøa phÇn tö kh¸c kh«ng ®Çu tiªn ë hµng trªn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¼ng h¹n c¸c ma trËn sau cã d¹ng bËc thang: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 A 0 0 5 6 , B 0 0 5 6 , C 0 4 5 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 6 Ta thÊy ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn A lµ 3, vËy (A) 3, nã b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña A, cßn ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn B lµ 2, vËy (B) 2, nã b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña B, vµ ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn C lµ 3, vËy (C) 3, nã b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña C . Chó ý: H¹ng cña ma trËn d¹ng bËc thang b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña nã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) T×m h¹ng cña ma tr©n b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp Do c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng kh«ng lµm thay ®æi tÝnh kh¸c kh«ng hay b»ng kh«ng cña c¸c ®Þnh thøc con cña ma trËn, nªn kh«ng thay ®æi h¹ng cña ma trËn. V× vËy ta cã thÓ ¸p dông chóng ®Ó ®a mét ma trËn vÒ d¹ng bËc thang råi ¸p dông chó ý trªn ®Ó suy ra h¹ng cña ma trËn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Cho ma trËn 1 3 4 2 A 2 1 1 4 1 2 1 2 ¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ta cã: 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 2 1 1 4 0 7 7 0 0 7 7 0 1 2 1 2 0 5 5 0 0 0 0 0 B¶ng sè cuèi cïng lµ mét ma tr©n bËc thang cã hai hµng kh¸c kh«ng. VËy (A) 2. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng III HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 1. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t cña n Èn sè x1, x2 ,. . . , xn cã d¹ng: a11x1 a12 x2  a1n xn b1 a21x1 a22 x2  a2n xn b2 (3.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 am2 x2  amn xn bm trong ®ã aij vµ bi lµ c¸c h»ng sè cho tríc: aij lµ hÖ sè cña Èn x j ë ph¬ng tr×nh thø i , bi ®îc gäi lµ sè h¹ng tù do cña ph¬ng tr×nh thø i (i 1,m ; j 1,n ). Khi tÊt c¶ c¸c bi 0 ta cã mét hÖ thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi lµ kh«ng thuÇn nhÊt. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
XÐt ma trËn c¸c hÖ sè aij cña hÖ (3.1) a11 a12  a1n a a  a A 21 22 2n     am1 am2  amn ®îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ. NÕu ghÐp thªm vµo A cét sè h¹ng tù do ta cã ma trËn: a11 a12  a1n b1 a a  a b A 21 22 2n 2 . . . . . . . . . . . . am1 am2  amn bm ®îc gäi lµ ma trËn më réng cña hÖ. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt: b1 x1 b x B 2 b b  b t ; X 2 x x  x t  1 2 m  1 2 n bm xn Khi ®ã hÖ (3.1) ®îc viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh ma trËn nh sau: A X B . (3.2) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa: NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3.1) lµ mét bé n sè cã thø tù (c1, c2 , ,cn ) mµ khi g¸n x1 c1, x2 c2 ,. . . , xn cn vµo tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ ta ®îc c¸c ®¼ng thøc ®óng. 3. HÖ t¬ng ®¬ng §Þnh nghÜa: Hai hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi c¸c Èn sè nh nhau ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm, tøc lµ mçi nghiÖm cña hÖ nµy ®ång thêi lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i (hoÆc c¶ hai hÖ ®Òu v« nghiÖm). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp §Þnh nghÜa: C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp: 1. §æi chç hai ph¬ng tr×nh bÊt kú cho nhau. 2. Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh cña hÖ víi mét sè kh¸c kh«ng. 3. Céng vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh hai vÕ t¬ng øng cña mét ph¬ng tr×nh kh¸c sau khi ®· nh©n víi mét sè bÊt kú. §Þnh lý: C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp biÕn mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thµnh mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh t¬ng ®¬ng víi nã. ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. HÖ tam gi¸c vµ hÖ h×nh thang a) HÖ tam gi¸c Lµ hÖ cã d¹ng: a11x1 a12 x2  a1n xn b1 a22 x2  a2n xn b2 (3.3) . . . . . . . . . . . . . ann xn bn Trong ®ã tÊt c¶ c¸c hÖ sè a11 ,a22 , ,ann ®Òu kh¸c kh«ng. §©y lµ hÖ cã sè ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn vµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè mÊt dÇn. Ph¬ng tr×nh cuèi cho ngay xn , ph¬ng tr×nh liÒn trªn cho xn 1 , , ph¬ng tr×nh ®Çu cho x1. HÖ (3.3) cã nghiÖm duy nhÊt. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) HÖ h×nh thang a11x1 a12 x2 a1m xm  a1n xn b1 a22 x2  a2m xm a2n xn b2 Lµ hÖ cã d¹ng: (3.4) . . . . . . . . . . . . . amm xm amn xn bm trong ®ã aii 0(i 1,m) vµ m n . HÖ h×nh thang còng cã ®Æc ®iÓm gièng hÖ tam gi¸c lµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè mÊt dÇn, nhng hÖ h×nh thang cã sè ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn v× vËy ph¬ng tr×nh cuèi cña hÖ cã nhiÒu Èn sè.Trong hÖ (3.4) c¸c Èn x1 , x2 , , xm ®îc gäi lµ c¸c Èn chÝnh, c¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. G¸n cho Èn tù do c¸c gi¸ trÞ tuú ý vµ chuyÓn c¸c sè h¹ng chøa chóng sang vÕ ph¶i ta ®îc hÖ tam gi¸c ®èi víi c¸c Èn chÝnh, gi¶i hÖ tam gi¸c nµy ta thu ®îc nghiÖm cña hÖ (3.4) phô thuéc n m Èn tù do. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. HÖ Cramer 1. §Þnh nghÜa: HÖ Cramer lµ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã sè ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn vµ ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng suy biÕn. a11x1 a12 x2  a1n xn b1 a21x1 a22 x2  a2n xn b2 VËy hÖ Cramer cã d¹ng: (3.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 an2 x2  ann xn bn a11 a12  a1n a a  a trong ®ã ma trËn hÖ sè: A 21 22 2n (3.6)     an1 an2  ann lµ ma trËn kh«ng suy biÕn (det(A) 0) D¹ng ma trËn cña hÖ vÉn lµ: A X B (3.7) t trong ®ã A cã d¹ng (3.6) vµ B b1,b2 ,,bn  . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quy t¾c Cramer. HÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc det(Aj ) X A 1B , tøc lµ: x (3.8) j det(A) trong ®ã A lµ ma trËn (3.6), Aj lµ ma trËn suy ra tõ A b»ng c¸ch thay cét thø j bëi cét sè h¹ng tù do. Chøng minh. V× det(A) 0 , nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o: 1 A 1 C t det(A) Thay X A 1B vµo (3.7) ta ®îc: A(A 1b) (AA 1)B B Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy X A 1B lµ nghiÖm cña hÖ. C11 C21  Cn1 b1 1 C C  C b X A 1B 12 22 n2 2 det(A) . . . . . . . . . . .  C1n C2n  Cnn bn C b C b  C b det(A ) NghÜa lµ ta cã: x 1 j 1 2 j 2 nj n j . j det( A) det(A) §Ó chøng minh sù duy nhÊt cña nghiÖm ta gi¶ sö hÖ (3.7) cã hai nghiÖm lµ X vµ Y tøc lµ: AX b AY b B»ng phÐp trõ vÕ víi vÕ ta ®îc AX AY 0 hay A(X Y) 0 A 1 A(X Y ) 0 Nh©n hai vÕ víi A 1 ta cã (X Y) 0 NghÜa lµ cã X Y . VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x1 x2 x3 6 VÝ dô: Gi¶i hÖ: 2x1 x2 x3 3 x1 x2 2x3 5 1 1 1 6 Ta cã: A 2 1 1 , B 3 1 1 2 5 V× vËy: 6 1 1 1 6 1 1 1 6 A1 3 1 1 , A2 2 3 1 , A3 2 1 3 5 1 2 1 5 2 1 1 5 Ta tÝnh ®îc det( A) 3 0, det( A1 ) 9, det( A2 ) 10, det( A3 ) 17 VËy nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ: 9 10 17 x 3, x , x . 1 3 2 3 3 3 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t 1. §iÒu kiÖn cã nghiÖm §Þnh lý Kronecker - Capelli: HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh AX B cã nghiÖm khi vµ chØ khi (A) (A) ThËt vËy b»ng c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng vµ b»ng c¸ch ®¸nh sè l¹i c¸c Èn ta ®a ma trËn A vÒ d¹ng bËc thang a11 a12  a1r a1r 1  a1n b1 a21 a2r a2r 1  a2n b2   arr arr 1  arn br 0  0 b r 1 0 bm trong ®ã r min m,n,tõ ®ã suy ra ®Þnh lý. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Tõ ®Þnh lý Kronecker - Capelli ta suy ra: NÕu (A) (A) th× hÖ v« nghiÖm NÕu (A) (A) n th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt NÕu (A) (A) r n th× hÖ cã v« sè nghiÖm. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Gi¶ sö (A) (A) r . Ta gi¶i hÖ nh sau: V× (A) (A) r nªn tån t¹i ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp r cña A, ta gäi nã lµ ®Þnh thøc con c¬ së cña A. C¸c phÇn tö cña ®Þnh thøc con c¬ së n»m ë r ph¬ng tr×nh, gäi lµ c¸c ph¬ng tr×nh c¬ së, vµ lµ hÖ sè cña r Èn, gäi lµ r Èn c¬ së. C¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. C¶ hÖ t¬ng ®¬ng víi hÖ míi gåm r ph¬ng tr×nh c¬ së, gäi lµ hÖ c¬ së. Trong hÖ c¬ së ta chuyÓn c¸c Èn tù do sang vÕ ph¶i, ta ®îc mét hÖ con cã r ph¬ng tr×nh ®èi víi r Èn c¬ së. Gi¶i hÖ con ®ã ®èi víi c¸c Èn c¬ së ta ®îc nghiÖm cña hÖ phô thuéc vÕ ph¶i vµ c¸c Èn tù do. Khi r = n th× kh«ng cã Èn tù do vµ hÖ trë thµnh hÖ Cramer. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt hÖ ph¬ng tr×nh x1 2x2 ax3 3 3x1 x2 ax3 2 (3.9) 2x1 x2 3x3 b 1) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. 2) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm. 3) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ v« nghiÖm. Gi¶i. XÐt c¸c ma trËn 1 2 a 1 2 a 3 A 3 1 a , A 3 1 a 2 2 1 3 2 1 3 b Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã det(A) 2a 21 1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt lµ det(A) 0 . VËy ®¸p sè cña c©u hái 1) lµ a 21 2, cßn b bÊt kú. 2) Tõ kÕt luËn trªn ta suy ra: muèn hÖ cã v« sè nghiÖm th× tríc hÕt ph¶i cã a 21 2. Khi ®ã det(A) 0 nªn (A) 3. V× A cã ®Þnh thøc con cÊp hai 1 2 7 0 3 1 nªn (A) 2 khi a 21 2. Theo ®Þnh lÝ trªn, muèn cho hÖ cã nghiÖm th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ (A) (A) 2. Ta tÝnh (A) khi a 21 2 b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã: 1 2 212 3 2 4 21 6 2 4 21 6 2L1 L1 3L1 L2 L2 2L2 L2 2L1 L3 L3 A 3 1 212 2  6 2 21 4  0 14 84 14 2 1 3 b 2 1 3 b 0 3 18 b 6 2 4 21 6 2 4 21 6 1 L L 14 2 2 3L2 L3 L3  0 1 6 1  0 1 6 1 0 3 18 b 6 0 0 0 b 3 Qua b¶ng cuèi cïng nµy ta thÊy: (A) 2 nÕu b 3vµ (A) 3 nÕu b 3. VËy (A) (A) 2 khi a 21 2, b 3 (A) (A) khi a 21 2, b 3 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Khi (A) (A) 2 3 th× hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi mét hÖ 2 21 x 2x x 3 1 2 2 3 ph¬ng tr×nh 3 Èn nªn nã cã v« sè nghiÖm. 21 3x1 x2 x3 2 2 3) Theo kÕt qu¶ trªn khi a 21 2, b 3 th× (A) (A) . Do ®ã hÖ v« nghiÖm. Tãm l¹i: a 21 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt a 21 2, b 3 th× hÖ cã v« sè nghiÖm a 21 2, b 3 th× hÖ v« nghiÖm. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t (3.1). Tõ hÖ nµy ta thµnh lËp ma trËn më réng: a11 a12  a1n b1 a a  a b A 21 22 2n 2 . . . . . . . . . . . . am1 am2  amn bm Lóc nµy ta cã thÓ coi viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh chÝnh lµ thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma trËn A ®Ó ®a nã vÒ d¹ng bËc thang. Cuèi cïng ta thu ®îc hÖ míi t¬ng ®¬ng víi hÖ ®· cho, Gi¶i hÖ nµy ta thu ®îc nghiÖm cña hÖ ®· cho. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi, nÕu trªn ma trËn më réng cã mét hµng nµo ®ã gåm toµn sè 0 th× ta cã thÓ bá hµng ®ã ®i (t¬ng øng víi viÖc lo¹i khái hÖ mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ë vÕ tr¸i b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i còng b»ng 0). Cßn nÕu trªn ma trËn më réng cã mét hµng nµo ®ã cã phÇn tö cuèi cïng kh¸c kh«ng vµ c¸c phÇn tö cßn l¹i trªn hµng ®ã ®Òu b»ng kh«ng th× cã thÓ kÕt luËn hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm (khi ®ã hÖ chøa mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ë vÕ tr¸i b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i kh¸c 0). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x1 2x2 x3 4 VÝ dô: Gi¶i hÖ 2x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 1 1 2 1 4 Ta thµnh lËp ma trËn 2 1 1 0 1 1 1 1 Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma trËn nµy ta cã 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 2 1 1 0 0 5 3 8 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 1 1 0 1 2 3 0 5 3 8 0 0 7 7 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ tam gi¸c: x1 2x2 x3 4 x2 2x3 3 7x3 7 Gi¶i hÖ nµy ta ®îc: x1 1, x2 1, x3 1. §ã còng lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho. Ph¬ng ph¸p võa tr×nh bµy cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. HÖ thuÇn nhÊt 1. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm kh«ng tÇm thêng XÐt hÖ thuÇn nhÊt: a11x1 a12 x2  a1n xn 0 a21x1 a22 x2  a2n xn 0 (3.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 am2 x2  amn xn 0 D¹ng ma trËn cña hÖ: AX 0 (3.11) HÖ thuÇn nhÊt (3.10) lu«n cã nghiÖm kh«ng: x1 0, x2 0,, xn 0. NghiÖm kh«ng cña hÖ thuÇn nhÊt gäi lµ nghiÖm tÇm thêng cña nã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Sè nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt n Èn ®îc c¸c ®Þnh th«ng qua h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã: +) NÕu (A) n th× hÖ thuÇn nhÊt cã duy nhÊt nghiÖm tÇm thêng. +) NÕu (A) n th× hÖ thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm. §iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng ®ång nhÊt víi ®iªï kiÖn hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm. §Þnh lý: HÖ thuÇn nhÊt (3.10) cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi vµ chØ khi h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã nhá h¬n sè Èn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh lý ta suy ra mét sè hÖ qu¶ sau: HÖ qu¶ 1: Mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi vµ chØ khi ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè b»ng 0. ThËt vËy khi m n th× ma trËn hÖ sè cña (3.10) lµ ma trËn vu«ng cÊp n . H¹ng cña ma trËn vu«ng cÊp n nhá h¬n n khi vµ chØ khi ®Þnh thøc cña nã b»ng 0. HÖ qu¶ 2: Mäi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn ®Òu cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng. ThËt vËy, h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng thÓ vît qu¸ sè ph¬ng tr×nh trong hÖ: (A) m , mµ m n nªn ®iÒu kiÖn (A) n lu«n tho¶ m·n. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: x1 2x2 0 1 2 HÖ cã ®Þnh thøc 5 0 , nªn hÖ chØ cã nghiÖm x1 3x2 0 1 3 tÇm thêng x1 0, x2 0 . x1 2x2 0 1 2 Cßn hÖ cã ®Þnh thøc 0 , nªn cã nghiÖm kh«ng 2x1 4x2 0 2 4 tÇm thêng, ch¼ng h¹n x1 2, x2 1. Thùc ra hai ph¬ng tr×nh ®ã chØ lµ mét. Cho x1 2 ta t×m ®îc x2 1. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Mèi liªn hÖ víi hÖ kh«ng thuÇn nhÊt XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt viÕt díi d¹ng ma trËn: AX B (3.12) vµ hÖ thuÇn nhÊt t¬ng øng: AX 0 (3.13) §Þnh lý: HiÖu hai nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) lµ mét nghiÖm cña hÖ (3.13). Tæng cña mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) vµ mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13) lµ mét nghiÖm cña (3.12). ThËt vËy, gi¶ sö X1, X 2 lµ hai nghiÖm bÊt kú cña (3.12), Y1 lµ mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13). khi ®ã: AX1 B ; AX 2 B ; AY1 0 Ta cã: A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 B B 0. VËy X1 X 2 lµ nghiÖm cña hÖ (3.13). MÆt kh¸c ta cã: A(X1 Y1) AX1 AY1 B 0 B Do ®ã X1 Y1 lµ nghiÖm cña hÖ (3.12). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng IV. hµm sè Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1. Hµm mét biÕn 4.1.1. Kh¸i niÖm hµm sè Cho tËp hîp X R. ¸nh x¹ f: X R ®îc gäi lµ mét hµm sè (hay gäi lµ mét hµm) x¸c ®Þnh trªn X - TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f. §Æc biÖt miÒn x¸c ®Þnh cña mét hµm cã thÓ lµ toµn bé R. - TËp hîp f (x) : x X  ®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm f VËy mét hµm x¸c ®Þnh trªn X lµ mét phÐp t¬ng øng mçi sè thùc x X víi mét sè thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ f (x) . Ta viÕt: f : x f (x) (®äc lµ f chuyÓn x thµnh f cña x), f (x) lµ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f. Ta còng gäi f (x) lµ trÞ cña f t¹i x. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: ¸nh x¹ x ax2 bx c x¸c ®Þnh mét hµm bËc hai. ¸nh x¹ x cosx x¸c ®Þnh mét hµm lîng gi¸c. NÕu ®Æt y f (x), ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau: f : x y f (x) hay y f (x) Gäi x lµ biÕn ®éc lËp, hay ®èi sè (®èi), y lµ biÕn phô thuéc (ngêi ta còng gäi y lµ hµm) §èi víi hµm ®· x¸c ®Þnh th× c¸c kÝ hiÖu ®Ó chØ c¸c biÕn râ 2 rµng lµ kh«ng quan träng. Ch¼ng h¹n ¸nh x¹: t t ; 2 2 x  ; u u 2 ; y x y x¸c ®Þnh cïng mét hµm, v× trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp, phÐp t¬ng øng lµ nh nhau: øng víi mét sè lµ b×nh ph¬ng cña nã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chØ c¸c hµm kh¸c nhau, ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau: y f (x) ; y (x) ; y g(x) TrÞ cña hµm f t¹i x = a ký hiÖu lµ f (x) hay f (x) x a vµ ®äc lµ "f t¹i a" VÝ dô: NÕu f (x) 2x 3 th× f (0) 0 ; f ( 1) 2 , f (t) 2t 3 Hµm x a cho øng mçi sè x víi cïng mét sè a gäi lµ hµm h»ng. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1.2 §å thÞ cña hµm sè: XÐt hµm y f (x) x¸c ®Þnh trong miÒn nµo ®ã. Chän trong mÆt ph¼ng hÖ trôc täa ®é vu«ng gãc Oxy, biÓu diÔn biÕn ®éc lËp x trªn trôc hoµnh, biÕn phô thuéc y trªn trôc tung. Ta gäi tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng cã c¸c täa ®é ( x, f (x) ) lµ ®å thÞ cña hµm f (H×nh vÏ) y f(x) (x,f(x)) 0 x x Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1.3. Hµm ®¬n trÞ, hµm ®a trÞ øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, chØ cã mét gi¸ trÞ cña hµm, hµm Êy gäi lµ hµm ®¬n trÞ. øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, cã nhiÒu trÞ cña hµm th× ta cã hµm ®a trÞ. Chó ý: Ta chØ xÐt hµm ®¬n trÞ, nªn ®Ó cho gän ta dïng ch÷ hµm ®Ó chØ hµm ®¬n trÞ. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2 C¸c hµm s¬ cÊp c¬ b¶n 4.2.1 Hµm lòy thõa: y x ( lµ sè thùc) MiÒn x¸c ®Þnh phô thuéc vµo . p NÕu (ph©n sè tèi gi¶n, q lÎ) q > 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i mäi x 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i x 0 < 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i x 0 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 VÝ dô: Hµm y x, y x 2 , y x 3 x¸c ®Þnh t¹i x y x 1 , y x 2 x¸c ®Þnh t¹i x 0 1 y x 2 x x¸c ®Þnh khi x 0 1 1 y x 2 x¸c ®Þnh khi x > 0 x Chó ý: NÕu v« tû th× qui íc chØ xÐt hµm y = x t¹i x 0 nÕu > 0 vµ t¹i mäi x > 0 nÕu < 0. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ: y y x y=a (a> 1) y=x y=x 2 1 1 y x 2 y=ax(a 0 vµ kh«ng ®i qua gèc 0 nÕu < 0. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.2. Hµm mò: y = ax (a > 0, a 1) (a gäi lµ c¬ sè) x - MiÒn x¸c ®Þnh: x , hµm mò a lu«n lu«n d¬ng. Hµm mò lµ hµm t¨ng nÕu a >1, gi¶m nÕu a 0, a 1) - MiÒn x¸c ®Þnh x 0 - Hµm t¨ng khi a > 1, gi¶m khi a < 1, lµ hµm ngîc cña hµm mò y = ax. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ: y y x x y=a (a> y=a (a 1) 1 ) y=logax(a<1 ) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm y = ax qua ®êng ph©n gi¸c thø nhÊt. §Æc biÖt: a = 10 ta cã log10x = lgx (l«garit thËp ph©n) Khi a = e 2,718 cã logex = lnx (l«garit Nepe) TÝnh chÊt cña hµm l«garit: loga (AB) loga A loga B (AB 0) ; loga A loga A (A 0) A    log log A log B (AB 0) ; log A log A ( A 0 ) a B a a a a Mäi sè N d¬ng ®Òu cã thÓ viÕt ®îc: N a log a N Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.4. C¸c hµm vßng y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx MiÒn x¸c ®Þnh + Hµm y = sinx, y = cosx x¸c ®Þnh t¹i mäi x ; Cã gi¸ trÞ thuéc  1,1. + Hµm y = tgx x¸c ®Þnh t¹i mäi x (2k 1) (k nguyªn), lµ 2 hµm t¨ng. + Hµm y = cotgx x¸c ®Þnh t¹i mäi x k (k nguyªn), lµ hµm gi¶m Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ y y 1 1 - 2 0 - /2 0 /2 3 /2 2 x x - - y=sinx y=cosx 1 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y y - - /2 0 /2 x - /2 0 /2 x y=tgx y=cotgx Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.5. C¸c hµm vßng ngîc. a) y = arcsinx MiÒn x¸c ®Þnh víi x  1,1, t¨ng tõ ®Õn 2 2 §å thÞ: y / -1 0 1 x - /2 §å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = sinx; x qua 2 2 ®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) y = arccosx MiÒn x¸c ®Þnh víi x  1,1, gi¶m tõ ®Õn 0 §å thÞ: y / -1 0 1 x §å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = cosx ;(0 x ) qua ®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt. Chó ý: arcsinx + arccosx = 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) y = arctgx MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, t¨ng tõ ®Õn 2 2 y §å thÞ /2 0 x - /2 §å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm y tgx; x qua ®êng ph©n 2 2 gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) y = arccotgx MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, gi¶m tõ ®Õn 0. y §å thÞ: /2 0 x §å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm y cot gx, x , qua ®êng 2 2 ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: arctgx arccot gx 2 C¸c c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t: x arcsin 2k sin x x ( 1)n arcsin n cos x x arcsin 2k x arccos 2k tgx x arctg k cot gx x arc cot g k Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3. Hµm hai biÕn 4.3.1. §Þnh nghÜa hµm hai biÕn XÐt tÝch §Ò c¸c R2 vµ tËp hîp G  R2. Ta gäi ¸nh x¹ bÊt kú f : G R lµ mét hµm hai biÕn x¸c ®Þnh trªn G, G ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f. VËy mét hµm hai biÕn f x¸c ®Þnh trªn G lµ mét phÐp t¬ng øng cho øng mçi cÆp sè thùc cã thø tù (x, y) G víi mét sè thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ f(xy). Ta viÕt: f : (x, y) f (x, y) (®äc lµ f chuyÓn (x, y) thµnh f cña (x,y); f(x,y) lµ ¶nh cña (x,y) qua ¸nh x¹ f. Ta còng gäi f(x,y) lµ trÞ cña f t¹i (x,y). Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt Z = f(x,y), th× ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau: f : (x, y) Z f (x, y) Hay: Z f (x, y) . Trong ®ã x, y ®îc gäi lµ c¸c biÕn ®éc lËp, Z gäi lµ biÕn phô thuéc. §Ó chØ nh÷ng hµm kh¸c nhau ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau. Z f (x, y) ; Z (x, y) ; Z g(x, y) Ta qui íc r»ng nÕu hµm ®îc x¸c ®Þnh bëi mét biÓu thøc nµo ®ã vµ nÕu kh«ng nãi g× thªm th× miÒn x¸c ®Þnh lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp sè thùc cã thø tù mµ øng víi nã biÓu thøc ®· cho cã nghÜa. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3.2. C¸c tËp hîp ph¼ng, tËp hîp më, tËp hîp ®ãng. Ta gäi tËp hîp ph¼ng lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Mét tËp hîp ph¼ng ®îc gäi lµ giíi néi (hay bÞ chÆn) nÕu tån t¹i mét mÆt trßn chøa nã. Ta gäi  -l©n cËn cña ®iÓm M trong mÆt ph¼ng lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm P cña mÆt ph¼ng sao cho kho¶ng c¸ch MP  Hay nãi c¸ch kh¸c,  l©n cËn cña ®iÓm M. TËp hîp E ®îc gäi lµ më (hë) nÕu mäi ®iÓm cña nã ®Òu lµ ®iÓm trong. §iÓm N ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp hîp E nÕu mäi l©n cËn cña nã võa chøa nh÷ng ®iÓm thuéc E võa chøa nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc E. §iÓm biªn cña mét tËp hîp cã thÓ thuéc tËp hîp Êy, cã thÓ kh«ng thuéc tËp hîp Êy. TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm biªn cña mét tËp hîp E ®îc gäi lµ biªn cña E. TËp hîp E ®îc gäi lµ ®ãng (kÝn) nÕu nã chøa mäi ®iÓm biªn cña nã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M mµ kho¶ng c¸ch tíi mét ®iÓm cè ®Þnh M0 bÐ h¬n sè d¬ng r (tøc lµ phÇn trong cña mÆt trßn t©m M0 b¸n kÝnh r) lµ mét tËp hîp më. Biªn cña tËp hîp trªn lµ ®êng trßn t©m M0 b¸n kÝnh r. TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch M0 M r lµ mét tËp hîp ®ãng
4.3.3. Hµm ®iÓm. BiÓu diÔn h×nh häc cña hµm hai biÕn. Gi¶ sö cho hµm hai biÕn f : (x, y) f (x, y) . V× mçi cÆp (x,y) ®Òu ®îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm M(x,y) trong mÆt ph¼ng XOY, nªn ta còng cã thÓ xem hµm hai biÕn f(x,y) lµ hµm cña ®iÓm M(x,y) f : M f (M ) z BiÓu diÔn h×nh häc hµm hai biÕn: s p 0 x M y Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÏ hÖ trôc täa ®é §Ò c¸c Oxyz; víi mçi ®iÓm M(x,y) trong mÆt ph¼ng Oxy cho øng mét ®iÓm P trong kh«ng gian cã c¸c täa ®é lµ (x,y,z) trong ®ã z = f(x,y). TËp hîp c¸c ®iÓm P nh thÕ khi M ch¹y trong miÒn G cña mÆt ph¼ng Oxy ®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm z = f(x,y) x¸c ®Þnh trªn G. §å thÞ cña hµm hai biÕn nhiÒu khi lµ mét mÆt cong trong kh«ng gian 3 chiÒu (h.vÏ trªn) VÝ dô 1: Hµm Z x 2 y 2 cã ®å thÞ lµ 1 mÆt parab«l«it trßn xoay. VÝ dô 2: Hµm Z 1 x 2 y 2 cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m t¹i gèc täa ®é, b¸n kÝnh ®¬n vÞ, n»m vÒ phÝa Z 0 . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 3: MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm Z x 2 y 2 lµ toµn bé mÆt ph¼ng Oxy. VÝ dô 4: Hµm Z 1 x 2 y 2 x¸c ®Þnh víi x,y sao cho x 2 y 2 1, miÒn x¸c ®Þnh lµ mÆt trßn ®ãng t©m O, b¸n kÝnh ®¬n vÞ. VÝ dô 5: Hµm Z ln(x y) x¸c ®Þnh víi x,y sao cho y x , miÒn x¸c ®Þnh lµ nöa mÆt ph¼ng më n»m phÝa trªn ®êng ph©n gi¸c thø hai. VÝ dô 6: Hµm Z y 2 2 px x¸c ®Þnh khi y 2 2 px , miÒn x¸c ®Þnh lµ miÒn ngoµi cña parab«n y 2 2 px kÓ c¶ biªn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt giíi h¹n hµm mét biÕn 4.4.1. §Þnh nghÜa giíi h¹n hµm mét biÕn 4.4.1.1. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi x0 XÐt hµm y f (x) x¸c ®Þnh ë l©n cËn trÞ h÷u h¹n x0 , kh«ng nhÊt thiÕt x¸c ®Þnh t¹i x0 . Ta gäi sè L lµ giíi h¹n cña hµm y f (x) khi x dÇn ®Õn x0 nÕu:  0,  0 : 0 x x0  f (x) L  Nãi chung sè  phô thuéc vµo sè  Nãi c¸ch kh¸c lim f (x) L nÕu c¸c trÞ cña hµm f (x) gÇn L x x0 mét c¸ch tïy ý khi c¸c trÞ cña biÕn x ®ñ gÇn x0 . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: Chøng minh lim (2x + 5) = 9 x 2 ThËt vËy: Ta cã víi mäi  : (2x 5) 9 2x 4 2 x 2  khi  x 2 2  NghÜa lµ nÕu lÊy  th× (2x 5) 9  khi x 2  (®pcm) 2 Chó ý: ë ®Þnh nghÜa trªn, ta kh«ng ®ßi hái x ph¶i b»ng x0. Cho nªn c¸c ®Þnh nghÜa Êy ¸p dông ®îc cho c¶ trêng hîp hµm kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x0. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4x 2 16 VÝ dô 2: XÐt giíi h¹n cña hµm khi x 2 x 2 Hµm nµy kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x = 2, nhng khi x 2, tøc 4x 2 16 (x 2)(x 2) x - 2 0 ta cã: 4 4(x 2) x 2 (x 2) 4x 2 16 Do ®ã khi x 2 ta cã: 16 4(x 2) x 2 4x 2 16  NghÜa lµ  khi x 2 vµ x 2  ( ) x 2 4 4x 2 16 VËy lim 16 mÆc dï hµm kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= 2 x 2 x 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.2. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi v« cùc. XÐt hµm y f (x) t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi lín tïy ý. Ta nãi r»ng L lµ giíi h¹n cña hµm y f (x) khi x dÇn tíi v« cùc nÕu:  0 , N 0 : x N f (x) L  Nãi chung sè N phô thuéc vµo sè  1 VÝ dô 3: Chøng minh lim 0 x x 1 1 1 ThËt vËy: V× 0 < x x x  1 1 Nªn:  0 ,N : x N 0  (®pcm)  x Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.3. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm cã giíi h¹n. TÝnh chÊt 1: NÕu f (x) C , tøc lµ f (x) lu«n lu«n lÊy gi¸ trÞ kh«ng ®æi C th× f (x) cã giíi h¹n lµ chÝnh nã limC C ; limC C x x0 x TÝnh chÊt 2: Mét hµm f (x) nÕu ®· cã giíi h¹n (khi x x0 hay x ) th× chØ cã mét giíi h¹n mµ th«i. TÝnh chÊt 3: Mét hµm f (x) nÕu cã giíi h¹n d¬ng (©m) khi x x0 th× lu«n lu«n d¬ng (©m) t¹i mäi x kh¸c x0 vµ ®ñ gÇn x0 TÝnh chÊt 4: NÕu hµm f (x) 0 ë l©n cËn x0 vµ nÕu f (x) cã giíi h¹n khi x x0 th× giíi h¹n Êy ph¶i 0 ; nÕu f (x) 0 ë l©n cËn x0 vµ nÕu f (x) cã giíi h¹n khi x x0 th× giíi h¹n Êy vÉn ph¶i 0 . Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2. V« cïng bÐ - v« cïng lín 4.4.2.1. V« cïng bÐ (VCB) §Þnh nghÜa: Hµm (x) ®îc gäi lµ VCB trong qu¸ tr×nh nµo ®ã nÕu nã dÇn tíi giíi h¹n 0 trong qu¸ tr×nh Êy. VÝ dô: Khi x 0 th× sin x lµ VCB, x còng lµ VCB 1 Khi x th× lµ VCB x Chó ý: Mét sè "rÊt bÐ" kh«ng ph¶i lµ VCB. Sè 0 lµ VCB trong mäi qu¸ tr×nh. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c tÝnh chÊt: 1) NÕu (x) lµ VCB trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét h»ng sè th× C. (x) còng lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy. 2) NÕu 1 (x) , 2 (x) , , n (x) lµ mét sè h÷u h¹n c¸c VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh th× tæng cña chóng 1 (x) + 2 (x) + + n (x) vµ tÝch cña chóng 1 (x) n (x) còng lµ c¸c VCB trong qu¸ tr×nh Êy. 3) NÕu (x) lµ VCB khi x x0 vµ f (x) lµ hµm bÞ chÆn trong mét l©n cËn nµo ®ã cña x0 ; (0 x x0  ) th× (x). f (x) lµ VCB khi x x0 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3) vÇn ®óng trong qu¸ tr×nh x , cô thÓ ta cã: NÕu (x) lµ VCB khi x vµ f (x) bÞ chÆn trªn tËp x : x A (víi A lµ sè d¬ng nµo ®ã) th× (x). f (x) lµ VCB khi x VÝ dô: Khi x 0 th× cosx. sinx lµ VCB, v× trong qu¸ tr×nh ®ã sinx lµ VCB cßn cosx bÞ chÆn. sin x 1 Khi x th× lµ VCB v× trong qu¸ tr×nh ®ã lµ VCB x x cßn sinx bÞ chÆn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.2 V« cïng lín (VCL) §Þnh nghÜa 1: XÐt hµm f (x) x¸c ®Þnh ë l©n cËn x0 , kh«ng cÇn x¸c ®Þnh t¹i x0 Ta nãi f (x) lµ VCL khi x x0 nÕu M 0 ,  0 : 0 x x0  f (x) M Nãi chung  phô thuéc vµo M Ta dïng kÝ hiÖu f (x) khi x x0 hay lim f (x) ®Ó chØ x x0 r»ng f (x) lµ VCL khi x x0 1 1 1 VÝ dô 1: Hµm lµ VCL khi x 0 . ThËt vËy v× M khi x x x M 1 1 1 nªn M 0 ,  : 0 x 0  M . M M x Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: XÐt hµm f (x) x¸c ®Þnh t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi ®ñ lín ( x L) . Ta nãi f (x) lµ VCL khi x nÕu: M 0 : A 0 : x A f (x) M . Nãi chung A phô thuéc M. Ta dïng kÝ hiÖu f (x) khi x hay lim f (x) ®Ó chØ x r»ng f (x) lµ VCL khi x VÝ dô 2: Chøng minh r»ng hµm xn (n nguyªn d¬ng) lµ VCL khi x ThËt vËy: v× x n M khi x n M nªn M 0 , A n M : x A n x M Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Mét sè rÊt lín kh«ng ph¶i lµ VCL Mét hµm nÕu lµ VCL th× kh«ng bÞ chÆn v× nã cã trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n mäi sè d¬ng M cho tríc kÓ tõ mét lóc nµo ®ã cña qu¸ tr×nh. Nhng mét hµm kh«ng bÞ chÆn cã thÓ kh«ng ph¶i lµ mét VCL. ThËt vËy, víi mäi sè d¬ng M cho tríc, trÞ tuyÖt ®èi cña M f (x) vÉn cã thÓ lín h¬n M, ch¼ng h¹n t¹i x (2k 1) víi k . 2 M V× lóc ®ã: f (x) (2k 1) sin(2k 1) (2k 1) k M 2 2 2 2 2 Nhng hµm f (x) x sin x kh«ng ph¶i lµ VCL khi x , v× nÕu x k th× f ( x ) = k .sin k = 0 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.3. Liªn hÖ gi÷a VCB - VCL §Þnh lý: NÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã, hµm f(x) lµ VCB vµ 1 lu«n 0, th× lµ VCL trong qu¸ tr×nh Êy. f (x) Ngîc l¹i, nÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã hµm f(x) lµ VCL 1 th× lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy. f (x) 1 VÝ dô: Khi x 0 th× lµ VCL sin x 1 Khi x th× lµ VCB x Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.4. So s¸nh c¸c VCB 1) XÐt hai VCB (x) vµ  (x) trong cïng mét qu¸ tr×nh. (x) NÕu tû sè dÇn tíi 0 th× ta nãi (x) lµ VCB cÊp cao h¬n  (x) .  (x) VÝ dô 1: Khi x 0 th× 1 cos x lµ VCB cÊp cao h¬n VCB x v×: 1 cos x lim 0 x 0 x (x) NÕu tû sè dÇn tíi mét h»ng sè k 0 th× (x) ,  (x) lµ 2  (x) VCB ngang cÊp. VÝ dô 2: Khi x 0 th× 1 cos x vµ x2 lµ hai VCB ngang cÊp v× 1 cos x 1 lim x 0 x 2 2 (x) - NÕu tû sè kh«ng cã giíi h¹n th× ta nãi c¸c VCB (x) vµ  (x)  (x) kh«ng so s¸nh ®îc víi nhau. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) Gi¶ sö (x) vµ  (x) lµ hai VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh. NÕu tû sè (x) cã giíi h¹n b»ng 1 trong qu¸ tr×nh ®ã th× ta nãi  (x) (x) vµ  (x) lµ hai VCB t¬ng ®¬ng. Ký hiÖu lµ (x)   ( x ) B¶ng VCB t¬ng ®¬ng: Khi x 0 (x lµ VCB) th×: sinx  x ; tgx  x ; arcsinx  x ; arctgx x 2  x ; 1 - cosx  ; ln (1 + x)  x ; ex - 1  x 2 (x) (x) 0 NÕu (x)  (x) ;  (x)   (x) th× lim lim (Khö d¹ng )  (x)  (x) 0 sin 5 x 5 x 5 VÝ dô: lim lim v× sin5x  5x ; sin 3x  3x x 0 sin 3 x x 0 3 x 3 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c ng¾t bá VCB cÊp cao: NÕu (x) vµ  (x) lµ 2 VCB trong cïng 1 qu¸ tr×nh vµ nÕu (x) cã cÊp thÊp h¬n th× (x)  (x)  (x) . Do ®ã: Gi¶ sö: (x),  (x) lµ 2 VCB trong cïng 1 qu¸ tr×nh nµo ®ã, (x),  (x) ®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCB. Khi ®ã giíi h¹n cña tû sè (x) b»ng giíi h¹n cña tû sè hai VCB cÊp thÊp nhÊt ë tö sè vµ  (x) mÉu sè. x sin 2 x tg 3 x x 1 VÝ dô: lim lim x 0 2 x x 5 4 x 7 x 0 2 x 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.5. So s¸nh c¸c VCL XÐt hai v« cïng lín A(x) vµ B(x) trong cïng mét qu¸ tr×nh, t¬ng tù trªn: NÕu A(x) lµ VCL th× A(x) lµ VCL cÊp cao h¬n VCL B(x) B(x) x 3 1 VÝ dô: Khi x th× x 3 1 lµ VCL cÊp cao h¬n VCL x2 v× lim x x 2 NÕu A(x) dÇn tíi 1 h»ng sè k 0 th× ta nãi A(x) vµ B(x) VCL ngang cÊp. B(x) NÕu A(x) kh«ng cã giíi h¹n, còng kh«ng ph¶i lµ VCL th× ta nãi B(x) hai VCL A(x) vµ B(x) kh«ng so s¸nh víi nhau ®îc. A(x) NÕu 1 ta nãi A(x) vµ B(x) lµ hai VCL t¬ng ®¬ng: A(x) ~ B(x) B(x) Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A(x) A(x) NÕu A(x) ~ A(x) ; B(x) ~ B(x) th× lim lim B(x) B(x) NÕu A(x) vµ B(x) lµ hai VCL trong cïng mét qu¸ tr×nh, A(x) vµ B(x) ®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCL, th× giíi h¹n cña tû sè A(x) b»ng giíi B(x) h¹n cña tû sè hai VCL cÊp cao nhÊt ë tö sè vµ ë mÉu sè (qui t¾c ng¾t bá VCL cÊp thÊp). 2 2 VÝ dô: lim 3x 2x 8 = lim 3x = 3 . x 4x 2 4x 7 x 4x 2 4 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n vµ øng dông 4.4.3.1. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n 1) Gi¶ sö c¸c hµm f1 (x) vµ f 2 (x) ®Òu cã giíi h¹n trong cïng mét qu¸ tr×nh. ThÕ th× trong qu¸ tr×nh Êy: - Tæng cña chóng sÏ cã giíi h¹n vµ lim f1 (x) f 2 (x) lim f1 (x) lim f 2 (x) . - TÝch cña chóng còng cã giíi h¹n vµ lim f1 (x). f 2 (x) lim f1 (x).lim f 2 (x) - Th¬ng cña chóng còng cã giíi h¹n nÕu giíi h¹n cña mÉu kh¸c f1 (x) lim f1 (x) kh«ng vµ lim ; lim f 2 (x) 0 f 2 (x) lim f 2 (x) VÝ dô: lim (x2 + x) = lim x 2 lim x = 4 + 2 = 6 x 2 x 2 x 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
HÖ qu¶: - NÕu f (x) cã giíi h¹n trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét h»ng sè th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã: lim Cf (x) C.lim f (x) - NÕu f1 (x), f 2 (x) , , f n (x) lµ mét sè h÷u h¹n c¸c hµm sè giíi h¹n trong cïng mét qu¸ tr×nh th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã: lim f1 (x) f 2 (x) f n (x) lim f1 (x) lim f 2 (x) lim f n (x) lim f1 (x). f 2 (x) f n (x) lim f1 (x).lim f 2 (x) lim f n (x) §Æc biÖt: lim f (x)n lim f (x)n nÕu f (x) cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh nµo ®ã. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
¸ n n p dông: lim x x0 ; (n nguyªn d¬ng) x x0 n 1 1 n lim lim 0 0 x x xn x n n 1 NÕu Pn(x) lµ ®a thøc bËc n: Pn (x) a0 x a1 x an Th× lim P (x) = a x n a x n 1 a P (x ) x n 0 0 1 o n n 0 Pn (x) Pn (x0 ) Suy ra lim (nÕu Qm (x0 ) 0 x x0 Qm (x) Qm (x0 ) VÝ dô: lim (3x 4 7x 2 x 1) 3.2 4 7.2 2 2 1 23 x 2 7x 6 6x 5 4x 1 7.2 6 6.x 5 4.2 1 265 lim x 2 2x 2 2x 1 2.x 2 2.2 1 13 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) XÐt hµm hîp f (u) : x f U (x) NÕu trong qu¸ tr×nh nµo ®ã U (x) U 0 ; f (U ) x¸c ®Þnh t¹i U 0 vµ l©n cËn cña U 0 vµ khi U U 0 , th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã: f (U) f (U0 ) lim f U (x) f U 0  f limU (x) VÝ dô: XÐt lim(2x 2 3x 5)100 = lim(U (x))100 x 2 x 2 2 2 Trong ®ã U (x) 2x 3x 5 Khi x 2 th× U (x) 2x 3x 5 U (2) 19 Khi U 19 th× U100 19100 VËy lim(2x 2 3x 5)100 19100 x 2 100 NghÜa lµ: lim(2x 2 3x 5)100 19100 = lim(2x 2 3x 5) 19100 x 2 x 2 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên