Bài giảng môn Toán cao cấp A1

128 trang Đức Chiến 03/01/2024 1510

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán cao cấp A1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_toan_cao_cap_a1.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp A1

BAØI GIAÛNG TOAÙN CAO CAÁP A1 Ths Nguyeãn Vaên Du Chöông 1 HAØM SOÁ VAØ GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ §1 – ĐẠI C ƯƠ NG V Ề HAØM SOÁ MOÄT BIEÁN (ÔN T ẬP) 1.1 - CAÙC ÑÒNH NGHÓA 1.1.1 - Haøm soá: 1) Ñònh nghóa Cho X, Y ⊂ R, m ột quy t ắc cho t ươ ng ứng m ỗi s ố th ực x∈ X với m ột s ố th ực duy nh ất y∈ Y được gọi là m ột hàm s ố v ới môt bi ến s ố th ực x và ký hi ệu là: : f: X→ Y xa y= fx () hay y= f( x ) Taäp X ñöôïc goïi laø mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f Taäp fX()={ fxxX ()/ ∈ } ñöôïc goïi laø mieàn giaù trò cuûa haøm soá f 2) Caùch cho haøm soá Caùch 1: Lieät keâ töông öùng Caùch 2: Cho haøm soá baèng caùch bieåu dieãn döôùi daïng moät hay nhieàu bieåu thöùc giaûi tích. Khi cho haøm soá y= f( x ) ta coù mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá laø: D={ x ∈ Rfx/ ( ) co ùnghóa } Caùch 3: Cho haøm soá theo kieåu phaân ñoaïn Ví duï: sin x  khi x ≠ 0 f() x =  x 1 khi x = 0 1.1.2 - Caùc loaïi haøm soá 1- Haøm ñôn ñieäu Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a, b).Ta noùi raèng: a) Haøm soá y = f(x) laø moät haøm taêng (ñoàng bieán) trong khoaûng (a, b) neáu ∀xx12, ∈( ab ,) : x 12 fx () 2 c) Haøm soá taêng hay giaûm treân moät mieàn ñöôïc goïi laø haøm ñôn ñieäu treân mieàn ñoù 1
2- Haøm chaün leû Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong moät mieàn D nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng. Ta noùi raèng: a) Haøm soá y = f(x) laø moät haøm chaün treân D neáu ∀x ∈ D ta coù f(-x) = f(x) b) Haøm soá y = f(x) laø moät haøm leû treân D neáu ∀x ∈ D ta coù f(-x) = -f(x) 3 – Haøm tuaàn hoaøn Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong moät mieàn D. Neáu toàn taïi soá thöïc T sao cho ∀∈xDfxT: ( +=) fx( ) thì f(x) ñöôïc goïi laø moät haøm tuaàn hoaøn treân mieàn D; Soá thöïc döông T 0 nhoû nhaát thoûa maõn ñieàu kieän treân ñöôïc goïi laø chu kyø cuûa haøm soá ñoù 4 - Haøm hôïp Cho haøm soá y =f(u), vôùi u laø moät haøm soá cuûa x: u = u(x). Khi ñoù y laø moät haøm soá cuûa x, ta goïi y laø haøm hôïp vôùi bieán x thoâng qua bieán trung gian u. y= f( u ) Kyù hieäu laø y = f(u(x)) hay  u= u( x ) 5 - Haøm ngöôïc a) Ñònh nghóa Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân taäp hôïp X ; ñaët f(X) = Y. Neáu ∀xx12, ∈ Xx / 1 ≠ x 2 ta coù fx()1≠ fx () 2 thì ta noùi f laø haøm 1 – 1. Khi ñoù: ∀∈∃∈yY,! xXy / = fx () vaø ta xaùc ñònh ñöôïc moät haøm soá gY:= fX ( ) → X ya x= gy()/ y = fx () Ta noùi raèng g laø moät haøm ngöôïc cuûa haøm soá f vaø kyù hieäu g= f −1 vaø vieát theo quy öôùc y = f−1 ( x ) Nhö vaäy: y = f−1 ( x) ⇔ xfy = ( ) b) Tính chaát: - Ñoà thò cuûa haøm ngöôïc y = f−1 ( x ) ñoái xöùng vôùi ñoà thò cuûa haøm soá y = f( x ) qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. - Moät haøm soá ñôn ñieäu treân moät mieàn luoân luoân coù haøm ngöôïc treân mieàn ñoù. 6 – Haøm bò chaën Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong moät mieàn D. Khi ñoù: (1) Neáu toàn taïi moät soá thöïc M sao cho fx( ) ≤ M( ∀ x ∈ D ) thì ta noùi raèng f(x) laø haøm bò chaën treân treân mieàn D (2) Neáu toàn taïi moät soá thöïc m sao cho fx( ) ≥ m( ∀ x ∈ D ) thì ta noùi raèng f(x) laø haøm bò chaën döôùi treân mieàn D (3) Neáu haøm soá f(x) vöø bò chaën treân, vöøa bò chaën döôùi treân mieàn D thì ta noùi f(x) laø haøm bò chaën treân mieàn D Ta coù: f( x) bò chaën treân mieàn D ⇔∃ M > 0 / ∀∈ x D ta coù: f( x ) ≤ M 2
1.2 - CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP CÔ BAÛN 1.2.1 - Haøm luyõ thöøa: y= xα (α ∈ R ) Mieàn xaùc ñònh cuûa haøm luõy thöøa phuï thuoäc vaøo soá thöïc α : a) y = x n (n ∈ N) coù mieàn xaùc ñònh laø: D = R 1 b) y = (n ∈ N) coù mieàn xaùc ñònh laø: D = R\{0} xn c) y= 2k x (k ∈ N) coù mieàn xaùc ñònh laø: D = {x ∈ R | x ≥ 0} d) y= 2k+ 1 x (k ∈ N) coù mieàn xaùc ñònh laø: D = R 1.2.2 - Haøm soá muõ: y = a x , a > 0, a ≠ 1 a) Mieàn xaùc ñònh: D = R b) Mieàn giaù trò: R + c) Neáu a > 1 thì y = a x laø haøm taêng Neáu 0 0, a ≠ 1 x Haøm soá loâgarit y = log ax laø haøm ngöôïc cuûa haøm muõ y = a a) Mieàn xaùc ñònh: D = R + b) Mieàn giaù trò: R c) Neáu a > 1: Haøm y = log ax laø haøm taêng Neáu 0 < a <1: Haøm y = log ax laø haøm giaûm x d) Ñoà thò haøm soá y = log ax ñoái xöùng vôùi ñoà thò haøm soá muõ y = a qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát e) Khi cô soá a = e ta vieát log ex = lnx vaø goïi laø loâgarit nepe cuûa x f) Coâng thöùc caàn nhôù: y (1) y=log a x ⇔ xa = (2) loga(αβ) = log a α + log a β α  (3) loga  = log aα − log a β β  α (4) logax= α log a x (5) logaa = 1; log a 1 = 0 1.2.4 - Haøm soá löôïng giaùc: 3
1- Haøm y = cosx - Mieàn xaùc ñònh: D = R - Mieàn giaù trò: [-1, 1] - Haøm y = cosx laø haøm chaün vaø laø moät haøm tuaàn hoaøn coù chu kyø laø 2 π. 2- Haøm y = sinx - Mieàn xaùc ñònh: D = R - Mieàn giaù trò: [-1, 1] - Haøm y = sinx laø haøm leû vaø laø moät haøm tuaàn hoaøn coù chu kyø laø 2 π. 3- Haøm y = tanx π  - Mieàn xaùc ñònh D= R\  + k π  2  - Mieàn giaù trò: R - Haøm y = tgx laø haøm leû vaø laø moät haøm tuaàn hoaøn coù chu kyø laø π. sin x π  Ta coù: y=tan x = x≠ + k π  cos x 2  4
4- Haøm y = cotanx - Mieàn xaùc ñònh: D = R \ {k π} - Mieàn giaù trò: R - Haøm y = cotanx laø haøm leû vaø laø moät haøm tuaàn hoaøn coù chu kyø laø π. cos x Ta coù: y=cot anx =() xk ≠ π sin x 1.2.5 - Caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc 1- Haøm y = arccosx a) Xeùt haøm soá f :[0, π ] → [-1, 1] x a y= cosx Haøm naøy laø moät haøm ñôn ñieäu giaûm treân ñoaïn [0, π ] neân coù haøm ngöôïc vaø kyù hieäu laø y= arccos x Haøm y= arccos x coù mieàn xaùc ñònh laø D = [-1, 1] vaø coù mieàn giaù trò laø [0, π] b) Ta coù: y = arccosx ⇔ x = cosy Suy ra: cos(arccosx) = x, x ∈ [-1, 1] 5
6 4 2 1 -10 -5 -1 5 10 -2 -4 -6 2- Haøm y = arcsinx a) Xeùt haøm soá: π π  f : - ;→ [-1;1] 2 2  . xa y= sin x π π  Haøm naøy laø moät haøm ñôn ñieäu taêng treân ñoaïn − ; neân coù haøm ngöôïc kyù hieäu laø 2 2  y= arcsin x π π  Haøm soá y= arcsin x coù mieàn xaùc ñònh laø D =[ − 1;1 ] vaø coù mieàn giaù trò laø − ; 2 2  b) Ta coù: y = arcsinx ⇔ siny = x Suy ra: sin(arcsinx) = x, x ∈ [-1, 1] 6
6 4 2 -1 1 -10 -5 5 10 15 -2 -4 -6 -8 -10 3- Haøm y = arctanx a) Xeùt haøm soá π π  f:− ,  → R 2 2  xa tan x Haøm naøy laø moät haøm taêng neân coù haøm ngöôïc vaø kyù hieäu laø y = arctgx. π π  Haøm y = arctgx coù mieàn xaùc ñònh laø D = R vaø coù mieàn giaù trò laø − ,  2 2  b) Ta coù: y = arctanx ⇔ x = tany Vaäy: tg(arctgx) = x 8 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -4 -6 -8 7
4- Haøm y = arcotanx a) Xeùt haøm soá: f :( 0, π ) → R x a y= cotanx Haøm naøy laø moät haøm giaûm neân coù haøm ngöôïc vaø kyù hieäu laø y = arccotanx. Haøm soá y = arccotanx coù mieàn xaùc ñònh laø D = R vaø coù mieàn giaù trò: (0, π) b) Ta coù: y = arccotanx ⇔ x = cotany Vaäy: cotan(arccotanx) = x 8
§2 - GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ 2.1 – CAÙC KHAÙI NIEÄM 2.1.1 – Giôùi haïn haøm soá 1) Ñònh nghóa: Ta noùi raèng haøm soá y = f(x) coù giôùi haïn laø L khi x tieán tôùi x 0 neáu thoûa maõn ñieàu kieän: ∀>∃>∀− ∃>∀− 0, ∃>δ 0 / ∀ xxx :| −0 | M x→ x 0 b) limfx ( )=−∞⇔∀ M > 0, ∃>δ 0 / ∀ xxx :| −0 | ∃>∀εδ 0, 0|:0 xxx ∃>∀εδ 0, 0|:0 xxx 0 ⇒ x= x ⇒ lim= lim = 1 x→0+x x → 0 + x |x | − x (2) Khi x → 0− thì x < 0 ⇒ x= − x ⇒ lim= lim = − 1 x→0−x x → 0 − x 2.2 - CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA GIÔÙI HAÏN 2.2.1 – Caùc tính chaát cô baûn 1) Tính chaát 1: Giôùi haïn cuûa haøm soá f(x) khi x tieán tôùi x 0 (neáu coù) laø duy nhaát 2) Tính chaát 2: Cho limfx ()= L1 ;lim gx () = L 2 ta coù: xx→0 xx → 0 9
(1) limkfx ()= k lim() fx = Lk1 ( = const ) xx→0 xx → 0 (2) lim[ fx ()+ gx () ] = L1 + L 2 x→ x 0 (3) lim[ fxgx ( ). ( )] = LL1 . 2 x→ x 0 f( x ) L1 (4) lim = ( neáu L 2 ≠ 0 ) x→ x 0 g( x ) L 2 g( x ) L2 (5) limf ( x ) = L 1 x→ x 0 Nhaän xeùt : n (1) Cho P n(x) = a 0 + a 1x + + a nx . Ta coù: limPxn ()= Px n (0 ) x→ x 0 P( x ) P( x ) (2) Cho R( x ) = n ta coù: limR ( x ) = n 0 x→ x Qm ( x ) 0 Qm ( x 0 ) 3) Khaùi nieäm daïng voâ ñònh - Ñònh lyù treân chöa khaúng ñònh khi L1 = +∞ , L2 = −∞ . Do vaäy giôùi haïn lim( fx ()+ gx () ) coù daïng ∞ - ∞ khoâng tính ñöôïc. Ta noùi raèng ñoù laø moät daïng voâ x→ x 0 ñònh . 0 ∞ - Töông töï, ôû caùc giôùi haïn khaùc ta gaëp phaûi daïng 0.∞ ; ; ; 1;∞ 00 hay 0 ∞ vaø ta 0 ∞ cuõng goïi ñoù laø caùc daïng voâ ñònh. Baøi toaùn tìm giôùi haïn haøm soá thöôøng ñöôïc quy veà vieäc khöû caùc daïng voâ ñònh 2.2.2 - Caùc tieâu chuaån veà giôùi haïn Tieâu chuaån 1 Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x), h(x) thoaû maõn baát ñaúng thöùc: gx()≤ fx () ≤ hx ()/ ∀∈ x (,) ab Khi ñoù: Neáu limgx ( )= lim hx ( ) = L thì limf ( x ) = L xx→0 xx → 0 x→ x 0 Tieâu chuaån 2 a) Neáu f(x) laø moät haøm taêng vaø bò chaën treân thì f(x) coù giôùi haïn khi x → +∞ . b) Neáu f(x) laø moät haøm giaûm vaø bò chaën döôùi treân R thì f(x) coù giôùi haïn khi x → −∞ . 2.2.3 - Caùc giôùi haïn quan troïng Trong chöông trình toaùn phoå thoâng ta coù caùc giôùi haïn quan trong nhö sau: sin x ln(1+ x ) (1) lim= 1 (4) lim= 1 x→0 x x→0 x 1  x (1+x )α − 1 (2) lim 1 +  = e (5) lim = α x→∞ x  x→0 x 1 lim() 1 +xx = e x→0 ex −1 (3) lim= 1 x→0 x 10
2.3 - CAÙCH KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH VAØ CAÙC DAÏNG TOAÙN GIÔÙI HAÏN 2.3.1 – Toång hôïp moät soá phöông phaùp Phöông phaùp khöû caùc daïng voâ ñònh ñaõ ñöôïc trình baøy trong chöông trình toaùn phoå thoâng. ∞ 1) Khöû daïng voâ ñònh : ∞ Tìm caùch chia töû vaø maãu cho luyõ thöøa baäc cao nhaát cuûa ñoái soá (töông töï nhö daõy soá) 0 2) Khöû daïng : 0 P( x ) - Neáu laø daïng lim thì tìm caùch chia töû vaø maãu cho x – x0 x→ x 0 Q( x ) - Neáu gaëp phaûi daïng hi ệu caên: Khöû caên thöùc baèng caùch nhaân vaø chia cho löôïng caên lieân hôïp - Neáu gaëp daïng löôïng giaùc, muõ, logarit: Ñöa veà daïng giôùi haïn cô baûn 3) Khöû daïng voâ ñònh ∞ − ∞ hay 0. ∞ : 0 ∞ Tìm caùch bieán ñoåi bieán ñoåi veà daïng hay 0 ∞ 4) Caùc ví duï: x3−3 x 2 + 2 x (1) Tính giôùi haïn: L = lim x→2 x2 + x − 6 Giaûi 0 Ñaây laø giôùi haïn thuoäc daïng voâ ñònh . Ta coù: 0 xxx3−+3 2 2 xxx ( −− 1)( 2) xx ( − 1) 2 L =lim = lim == lim x→2xx2 +−6 x → 2 ( xx −+ 2)( 3) x → 2 x + 3 5 1 3  (2) Tính giôùi haïn: L =lim  −  x→1 1−x 1 − x 3  Giaûi Ñaây laø giôùi haïn thuoäc daïng voâ ñònh ∞ − ∞ . Ta coù:  1 3  1+ x + x2 − 3  x2 + x − 2     L = lim − 3 =lim  3  = lim 3 x→11− x 1− x  x→1 1− x x→1 1− x   (x −1)(x + 2) − (x + 2) lim = lim = −1 x→1 2 x→1 2 1( − x)(x + x + )1 x + x +1 9+ 2x − 5 (3) Tính giôùi haïn: L = lim x→8 3 x − 2 11
Giaûi 0 Ñaây laø giôùi haïn thuoäc daïng voâ ñònh nhöng coù chöùa hieäu caên thöùc, vì theá ta khöû caên 0 thöùc baèng caùch nhaân vaø chia cho caùc löôïng caên lieân hôïp: Ta coù: 2  ()9225+−×x3 x + 2. 3 x + 4 9+ 2x − 5 ( )  L =lim = lim x→83 x − 2 x → 8 ()x−8() 92 + x + 5 2  2 ()216x−×3 x + 2. 3 x + 4 3 3 ()  ()x+2. x + 4 12 =lim = 2lim = x→8 ()x−8() 92 + x + 5 x → 8 9+ 2x + 5 5 (4) Tính giôùi haïn L=lim3 xxx 3 + 3 2 − x→+∞ ( ) Giaûi Ta coù: x3+3 x 2 − x 3 L=lim3 xxx 3 +−= 3 2 lim x→+∞( ) x →+∞ 2 ( 3x32+3 x) + xx 3 322 ++ 3 xx 3x2 = lim x→+∞ 2 ( 3x32+3 x) + xx 3 322 ++ 3 xx 3 3 =lim2 = = 1 x→+∞ 3  3 1+ 1 + 1 31+  + 3 1 ++ 1 x  x 1− cos x (5) Tính giôùi haïn: L = lim x→0 x2 Giaûi Ta coù: 1− cos x 0 L = lim thuoäc daïng daïng voâ ñònh x→0 x2 0 Duøng coâng thöùc haï baäc: x x  2 2sin2 sin 1cos− x 2 2  111 L =lim2 = lim 2 = lim2.  ×== 2. x→0x x → 0 x x → 0 x  4 4 2 2  sin5x− sin3 x (6) Tính giôùi haïn L = lim x→0 sin x Giaûi Ta coù: 12
sin5x sin3 x ×5x − × 3 x sin5sin3xx− 53 xxx− 2 L =lim = lim5x 3 x === lim lim 2 x→0 x → 0 sin x x→0 x → 0 sin x × x x x x sinx− sin a (7) Tính giôùi haïn L = lim x→ a x− a Giaûi xa− xa + xa − 2sin cos sin sinx− sin a x+ a L =lim = lim2 2 =× lim 2 lim cos xa→xa− xa → xa − xa→x− a xa → 2 2 =1 × cosa = cos a 1− cos 3 x (8) Tính giới h ạn: L = lim x→0 x.sin 2 x 2x  2 3 2 2sin  () 1+ cosx + cos x 1− cos x ()1− cosx() 1 + cos x + cos x 2  L =lim = lim = lim x→0xxsin2 x → 0 xxx× 2sincos x → 0 x  x x×2 × 2sin cos  × cos x 2  2 x  x sin() 1cos++x cos2 x sin  () 1cos ++ x cos 2 x 12 1  2 =lim = lim 2x→0 x  2 x → 0 x x  xcos  cos x × 2cos  cos x 2  2 2  x  sin   12  1coscos+x + 2 x 1 33 =lim × lim =××= 1 2x→0x x → 0 x  224 2cos  cos x 2 2  arcsin x (9)Tính giôùi haïn L = lim x→0 x Giaûi Ñaët t = arcsinx ⇒ sint = x Khi ñoù: x → 0 ⇒ t→ 0 Vaäy: arcsinx t 1 1 lim= lim = lim == 1 x→0x y → 0sin t y → 0 sin t 1 t arctan x Töông töï ta cuõng coù: lim= 1 x→0 x arcsin 2 x (10)Tính giôùi haïn L = lim x→0 sin2x+ tan 4 x 13
Giaûi Chia töû vaø maãu soá cho x 2 ta ñöôïc: arcsin 2 x arcsin2 x 2 1 L =lim = limx == 1 x→0sintan2x+ 4 x x → 0 sin2x tan 2 x 10 + + × tan 2 x x2 x 2 ln(x+ a ) − ln a (10) Tính giôùi haïn L = lim x→0 x Giaûi x+ a x  ln ln 1 +  ln(x+ a ) − ln a a  1 1 1 L =lim = lima = lim ×=×= 1 x→0x x → 0 x x → 0 x aaa a lnx − 1 (11) Tính giôùi haïn L = lim x→ e x− e Giaûi Ñaët t = x + e ta coù x → e ⇒ t → 0 Suy ra: t+ e  t ln ln  1 + lnx− 1 ln( tee + ) − lne  e 1 L ==lim lim = lim = lim = xet→→0 t → 0 t → 0 t xe− t t×e e e 2.3.2 – Khöû daïng voâ ñònh 1∞ 1) Phöông phaùp Nguyeân taéc chung laø phaûi bieán ñoåi veà daïng giôùi haïn e, cuï theå nhö sau: v( x ) ∞ L= lim u() x  ( 1 ) x→ x 0   1 ux()()−1  vx limux()()− 1  vx   x x A =+−lim() 1ux() 1 u() x −1  = e→ 0 = etrong ño ù Auxvx =−lim()() 1  x→ x0   ()x→ x 0 2) Ví duï x x2 −2 x + 1  (1) Tính giôùi haïn L = lim  (1∞ ) x→∞ x2 −4 x + 2  Giaûi Tröôùc heát ta neâu coâng thöùc khöû daïng voâ ñònh 1∞ : Ta giaûi baøi toaùn theo caùch treân: x x xx2−+21  xxxx 2 −+−+− 2142 2   21 x −  x f()1 x =+ −=+ 11   =+ 1  xx2 −+42  xx2 −+ 42   xx2 −+ 42  14
2x− 1 ×x 1 2 x   x−4 x + 2 21x−  21 x −  2x− 1 2  L=lim()lim1 f x =+  =+ lim1  x−4 x + 2 x→∞ x →∞xx2 −+42  x →∞  xx2 −+ 42     2x− 1 2 x2 − x lim×x lim =ex→∞xx2−+42 = e x →∞ xx 2 −+ 42 = e 2 1 (2) Tính giôùi haïn L= lim(cos x ) x2 x→0 Giaûi Ta coù: 1 ()cosx− 1 cosx− 1 1 1 x2 lim   x→0 2 Lx=lim() cosx2 =+− lim() 1 cos x 1 cosx− 1  = e x x→0 x → 0   x x 2 2sin2 − 2 × 1− cos x 1 −lim − lim 2 4 2 2 2 − 1 =ex→0x = e x → 0 x === ee x 2 e 2.4 - VOÂ CUØNG BEÙ – VOÂ CUØNG LÔÙN 2.4.1- Ñònh nghóa: - Haøm soá f(x) ñöôïc goïi laø moät voâ cuøng beù (VCB) khi x tieán tôùi x 0 neáu limf ( x )= 0 x→ x 0 - Haøm soá f(x) ñöôïc goïi laø moät voâ cuøng lôùn (VCL) khi x tieán tôùi x 0 neáu lim|f ( x )| = +∞ x→ x 0 2.4.2 – Tính chaát: 1) Toång cuûa hai VCB khi x tieán tôùi x 0 cuõng laø moät VCB khi tieán tôùi x 0. 2) Tích cuûa moät VCB khi x tieán tôùi x 0 vaø moät ñaïi löôïng bò chaën cuõng laø moät VCB khi tieán tôùi x 0. 3) Tích cuûa hai VCL khi x tieán tôùi x 0 cuõng laø moät VCL khi tieán tôùi x 0. 2.4.3 - So saùnh caùc voâ cuøng beù – voâ cuøng lôùn 1) Ñònh nghóa 1: Cho α(x), β(x) laø nhöõng VCB khi x → x0. α(x ) a) Neáu lim= 0 thì t a noùi raèng α(x) laø voâ cuøng beù coù baäc cao hôn β(x) vaø kyù x→ x 0 β (x ) hieäu laø α(x) = O β(x) khi x → x0. α(x ) b) Neáu lim=k ≠ 0 thì t a noùi raèng α(x) laø voâ cuøng beù cuøng baäc vôùi β(x) vaø kyù x→ x 0 β (x ) hieäu laø α(x) = k β(x) khi x → x0. α(x ) c) Neáu lim= 1 thì t a noùi raèng α(x) laø voâ cuøng beù töông ñöông vôùi β(x) vaø kyù x→ x 0 β (x ) hieäu laø α(x) ~ β(x) khi x → x0. d) Neáu toàn taïi k >0 sao cho α(x) laø voâ cuøng beù cuøng baäc vôùi [β(x)} k thì ta noùi α(x) laø voâ cuøng beù baäc k so vôùi β(x) 2) Ñònh nghóa 2: Cho f(x), g(x) laø nhöõng VCL khi x → x0 15
f( x ) a) Neáu lim = ∞ thì ta noùi f(x) laø VCL baäc cao hôn g(x) x→ x 0 g( x ) f( x ) b) Neáu lim=k() k ≠ 0; k ≠∞ thì ta noùi f(x) laø VCL cuøng baäc vôùi g(x) x→ x 0 g( x ) f( x ) c) Neáu lim= 1 thì ta noùi f(x) laø VCL töông ñöông vôùi g(x) x→ x 0 g( x ) d) Neáu toàn taïi k >0 sao cho f(x) laø voâ cuøng lôùn cuøng baäc vôùi [ g(x)} k thì ta noùi f(x) laø voâ cuøng lôùn baäc k so vôùi g(x) 3) Caùc tính chaát: Tính chaát 1 Cho α(x), β(x) , γ(x) laø nhöõng VCB trong cuøng moät quaù trình x → x0, ta coù: (1) α(x) ~ β(x) (Tính phaûn xaï) (2) Neáu α(x) ~ β(x) thì β(x) ~ α(x) (Tính ñoái xöùng) (3) Neáu α(x) ~ β(x) vaø β(x) ~ γ(x) thì α(x) ~ γ(x) (Tính baéc caàu) Tính chaát 2ù: Cho α( x), α( x) ; β( x) , β ( x ) laø nhöõng VCB khi x → x0 . Khi ñoù: Neáu α( x) α( xx); β( ) β ( x ) thì: α()x α () x (1) ~ khi x → x0 β (x ) β (x ) (2) α( xx) β( ) α( xx) β ( ) khi x → x0 Tính chaát 3: (1) Neáu α(x) vaø β(x) laø toång cuûa caùc voâ cuøng beù khaùc caáp khi x→ x 0 thì giôùi haïn α ( x) cuûa tæ soá baèng giôùi haïn cuûa tæ soá hai VCB caáp thaâp nhaát trong hai VCB β ()x α(x) vaø β(x) khi x→ x 0 ( quy taéc ngaét boû VCB caáp cao ) (2) Neáu f(x) vaø g(x) laø toång cuûa caùc VCL khaùc caáp khi x→ x 0 thì giôùi haïn cuûa tæ f( x ) soá baèng giôùi haïn cuûa tæ soá hai VCl caáp cao nhaát trong hai VCL f(x) vaø g() x g(x) khi x→ x 0 ( quy taéc ngaét boû caùc VCL caáp thaáp ) 4) Caùc töông ñöông cô baûn khi x →→→ 0 Töø caùc giôùi haïn quen thuoäc ta coù caùc töông ñöông cô baûn sau: (1) sin x ~ x , tgx ~ x (2) arcsinx ~ x , arctanx ~ x (3) ln(1 + x) ~ x (4) ex – 1 ~ x 5) Ví duï aùp duïng: x3 0  (1) Tính giôùi haïn L= lim   x→ 0 2sin 2 x 0  16
Giaûi Ta coù: x3 ~ x 3 sin x ~ x ⇒ sin 2x ~ x 2 x3 x 3 x ⇒ L =lim = lim == lim 0 x0→2sin2x x0 → 2 x 2 x0 → 2 esinαx− e sin β x 0  (2) Tính giôùi haïn L = lim   x→ 0 sinx  0  Giaûi Ta coù: sinαx sin β x esinαx− e sin β x (e−1) −( e − 1 ) L =lim = lim x0→sinx x0 → sin x esinαx−1 e sin β x − 1 ⇒ L =lim − lim x0→sinx x0 → sin x Nhöng khi x → 0 thì : sin αx e −1 ~ sinαx ~ αx sin βx e −1 ~ sinβx ~ βx sinx ~ x αx β x Suy ra: L = lim − lim =−α β x0→x x0 → x tanx− sin x (3) Tính giôùi haïn L = lim x→ 0 x3 Giaûi Ta coù: sin x x − sin x (sinx )× 2sin 2 sinx (1− cos x ) f( x ) =cos x = = 2 x3 xx 3cos xx 3 cos x x Nhöng khi x → 0 ta coù: sinx ~ x , sin ~ 2 2 Suy ra: x2 x×2 × 1 1 L =lim4 = lim = x→0x3 cos x x → 0 2cos x 2 π x (4) Tính giôùi haïn L=lim(1 − x ) tan x→1 2 Giaûi Ñaët t = 1 – x ⇒ x = 1 – t πx π  ππ t  π t ⇒ tan= tan (1 −=t )  tan −=  cot 2 2  22  2 Khi x → 1 thì t → 0. Ta coù: 17
πx  π t  t L=−lim(1 x ) tan = lim t . cot   = lim x→12 t → 0  2  t → 0 πt  tan   2  πt  π t t 1 2 Do tan  ~ neân: L =lim = = 2  2 t→0 πt π π 2 2 ln(1+ 3x sin x ) 0  (5) Tính giôùi haïn L = lim   x→0 tgx 2 0  Giaûi Khi x → 0 ta coù: ln(1 + 3xsinx) ~ 3xsinx tgx 2 ~ x 2 ln( 1+ 3x sin x) 3xsin x sin x ⇒ L = lim = lim = 3lim = 1.3 = 3 x→0 2 x→0 2 x→0 tgx x x arctan(x2 + 3 x ) 0  (6) Tính giôùi haïn L = lim   x→0 arcsin 2x  0  Giaûi Vì khi x → 0 ta coù: arctan(x 2 + 3x) ~ x 2 + 3x arcsin2x ~ 2x neân arctan(xx2+ 3 ) xx 2 + 3 x + 3 3 L =lim = lim == lim x→0arcsin 2x x → 0 2 x x → 0 2 2 (arcsin2 2x) ln( 1+ sin x ) (7) Tính giôùi haïn L = lim x→0 sin3 2x+ arctan 4 x Giaûi Ta coù: 2 2 (arcsin 2x) ln( 1+ sin x ) ()2x sin x 4x2 × x L =lim = lim = lim x→0 sin34 2xx+ arctanx→0 sin 3434 2 xx + arctanx → 0 sin 2 xx + arctan (Do arcsin2 xx 2; ln1()+ sin x sin xx ) 4 4 ⇒ L =lim = lim = 2 x→0 sin3 2x arctan 3 x x → 0 2+ 0 ×2 + × arctan x 2x3 x 3 ln cos 4 x (8) Tính giôùi haïn L = lim x→0 ln cos 2 x Giaûi Ta coù: 18
lncos4x=+ ln1( cos4 x − 1) cos4 x − 1   ⇒ ln cos 4x − 8 x 2 2 2 () cos4x−=−− 1()() 1cos4 x =− 2sin2 xx −× 2 2  Töông töï ta cuõng coù: ln cos 2x (− 4 x 2 ) ln cos 4x− 8 x 2 Suy ra: L =lim = lim = 2 x→0ln cos 2x x → 0 − 4 x 2 e3x −1 (9) Tính giôùi haïn L = lim x→0 x  tan   2  Giaûi Ta coù: ex3x −1 3 3  xx  L=lim === lim 6  Do e3x − 13; x tan  x→0x x → 0 x 1 tan 2 2  2 2 2 (1−ex )( 1 − cos x ) (10)Tính giôùi haïn L = lim x→0 x3+ sin 4 x Giaûi Ta coù: x x  2 1−=−−eex() x 1() −− x ;1cos x = 2sin2 2 ×   2 2  x2 ()1−ex () 1 − cos x ()−x × ⇒ L =lim = lim 2 x→0x34+sin x x → 0 x 34 + sin x 1x3 1 1 111 =−lim =− lim =−×=− 2x→0x3+ sin 4 x 2 x → 0 sin 3 x 212 1+ × sin x x3 3 8+ 3x − 2 (11)Tính giôùi haïn L = lim x→0 4 16+ 5x − 2 Giaûi Ta coù: 19
1  3 3 3x 3 x  3 x   13 x 83281+−=x 3  + −=+−= 2213 221  + − 12 ××  8 8  8   38   1 5 x  Töông töï ta cuõng coù: 4 16+− 5x 2 2 ××  4 16  1 3 x  x 2× ×  3 832+x − 3 8  8 ⇒ L =lim = lim == lim 4 x→04 16+ 5x − 2 x → 01 5 x  x → 0 5x 5 2× ×  4 16  32 §3 – HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC 3.1 - CAÙC KHAÙI NIEÄM 1) Haøm soá lieân tuïc: - Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b), x0 ∈ (a, b). Haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi x 0 neáu limfx ()= fx (0 ) x→0 - Haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân (a, b) ⇔ y = f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm x 0 ∈ (a, b) 2) Söï lieân tuïc moät phía: - Haøm soá y = f(x) lieân tuïc traùi taïi x ⇔limfx () = fx ( ) 0 − 0 x→ x 0 - Haøm soá y = f(x) lieân tuïc phaûi taïi x ⇔limfx () = fx ( ) 0 + 0 x→ x 0 Vaäy: y = f(x) lieân tuïc taïi x 0 ⇔ y = f(x) vöøa lieân tuïc traùi, vöøa lieân tuïc phaûi taïi x = x 0 3 ) Ghi chuù: Haøm soá y = f(x) khoâng lieân tuïc taïi x0 thì ñieåm x = x 0 ñöôïc goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá ñoù. 3.2 – CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA HAØM LIEÂN TUÏC 1) Ñònh lyù: (1) Cho haøm soá y = f(x) vaø y = g(x) lieân tuïc taïi x = x 0 ta coù caùc haøm soá f( x ) f(x) + g(x); f(x).g(x); |f(x)|; (vôùi g(x 0) ≠ 0) cuõng lieân tuïc taïi x 0 g( x ) y= f( u ) (2) Cho haøm hôïp  u= u( x ) Neáu u lieân tuïc taïi x 0 , y lieân tuïc taïi u 0 = u(x 0) thì y lieân tuïc taïi x 0 2) Söï lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sô caáp: (1) Haøm ña thöùc y = P(x) lieân tuïc taïi moïi x ∈ R P( x ) (2) Haøm phaân thöùc y = lieân tuïc taïi moïi ñieåm x ∈ R khoâng laø nghieäm cuûa ña thöùc Q( x ) Q(x). (3) Haøm y = cosx , y = sinx lieân tuïc treân R 20
π (4) Haøm y = tgx lieân tuïc taïi moïi x ∈ R, x≠ + k π 2 (5) Haøm y = cotgx lieân tuïc taïi moïi x ∈ R , x ≠ kπ (6) Haøm muõ y = a x (a > 0, a ≠ 1) lieân tuïc treân R + (7) Haøm soá loâgarit y = log ax (a > 0, a ≠ 1) lieân tuïc treân R (8) Caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc lieân tuïc treân mieàn xaùc ñònh cuûa chuùng. 3.3 - CAÙC ÑÒNH LYÙ VEÀ HAØM LIEÂN TUÏC 1) Ñònh lyù 1: (Ñònh lyù Weyôstrat thöù nhaát) Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b] thì noù biï chaën treân ñoaïn ñoù. 2) Ñònh lyù 2: (Ñònh lyù Weyôstrat thöù hai) Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b] thì taäp hôïp caùc giaù trò cuûa haøm soá khi x chaïy trong [a, b] taïo thaønh moät ñoaïn [m, M] 3) Ñònh lyù 3: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b] thì f(x) ñaït moïi giaù trò trung gian giöõa giaù trò nhoû nhaát m vaø giaù trò lôùn nhaát M cuûa f(x) treân [a, b] . 4) Heä quaû: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø f(a), f(b) traùi daáu (nghóa laø f(a).f(b) < 0) thì phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm trong ñoaïn [a, b] Ví duï: Chöùng minh raèng phöông trình x 5 – 3x = 1 coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (1, 2) Giaûi: Xeùt haøm soá f(x) = x 5 – 3x – 1 ta coù: f(1).f(2) = (-3). 25 < 0. Suy ra phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm trong khoaûng (1, 2) 3.4 – CAÙC VÍ DUÏ Ví duï 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá  1 xsin neáux≠ 0 f(x) =  x  0 neáux= 0 taïi ñieåm x 0 = 0 Giaûi: Ta coù: - f(0) = 0 1 1 - limfx ()= lim x .sin = 0 = f (0) ( Do khi x → 0 thì sin bò chaën x→0 x → 0 x x 1 ⇒ xsin→ 0 ). Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x 0 = 0 x Ví duï 2: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá: 21
 1  neáu x ≠ 0 )x(f = x2  0 neáu x = 0 taïi ñieåm x 0 = 0 Giaûi: Ta coù f(0) = 0 1 lim )x(f = lim = +∞ ≠ )0(f 2 x→0 x→0 x Suy ra haøm soá khoâng lieân tuïc taïi x 0 = 0 Ví duï3 : Xeùt tính lieân tuïc traùi, lieân tuïc phaûi vaø lieân tuïc taïi x 0 = 1 cuûa haøm soá: x2 neáu x ≥ 1 )x(f =   3x +1 neáu x < 1 Giaûi: Ta coùù - f(1) = 1 - limfx ( )= lim x2 = 1 = f (1) ⇒ Haøm soá lieân tuïc phaûi taïi x = 1 x1→+ x1 → + - limfx ( )= lim( 3 x +=≠ 1) 4 f (1) ⇒ Haøm soá khoâng lieân tuïc traùi taïi x = 1 x1→− x1 → − Suy ra haøm soá khoâng lieân tuïc taïi x = 1 Ví duï 4: Cho haøm soá: ln( 1+ x arctan 2 x )  2 neáu x ≠ 0 f() x =  e2x −1  2a+ 3 neáu x = 0 Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 Giaûi Ta coù: f(0) = 2 a + 3 ln( 1+ x arctan 2 x ) xarctan 2 x xx× 2 limf() x = lim2 = lim == lim 1 x→→0 x 0 e2x −1 x →02x2 x → 0 2 x 2 Khi ñoù: fx( ) lieân tuïc taïi x = 0 ⇔lim fxf( ) =( 0) ⇔+=⇔=− 231 a a 1 x→0 Ví duï 5: Cho haøm soá: 22
arcsin(e3x − 1) tan 3 x  neáu x > 0 f() x =  ln() 1+ 3 x2  2a+ 3cos x neáu x ≤ 0 Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 Giaûi Ta coù: f(0) = 2 a + 3 3x arcsin(e− 1) tan 3 x 3x× 3 x limf() x = lim = lim2 = 3 x→0+ x → 0 + ln() 1+ 3 x2 x → 0 + 3x limfx()()= lim2 a + 3cos xa =+ 2 3 x→0− x → 0 − Khi ñoù: fx( ) lieân tuïc taïi x = 0 ⇔lim fxfxf( ) = lim( ) =( 0) ⇔+=⇔= 233 a a 0 x→0+ x → 0 − 23
BAØI TAÄP Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn sau 3 1 1  1− cos x 1) L =lim  −  9) L = lim x→2 2 2 x→0 x.sin 2 x x() x − 2 x−3 x + 2  1+ sinx − cos x   10) L = lim x+2 x − 4 x→0 2) L =lim  +  1− sinx − cos x x→2 x2 −5 x + 4 3x2 − 3 x + 2  1 1  ()  11) L =lim  −  x→0 sinx tan x  2 20 2− 1 + cos x ( x− x − 2) 12) L = lim 3) L = lim x→0 sin 2 x x→2 3 10 ()x−12 x + 16 π − arccos x 13) L = lim x2 +1 − 1 x→− 1 x +1 4) L = lim x→0 x x(1− x) arcsin 3 x 14) L = lim xb− − ab − x→0 1− cos 2 x 2 5) L=lim () a > b () x a 2 2 → x− a 3 1+x − 1 x − 2 15) L = lim 6) L = lim x→0 x.arctan x .ln() 1+ 3 x x→4 x2 −5 x + 4 x+ x + x 7) L = lim x→+∞ x +1 x+3 x + 4 x 8) L = lim x→+∞ 2x + 1 Baøi 2: Tính caùc giôùi haïn sau 2 x sin x x−2 x + 1  x x 1) L = lim sin x  −sin 2  5) L = lim   x→∞ x−4 x + 2  x→0 x  x3 1 3x2 − x + 1  1−x 6) L=lim() cos x + sin x x 2) L = lim   x→0 x→+∞ 2 2x+ x + 1  7) L= lim sin x tan x π () x−1 x→ x2 −1  x+1 2 x 3) L = lim 2  8) L=lim 1 − 2 x x→+∞ x +1  x→0 1 x sin x 9) L= lim cos x 4) L= lim() cos x x→0 x→0 Baøi 3: 1) Cho haøm soá: 24
ln cos x neáu x ≠ 0  x2 f() x =  1  −neáu x = 0  2 Haõy xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm x = 0 2) Cho haøm soá: 2 ex − cos x  neáu x ≠ 0 f() x =  x2   1neáu x = 0 Haõy xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm x = 0 3) Cho haøm soá:  ln cos x neáu x > 0 ln cos 2 x f() x =  1  neáu x ≤ 0  4 Haõy xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm x = 0 4) Cho haøm soá: ln( 1+ 2x) arcsin2 2 x  2 neáu x ≠ 0 f() x =  e2x −1   2a+ 1neáu x = 0 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 5) Cho haøm soá: arctan(x2 − 1 )  neáu x > 1 f() x =  x2 −4 x + 3   2a+ 1neáu x ≤ 1 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = 1 25
Chöông 2 PHEÙP TÍNH VI PHAÂN CUÛA HAØM MOÄT BIEÁN §1 - ÑAÏO HAØM 1.1 – KHAÙI NIEÄM ÑAÏO HAØM 1 - Ñònh nghóa: (1) Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b) chöùa ñieåm x 0. Neáu toàn taïi giôùi haïn: fx( ) − fx( 0 ) f'( x 0 )= lim x→ x 0 x− x 0 thì ta noùi haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x 0 vaø goïi f′( x 0 ) laø ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x 0. (2) Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x 0 thì ta noùi y = f(x) laø haøm khaû vi taïi ñieåm x 0 (3) Neáu haøm soá y = f(x) khaû vi taïi moïi ñieåm x 0 ∈ (a, b) thì ta noùi haøm soá laø khaû vi treân khoaûng ñoù. 2 - Caùch ñònh nghóa khaùc: Cho x 0 soá gia ñoái soá ∆x sao cho x 0 + ∆x ∈ (a, b) Khi ñoù soá gia haøm soá laø ∆=y fx(0 +∆ x ) – fx( 0 ) . Ta ñònh nghóa: ∆y fx( 0+ ∆ x) − fx( 0 ) f′() x 0 =lim = lim ∆→x0∆x ∆→ x 0 ∆ x 3 - YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò laø (C). Khi ñoù heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm M(x 0, y 0) baèng f′( x 0 ) vaø phöông trình tieáp tuyeán taïi M 0(x 0,y 0) coù daïng: y – y0 = fxxx′( 0)( − 0 ) 4 - Ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f(x) khaû vi taïi ñieåm x 0 thì haøm soá seõ lieân tuïc taïi ñoù. Chöùng minh: Ta coù: fx()− fx ()0 lim()()lim()fxfx−0 = ×−=×−=×= lim()()() xxfx0′ 0 lim( xxfx 00 ) ′ 00 xx→ xx → xx → xx → 0 0 x− x 0 0 0 ⇒ limfx ()= fx (0 ) ⇒ f( x ) laø haøm soá lieân tuïc taïi x = x 0 x→ x 0 1.2 - CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN CUÛA ÑAÏO HAØM 1 – Tính chaát 1 u Neáu caùc haøm soá u = u(x), v = v(x) ñeàu coù ñaïo haøm theo x thì caùc haøm soá u+ v; uv . ; v (v ≠ 0) cuõng coù ñaïo haøm theo x vaø: (1) (u + v)’ = u’ + v’ (2) (u.v)’ = u’ v + u v’ 26
u  ' uv'− uv ' (3)   = (v ≠ 0) v  v 2 Heä quaû: (1) (u – v)’ = u’ – v’ (2) (u 1 + u 2 + + u n)’ = u 1’ + u 2’ + + u n’ 1  ' v ' (3)   = − (v ≠ 0) v  v 2 (4) (ku)’ = ku’ 2 – Tính chaát 2 (Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp) Xeùt haøm hôïp y = f[u(x)]. Neáu haøm u = u(x) coù ñaïo haøm theo x, haøm soá y = f(u) coù ñaïo haøm theo u thì haøm hôïp y = f[u(x)] coù ñaïo haøm theo x vaø ta coù: y′x= y u′ × u ′x 3 – Tính chaát 3 (Ñaïo haøm cuûa haøm ngöôïc) Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm y′( x 0 )≠ 0 ø coù haøm ngöôïc vaø haøm ngöôïc x = g(y) lieân ' tuïc taïi ñieåm y 0 = f(x 0). Khi ñoù haøm ngöôïc seõ coù ñaïo haøm xy ( y 0 ) taïi ñieåm y 0 vaø: 1 x ' (y ) = y 0 y ' (x ) x 0 4 - Baûng ñaïo haøm thoâng duïng 1) C’ = 0 1 8) (arccosx )' = − 2) ()'xα=α . x α −1 ( α ∈ R ) 1− x2 1 1 ⇒ n x ' = 9) (arctgx )' ( ) = 2 nn x n−1 1+ x 3) (sinx)’ = cosx 1 10) (arccotgx )' = − 2 4) (cosx)’ = - sinx 1+ x 1 11) (e x)’ = e x 5) (tgx)’ = x x cos 2 x 12) (a )’ = a lna 1 1 6) (cotgx )' = − 13) (lnx )' = sin 2 x x 1 1 7) (arcsinx )' = 14) (loga x )' = 1− x2 xln a 1.3 – ÑAÏO HAØM CAÁP CAO Ñònh nghóa: - Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm y’ = f ’ ( x ) vaø goïi laø ñaïo haøm caáp 1 cuûa haøm soá y= f( x ) . - Neáu y’ coù ñaïo haøm thì ta goïi ñaïo haøm cuûa ñaïo haøm caáp 1 laø ñaïo haøm caáp 2 cuûa haøm soá y= f( x ) vaø kyù hieäu laø y′′ . ′ ′ Vaäy: y′′=()() y ′ =  fx ′  27
- Moät caùch toång quaùt ta coù ñònh nghóa ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá y= f( x ) nhö sau: ()()n n−1′ () n − 1  ′ yy=() =  fx()  1.4 - AÙP DUÏNG 1.4.1 – Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá thoâng thöôøng Ví duï 1: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá: arctgx (1) y = arcsin x arctgx  ′ ( arctgx )'.(arcsin x )− ( arctgx )(arcsin x )' y ' =  = arcsinx  (arcsin x ) 2 1 1 arcsin x− arctgx 1+ x2 2 = 1− x (arcsinx ) 2 (2) y = e x(sinx + cosx) x′ x x yex'= (sin + cos x )  = ( e )'(sin xxexx +++ cos ) (sin cos )' =ex (sin x ++ cos xe ) x (cos x − sin x ) =exx (sin ++− cos x cos x sin xex ) = 2x cos (3) y=ln( x + x 2 + 4 )   2  ′ 12 ′ 1 1 2 yxx'ln=++= 4  xx ++= 4 1 + (4) x + ′  ( )  xx++2 4( ) xx ++2 424 x 2 +  1 2x  1 x2 + 41 + x = 1 +=  × = xx++2424 x 2 +++  xx 222 4 x + 4 x + 4 (4) y= sin4 5 x 4′ 3′ 3 3 yx′ =sin5  = 4sin5() xx ×() sin5 = 4sin5() xx ××=() cos5 5 20sin5 xx × cos5 3 (5) y= e arctg x +4 28
3′ 3 arctg() x+4 arctg() x + 4 3  ′ ye' =( ) = e × arctgx() + 4  3 arctg() x +4 2 ′ =e × 3 arctg() x + 4() arctgx + 4 3 arctg() x +4 2 1 ′ =e × 3 arctgx +× 4 ×+ x 4 () 2 () 1+()x + 4 3 3earctg x +4× arctg 2 x + 4 3 1 1 () =earctg x +4 × 3 arctg 2 () x +× 4 × = 1+x + 4 24x+ 25() x + x + 4 Ví duï 2 2 Tính ñaïo haøm caáp ba y’’’ cuûa haøm soá: y= e −x Giaûi: 2′ 2 2 ye'=()−x = e − x .()'2. − x2 =− xe − x 2′ 2 2 ′ y''=− 2 xe−x =−()() 2 xe′ − x − 2 xe − x () () 2 2 2 22 =− 2e−x −− 2 xxe() 2 − x =−+ 2 e − x 4 xe2 −− xx = e (4 x 2 − 2) 2 ′ 2 ′ 2 2 2 yex′′′ =−x()422 −=  e − x ×−+×=−()() 42 x 2 exxe −− xx 82 ×−+× 42 x2 ex − x 8   () 2 2 2 2 =− 8x3 e−x + 4 xe − x + 8 xe − x = 4 xe − x () −++ 2 x2 2 x 1 1.4.2 - Ñaïo haøm haøm soá y = u(x) v(x) 1) Phöông phaùp: Böôùc 1: Loâgarit nepe hai veá ta được: lny= vx( ) .ln ( ux( )) Böôùc 2: Ñaïo haøm hai veá cuûa bieåu thöùc ôû Böôùc 1 Böôùc 3: Ruùt goïn vaø tính y ’ theo x 2) Caùc ví duï: Ví duï 1 Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: (1) y = x x Giaûi Logarit nepe hai veá: lny = x lnx Ñaïo haøm hai veá: y ' 1 =lnx + x . =+ 1 ln x ⇒ y'= xx (1 + ln x ) y x (2) y = (x 2 + 1) 2x 29
Giaûi Ta coù: 22x 2 ′ 2  ′ yx=()() + 1⇒ ln yxx= 2 ln + 1⇒ () ln yxx= 2 ln() + 1  y' 2 x 4 x 2 ⇒ =2ln(x2 ++× 1) 2 x = 2ln( x 2 ++ 1) y x2+1 x 2 + 1 2 2 2x  2 4x  ⇒ y'=+ ( x 1) 2ln( x ++ 1)  x2 +1  1 (3) y= (cos x ) x Giaûi 1 1 1  ′ yxy= (cos )x ⇒ ln= ln cos xy⇒ () ln′ =  ln cos x  x x  y ' 1 1 ()−sin x ⇒ =− ×ln cos x +× yx2 xcos x 1 1 1  ⇒ y'= (cos x )x − ln cos xtgx − x2 x  (4) y = x sinx Giaûi y ' 1 yx= sin x ⇒ ln y= sin xx ln ⇒ =cosx .ln x + sin x . y x  sinx  ⇒ 'y = xsin x cosxln x +   x  x (5) y= x x Giaûi xx x′  x  ′ yx= ⇒ ln yxx= () ln⇒ () ln y= () xx ln  x  y ' x′ x′ x x x′ x  ⇒ =()xln xxx +()() ln =++ x 1 ln xx ln   Dox :() =+ x() 1 ln x  y x    xx x2 x − 1 ⇒ yx'=()  x (ln x + ln xx ) +  Ví duï 2: ex arcsin x 3 Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = . 1+ x2 Giaûi: Logarit nepe hai veá ta coù 30
1 lnye=+ lnx ln() arcsin x32 −+=+ ln 1 xx ln() arcsin x 3 −+ ln() 1 x 2 2 1  ′ ⇒ ()lnyx′ =+ ln() arcsin x3 − ln() 1 + x 2 2  y' 1 1 12 x ⇒ 2 =+13 × ×−× 3 x 2 yarcsin x1− x6 2 1 + x   exx arcsin3 3 x 2 x ⇒ y '= 1 + −  2 6 3 1+ x2  1+x 1 − x() arcsin x  §2 - VI PHAÂN 2.1 – KHAÙI NIEÄM VI PHAÂN 1) Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá y= f( x ) khaû vi taïi moät ñieåm x∈( a, b ) . Ta cho x moät soá gia ∆x sao cho x+ ∆ x ∈ ( ab, ) . Khi ñoù soá gia haøm soá laø ∆=y fx( +∆ x ) – fx( ) . Suy ra : ∆y ∆ y fx'()lim= ⇒ =+ fx '()α () x () α () xVCBkhix − ∆→ 0 ∆x → 0 ∆x ∆ x ⇒ ∆=y fxx '( ) ∆+α ( xx ) ∆ Ta goïi f'( x ) ∆ x laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) vaø kyù hieäu laø dy hay df(x) 2) Nhaän xeùt: - Xeùt haøm soá y = x ⇒ dy = dx = (x)’ ∆x = ∆x. Suy ra: dy= f′( xdx ) dy - Töø bieåu thöùc vi phaân dy= f′( xdx ) ta coù = f′( x ) vaø ta goïi ñaây laø kyù hieäu dx Lepnit cuûa ñaïo haøm 3) Ví duï: Cho haøm soá y = arctg(x 2 – 2). Tìm dy. Giaûi 1 Ta coù: dy = (arctg(x 2 – 2)’dx = .2x . dx 1+ (x2 − 2) 2 2.2 – CAÙC QUY TAÉC TÍNH VI PHAÂN 2.2.1 – Ñònh lyù: Cho caùc haøm khaû vi u = u(x), v = v(x). Ta coù caùc tính chaát sau: (1) d( u+ v) = du + dv (2) d( uv) = du ×+× v u dv u  du× v − u × dv (3) d  =( ∀ v ≠ 0) v  v 2 2.2.2 – ÖÙng duïng vi phaân ñeå tính gaàn ñuùng: 1) Coâng thöùc: 31
Cho f laø moät haøm khaû vi taïi x 0. Khi ñoù ta coù: fx( 0+∆− xfx) ( 0) = fxx′( 0 ) ∆+∆ο( x ) Neáu ta ngaét boû VCB caáp cao ο(∆x ) thì ta coù coâng thöùc gaàn ñuùng: fx( 0+∆≈ x) fx( 0) + fx′( 0 ) ∆ x 2) Ví duï: AÙp dung vi phaân tính gaàn ñuùng giaù trò lntg47 015 ’ Giaûi: π π  Deã daøng thaáy raèng: ln()()tg 47150′= ln tg 45 0 += 215 0 ′ ln tg  +  4 80  π π Xeùt haøm soá: f( x) = ln tgx trong ñoù x=; ∆ x = . 0 4 80 Theo coâng thöùc gaàn ñuùng ta coù: ππ   π  ππ fxxfxfxxf()()()+∆≈ +′ ∆⇔ +  ≈ f  + f ′  . 0 0 0 480   4  480 π  π Nhöng f=ln tg  = ln1 = 0 , 4  4 1π  1 1 Do f() x= ⇒ f ′  = = = 2 . Suy ra: sin.cosx x  4  2 2 1 . 2 2 2 ππ   π  ππ ππ f+≈  f  + f ′  . =+=≈ 02. 0,0785 480   4  480 8040 Vaäy: ln(tg 47150 ′) ≈ 0,0785 2.2.3 – Ñaïo haøm theo tham soá 1) Ñònh lyù: x= x( t ) Cho haøm soá y = y(x) ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá:  ()t ∈()α, β . y= y() t Khi ñoù: Neáu x = x(t) vaø y = y(t) laø nhöõng haøm soá khaû vi theo t thì y khaû vi theo x vaø ta coù coâng yt′ thöùc: yx′ = xt′ Chöùng minh Ta coù: x= x( t ) y′ ⇒ ⇒ ⇒ t yyx=() : () t ∈ ()α , β yyxt= ()() yyxyt′= ′′xt × ′x = y= y() t xt′ 2) Ví duï: Cho haøm soá y = y(x) ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình tham soá: 32
x=ln(1 + t 2 )  y=2 t − 2 arctgt a) Tính yx′ b) Tính y′′x Giaûi: a) Ta coù: 2 22+t 2 − 2 ′ 2 − 2 y′ []2t− 2 arctgt 2 2 2t y′ ==t t =1+t = 1 + t == t x ′ 2t 2 t xt 2  ′ 2t ln(1+ t )  2 2 t 1+t 1 + t b) Ta coi: y= t y′ 1 1 + t 2 yyx′= () :  ⇒ y ′′ =t = = x 2 x ′ 2t x=ln() 1 + t xt 2 t 1+ t 2 2.2.4 – Ñaïo haøm haøm aån 1) Phöông phaùp tìm ñaïo haøm haøm aån ’ Cho haøm aån y = y (x) ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc F(x,y) = 0. Ñeå tính ñaïo haøm y x ta ’ tính ñaïo haøm cuûa bieåu thöùc treân theo x sau ñoù tính y x 2) Ví duï Tính ñaïo haøm cuûa haøm aån: yyxe=( ) :x− y = x sin y Giaûi Ta coù: ex− y = xyesin ⇔−x− y( x ) xyx sin( ) = 0 x− y() x ⇒ e()()()1−− yx′ 1.sin yxxyxy − cos ′x = 0 xyx−()() xyx − ⇔−e e. y′x − 1.sin yxxyxy()() − cos ′x = 0 ′ xyx−() xyx − () ⇔yex () + xyxecos() =− sin yx() ex− y() x − sin y() x ⇒ y′ = x ex− y() x + xcos yx() Ví duï 2 Cho haøm aån: y= yx( ) : bx22 + ay 22 = ab 22 . Tính y ’’ (x) Giaûi Ta coù: 33
b2 x 2bx2+ 2. ayy 2 ′ = 0 ⇒ y ′ = − x x a2 y b2 x  ′ baybxay22×−× 2 2 ′a2 b 2 () y− xy ′ b 2 yxy − ′ ⇒ ′′ x x x yx =−2  =− 42 =− 42 =−× 22 ay  x ay ay ay b2 x  y− x  −  b2a2 y  baybx 22222+ bab 222 b 4 =−× =−× =−× =− a2 y 2 a 2 ay 23 aayay 22323 b4 Vaäy: y′′ = − x a2 y 3 2.3 - VI PHAÂN CAÁP CAO 1 - Ñònh nghóa: Cho haøm soá y= f( x ) xaùc ñònh vaø khaû vi treân (a, b); x ∈ (a, b). - Ta goïi vi phaân dy cuûa haøm soá y= f( x ) laø vi phaân caáp 1 cuûa haøm soá ñoù . - Vi phaân cuûa vi phaân caáp 1 ñöôïc goïi laø vi phaân caáp 2 cuûa haøm soá y= f( x ) vaø kyù hieäu laø d 2y. Vaäy: d2y = d(dy) = y’’(dx) 2 = y’’dx 2 - Töông töï ta coù vi phaân caáp 3 cuûa haøm soá y= f( x ) laø: d3y = y’’’dx 3 , - Moät caùch toång quaùt ta ñònh nghóa vi phaân caáp n cuûa haøm soá y= f( x ) laø bieåu thöùc: dn y = y (n) dx n. 2 - Ví duï: 2 Tìm vi phaân caáp 2 cuûa haøm soá y= e −x Giaûi: Ta coù d 2y = f’’(x) dx 2. 2' 2 2 2 2 Nhöng: fxe'()=( −x) = e − x .(2)(2) −=− x xe − x ; f''( x )=− 2 e−x − 2 xe − x .( − 2 x ) 2 Suy ra : d2 y=2 e−x (2 x 2 − 1) dx 2 §3 - CAÙC ÑÒNH LYÙ VEÀ GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH 3.1 - CAÙC ÑÒNH LYÙ VEÀ GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH 1) Boå ñeà 1 (Ñònh lyù Fecma) Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b]. Neáu f(x) ñaït cöïc trò taïi c ∈ (a, b) vaø neáu f(x) khaû vi taïi c thì f’(c)= 0 Chöùng minh: - Giaû söû c laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa f(x). Do f(x) khaû vi taïi x = 0 neân ∃f’(c) sao cho: fc(+ h ) − fc () f'( c )= lim h→0 h 34
- Vì f(x) ñaït cöïc ñaïi taïi c neân: f(c + h) ≤ f(c) ( ∀h) ⇒ fch(+− ) fc ()0( ≤ ∀ h ) Vaäy:  fc(+ h ) − fc () ≥0neáu h 0  fc(+ h ) − fc ()  h lim≤ 0 h→0+ h Vì toàn taïi f’(c) neân: fch()()+− fc fch ()() +− fc fch ()() +− fc lim= lim = lim = 0 ⇒ f'( c )= 0 h→0 hh→0− h h → 0 + h - Neáu x = c laø cöïc tieåu thì ta cuõng lyù luaän töông töï. 2) Heä quaû 1: (Ñònh lyù Rolle) Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi treân (a, b) vaø f(a) = f(b). Khi ñoù ∃ c ∈ (a, b) sao cho : f ′(c) = 0 Chöùng minh: Vì f(x) lieân tuïc / [a, b] neân f(x) ñaït giaù trò nhoû nhaát m = minf(x) vaø giaù trò lôùn nhaát M = maxf(x) treân [a, b]. Khi ñoù coù 2 khaû naêng xaûy ra: - Neáu caû hai giaù trò ñeàu ñaït taïi hai ñaàu muùt a vaø b thì: f(a) = f(b) ⇔ min f(x) = max f(x) ( ∀ x ∈ [ a, b]) ⇒ f(x) = k (const) ()∀ x ∈ [a, b] ⇒ f ′ (x) = 0 (∀ x ∈ [a, b] ) Vaäy ∃ c ∈ (a, b) / f ′(c) = 0 - Neáu hai giaù trò ñaït taïi moät ñieåm c naøo ñoù thuoäc khoaûng (a, b) thì theo Boå ñeà treân ta coù f ′(c) = 0. 3) Ñònh lyù veà soá gia höõu haïn (Ñònh lyù Lagraêng): Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh, lieân tuïc / [a, b], khaû vi / (a, b). Khi ñoù: Toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c ∈ (a, b) sao cho: f(b) − f(a) )c('f = b − a Chöùng minh: fb()− fa () Xeùt haøm soá : gxfa()()= + () xa − b− a Khi ñoù haøm soá h(x) = g(x) – f(x) laø haøm lieân tuïc / [a, b], khaû vi / (a, b) vaø hôn nöõa:  fb()− fa () hagafafa()()()=−=+ () ( aafa −−= )()0  b− a  ⇒ ha()= hb () fb()− fa () hbgbfbfa()()()=−=+ () ( bafb −−= )()0  b− a Theo Ñònh lyù Rolle, ∃ c ∈ (a, b) sao cho h ′(c) = 0 Nhöng: 35
fb()− fa () hxgxfx'( )=−= '( ) '( ) − fx '( ) b− a fb()− fa () ⇒ hc'( )= − fc '( ) = 0 b− a fb()− fa () ⇒ f'( c ) = b− a 4) Ñònh lyù Coâsi: Cho f(x), g(x) xaùc ñònh, lieân tuïc / [a, b], g(a) ≠ g(b) ; khaû vi / (a, b), g’(x) ≠ 0 ( ∀ x ∈ (a, b)). Khi ñoù ∃ c ∈ (a, b) sao cho: f(b) − f(a) f'(c) = )b(g − )a(g )c('g Chöùng minh: Ñaët: fb()− fa () h(x) = f(a) + [gx ( )− ga ( )] gb()− ga () Xeùt haøm ϕ(x) = h(x) – f(x) ta thaáy ϕ(x) xaùc ñònh, lieân tuïc / [a, b], khaû vi / (a, b) vaø fb( ) − fa( ) ϕ ()()()ahafafa=−=+()  gaga()()() −−=  fa 0 gb()()− ga fb( ) − fa( ) ϕ ()()()bhbfbfa=−=+()  gbga()()() −−=  fb 0 gb()()− ga ⇒ ϕ()()()()a= ϕ b⇒ ∃ cab ∈, / ϕ ′ c = 0 Nhöng : fb()− fa () ϕ '(x )= . gxfx '( ) − '( ) gb()− ga () fb()− fa () ⇒ ϕ '(c )= gcfc '( ) − '( ) = 0 gb()− ga () fb()− fa () fc '() ⇒ = gb()− ga () gc '() 3.2 - COÂNG THÖÙC KHAI TRIEÅN TAYLO VAØ MACLORANH 1) Ñònh lyù: Cho f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], khaû vi ñeán caáp n +1 trong khoaûng (a, b). Khi ñoù, ∀x0 ∈ (a, b) ta coù: fx'( ) fx "( ) fxfx()()=+o ( xx −+ ) o ( xx −+ ) 2 o1! o 2 ! o fx(n )() fx ( n + 1) () +o ()xx −+n o () xx − n +1 n!o ( n + 1) ! 0 trong ñoù x0 naèm giöõa x vaø x 0. Ta thöôøng goïi coâng thöùc naøy laø coâng thöùc Taylo cuûa haøm soá f(x) taïi x = x 0. 36
Soá haïng cuoái cuøng: (n+ 1) f( x o ) Rx()= () xx − n+1 n (n + 1)! 0 ñöôïc goïi laø soá dö trong coâng thöùc Taylo. 2) Coâng thöùc Macloranh: Khi x 0 = 0 thì coâng thöùc Taylo trôû thaønh coâng thöùc Macloranh: )0('f )0("f f (n) )0( f (n+1) (θ) )x(f = )0(f + x + x2 + + xn + xn+1 !1 !2 n ! n( + !)1 Vôùi 0 < θ < 1 f (n+ 1) (θ ) Ñaët ε ()x= x (n + 1)! Ta coù : ε (x) → 0 khi x → 0 ( ε(x) – VCB khi x → 0) Coâng thöùc Macloranh khi ñoù coù daïng: f'(0) f "(0) f (n ) (0) fxf()(0)=+ x + x2 ++ xxxn + ε () n 1! 2!n ! Vaø ta goïi đây laø coâng thöùc khai trieån giôùi haïn Macloranh cuûa haøm soá f(x) 3) Coâng thöùc khai trieån Macloranh moät soá haøm quen thuoäc: a) Haøm f(x) = (1 + x) m Ta coù: fxmx'( )= (1 + )m−1 ⇒ f '(0) = m fxmm"( )= ( − 1)(1 + x )m−2 ⇒ f "(0)= mm ( − 1) . . . fxmm(m) ()= ( − 1) 2.(1 + x )m− m ⇒ f(m ) (0)= mm .( − 1) 2.1 = m ! f(m+1) (x) = 0 Suy ra: mmm(− 1) mm ( −−+ 1) ( mk 1) (1)1+=++xxxm 2 ++ xxk ++ m 1! 2!k ! Thay x bôûi – x ta coù khai trieån: m m( m − 1) (1)1−=−xm x + x2 ++− (1) m x m 1! 2! 1 b) Haøm f() x = 1+ x (n ) ()n 1  n n ! Ta coù: f =  =( − 1) 1+x  (1 + x ) n+1 Suy ra: f(0) = 1 , f’(0) = -1, f”(0) = (-1) 2 2 !, f (n) (0) = (-1) n(0) = (-1) n.n ! Nhö vaäy: 1 fx() = =−+−++−1 xxx2 3 (1)n xxx n + ε () n 1+ x 37
Thay: x bôûi –x ta coù: 1 =++1xxx2 + 3 ++ xn + ε () xx n 1− x c) Haøm y = ln(1 +x) 1 )n( n n! )0(f = )x('f,0 = , , f )x( = (− )1 n+1 1+ x 1( + )x ⇒ ff'(0)= 1, "(0) =− 1, , f(n ) (0) =− ( 1) n + 1 n ! x2 x 3 x n ⇒ ln(1+=−+−+−xx ) (1)n−1 + xx n ε () 2 3 n Suy ra: x2 x3 x n ln(1− )x = −x − − − − − x n ε )x( 2 3 n d) Haøm y = e x: Ta coù: fxef()n()= x ⇒ (0)= 1, f '(0) = 1, f (n ) (0) = 1 Vaäy: x x 2 x n )x(f = ex = 1+ + + + + x n ε )x( !1 !2 !n e) Töông töï ta cuõng coù caùc khai trieån: xxx357 x 21k+ sinx = x−+−++− (1)k + x2 k + 1 ε () x 3! 5! 7! (2k + 1)! xxx246 x 2 k cos1x=−+−++− (1)k + x2 k ε () x 2! 4! 6! (2)!k 4) Ví duï: 2 Khai trieån haøm f( x ) = e 2x− x ñeán soá haïng x 5. Giaûi: Ta coù : 2 1 1 e2x−x = 1+ 2( x − x 2 ) + 2( x − x 2 )2 + 2( x − x 2 )3 2 6 1 1 + 2( x − x 2 )4 + 2( x − x 2 )5 + α )x( !4 5 ! 2 5 1 = 1+ 2x + 2x 2 − x3 − x 4 − x5 + α )x( 3 6 15 Ví duï 2: Khai trieån haøm sin (sinx) ñeán soá haïng x 3 . Giaûi: Ta coù: 38
3 sin 3 x x3 1 x 3  sin(sin)xix= sn − + α (sin) x = x−  − x −  + α( x ) 3! 6  6 6  x3 = x − + α )x( 3 3.3 - KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH 1) Ñònh lyù Loâpitan 1 Cho caùc haøm soá f(x), g(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc trong moät laân caän naøo ñoù cuûa ñieåm x0 (höõu haïn hay voâ haïn) khaû vi taïi laân caän cuûa x 0; limfx ()= lim gx () = 0 ; g’(x 0) ≠ 0. xx→0 xx → 0 Khi ñoù: f'( x ) fx( ) fx '( ) Neáu toàn t ại giôùi haïn lim = L thì lim= lim = L x→ x 0 g'( x ) xx→0gx( ) xx → 0 gx '( ) 2) Ñònh lyù Loâpitan 2 Cho caùc haøm soá f(x), g(x) xaùc ñònh, lieân tuïc vaø khaû vi taïi laân caän cuûa x 0 (tröø x 0 ra) ; limfx ( )= lim gx ( ) =+∞ ; g’(x 0) ≠ 0 taïi laân caän cuûa x 0. Khi ñoù: xx→0 xx → 0 f'( x ) fx( ) fx '( ) Neáu toàn tai giôùi haïn lim = L thì lim= lim = L x→ x 0 g'( x ) xx→0gx( ) xx → 0 gx '( ) 3) Ví duï: x3 0  (1) Tìm giôùi haïn: L = lim   x→0 x− sin x  0  Giaûi Ta coù: x3 (L ) ()'x3 3 x 2  0  L = lim =lim = lim   x→0 x− sin x x→0(x− sin)' x x → 0 1cos − x  0  (L) 6x  0  = lim   x→0 sin x  0  (L) 6 = lim = 6 x→0 cosx ln x ∞ (2) Tìm giôùi haïn L = limα > 1 ( ) x→+∞ xα ∞ Gi ải Ta coù: ln x L =limα > 1 x→+∞ xα 1 (L ) (lnx )' 1 1 =lim = limx = lim = 0 x→+∞(xα )' x →+∞α x α−1 α x →+∞ x α π x  (3) Tìm giôùi haïn L=lim( x2 − 4) tg   (0. ∞) x→2 4  39
Ta coù: π x  x2 − 4 0  L = lim(x2 − 4) tg   = lim   x→2 x→2 π x 4  cot g 0  4 π x 2x .4sin 2 (L ) 2x 16 =lim =− lim 4 =− x→21 π x → 2 − . π π π x sin 2 4 4 1 (4) Tìm giôùi haïn L = limx1−x (1∞ ) x→1 Giaûi: 1 1 ln x Ta coù: uv= e vln u neân : x1−x= e 1 − x Nhöng: 1 lnx (ln x )' A = lim= lim = lim x =− 1 x→11−x x → 1 (1 − x )' x → 1 − 1 1 Vaäy: L=lim x1−x = e −1 x→1 Caùch 2: Loâgarit neâpe hai veá ta ñöôïc: 1  1 1 lnx  0  lnLx= ln lim1−x  = lim ln x 1 − x = lim ln x = lim   x→1  x → 1 x → 11−x x → 1 1 − x  0  1 ()ln x ′ = lim = limx =− 1 x→1()1− x ′ x → 1 −1 ⇒ L= e −1 2  x (5) Tìm giôùi haïn L= lim arctan x  (1∞ ) x→+∞ π  Giaûi: Ta coù: 40
x 2  2 2  xxln arctan lim xx ln  arctan arctanxe  = π⇒ Le=x→+∞  π (0. ∞ ) π  2  ln arctan x  π  0  = lim   x→+∞ 1 0  x 1 2 1 × × 2 π 1+ x2 arctan x 2 −x = lim π = lim x→+∞ 1 x →+∞ 2 − (arctanx )(1+ x ) x2 1−x2 1 2 = lim × lim =×−=−( 1) x→+∞arctanx x →+∞ x 2 + 1 π π 2 x 2 2  − Vaäy: L=lim  arctgx  = e π x→+∞ π  Caùch 2: 2  1 arctanx− 1  x x lim  π  2 2  2  x→+∞ arctanx− 1  L=lim arctan x  =+− lim 1 arctan x 1  π x→+∞π  x →+∞  π     2  lim arctanx− 1  x = e x→+∞ π  Nhöng: 2  A=lim arctan x − 1  x () 0. ∞ x→+∞ π  2 arctanx − 1 π ∞  = lim   x→+∞ 1 ∞  x ′ 2  2 1 arctgx −1  × 2 π  2 2x 2 =lim = limπ 1+ x =− lim =− x→+∞ x →+∞1 x →+∞ 2 1  ′ − π1+ x π   x2 x  2 − Suy ra: L= e π 1 2  x (8) Tìm giôùi haïn L= lim arccos x  x→0 π  41
Giaûi: Ta coù: 1 1 1 2 1 2 2x ln arccos x  2 x lim ln arccos x arccosxe= x π ⇒ L= lim  arccos xe = x→0 x π πx→0  π 2  ln arccos x  π  0  A = lim   x→0 x 0  1 2− 1  × ×   2 2 arccos x π 1− x  (L ) 1 2 =lim π =−=− x→0 1 π π 2 1 2 2  x − Vaäy: L=lim arccos x  = e π x→0 π  Caùch 2: 2  1 1 1 arccosx− 1  ×   π  x 2  1  x  2 lim arccosx− 1  × 2 2 arccosx− 1  x→0π  x Lx=lim arccos  =+− lim 1 arccos x 1  π = e x→0π  x → 0  π     Nhöng: ′ 2 2  arccosx − 1 arccosx − 1  2  1 π π  A=lim arccos x −×= 1  lim = lim x→0 π  xx→0 x x → 0 x ′ () 2 1  × − 1   2 π 1− x2  2 2  x − =lim = − ⇒ L= lim arccos x  = e π x→0 1 πx → 0  π  (10) Tính giôùi haïn L= lim x x ( daïng 0 0) x→0 Gi ải: Đặt y= x x và lô garit nepe hai v ế ta được: lnyxxx= lnx = ln⇒ limln y= lim xx ln x→0 x → 0 1 ln x ()ln x ′ ⇒ ln limy = lim = lim = limx =−= limx 0 ()xxx→→0001 → x → 0 1 x → 0 1  ′ − x  x 2 x  ⇒ limy= e 0 = 1 x→0 Caùch 2: 42
Logarit nepe hai veá ta ñöôïc: lnL= ln lim xx = lim ln x x = lim xx ln() 0. ∞ ( x→0+) x → 0 + x → 0 + ln x ∞  = lim   x→0+ 1 ∞  x 1 ()ln x ′ =lim = limx =−= lim()x 0 x→0+ x → 0 +1 x → 0 + 1  ′ −   x2 x  ⇒ L= e 0 = 1 (11) Tính giôùi haïn L= lim() sin x x x→0 Gi ải: Đặt y= ()sin x x và lô garit nepe hai v ế ta được: lny= lnsin()()() xxxx = lnsin⇒ limln yxx= lim lnsin x→0 x → 0 1 lnsin()x() lnsin x ′ .cos x ⇒ ln limy = lim = lim = lim sin x ()xx→→001 x → 0 x → 0 1 1  ′ − x  x 2 x  ()cosxx2() cos xx 2 =−lim =− lim =− lim() cosx x = 0 x→0sin x x → 0 x x → 0 ⇒ limy= e 0 = 1 x→0 Chuù yù: Coâng thöùc Loâpital khoâng phaûi luùc naøo cuõng söû duïng ñöôïc. x+sin x  ∞  Ví duï: Tìm giôùi haïn L = lim   x→0 2x ∞  - Neáu duøng Loâpital thì: (x + sin x)' 1+ cosx L = lim = lim = ∞ x→+∞ 2( x)' x→+∞ 2 - Nhöng khoâng theå keát luaän nhö theá ñöôïc vì : sin x 1+ 11 1 11 1 L=limx =+ limsin x =+= .0 x→+∞2 22 x →+∞ x 222 3.4 - KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 3.4.1 - Caùc ñònh lyù cô baûn 1) Ñònh lyù 1: fx()= cconst ( )/[,] ab ⇔ f '()0 x = (∀ x ∈ [a, b]) 43
2) Ñònh lyù 2: Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], khaû vi trong khoaûng (a, b).Ta coù: (1) fx()taêng ( giaûm) treân [,] abfx⇒ '()0('()0)≥ fx ≤ (∀ x ∈ [a, b]) (2) fx'()> 0 ( fx '() 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = x 0 (2) Neáu f”(x 0) 0 ( ∀x ∈ (a, b)) ⇒ Ñoà thò haøm soá y = f(x) loõm / (a, b). (2) Neáu f”(x) < 0 ( ∀x ∈ (a, b)) ⇒ Ñoà thò haøm soá y = f(x) loài / (a, b). (3) Neáu f”(x) đổi daáu khi x vöôït qua x 0 thì haøm soá coù ñieåm uoán taïi x = x 0. 7) Ñònh lyù 7: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a, b), x 0 ∈ (a, b). Khi ñoù: (1) Neáu limf ( x ) = ∞ thì haøm soá coù tieäm caän ñöùng laø x = x 0. x→ x 0 (2) Neáu limf ( x ) = b thì haøm soá coù tieäm caän ngang laø y = b. x→∞ (3) Neáu limf ( x ) = ∞ thì haøm soá coù khaû naêng coù tieäm caän xieân x→∞ y = ax + b. Trong ñoù: f( x ) a=lim ; b = lim() fxax ( ) − x→∞x x →∞ 3.4.2 - Sô ñoà khaûo saùt haøm soá: 44
Böôùc 1: Khaûo saùt söï bieán thieân: (1) Tìm mieàn xaùc ñònh (2) * Tính y’, cho y’ = 0 ñeå tìm caùc ñieåm döøng. * Laäp Baûng bieán thieân (döïa vaøo baûng xeùt daáu cuûa y’) töø ñoù suy ra caùc khoaûng taêng, giaûm, cöïc ñaïi, cöïc tieåu) (3) * Tính y” = 0 ñeå tìm caùc ñieåm coù khaû naêng laø uoán. * Xeùt daáu y” suy ra caùc khoaûng loài, loõm, ñieåm uoán. (4) Tìm caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) Böôùc 2: Veõ ñoà thò 3.4.3 - Ví duï: Ví duï 1: Khaûo saùt sö bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá: 4x3 − x 4 1 4 y = = − x 4 + x3 5 5 5 Giaûi: (1) MXÑ : D = R 4 12 4 'y = − x3 + x2 = x 2 3( − )x 5 5 5 x = 0,y = 0  'y = 0 ⇒ 27 x = y,3 =  5 −12 24 12 y” = x2 + x = xx(2 − ) 5 5 5 Baûng bieán thieân: X −∞ 0 3 +∞ y’ + 0 + 0 - Y −∞ −∞ Baûng xeùt daáu y” X −∞ 0 2 +∞ y” - 0 + 0 - Y Lồi uốn lõm u ốn l ồi 0 0 (2) Ñoà thò: 45
Ví duï 2: Khaûo saùt sö bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá: x3 y = 2 4 − x Giaûi: (1) MXÑ: D = R \ {± 2} 3(4x223−−− xxx ) (2)12 xxx 244 −+ 3 2 y ' = = (4)−x22 (4) − x 22 12 x2− x 4 x 2 = =(12 − x2 ) (4−x22 ) (4 − x 22 ) x = 0⇒ y = 0  'y = 0 ⇔ x = 2 3 ⇒ y = −3 3  x = −2 3 ⇒ y = 3 3  Baûng bieán thieân: X −∞ −2 3 -2 0 2 2 3 +∞ y’ - 0 + // + 0 + // + 0 - Y +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ * y” (boû qua) * TCÑ: x = 2, x= -2 4x * TCX: y= − x + 4 − x2 46
4x TCX: y = -x vì lim(y−−= ( x )) lim = 0 x→∞ x →∞ 4 − x2 (2) Ñoà thò: Ví duï 3: Khaûo saùt sö bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá: 1 x y = xe Giaûi: (1) MXÑ D = R \ {0} x −1 1 'y = e x x y’=0 ⇔ x = 1 ⇒ y = e Baûng bieán thieân: X −∞ 0 1 +∞ y’ + // - 0 + y 0 +∞ +∞ −∞ 1 1 f" = e x , y” > 0 khi x > 0 : Ñoà thò loõm x3 y” > 0 khi x < 0 : Ñoà thò loài Tieäm caän ñöùng: x = 0 Tieäm caän xieân: y = ax + b 1 )x(f xe x a = lim = lim = 1 x→∞ x x→∞ x 47
1 1 1 e x −1 b = lim )x(f( − ax) = lim(xe x − )x.1 = lim e(x x − )1 = lim = 1 x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 1 x suy ra phöông trình tieäm caän xieân laø: y = x+ 1 (2) Ñoà thò: 10 8 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -4 -6 48
BAØI TAÄP Baøi 1: Tính ñaïo haøm vaø vi phaân caáp 1 cuûa caùc haøm soá sau 1) yx= + x + 3 x 1 1  13) y=+−1 x 2 ln ++ 1  1 1 1 2  2) y = + + x x  x x3 x x2 + x + 1 2 14) y = ln 4 3) y=3 x 2 − x2 − x + 1 x xarcsin x 2 3 15) y= +ln 1 − x 1+ x 2 4) y = 3 1− x 1− x3 1x 3 16) y = arctan 5) y= x + x + x 3 1+ x2 sin 2 x 1x2 + x 211 + x 2 6) y = 17) y =ln − arctan sin x2 42x2 − x 2122 + 1− x2 1 7) y = n cos x 2 2x x 18) y=(1 + x ) 8) y= eln sin x 1 1 19) y= ()cos x x 9) y= x x 1 10) y=ln( 1 + 2sin x + 2sin x − 1 ) 20) y=() x + 1 sin x x 1+ sin x ln 2 x 11) y=ln + 2arctan sin x 21) y= x 1− sin x 22) y=x 2 x sin x + 1 2 1+ x () 12) y = ln x2 1+ x2 23) y= x Baøi 2: Tính ñaïo haøm vaø vi phaân caáp 2 cuûa caùc haøm soá sau: 2 x2 −1 1) y= x1 + x 7) y = arcsin x x2 +1 2) y = 1− x 1− x2 8) y= arccot an 2 −x2 2x− x 3) y= e 9) y= x4 ln x 2 x(1+ 3 1 − x ) 2x + 3 4) y = 10) y = 2 1− x2 x−5 x + 6 11) y= sin4 x cos2 x 5) y=ln x + 1 + x 2 ( ) 6) y=arctan( x + 1 + x 2 ) Baøi 3: 50
Tính ñaïo haøm vaø vi phaân caáp 3 cuûa caùc haøm soá sau: x2 6) y= xln x 1) y = 1− x 7) y= ex cos x 1+ x arcsin x 2) y = 8) y = 1− x 1− x2 2 2 x 3) y= x e 4) y= x2 sin 2 x 5) y= x2 e 2 x Baøi 4: Tính ñaïo haøm caáp 1 vaø caáp 2 cuûa caùc haøm soá y = y(x) ñöôïc cho bôûi tham soá sau: 3 x=1 + cos2 t sin t x= acos t ( ) 7) 1)   3 y= sin2 t cos t y= asin t x= acos t x=( t2 + 1) e t  2)  8)  asin 3 t y= t2 e 2 t y =   2+ sin t 2  2t− t x=1 + sin t cos2 t x =  t −1 9)  3)  y=1 − sin2 t .cot ant  t 2 y =  1+ cos t  x = t −1  sin 2 t 10)  x=ln( 1 + sin t ) 1− ln t 4)   y = t y=ln() 1 − cos 2 t  e 2 x= 2cos t x=1 − ln t 11) 5)   t y= sin t y= 3 e xat=( − sin t ) 6)  ()0<t < 2 π y= a()1 − cos t Baøi 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm aån y = y(x) ñöôïc cho bôûi caùc heä thöùc sau 2 1) y= x + arctan y 5) ( x2+ y 2) = 2 a 2 xy x 2) y=1 + ye 4 4 2 6) x+ y = a xy 3 2 y 3) x+ln yxe − = 0 4) yxcos+ sin x + ln y = 0 Baøi 6: Duøng quy taéc Loâpitan ñeå tính caùc giôùi haïn sau: x− arcsin x 2( tanx− sin x) − x 3 1) L = lim 3) L = lim x→0 x− tan x x→0 x5 2 tanx− tan 2 x 2) L = lim x→0 x()1− cos3 x 51
1 1  arcsin( 2 − x) 4) L =lim  −  13) L = lim   x→2 2 x→0 ln() 1 + x x  x−3 x + 2 ln cos x 1  tan x 5) L = lim 14) L = lim   x→0 ln cos3 x x→0+ x  ln x 1 6) L = lim tan x  x2 x→0+ ln sin x 15) L = lim   x→0 π  x  ln x −  1 2  x 7) L = lim ln()e − 1 + 16) L= lim x π + x→ tan x x→0 2 1 17) L=lim() 1 + x x 8) L=limπ − 2arctan x x x→∞ x→+∞ ( ) 1 1 1  9) L =lim  −  π  x x→0 2 18) L=lim − arctan x  xarctan x x  x→+∞ 2  x− x e− e 19) L= lim tan x sin 2 x 10) L = lim π () x→0 x→+ ln() 1 + x 2 ex− e− x − 2 x 20) L= lim() tan x tan 2 x L π 11) = lim x→ x→0 x− sin x 4 ln( 1 + x2 ) 12) L = lim x→0 cos3 x− e −x Baøi 7 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau x 1 1) y = 5) y= e x 1− x2 −x2 1− x2 e 2) y = 6) y = 4 − x2 x +1 x2 −1 7) y= x −ln( x + 1 ) 3) y = x2 + 4 8) y= x(ln x + 1 ) x 2 4) y = 9) y=ln( 4 − x ) x2 −3 x − 4 52
Chöông 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHI ỀU BI ẾN §1- HAØM NHIEÀU BIEÁN 1.1 – HAØM NHIEÀU BIEÂN 1) Ñònh nghóa: - Neáu öùng vôùi moãi caëp giaù trò cuûa hai bieán soá x vaø y ta coù moät quy taéc cho töông öùng vôùi moät giaù trò duy nhaát z thì ta noùi z laø haøm soá vôùi hai bieán soá thöïc laø x vaø y vaø kyù hieäu laø z= f( xy, ) - Taäp hôïp D = {M(x,y)/ f(x,y) coù nghóa} ñöôïc goïi laø mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá z= f( xy, ) 2) Giôùi haïn: Haøm soá z= f( xy, ) ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn laø L khi M(x,y) tieán daàn tôùi ñieåm M 0(x 0,y 0) neáu thoûa maõn ñieàu kieän sau: ∀>∃>∀εδ0, 0|MxydMM( ,:) ( ,0 ) < δta coù :(,) fxyL −< ε vaø kyù hieäu laø L=lim fxyhayL( ,) = lim fxy( , ) MxyMxy(,)→ 0 (,) 0 0 xx→ 0 y→ y 0 3) Söï lieân tuïc: Cho haøm soá z= f( xy, ) xaùc ñònh treân moät mieàn D, M0( xy 0, 0 )∈ D (1) Ta noùi raèng haøm soá z= f( xy, ) lieân taïi ñieåm M0( x 0, y 0 ) neáu limfxy( ,) = fxy( 0 , 0 ) Mxy(,)→ M0 (,) xy 0 0 (2) Ta noùi raèng haøm soá z= f( xy, ) lieân tuïc treân mieàn D neáu noù lieân tuïc taïi moïi ñieåm M0( xy 0, 0 )∈ D 1.2 – ÑAÏO HAØM RIEÂNG VAØ VI PHAÂN TOAØN PHAÀN 1) Ñaïo haøm rieâng a) Ñinh nghóa: - Cho haøm soá z= f( xy, ) , neáu ta giöõ y coá ñònh nghóa laø coi y nhö laø moät haèng soá vaø xem z nhö laø moät haøm soá coù bieán x. Khi ñoù ñaïo haøm cuûa haøm soá z theo x ñöôïc goïi laø ∂z ñaïo haøm rieâng cuûa z theo x vaø kyù hieäu laø z' hay . x ∂x ∂z - Töông töï ta coù khaùi nieäm ñaïo haøm rieâng cuûa z theo y vaø kyù hieäu laø z' hay y ∂y b) Ví duï: (1) Cho haøm soá: z= x3 + y 3 −3 xy + 2 ta coù: ' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 x 2 − 3 y x ( )x 53
' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 y 2 − 3 x y ( )y 2 2 (1) Cho haøm soá: z= e x+ y ta coù: 22' 22' 22 ze′ =xy+ = e xy + ×+= xye2 2 xy + × 2 x x ( ) ()x x ' xy2+ 2 xy 2 + 2 2 2 ' xy2 + 2 ze′y = = e ×+= xye × 2 y ()y ()y 2) Vi phaân toaøn phaàn a) Ñònh nghóa: Vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm soá z= f( xy, ) laø moät bieåu thöùc kyù hieäu laø dz ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: dz= zdx′x + zdy ′y b) Ví duï: (1) Cho haøm soá z= x3 + y 3 −3 xy + 2 ta coù: dz=(33 x2 − ydx) +( 33 y 2 − xdy) 2 2 22 22 (2) Cho haøm soá: z= e x+ y ta coù: dz=2 xexy+ dx + 2 ye xy + dy 3) Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp a) Ñònh nghóa: x= x( t ) Cho haøm soá z= f( xy, ) trong ñoù x vaø y laø nhöõng haøm soá coù bieán t:  y= y() t Khi ñoù z laø moät haøm soá coù bieán t. Ta noùi raèng z laø moät haøm hôïp coù bieán t thoâng qua caùc bieán trung gian laø x vaø y vaø ta vieát z= fxt( ( ), yt( )) b) Coâng thöùc: Cho haøm hôïp z= fxt( ( ), yt( )) ta coù: dz ⇒ ⇒ z= fxtyt()()(), dz= zdxt′x()() + zdyt ′y()() =+ zxdtzydt ′′′′xtyt= zx ′′′′xtyt + zy dt c) Ví duï: z= e 2x+ 3 y  Cho haøm hôïp: x= sin 3 t  y= cos 2 t Ta coù: dz =+=×+×−=zxzye′′ ′′ 223xy+ 3cos3 te 3 23 xy + 2cos tte()() sin 3 23 xy+ 2cos3 t − sin 2 t dt xt yt 4) Ñaïo haøm cuûa haøm aån a) Ñònh nghóa Haøm soá y= y( x ) trong ñoù x vaø y lieân heä vôùi nhau qua bieåu thöùc F( x, y ) = 0 ñöôïc goïi laø moät haøm aån cuûa y theo x thoâng qua heä thöùc F( x, y ) = 0 b) Coâng thöùc 54
dy Fx′ Fxy()(),0= ⇒ dFxy ,0= ⇒ FdxFdyxy′′+ =⇔ 0 Fdy y ′ =− Fdx x ′ ⇒ = − dx F y′ c) Ví duï Cho haøm aån y= y( x ) trong ñoù arcsinxy+ ln( x2 + y 2 ) = 0 ta coù: 1 2 x ×y + 2 2 22 22 dy F′ 1− x2 y 2 x+ y yx()+ y +2 x 1 − xy =−=−x = 1 2 y 22 22 dx F y′ xx+ y +2 y 1 − xy ×x + 2 2 () 1− x2 y 2 x+ y 1.3 – ÑAÏO HAØM RIEÂNG VAØ VI PHAÂN CAÁP CAO 1) Ñaïo haøm rieâng caáp cao a) Ñònh nghóa - Cho haøm soá z= f( xy, ) . Tính ñaïo haøm rieâng laàn thöù nhaát ta ñöôïc caùc haøm soá z′x vaø z′y . Ta goïi caùc haøm soá naøy laø nhöõng ñaïo haøm rieâng caáp 1 cuûa haøm soá z= f( xy, ) . - Neáu tính caùc ñaïo haøm rieâng cuûa caùc haøm soá naøy thì ta nhaän ñöôïc nhöõng ñaïo haøm rieâng môùi vaø ta goïi nhöõng haøm soá naøy laø caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm soá z= f( xy, ) . Kyù hieäu vaø caùch tính cuûa chuùng nhö sau: zzzzzzzz′′= ′′; ′′ = ′ ′ ; ′′ = ′′ ; ′′ = ′ ′ xx()() xx xy x y yx()() yx yy y y b) Ví duï: (1) Cho haøm soá: z= x3 + y 3 −3 xy + 2 ta coù: ' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 x 2 − 3 y x ( )x ' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 y 2 − 3 x y ( )y z′′ =3 xy2 − 3′ = 6 x xx () x z′′ =3 x2 − 3 y ′ =− 3 xy () y z′′ =3 y2 − 3 x ′ =− 3 yx () x z′′ =3 yx2 − 3′ = 6 y yy () y Ghi chuù: Neáu z= f( xy, ) laø moät haøm lieân tuïc thì z′′xy= z ′′yx 2 2 (2) Cho haøm soá z=ln ( x + y ) . Chöùng minh raèng: z′′xx+ z ′′yy = 0 Giaûi Ta coù: 2x 2 y z′=; z ′ = xxy22+ y xy 22 + 55
2 2 2(x+ y) − 2 xx( 2 ) 2y2− 2 x 2  z′′xx = =  222 22 2  ()xy+() xy +  2y2− 2 x 2 2 x 2 − 2 y 2  ⇒ z′′+= z ′′ + = 0 2 2 xx yy 2 2 2()x+ y − 2 yy() 2 2x2− 2 y 2  ()xy22+() xy 22 + z′′yy = =  222 22 2 ()xy+() xy +  2) Vi phaân caáp cao a) Ñònh nghóa Vi phaân c ấp 2 cuûa haøm soá z= f( xy, ) laø moät bieåu thöùc kyù hieäu laø d 2z ñöôïc ñònh nghóa 2 2 2 nhö sau: dz= zdx′′xx +2 zdxdy ′′xy + zdy ′′yy b) Ví duï: Cho haøm soá z=ln ( x2 + y 2 ) ta coù: 2x 2 y z′=; z ′ = xxy22+ y xy 22 + 2 2 2x  ′ 2()x+ y − 2 xx() 2 2 y2− 2 x 2 z′′xx =  = = x2+ y 2 222 22 2   x ()xy+() xy + 2 2 2x  ′ 0()x+ y − 2 xx() 2 − 4 x 2 z′′xy =  = = x2+ y 2  222 22 2 y ()xy+() xy + 2 2 2y  ′ 2()x+ y − 2 yy() 2 2 x2− 2 y 2 z′′yy =  = = x2+ y 2 222 22 2   y ()xy+() xy + 2 2 2 ⇒ dz= zdx′′xx + zdx xy′′ dy+ z′′yy dy   22yx22− − 4 x 2 22 xy 22 − =dx2 + 2   dxdy + dy 2 222 22 2  22 2 ()xy+() xy +  () xy + § 2 – CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM NHIEÀU BIEÁN 2.1 – CÖÏC TRÒ TÖÏ DO 2.1.1 - ÑÒNH NGHÓA Cho haøm soá z= f( xy, ) xaùc ñònh treân mieàn D; M0( xy 0, 0 )∈ D (1) Ta noùi raèng haøm soá z= f( xy, ) ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm M0( xy 0, 0 )∈ D neáu ∀M( xy, ) ∈ D khaù gaàn ñieåm M0( x 0, y 0 ) ta coù fxy( ,) fxy( 0 , 0 ) (3) Ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa moät haøm soá ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá ñoù 56
2.2.2 – PHÖÔNG PHAÙP TÌM CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM HAI BIEÁN 1) Caùc böôùc tieán haønh Böôùc 1: Tính taát caû caùc ñaïo haøm rieâng caáp 1 vaø 2 cuûa haøm soá z: zzz′x,, ′y ′′xx , z ′′xy , z ′′yy Böôùc 2: z′x = 0 Giaûi heä phöông trình  . Nhöõng ñieåm coù toïa ñoä laø nghieäm cuûa heä phöông trình z′y = 0 naøy ñöôïc goïi laø caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá ñaõ cho Böôùc 3: Taïi moãi ñieåm döøng M 0(x 0, y 0) ta tính caùc giaù trò sau: A = z′xx′ (x0 , y0 ); B = z′xy′ (x0 , y0 ); C = z′yy′ (x0 , y0 ) B C ∆ = = B2 − AC A B Böôùc 4: Keát luaän (1) Neáu ∆ > 0 thì haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M 0(x 0, y 0) (2) Neáu ∆ 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M 0(x 0, y 0) 2) Ví duï minh hoïa Ví duï 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá: z = x3 + y3 − 3xy + 2 Giaûi: Böôùc 1: ' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 x 2 − 3 y x ( )x ' z′ = xyxy3 +− 33 + 2 = 3 y 2 − 3 x y ( )y z′′ =3 xy2 − 3′ = 6 x xx () x z′′ =3 x2 − 3 y ′ =− 3 xy () y z′′ =3 yx2 − 3′ = 6 y yy () y Böôùc 2:  2 z′x = 0 3x − 3y = 0 x0 = ;0 y0 = 0  ⇔  ⇔  ′ 2 z y = 0 3y − 3x = 0 x1 = ;1 y1 =1 Haøm soá coù hai ñieåm döøng laø M 0 ( 0,0 ); M1( 1,1 ) Böôùc 3, 4: 2 Taïi M 0 ( 0,0 )ta coù: AB=0; =− 3; C = 0⇒ ∆= BAC − => 9 0 Suy ra haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M 0 ( 0,0 ) 57
2 Taïi M1 (1,1 ) ta coù: AB=6; =− 3; C = 6⇒ ∆= BAC − =− 9 36 0 neân haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M1 (1,1 ) Ví duï 2: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá: zx=++2 y 2 3 xy −−+ 7 x 8 y 1 Giaûi: Böôùc 1: z′x =2 x + 3 y − 7 z′y =2 y + 3 x − 8 z′′xx = 2 z′′xy = 3 z′′yy = 2 Böôùc 2: z′x = 0 2370xy+−=  237 xy +=  x = 2 ⇔ ⇔  ⇔  z′y = 0 2380yx+−=  328 xy +=  y = 1 Haøm soá coù moät ñieåm döøng duy nhaát laø M (2,1 ) Böôùc 3, 4: Taïi M (2,1 ) ta coù: A = 2; B = 3 ; C = 2 ⇒ ∆=B2 − AC =−=>9 4 5 0 . Suy ra haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M (2,1 ) . Nhö vaäy haøm soá khoâng ñaït cöïc trò ôû ñaâu caû. 2.2 – CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN 1) Ñònh nghóa : Cöïc trò cuûa haøm soá z= fxy( , ) ñöôïc tính trong ñieàu kieän ϕ ( x, y ) = 0 ñöôïc goïi laø cöïc trò coù ñieàu kieän vaø vieát nhö sau : z= fxy( , )  ϕ ()x, y = 0 2) Phöông phaùp nhaân töû Lagraêng : a) Caùc böôùc tieán haønh Ñeå tìm cöïc trò coù ñieàu kieän z= fxy( , )  ϕ ()x, y = 0 Ta thöïc hieän theo caùc böôùc nhö sau: Böôùc 1: Laäp haøm Lagraêng Lxy( ,) = fxy( ,) + λϕ ( xy , ) , trong ñoù λ laø moät soá thöïc ñöôïc theâm vaøo Böôùc 2: Tính 2 2 2 Lx′,,,, L ′y L xx′′ L xy′′ L ′′yy⇒ d L= L xx′′ dx + 2 L xy′′ dxdy + L ′′yy dy Böôùc 3: 58
z′ = 0  x Giaûi heä phöông trình z′y = 0  ϕ ()x, y = 0 Nhöõng ñieåm coù toïa ñoä laø nghieäm cuûa heä phöông trình naøy ñöôïc goïi laø caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá ñaõ cho Böôùc 4: 2 Taïi moãi ñieåm döøng M 0(x 0, y 0) ta tính A= dLx( 0, y 0 ) Xeùt daáu cuûa A vaø keát luaän: (1) Neáu A 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M 0(x 0, y 0) (3) Neáu daáu cuûa A khoâng xaùc ñònh thì haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M 0(x 0, y 0) b) Ví duï: Ví duï 1: z= xy Tìm cöïc trò coù ñieàu kieän:  x+ y −1 = 0 Giaûi Böôùc 1: Laäp haøm Lagraêng Lxy( ,) = xy +λ ( x +− y 1 ) Böôùc 2: Tính Lx′=+ yλ, L ′y =+ x λ Lxx′′=0, L xy′′ = 1, L ′′yy = 0 2 2 2 ⇒ dL= Ldxxx′′ +2 Ldxdy xy′′ + Ldy ′′yy = 2 dxdy Böôùc 3: Giaûi heä phöông trình:   1 z′x = 0 y +λ = 0 x =  x− y = 0  2 z′y =0 ⇔  x +λ = 0 ⇔  ⇔   x+ y = 1  1 x+ y −1 = 0 y = ϕ ()x, y = 0  2 1 1  Haøm soá coù moät ñieåm döøng duy nhaát laø M ,  2 2  Böôùc 4: 1 1  1 1  Taïi ñieåm döøng M ,  ta coù: AdL=2 ,  = 2 dxdy 2 2  2 2  Xeùt daáu cuûa A: Vì x+ y −1 = 0 neân y= − x + 1⇒ dy= − dx⇒ A= − dx 2 < 0 1 1  11  11 1 Vaäy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M ,  vaø z= z ,  =×= 2 2  CD 22  22 4 Ví duï 2 : 59
z=6 − 4 x − 3 y Tìm cöïc trò coù ñieàu kieän:  x2+ y 2 −1 = 0 Giaûi Böôùc 1: Laäp haøm Lagraêng Lxy( ,643) =−−+ xyλ ( xy2 +− 2 1 ) Böôùc 2: Tính: Lx′=−+42,λ xL y′ =−+ 32 λ y Lxx′′=2λ , L xy′′ = 0, L yy′′ = 2 λ ⇒ 22 22222 dL=+ Ldxxx′′2 Ldxdy xy′′ +=+= Ldy yy′′ 222λ dx λ dy λ () dx + dy Böôùc 3: Giaûi heä phöông trình:    4 3 5 z′x = 0 −4 + 2λx = 0 x=, y = , λ =    15 1 5 1 2 z′ =0 ⇔  − 320 +λ y = ⇔  y 4 3 5   2 2  x+ y −1 = 0 x2=−, y 2 =− , λ 2 =− ϕ ()x, y = 0   5 5 2 4 3  4 3  Haøm soá coù hai ñieåm döøng laø M ,  vaø M −, −  1 5 5  2 5 5  Böôùc 4: Xeùt daáu cuûa A: 4 3  - Taïi ñieåm döøng M ,  ta coù: 1 5 5  5 43  5 ⇒ 2 2222 λ1 = AdL=,2  =×()() dxdy += 5 dxdy +> 0 2 55  2 4 3  4 3  Vaäy haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M ,  vaø z= z ,  = 1 1 5 5  CT 5 5  4 3  - Taïi ñieåm döøng M −, −  ta coù: 2 5 5  5 43   5 ⇒ 2 22 22 λ1 = − AdL= −−=×−,2   ()() dxdy + =− 5 dxdy + < 0 2 55   2 4 3  4 3  Vaäy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M −, −  vaø z= z  −, −  = 11 2 5 5  CD 5 5  3) Phöông phaùp theá a) Noäi dung phöông phaùp: Neáu töø ñieàu kieän ϕ ( x, y ) = 0 ta ruùt ñöôïc x theo y hay y theo x thì tat hay vaøo bieåu thöùc haøm soá seõ nhaän ñöôïc moät haøm soá z theo moät bieán x hoaëc z theo moät bieán y. Khaûo saùt haøm moät bieán tìm ñöôïc ta nhaän ñöôïc cöïc trò cuûa haøm soá ñaõ cho. b) Ví duï: 60
Ví duï 1 z= xy Tìm cöïc trò coù ñieàu kieän:  x+ y −1 = 0 Giaûi: xy+ −1 = 0⇒ yx= − + 1 ⇒ zxx=() −+1 =− xx2 + z′ = −2 x + 1 1 1 z′ =0 ⇔− 2 x += 10 ⇔ xy = ⇒ = 2 2 1 1  Suy ra haøm soá coù moät ñieåm döøng laø M ,  2 2  1  1 z′′ = − 2⇒ z   = − 2 < 0 . Vaäy haøm soá z= − x2 + x ñaït cöïc ñaïi taïi x = do ñoù haøm 2  2 1 1  11  11 1 hai bieán z= xy ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm döøng M ,  vaø z= z ,  =×= . 2 2  CD 22  22 4 Ví duï 2 z= x + 2 y Tìm cöïc trò coù ñieàu kieän:  x2 +2 y − 2 = 0 Giaûi: xy2 +2202 − = ⇒ yx= −2 + 2 ⇒ z= x − x 2 + 2 z′ = −2 x + 1 1 7 z′ =0 ⇔− 2 x += 10 ⇔ xy = ⇒ = 2 8 1 7  Suy ra haøm soá coù moät ñieåm döøng laø M ,  2 8  1  1 z′′ = − 2⇒ z   = − 2 < 0 . Vaäy haøm soá z=− x2 + x + 2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = do ñoù haøm 2  2 1 7  hai bieán z= x + 2 y ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm döøng M ,  vaø 2 8  17  1 79 z= z ,  =+×= 2 . CD 28  2 84 2.3 – TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA MOÄT HAØM SOÁ TREÂN MOÄT MIEÀN KÍN 1) Caùc böôùc tieán haønh: Cho haøm soá z= fxy( , ) xaùc ñònh treân moät mieàn kín D coù bieân xaùc ñònh bôûi phöông trình ϕ ( x, y ) = 0 . Ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá z= fxy( , ) 61
treân mieàn D ta thöïc hieän theo caùc böôùc nhö sau: Böôùc 1: Tìm giaù trò cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm döøng treân mieàn D Böôùc 2: Tìm giaù trò cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm döøng treân bieân cuûa mieàn D Böôùc 3: So saùnh caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän 2) Ví duï: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá zx=2 +2 y 2 − x treân mieàn D ñöôïc cho bôûi baát phöông trình: x2+ y 2 ≤ 1 Giaûi: Ta coù: z′x=2 xz − 1, ′y = 4 y  1 z′x = 0 2x − 1 = 0  x = Giaûi heä phöông trình: ⇔  ⇔  2 . Haøm soá coù moät ñieåm döøng z′y = 0 4y = 0 y = 0 1  1  1 trong mieàn D laø M ,0  vaø z ,0  = − 2  2  4 Ta tìm ñieåm döøng treân bieân cuûa mieàn D coù phöông trình x2+ y 2 = 1 hay x2+ y 2 −1 = 0 : 22 22 Ñaët Lxy( ,) =+ x 2 yx −+λ ( x +− y 1 ) ta coù: Lx′=−+212; xλ xL ′y =+ 4 y 2 λ y Giaûi heä phöông trình: L′ = 0 2x− 12 +λ x = 0 x  L′y =0 ⇔  420 y +λ y =   2 2 ϕ ()x, y = 0 x+ y −1 = 0 ta nhaän ñöôïc caùc ñieåm döøng treân bieân cuûa mieàn D laø: 13  13  M1()()−1,0; MM 23 1,0; − ,  ; M 4 −− ,  22  22  13  1 39  Khi ñoù : z()()−=1,0 z 1,0 =− 1; z ,  =−−= z ,  22  22  4 Vaäy: 1  1 13  139  minzz= ,0  =− ;max zz =− ,  =−−= z ,  D 2  4D  22  224  62
BAØI TAÄP Baøi 1 Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau 1) z xy y −1 = ln ( ) 4) z = arcsin x 2) z=4 −−+ xy2 2 xy 2 +− 2 1 1 5) y = 1 1 y− x 2 3) z = + xy+ xy − Baøi 2 Tính caùc ñaïo haøm rieâng vaø vi phaân toaøn phaàn cuûa caùc haøm soá sau x3+ y 3 5) z=arcsin( x − 2 y ) 1) z = x2+ y 2 x2+ y 2 − x  2 2 6) z = ln   2) z=ln x + xy + 2 2  ( ) x+ y + x  2 x 2 2  3) z= y sin x− y 7) z = arctan   y 2 2  x+ y  y 4) z = arctan x Baøi 3 Tính caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 vaø vi phaân caáp 2 cuûa caùc haøm soá sau y 2 2 1) z = arctan 3) z=ln x + xy + x ( ) 2 1 3 4) zx=ln ( xy + ) 2) z=() x2 + y 2 3 Baøi 4 Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau 1) z= x3 + y 3 −6 xy + 5 4) z= x2 + xy + y 2 +−+ xy 1 3 3 2 2 2 2 −(x + y ) 2) z=2 x + 2 y + 12 xy + 5 5) z=() x + ye 2 2 3) z=4( xyx −) − − y 4 4 2 2 6) z=2 xyx + − − 2 y Baøi 5 Tìm cöïc trò coù ñieàu kieän cuûa caùc haøm soá sau 63
1) z= xy vôùi ñieàu kieän x + y = 4 3) z= xy vôùi ñieàu kieän x2 + y = 4 2) z=−−843 xy vôùi ñieàu kieän xy2 += 2 4 11 111 4) z =+ vôùi ñieàu kieän + = xy xya2 2 2 64
Chöông 4 PHEÙP TÍNH TÍCH PHAÂN CUÛA HAØM MOÄT BIEÁN A - TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH §1 - NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH 1.1 - NGUYEÂN HAØM 1) Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm f(x) trong khoaûng (a, b) neáu Fx′( ) = fx( ) ( ∀ x ∈ ( ab , )) 2) Ví duï: - Haøm sinx laø nguyeân haøm cuûa haøm cosx treân R vì: ()()sinx′ = cosx ∀ x ∈ R - Haøm x 2 + C laø nguyeân haøm cuûa haøm 2x treân R vì : ∀x ∈ R ta coù (x 2 + C)’ = 2x 1.2 – CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA NGUYEÂN HAØM 1) Tính chaát 1: Moïi haøm lieân tuïc treân ñoaïn naøo ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. 2) Tính chaát 2: Neáu haøm soá f(x) coù nguyeân haøm laø F(x) treân (a,b) thì: (1) F(x) + C cuõng laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a, b) (2) Moïi nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a, b) ñeàu coù daïng F(x) + C (C laø moät h ằng soá tuyø yù). Chöùng minh: (1) (F(x) + C)’ = (F(x))’ = f(x) ( ∀x∈ (a, b)) ⇒ ñpcm (2) Giaû söû G(x) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a, b) thì [G(x)]’ = f(x) ( ∀x∈ (a, b)). Khi ñoù ta coù: []Gx()− Fx ()′ = Gx′ () − Fx ′ () =−= fx () fx ()0 ⇒ Gx()− Fx () = CC ( = const )⇒ Gx ()= Fx () + C Nhaän xeùt: Neáu moät haøm soá coù moät nguyeân haøm thì noù coù voâ soá nguyeân haøm vaø caùc nguyeân haøm aáy khaùc nhau moät haèng soá C tuyø yù. 1.3 - TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH 1) Ñònh nghóa Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm f(x) thì bieåu thöùc F(x) + C, trong ñoù C laø moät haèng soá tuyø yù, ñöôïc goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa haøm f(x) vaø kyù hieäu laø ∫ f( x ) dx 65
Vaäy: ∫ fxdx()= Fx () + C 2) Tính chaát cô baûn cuûa tích phaân baát ñònh a) Tính chaát 1   ' (1) ∫ fxdx()  = fx () (2) d(∫ fxdx()) = fxdx () Chöùng minh:   ' ' ' (1) ∫ fxdx()  =[][] Fx () += C Fx () = fx ()    ' (2) d∫ fxdx() = ∫ fxdx ()  dx = fxdx () b) Tính chaát 2 ∫ d[F(x)] = F(x) + C Chöùng minh: Ta coù: dFx()()=[ Fx ()]' dx = fxdx ()⇒ ∫ dFx ()= ∫ fxdx () = Fx () + C c) Tính chaát 3 ∫ Cf(x)dx = C∫ f(x)dx d) Tính chaát 4 ∫[f(x) + g(x) − h(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx − ∫ h(x)dx e) Tính chaát 5: Neáu ∫fxdx()=+= Fx () Cvaø uϕ () xthì ∫ fudu () =+ Fu () C 3) Baûng nguyeân haøm cô baûn: dx 1) ∫ dx= x + C 9) = −cot gx + C ∫ sin 2 x xα +1 2) xdxα = + C (α ≠− 1) dx ∫ α +1 10) =arctgx + C ∫ 1+ x2 dx 3) ∫ =ln |x | + C dx1 x x 11) ∫ 2 2 =arctg + C x ax+ a a x a dx 4) ∫ adx= + Ca( > 0; a ≠ 1) 12) =arcsin x + C ln a ∫ 2 x x 1− x 5) ∫ edx= e + C dx x 13) ∫ =arcsin +C() a > 0 6) ∫ cosxdx= sin x + C a2− x 2 a 7) ∫ sinxdx= − cos x + C dx 8) =tgx + C ∫ cos 2 x §2 - CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH 2.1 - PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH 66
1) Phöông phaùp chung: Bieán ñoåi haøm daáu tích phaân veà daïng toång caùc haøm ñôn giaûn hoaëc daïng moät haøm trong baûng nguyeân haøm cô baûn. 2) Ví duï: (1) Tính tích phaân: I=∫ ( x +1)( xx −+ 1 ) dx Giaûi Ta coù: 3 2  3 fxx()= + 1 xx −+= 1 x −=− 11 x 2 () ()  () 3 +1 3 x 2 25 2 ⇒ I= xdxdx2 − = −+= xC xxC2 −+= xxC5 −+ ∫ ∫ 3 +1 5 5 2 x4 (2) Tính tích phaân: I= dx ∫ x2 + 4 Giaûi x4 x 4 −1616 + 16 Ta coù: f( x )= = =−+ x 2 4 x2+4 x 2 + 4 x 2 + 4 dxx3 1 xx3 x ⇒ I= xdx2 −+416 dx =−+ 416 x arctg +=−+ C 48 xarctg + C ∫ ∫ ∫ x2 + 43 223 2 dx1 x (3) Chöùng minh raèng: I= = arctg + C ∫ xa2+ 2 a a Giaûi Ta coù: x  d   dx dx1a  1 x I == = =+arctg C ∫2 2 ∫2 ∫ 2 xa+ 2 x  ax  aa a 1+  1+   a2  a  dx x (4) Chöùng minh raèng: I=∫ =arcsin + C a2− x 2 a Giaûi Ta coù: x  d   dx dx dxa  x I ==∫∫ = ∫ = ∫ =+arcsin C 2 2 2 2 2 a a− x 2 x  x  x a 1−  a 1− 1 −  a2  a  a sin x d(cos x) )5( I = ∫tgxdx = ∫dx = − ∫ = −ln | cos x | +C cos x cos x 67
cos x d(sin x) )6( I = ∫ cot gxdx = ∫ dx = ∫ = ln | sin x | +C sin x sin x 2.2 - PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN 1) Coâng thöùc bieán ñoåi Daïng 1: Ñaët x = ϕ(t); ϕ(t) khaû vi, ñôn ñieäu theo bieán t ta coù: I=∫ fxdx( ) = ∫ fϕ( t)  ϕ ′( tdt) Daïng 2: Ñaët t= ϕ( x ); ϕ ( x ) khaû vi theo x, ta coù: I=∫ fxdx( ) = ∫ fϕ( t)  ϕ ′( tdt) = ∫ ftdt( ) 2) Ví duï e5x dx (1) Tính tích phaân I = ∫ e2x +1 Giaûi: Ñaët t = e x ⇒ dt = e x dx e4x edx x tdt 4 ⇒ I = = ∫e2x +1 ∫ t 2 + 1 Ta coù: t4 t 4 −1 + 1 1 f( t )= = =−+ t 2 1 t2+1 t 2 + 1 t 2 + 1 dtt3 e 3 x ⇒ I=−+ t2 dt =−+ tarctgtC +=−+ ex arctge x + C ∫ ∫ ∫ t 2 +1 3 3 (2) Chöùng minh raèng: dx I=∫ =+++ln xxhC2 x2 + h Giaûi: Ñaët t = x+ x2 + h ta coù: ′ 2x  xhx2 + + dx dt dtxxhdx=++2 =+1  dx = dx ⇒ = () 2 xh2+  xh 2 + xh 2 + t dt Vaäy: I= =ln tC += ln xxhC +2 ++ ∫ t Chuù yù: Coâng thöùc naøy thöôøng xuyeân gaëp trong quaù trình laøm baøi taäp tích phaân xdx (3) Tính tích phaân I = ∫ x4 + 5 Giaûi: dt Ñaët t= x2 ⇒ dt= 2 xdx⇒ xdx = 2 68
1dt 1 1 ⇒ I=∫ =ln tt +++=2 5 Clnxx 2 +++ 4 5 C 2t 2 + 5 2 2 dx (4) Tính tích phaân I = ∫ x2 x − 9 Giaûi Ñaët t=29 x − ⇒ t2 = 292 x − ⇒ tdt= 2 dx⇒ dxtdt= t 2 + 9 Vaø ta coù: x = 2 dx tdt dt1 t  2 29 x −  ⇒ I =∫ = ∫2 ==×2 ∫ 2 2 arctan  +=C arctan   + C x2 x − 9 t + 9 t + 93 3  3 3  ×t   2 dx (5) Tính tích phaân I=∫ () x > 0 x21+ x 2 Giaûi: Ñaët: 1 1 x= ⇒ dx= − dt t t 2 dx tdt1+ x 2 ⇒ I=∫ =− ∫ =−++=−1 tCC2 + x21+ x 2 1 + t 2 x 2.3 - PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN 1) Coâng thöùc: ∫f( xdx ) = ∫ udv = uv − ∫ vdu 2) Moät soá caùch choïn u vaø dv: a) Daïng I= ∫ Px()sin axdx ; ∫ Px ()cos axdx ; ∫ Pxedx () ax Ñaët: u = P(x)  dv −Phaàn coøn laïi  b) Daïng: I= ∫∫ Px()ln xdx ; Px ()arcsin xdx ; ∫ Px ()arccos xdx ; ∫ Pxarctgxdx () Ñaët: dv = P(x)dx  u −Phaàn coøn laïi  c) Daïng I= ∫ eαxcosβ xe , ∫ α x sin β xdx : duøng pheùp theá voøng 3) Ví duï: (1) Tính tích phaân I= ∫ x2 e 3 x dx Giaûi: 69
Ñaët: u = x 2 ⇒ du = 2xdx 1 1 dv = e 3x dx ⇒ v = edx3x(3 ) = e 3 x 3∫ 3 1 1 12 I=−= uv vdu xe23xx − e 32 xdx = xe 23 x − xedx 3 x ∫3 ∫ 3 33 ∫ 3x Tính I1 = ∫ xe dx Ñaët u = x ⇒ du = dx 1 dvedx= 3x⇒ v= edx 3 x = edx 3 x(3 ) = e 3 x ∫3 ∫ 1 1 I=−=− uv vdu xe33xx edxxe =−. 33 xx edx (3 ) =− xe 33 xx e 1 ∫ ∫3 ∫ 3 Vaäy: 1 2 2 I= xe23x − xe 3 x ++ e 3 x C 3 3 9 (2) Tính tích phaân I= ∫ x2 sin xdx Giaûi: Ñaët u = x 2 ⇒ du = 2xdx dv = sinxdx ⇒ v=∫ sin xdx = − cos x ⇒ I=− uv∫ vdu =− x2 cos x + 2 ∫ x cos xdx Tính I1 = ∫ xcos xdx ? Ñaët u = x ⇒ du = dx dv = cosx dx ⇒ v=∫ cos xdx = sin x ⇒ I1 =−= uv∫ vduxsin x − ∫ sin xdxx = sin x + cos x ⇒ Ix=−2 cos xxx + 2 sin + 2cos xC + (3) Tính tích phaân I=∫( x ln xdx )2 = ∫ x 2 ln 2 xdx Giaûi Ñaët: 1 u= ln2 xdu⇒ = 2(ln x ) × dx x x3 dv= xdx2⇒ v= xdx 2 = ∫ 3 1x3 112 ⇒ Iuvvdu=−= x3ln 2 x −× 2(ln x ) ×= dx x3 ln 2 x − x 2 ln xdx ∫3 ∫ 3x 33 ∫ 2 Tính I1 = ∫ xln xdx Ñaët: 1 u= ln x⇒ du= dx x 70
x3 dv= xdx2⇒ v= xdx 2 = ∫ 3 1x3 111 11 x 3 ⇒ Iuv=−= vdu x3ln x − . dx = x 323 ln x − xdx = x ln x − . 1 ∫3 ∫ 3x 3 2 ∫ 3 33 Vaäy: 1 21 1  Ixx=32ln − xxxC 3 ln −+ 3  3 33 9  (4) Tính tích phaân I= ∫ xarctgxdx Giaûi Ñaët: 1 u = arctgx ⇒ du= dx 1+ x2 x2 dv= xdx⇒ v= xdx = ∫ 2 1 1 x2 ⇒ I=− uv vdu = xarctgx2 − dx ∫2 2 ∫ x2 + 1 x2 x 2 +1 − 1 dx Tính: I= dx = dx =− dx =− xarctgx 1 ∫1+x2 ∫ x 2 + 1 ∫∫ x 2 + 1 1 1 Vaäy: I= xarctgx2 −−( x arctgx ) + C 2 2 (5) Tính tích phaân I= ∫ e2x sin 3 xdx Giaûi: Ñaët: u= e2x⇒ du= 2 edx 2 x 1 dv= sin3 xdxv⇒ = sin3 xdx = − cos3 x ∫ 3 1 2 ⇒ Iuv=− vdu =− e2xcos3 x + e 2 x cos3 xdx . ∫3 3 ∫ 2x Tính I1 = ∫ ecos3 xdx Ñaët: u= e2x⇒ du= 2 edx 2 x 1 dv= cos3 xdx⇒ v= cos3 xdx = sin3 x ∫ 3 1 2 ⇒ I=− uv vdu = e2xsin3 x − e 2 x sin3 xdx 1 ∫3 3 ∫ 1 2 Vaäy: I= e2x sin 3 xI − 1 3 3 71
1 21 2  ⇒ I=− e2xcos3 x + e 2 x sin3 xI −  3 33 3  ⇔ 9I=− 3 e2x cos3 xe + 2 2 x sin3 xI − 4 ⇔ 3Ie=2x (2sin3 x − 3cos3) x 1 ⇒ Ie=2x (2sin3 x − 3cos3 xC ) + 3 (5) Tính tích phaân I= ∫ cos( ln xdx) Giaûi  1 u= cosln()() x⇒ du= − sinln x × dx Ñaët :  x  ⇒ dv= dx v=∫ dx = x 1 ⇒ Iuvvdux=−=cos()() ln x +× x sin ln x ×= dxx cos()() ln x + sin ln xdx ∫ ∫x ∫ Tính: I1 = ∫ sin() ln x dx ?  1 u= sin()() ln x⇒ du= cos ln x × dx Ñaët :  x  ⇒ dv= dx v=∫ dx = x 1 ⇒ Iuv=−= vduxsin()() ln x −× x cos ln x ×= dxx si n()( lnx− cos ln x) dx 1 ∫ ∫ x ∫ ⇒ Ix1 =sin() ln xI − ⇒ Ix=cos()() ln xx + sin ln xI − 1 VaäyI:= x cos()() ln xx + sin ln x  + C 2 2.4 - PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM HÖÕU TÆ 1) Phaân thöùc thöïc söï vaø phaân thöùc ñôn giaûn: a) Phaân thöùc thöïc söï: P( x ) Xeùt phaân thöùc höõu tæ R(x) = trong ñoù P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc coù baäc laàn löôït laø Q( x ) m vaø n. Khi ñoù: P( x ) (1)Neáu m < n thì phaân thöùc ñöôïc goïi laø phaân thöùc thöïc söï. Q( x ) P( x ) (2)Neáu m ≥ n thì phaân thöùc ñöôïc goïi laø phaân thöùc khoâng thöïc söï. Q( x ) Ta coù theå nhaän thaáy ngay raèng: Moät phaân thöùc khoâng thöïc söï bao giôø cuõng vieát thaønh toång cuûa moät ña thöùc vaø moät phaân thöùc thöïc söï (bằng cách laáy töû chia cho maãu). b)Phaân thöùc ñôn giaûn: Caùc phaân thöùc thöïc söï sau ñaây ñöôïc goïi laø caùc phaân thöùc ñôn giaûn: 72
A A MxN+ MxN + ; ; ; xaxa−() −k x2 ++ pxq ( x 2 ++ pxq ) k trong ñoù A, M, N, a, p, q ∈ R, k ∈ Z, k ≥ 2; ∆ = p 2 – 4q < 0. c) Ñònh lyù: P( x ) Xeùt phaân thöùc thöïc söï . Neáu ña thöùc Q(x) coù daïng: Q( x ) Q(x) = (x – a) α (x – b) β . . . (x 2 + px+q) k (∆ = p 2 – 4q < 0) thì ta coù phaân tích: P( x ) AAA BB =+12 ++ α ++ 12 + Qx() xaxa−− ()2 () xa −α xbxb −− () 2 Bβ M 1x + N1 M 2 x + N 2 M k x + N k + + β + 2 + 2 2 + + 2 k (x − b) x + px + q (x + px + q) (x + px + q) Caùc heä soá A i, B j, M t, N t tìm ñöôïc baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh. d) Phöông phaùp tính tích phaân haøm höõu tæ: )x(P  )x(P  I = ∫ dx  laø phaân thöùc thöïc söï Q )x(  Q )x(  P( x ) Böôùc 1: Phaân tích thaønh toång caùc haøm ñôn giaûn Q( x ) Böôùc 2 : AÙp duïng coâng thöùc vaø tính chaát cuûa tích phaân ñeå tính e) Ví duï: 2x + 6 (1) Tính tích phaân I= dx ∫ (x− 2)( x − 6) Giaûi: 26x+ A BAx (6)(2)( −+− Bx ABx ++−− )(62) AB f( x ) = =+= = (xxxx−−−− 2)( 6) 2 6 ( xx −− 2)( 6) ( xx −− 2)( 6)  5 A = − AB+=2  AB += 2  2 ⇔2x + 6( = ABx + ) + (6 − AB − 2) ⇔ ⇔  ⇔  −−=6263AB  AB +=− 3 9 B =  2 5 9 ⇒ f( x ) = − + 2(x− 2) 2( x − 6)  5 9  ⇒ I=∫ fxdx( ) =− ∫  +  dx  2(x− 2) 2( x − 6)  9dx 5 dx 9 5 = − =lnx −− 6 ln x −+ 2 C 2∫x− 62 ∫ x − 22 2 x + 3 (2) Tính tích phaân I= dx ∫ (x− 1)( x 2 + 1) Giaûi: 73
x+3 A MxNAx + (2 +++− 1) ( MxNx )( 1) f( x ) = =+ = (xx−+−+ 1)(2 1) xx 1 2 1 ( xx −+ 1)( 2 1) Ax2++ AMx 2 −+− MxNxN( AMx + )(2 +−+ M Nx )( +− AN ) = = (xx−+ 1)(2 1) ( xx −+ 1)(2 1) A+ M =0  A = 2   ⇔+()(AMx2 +−+ MNxANx )()3 +− =+⇔−+=⇔ MN 1  M =− 2   A−= N3  N =− 1 2 −212x − 2 x 1 ⇒ f( x ) = + =− − x −1x2+ 1 xx − 1 2 + 1 x 2 + 1 221x  1 2 xdx dx ⇒ Ifxdx=( ) =−−  dx = 2 dx −− ∫∫xxx−++1112 2  ∫∫∫ x − 1 xx2 ++ 11 2 1dx (2 + 1) dx =2dx − − =−−+− 2ln x 1 ln( x2 1) arctgxC + ∫x−1 ∫ x2 + 1 ∫ x 2 + 1 x4 (3) Tính tích phaân I= dx ∫ x3− x 2 + x − 1 Giaûi 2 2 fxx()1=++ =++ x 1 xxx3−+− 2 1 ( xx − 1)(2 + 1) Nhöng: 2A BxC+ Ax (2 +++ 1) ( BxCx )( − 1) g( x ) = =+ = (xx−+−+ 1)(2 1) xx 1 2 1 ( xx −+ 1)( 2 1) Ax2++ ABx 2 −+− BxCxC( ABx + )(2 +−+ BCx )( +− AC ) = = (xx−+ 1)(2 1) ( xx −+ 1)(2 1) ⇒⇒⇒ 2(=ABx + )(2 +−+ BCxAC ) +− A+ B =0  A = 1   ⇒ −B + C = 0⇒  B = − 1   A−= C2  C =− 1 11−x − 1 x 1 ⇒ fxx()1=++ + =++ x 1 − − xx++112 xxx −++ 111 2 2 1 xdx dx ⇒⇒⇒ I=++ xdx dx dx − − ∫∫∫x−1 ∫ x2 + 1 ∫ x 2 + 1 x21 d ( x 2 + 1) =++−−xln x 1 − arctgx ∫ x2 2 2+ 1 x2 1 =++xln x −− 1 ln( x2 +− 1) arctgxC + 2 2 74
2.5 - TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC 1) Phöông phaùp toång quaùt: Ñaët  2dt dx = 2  1+ t  2t ' sin x = x x1 1 1  x  1+ t 2 ttg⇒ dt tg dx dx tg2 dx ⇒ = = =× =×+ 1  2 2 222 x 22  1− t cos cos x = 2  1+ t 2  2t  tgx =  1− t 2 Khi ñoù tích phaân haøm löôïng giaùc ñöôïc ñöa veà daïng tích phaân höõu tæ. 2) Ví duï: dx (1) Tính tích phaân I = ∫ sin x Giaûi x2 dt 2 t Ñaët ttg= ⇒ dx=, sin x = 2 1+t2 1 + t 2 2dt 2 dt x ⇒ I=1+ t ==+=ln tCtgC ln + ∫2t ∫ t 2 1+ t 2 dx (2) Tính tích phaân I = ∫ cos x Giaûi 2dt x2 dt 1 − t 2 2 2dt Ñaët ttg= ⇒ dx=, cos x = ⇒ I =1+ t = 2 1+t2 1 + t 2 ∫1− t 2 ∫ 1− t 2 1+ t 2 2 2A B A (1)(1)()()++− tB t ABtAB −++ f( t ) == =+= = 1−t2 (1 −+−+ tttt )(1 ) 1 1 (1 −+ tt )(1 ) (1 −+ tt )(1 ) A− B =0  A = 1 ⇔2( =A − Bt )( + A + B ) ⇔ ⇔  A+ B =2  B = 1 1 1dt dt d (1− t ) d (1 + t ) ⇒ f( t ) = + ⇒ I = + =− + 11−+tt∫∫ 11 −+ tt ∫ 1 − t ∫ 1 + t x 1+ tg 1+ t =−ln 1 −+t ln 1 ++ t C =ln +=C ln 2 + C x 1− t 1− tg 2 75
cos xdx (3) Tính tích phaân I = ∫ 2+ cos x Giaûi: cos xdx (cos x + 2 − )2 dx dx dx I = ∫ = ∫ = ∫ dx − 2∫= x − 2 ∫ 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x dx Tính : I = 1 ∫ 2+ cos x x2 dt 1 − t 2 Ñaët t = tg⇒ dx=, cos x = 2 1+t2 1 + t 2 2dt dx2 2 dt 2dt ⇒ =1+ t = = 2cos+x1− t 2 221 ++− t2 t 2 t 2 + 3 2 + 1+ t 2 x  tg dt1 t 2   ⇒ 2 I1 =2∫ 2 = 2. arctg = arctg   t + 3 3 33 3    x  tg 4   Vaäy: I= x − arctg2  + C 3 3    1+ sin x (4) Tính tích phaân I= dx ∫ sinx (1+ cos x ) Giaûi x2 dt 2 t 1 − t 2 Ñaët ttg= ⇒ dx=,sin x = ,cos x = 21+t2 1 − t 2 1 + t 2 2t t2 + 1 + 2 t 1+ 2 2 2dt2 2 dt ()t+2 t + 1 dt f( x ) dx =1+t ×= 1 + t ×= 2t 1 − t 2  1+t2 2t 1+ t2 + 1 − t 2 1 + t2 2 t 1+  2× 2 1+t2 1 + t 2  1+t 1 + t tt2 +21 +  t 11  11 dtt 2 1 ⇒ I= dt =++1  dttdtdt = ++ =×++ tln tC + ∫2t ∫ 222 t  ∫∫∫ 2222 t 1x x 1 x ⇒ I=tan2 ++ tan ln tan + C 4 2 22 2 2) Tích phaân daïng I= ∫ R(sin x ,cos xdx ) Tröôøng hôïp 1: I= ∫ R(sin x )cos xdx vôùi R laø haøm höõu tæ ñoái vôùi sinx hoaëc cos 2x. Ta ñaët: t = sinx ⇒ I= ∫ Rtdt( ) Tröôøng hôïp 2: 76
I= ∫ R(cos x )sin xdx vôùi R laø haøm höõu tæ ñoái vôùi cosx hoaëc sin 2x. Ta ñaët: t = cosx ⇒ I= − ∫ Rtdt( ) Tröôøng hôïp 3: I= ∫ Rtgx( ) dx 1 dt ⇒ 2 ⇒ Ñaët t= tan xdt=2 dx =() 1 + tan xdx dx = 2 cosx 1 + t dt ⇒ I= Rtgxdx()() = Rt × ∫ ∫ 1+ t 2 Tröôøng hôïp 4: I= ∫ R(sin2 x ,cos 2 xdx ) , R laø haøm höõu tæ ñoái vôùi sin 2x, cos 2x 1 dt Ñaët t= tan x⇒ dt= dx = (1 + tgxdx2 ) ⇒ dx = cos2 x 1 + t 2 t 2 1 ⇒sin2x= ,cos 2 x = ⇒ I laø haøm höõu tæ theo t. 1+t2 1 + t 2 Ví duï : sin3xdx (1− cos 2 x )sin xdx (1) Tính tích phaân I = = ∫2+ cosx ∫ 2 + cos x Giaûi Ñaët: 1−t2 t 2 − 1 t= cos x⇒ dt= − sin xdx ⇒ I=() −= dt dt =−() tdt1 ∫1+t ∫ t + 1 ∫ 1 1 =ttC2 −+=cos 2 x − cos xC + 2 2 tan xdx (2) Tính tích phaân I = ∫ cosx (cos x− sin x ) Giaûi tanxdx tan xdx tan xdx (1+ tan2 x ) tan xdx I = = = = ∫cosxxx (cos− sin ) ∫sin x  ∫∫ cos2 xx (1− tan ) 1 − tan x cosx cos x  1 −  cos x  1 dt Ñaët t= tan xdt⇒ = dx = (1 + tan2 xdxdx ) ⇒ = cos2 x 1 + t 2 (1+ttdt2 ) t t − 1 + 1 dt ⇒ I=. = dt = dtdt =−+ ∫111−+−ttt2 ∫∫ 1 − t ∫∫ 1 − t dt =−dt − =−− t ln t −+=− 1 C tgx − ln tgx −+ 1 C ∫ ∫ t −1 ⇒ I=− tgx −ln tgx −+ 1 C dx (3) Tính tích phaân I = ∫ 9sin2x+ 4cos 2 x 77
Giaûi: 1 dt Ñaët t= tan xdt⇒ = dx = (1 + tan2 xdxdx ) ⇒ = cos2 x 1 + t 2 t 2 1 Khi ñoù sin2x= ,cos 2 x = 1+t2 1 + t 2 dt 1+ t 2 dt1 dt (3) 11 3 t  ⇒ I = = = =××arctan   + C ∫9t 2 4 ∫9t2+ 43(3)2 ∫ t 2 + 2 32 2  + 1+t2 1 + t 2 1 3 tgx  ⇒ I=arctan   + C 6 2  3) Tính tích phaân daïng: I=∫ cosm x sin n xdxmnZ (, ∈ ) Tröôøng hôïp 1 : Neáu m, n laø caùc soá döông, chaün thì ta duøng coâng thöùc haï baäc ñeå bieán ñoåi haøm döôùi daáu tích phaân: 1 + cos2x = 2 cos 2x 1 – cos2x = 2sin 2x 2sinxcox = sin2x Tröôøng hôïp 2 : Neáu m hoaëc n leû chaúng haïn m leû thì ta ñaët t = sinx (n leû thì ta ñaët t = cosx). Tröôøng hôïp 3: Neáu m, n chaün caû vaø ít nhaát moät trong 2 soá ñoù laø aâm thì ta ñaët t = tgx hay t = cotgx. Ví duï: (1) Tính tích phaân I= ∫ sin2 x cos 2 xdx Giaûi 2 2 sin2x  1 11cos4− x 11 fxsinxx()=() cos =  = sin22 x =× =− cos4 x 2  4 42 88 11 111 11 ⇒ I=− dxcos4 xdxx =−× cos4(4) xdx =− x sin4 xC + 88∫ ∫ 884 ∫ 832 (2) Tính tích phaân I= ∫ sin4 x cos 2 xdx Giaûi Ta coù: sin2x  2 1− cos2 x sin2 2 x fx( )= sin2 xxx (sin .cos ) 2 = sin 2 x   =× 2  2 4 1 1cos4− x 1 =−()1cos2x × =−()() 1cos2 x 1cos4 − x 8 216 1 =()1 − cos4x − cos2 x + cos4 xx cos2 16 78
1 1  =−1 cos4x − cos2 x + (cos2 x + cos6 x )  16 2  1 1 1  =−1 cos4x − cos2 x + cos6 x  16 2 2  1 1 1  ⇒ I=− dxcos 4 xdx − cos 2 xdx + cos 6 xdx 16∫∫ 2 ∫ 2 ∫  11 11 11  =−dxcos4 xd (4) x − . cos2 xd (2) x + . cos6 xd (6) x 16∫∫ 4 22 ∫ 26 ∫  11 1 1  =−xsin4 x + sin2 x + sin6 xC  + 16 4 4 12  (3) Tính tích phaân I= ∫ sin3 x cos 2 xdx Giaûi Ñaët: t= cos x⇒ dt= − sin xdx ⇒ I=∫sin32 x cos xdx = ∫ sin 2 xx sin cos 2 xdx =− ∫ ( 1 cos 22 x) cos xxdx sin t5 t 3 1 1 =−() 1 ttdt2 2() −=−() ttdt 4 2 =−+= Ccos5 x − cos 3 xC + ∫ ∫ 53 5 3 4) Tích phaân daïng ∫ cosax cos bxdx , ∫ sinax sin bxdx , ∫ sinax cos bxdx Phöông phaùp: Duøng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång 1 cosαβ cos=[] cos( αβ −+ ) cos( αβ + ) 2 1 sinαβ sin=[] cos( αβ −− ) cos( αβ + ) 2 1 sinαβ cos=[] sin( αβ −+ ) sin( αβ + ) 2 Ví duï: Tính tích phaân I= ∫ sin2 x cos5 xdx Giaûi Ta coù: 1 1 1 fxxx() =sin2cos5 = sin()() −+ 3 x sin7 x  =− sin3 x + sin7 x 2 2 2 1 1 11 11 ⇒ I=−∫sin3 xdx + ∫ sin7 xdx =−×−() cos3 x +×−() cos7 xC + 2 2 33 27 1 1 = cos3x − cos7 x + C 9 14 79
B - TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH §1 - KHAÙI NIEÄM VEÀ TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH 1.1 - Ñònh nghóa Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b]. Ta chia ñoaïn thaúng [a, b] moät caùch tuøy yù thaønh n ñoaïn nhoû khoâng daãm leân nhau bôûi caùc ñieåm chia: aaa=<<<0 1 aai− 1 <<< i ab n = Kyù hieäu ñoä daøi cuûa caùc ñoaïn nhoû [ai−1 a i ] laø ∆Si .Treâm moãi ñoaïn nhoû [ai−1 a i ] ta n laáy moät ñieåm xi tuøy yù vaø thaønh laäp toång tích phaân: σ π =∑ f() xi ∆ S i . Goïi dπ laø ñoä daøi i=0 lôùn nhaát cuûa caùc ñoaïn thaúng [ai−1 a i ] . n  Khi ñoù: Neáu toàn taïi giôùi haïn I=limσπ = lim ∑ fxS()i ∆ i  thì ta goïi I laø tích d→0 n →∞ π i=0  b phaân xaùc ñònh cuûa haøm f(x) töø a ñeán b vaø kyù hieäu laø : I= ∫ fxdx( ) a 1.2 - YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân xaùc ñònh Cho hình thang cong xaùc ñònh bôûi caùc ñöôøng x = a, x = b, y = f(x), truïc Ox, trong ñoù f(x) laø haøm soá khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a, b]. Khi ñoù dieän tích cuûa hình thang cong b ñöôïc tính theo coâng thöùc: S = ∫ f( x ) dx a 1.3 – Caùc tính chaát cô baûn cuûa tích phaân xaùc ñònh b b (1) ∫kf() xdx= k ∫ f () xdx a a b b b (2) ∫[()fx± gxdx ()] = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () a a a b a a (3) ∫fxdx()= − ∫ fxdx () ; ∫ f( x ) dx = 0 a b a b c b (4) ∫fxdx( )= ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx ( cab ∈ ( , )) a a c b b (5) Neáu f(x) ≥ g(x) ( ∀x ∈ [a, b]) thì: ∫f() xdx≥ ∫ gxdx () a a 1.4 – Ñaïo haøm theo caän treân vaø coâng thöùc Niuton – Lepnit 1- Ñaïo haøm theo caän treân a) Ñònh lyù x Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a, b]. Ñaët Fx()()= ∫ ftdt vaø a 80
x  ′ goïi ñoù laø haøm soá phuï thuoäc vaøo caän treân, Khi ñoù ta coù: Fx′()()()=∫ ftdt  = fx a  b) Heä quaû: ϕ()x  ′ ftdt  f x  ′ x ∫ ()  = ϕ()()  ϕ a  c) Ví duï: Tính giôùi haïn: x2 ∫ sin tdt L = lim 0 x→0 x3 Giaûi 2 2 ′ x x  sin tdt sin tdt  ∫ ∫  2 0 0  sinx sin x 2 x 2 L =lim3 = lim = lim2 ×=×=×= 2x lim 2 2 x lim 2 x xx→→00x3 x → 0 xxx x → 0 x → 0 ()x ′ 3 33 3 2 – Coâng thöùc Niuton – Lepnit a) Ñònh lyù: Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a, b]; Goïi F( x ) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn ñoù. Khi ñoù ta coù coâng thöùc: b b ∫ fxdx()()= Fx = Fb()() − Fa a a Ngöôøi ta thöôøng goïi coâng thöùc naøy laø coâng thöùc Niuton – Lepnit b) Ví duï: Ví duï 1 Tính tích phaân: e dx I = ∫ 2 1 x1− ln x Giaûi edx e dx(ln ) e π I = = =arcsin(lnx ) =−= arcsin1 arcsin 0 ∫2 ∫ 2 1x1− ln x 1 1 − ln x 1 2 Ví duï 2 Tính tích phaân: π 4 cos 3 xdx I = ∫ 3 π sin x − 2 81
Giaûi π π π 4cos3xdx 4 cos 2 x cos xdx 4 1sin− 2 x I = = = d(sin x ) ∫3 ∫1 ∫ 1 πsin x π π − −x3 − 3 x 2 2(sin) 2 sin π π π −1 5  +1 + 1 41 4 5 4 − (sinx )3 (sin x ) 3  =(sinxdx )3 (sin ) − (sin xdx ) 3 (sin ) =−  ∫ ∫ 1 5 π π   − − − +1 + 1 π 2 2 3 3  − 2 π π 3 8  3 34  3 23 8  4 =(sinx )2 − (sin x ) 3  = 3(sinx )− 3 (sin x ) 2 8 π 2 8  π   − − 2 2 2 8    3232   32 3 8  921 =3 − 3  −−−−=−+31 3   () ()  3 2282    2 8  8 16 2   Ví duï 3 Tính tích phaân: 4 dx I = ∫ 2 3 x−3 x + 2 Giaûi 1 1A B Ax (1)(2)− + Bx − f( x ) = = =+= xx2 −+3 2( xx −− 1)( 2) xx −− 1 2 ( xx −− 1)( 2) ⇒ 1=Ax ( −+ 2) Bx (1)( −=+ ABx ) +−− (2 AB ) A+ B = 0 ⇒ ⇒ A= −1, B = 1 −2A − B = 1 −1 1 4dx 4 dx 4 ⇒ fx() = + ⇒ I= − =()ln xx −−− 2 ln 1 xx−−12∫ xx −− 21 ∫ 3 3 3 x − 24 31 4 =ln =−= ln ln ln x −13 22 3 Ví duï 4 Tính tích phaân: 16 dx I = ∫ 0 x+9 − x Giaûi: 82
1x+ 9 + x 1 fx() = = =++ xx9 x+9 − x x+9 − x 9 () 16dx 1 16 1 161 1 16 1 ⇒ I=∫ = ∫() x ++9 xdx =++ ∫∫ (9) xdx2 xdx 2 0x+9 − x 9 0 9 00 9 1 1  +1 + 1 16 16 1(9)1x+ 2 x 2   123 12 3  =× +×  =×x ++×9 x 91 9 1  93() 93 ()  +1 + 1  0 0 2 2  16 3 3 2  23 3 3 2 =x ++9 x = 25169 +−=×  (25 5+ 16 ×−× 4 9 3) = 12 27() ()  27  27 0 §2 - HAI PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH 2.1 - Phöông phaùp ñoåi bieán 1) Coâng thöùc: Daïng 1: - Ñaët x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ’(t)dt x= a⇒ t = α - Tính caän môùi:  x= b⇒ t = β b β - Suy ra: I=∫ fxdx( ) = ∫ f (ϕ ( xdx )) ϕ '( tdt ) a α Daïng 2: - Ñaët t = ϕ(x) sau ñoù tính dx theo t vaø dt x= a⇒ t = α - Caän môùi:  x= b⇒ t = β - Tính f(x)dx = g(t)dt (theo t) b β - Suy ra: I=∫ fxdx() = ∫ gtdt () a α 2) Ví duï: Ví duï 1 π 2 cos xdx Tính tích phaân I = ∫ 2 0 1+ sin x Giaûi: Ñaët t = sinx ⇒ dt = cosxdx Caän môùi: 83
X 0 π 2 T 0 1 1 dt 1 π ⇒⇒⇒ I=∫ 2 = arctgt =− arctg1 arctg 0 = 0 1+ t 0 4 Ví duï 2 1 2 x e Tính tích phaân I= ∫ 2 dx 1 x Giaûi: 1 1 Ñaët t= ⇒ dt= − dx x x 2 Caän: X 1 2 T 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 t ttt ⇒⇒⇒ I=∫ e( −=− dt ) ∫ edt = ∫ edte =1 =−=− ee2 e e 1 1 1 2 2 Ví duï 3 2 Tính tích phaân I=∫ 4 − xdx2 0 Giaûi: Ñaët x = sint ⇒ dx = 2costdt Caän môùi: X 0 2 T 0 π 2 ⇒⇒⇒ 4−=−x2 44sin 2 t =− 21sin 2 tt = 2cos π  Do t ∈0,  ⇒ cost > 0 ⇒ cost= cos t 2  84
π ππ ππ 2 221+ cos 2 t 22 ⇒ I=∫2cos.2cos t tdt == 4cos ∫∫2 tdt 4 dt =+ 2 ∫∫ dt 2cos2 tdt 0 002 00 π π π 1 2 π =+×2t2 2 cos2()() tdt 2 =×+ 2 (sin2) t 2 = π 2∫ 2 0 0 0 14243 0 Ví duï 4 Chöùng minh raèng: π π 2 2 ∫cosnxdx= ∫ sin n xdx() ∀ n ∈ N 0 0 Giaûi: π Ñaët x= − t⇒ dx= − dt 2 Caän: X 0 π 2 T π 0 2 ππ ππ 22π  22 ⇒ I=∫∫cosnn xdx = cos −−= tdt  () ∫∫ sin nn tdt = sin xdx 002  00 Aùp duïng Tính tích phaân: π 2 I=∫ ()cos15 x − sin 15 xdx 0 Giaûi Ta coù: ππ ππ 22 22 ∫∫cosnxdx= sin n xdx() ∀ n ∈ N⇒ ∫∫ cos15 xdx= sin 15 xdx 00 00 π π π 2 2 2 ⇒ ∫()cos15x− sin 15 xdx = ∫ cos 15 xdx − ∫ sin 15 xdx = 0 0 0 0 Ví duï 5 Chöùng minh raèng: Neáu f(x) lieân tuïc treân [-a, a] thì: 85
0 neáu )x(f laø haømleû a  ∫ )x(f dx =  a −a 2 ∫ )x(f dx neáu )x(f laø haømchaün  −a Giaûi: Ta coù: a0 a ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdx () −a − a 0 Khi ñoù: (1) Neáu f(x) laø haøm leû thì f(− x) = − fx( ) Ñaët t= − x⇒ dt= − dx Caän môùi: X -a 0 T A 0 00 0 00 a ⇒ ∫∫fxdx() = f()()()() −−=− t dt ∫ ft −= dt ∫∫∫ ftdt() = fxdx () =− fxdx () −−aa − a −− aa 0 a0 aaa ⇒ ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdx () =− ∫∫ fxdx () + fxdx ()0 = −a − a 0 0 0 (2) Neáu f(x) laø haøm chaün thì f(− x) = fx( ) Ñaët t= − x⇒ dt= − dx Caän môùi: X -a 0 T A 0 00 0 00 ⇒ ∫∫fxdx()()()()()= f −−=− t dt ∫ ftdt =− ∫∫ fxdx( ) = fxdx −−aa − a − aa a0 aaaa Vaäy: ∫fxdx()= ∫∫∫ fxdx ()() + fxdx = fxdx()()() + ∫ fxdx = 2 ∫ fxdx −a − a 0 0 0 0 Ví duï aùp duïng: 2 Tính I=∫ ln( xx +2 + 1 ) dx −2 Giaûi Ta coù: fx( )= ln( x + x 2 + 1 ) laø haøm soá lieân tuïc treân [-2, 2] vaø hôn nöõa: 86
x2+−1 xx 2 ++ 1 x  2  2 ( )( )  fx()()()−=ln −+−+= xx 1  ln xx +−= 1 ln     ( ) x2 +1 + x   x2+1 − x 2  1 =ln  = ln =− lnx2 ++=− 1 x fx() x2++1 x  x 2 ++ 1 x ( ) ⇒ f(x) laø haøm leû 2 ⇒ I=∫ ln( x + x 2 += 1) 0 −2 2. 2 - Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 1 - Coâng thöùc: b bb b I=∫ fxdx( ) = ∫ udv =− uv ∫ vdu a aa a Chöùng minh Ta coù: b b b  duv() = udv + vdu⇒ I=∫ duv() = ∫ udv + ∫ vdu   bb b a a a ⇒ I= udv = uv − vdu b  ∫ ∫ b  aa a do ∫ duv ( ) = ( uv )  a a  2 - Ví duï: Ví duï 1: 1 Tính tích phaân I= ∫ arctgxdx 0 Giaûi:  1 ⇒ u= arctan x du= 2 dx Ñaët :  1+ x  ⇒ dv= dx v=∫ dx = x 11 1 1 1π 1 1 π 1 ⇒ 2 I=−= uv∫ vdu xarctan x −× ∫ x2 dx =− ln() x +=− 1 ln 2 00 0 0 1+ x 42 0 42 Ví duï 2 1 Tính tích phaân I= ∫ arcsin xdx 0 Giaûi:  1 u= arcsin x⇒ du= dx Ñaët :  1− x2  ⇒ dv= dx v=∫ dx = x 87
1 1 1 1 1 1 1 1 − ⇒ Iuv=−=× vduxarcsin x −× x dx = arcsin1 +− 1 xdx22 1 − 2 ∫ ∫2 ∫ () () 00 0 0 1− x 2 0 1 2 − + 1 1 π1 ()1− x 2 π1 ππ =+× =+−1x2 =+−=− (0 1) 1 221 20 2 2 − + 1 0 2 Ví duï 3 1 Tính tích phaân I= ∫ x3 arctgxdx 0 Giaûi: Ñaët:  1 u= arctgx⇒ du= dx  1+ x2  x4 dv= xdx3⇒ v= xdx 3 =  ∫ 4 111 1 1 x4 111 1 x 4 ⇒ 4 Iuv=−=∫ vdu xarctgx − ∫4 dx =×− arctg1 ∫ 2 dx 004 0 0 41+x 4 410 x + Tính : 14 1 4 1 3 x x−11 + 2 1   x  1 1 I1 =∫2 = ∫ 2 dx =−+ ∫  x1 2  dx =−+ xarctgx  =−+ 1 arctg 1 0x+11 0 x + 0  x + 13    0 3 Vaäy: 1 12  1 11 1 I= arctg1 −−+ arctg 11  = arctg +− arctg 1 = 4 43  4 64 6 Ví duï 4 π 2 Tính tích phaân I = ∫ ex cos xdx 0 Giaûi: Ñaët u = e x ⇒ du = e xdx ; dv = cosxdx ⇒ v = ∫ cosxdx= sin x π π 2 π ⇒ x 2 Iuv=−2 ∫ esin xdxe =− I 1 0 142430 I1 π 2 x Tính I1 = ∫ esin xdx 0 Ñaët 88
u = ex ⇒ du = edx x dv = sin xdx⇒ v=∫ sin xdx = − cos x ππ π π 2 2 π π  ⇒ Iuv=−=−2 vduexcos x 2 + e x cos xdx =− e2 cos − e0 cos0  +=+ I 1 I 1 ∫ ∫ 2 00 0 0   π π1  π  Vaäy: Ie=2 −121 − IIe⇒ = 2 − ⇒ I= e 2 − 1  2   Ví duï 5 1 Tính tích phaân I= ∫ xe2 −x dx 0 Giaûi: Ñaët u= x2 ⇒ du= 2 xdx dvedx= −x⇒ v=∫ edx −− xx =− ∫ ed() −=− x e − x 1 1 1 12 1 ⇒ Iuv= −∫ vdu =− xe2−x +2 ∫ xedx − x =−+ e − 1 2 ∫ xedx − x 00 0 0 0 1 −x Tính I1 = ∫ xe dx 0 Ñaët u= x⇒ du= dx dvedx= −x⇒ v=−∫ edx − x( − ) =− e − x 11 1 1 1 ⇒ −x − x −−1 x I1 = uv −∫ vdu =− xe + ∫ edx =−− e e 00 0 0 0 =−eee−−110 −() − =− ee −− 11 − +=−1 1 2 e − 1 5 ⇒ Ie=−+−12(12) − ee −− 11 =−+− 24 e − 1 =− 25 e − 1 =− 2 e 89
2.3 - TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG 2.3.1 - Tích phaân suy roäng coù caän laø voâ cöïc 1 - Ñònh nghóa: +∞ b 1) fxdx()= lim fxdx () ∫b→+∞ ∫ a a a a 2) fxdx()= lim fxdx () ∫b→−∞ ∫ −∞ b +∞a +∞ 3) ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdx () −∞ −∞ a Neáu tích phaân suy roäng toàn taïi thì ta noùi tích phaân ñoù laø hoäi tuï, neáu khoâng toàn taïi thì ta noùi tích phaân ñoù phaân kyø. 2 - Ví duï: +∞ dx (1) Tính tích phaân I = ∫ 2 2 x+ x − 2 Giaûi +∞ dxb dx I =∫2 = lim ∫ 2 xx+−2b→∞ xx +− 2 214243 2 K b dx Tính : K = ∫ 2 2 x+ x − 2 Ta coù: 1 1A B Ax (2)(1)+ + Bx − f() x = = =+= xx2 +−2 ( xx −+ 1)( 2) xx −+ 1 2 ( xx −− 1)( 2)  1 A = (ABx+ )(2 + AB − ) A+ B = 0  3 = ⇔()()ABx + +2 AB − = 1 ⇔ ⇒  (x− 1)( x + 2) 2A− B = 1 1  B = −  3 1 1 ⇒ f() x = − 3()x− 13() x + 2 11bdxdx b  1 1  b 11 x − b ⇒ K= − =ln x −−+= 1 ln x 2  ln 31323∫x− ∫ x + 3  2 32 x + 2 2 2 1 b− 1 1144 b − =ln − ln  = ln 3b+ 243  b + 2 1 441b−  441 b −  ⇒ I==lim K lim ln = ln lim  = ln 4 b→+∞3 b →+∞b+ 23 b →∞ b + 23  +∞ dx (2) Tính tích phaân I = ∫ 2 −∞ 1+ x 90
Giaûi: +∞dx0 dx +∞ dx Ta coù: I =∫2 = ∫ 2 + ∫ 2 −∞1+x −∞ 1 + x0 1 + x 0dx 0 dx 0  π  π - I1 = =lim = lim arctgx  =− lim[ arctgb ( )] =−−=  ∫2b→−∞ ∫ 2 b →−∞ b →−∞ −∞ 1+xb 1 + x b  2  2 +∞ dxb dx 0  π - I2 ==lim = lim arctgx  = lim arctgb = ∫2b→+∞ ∫ 2 b →+∞ b →+∞ 01+x 0 1 + x b  2 π π Vaäy : I = + = π 2 2 +∞ (3) Tính tích phaân I= ∫ xex dx 0 Giaûi: +∞ b I= xex dx = lim xe x dx ∫b→+∞ ∫ 0 0 b Tính K= ∫ xex dx 0 Ñaët u = x ⇒ du = dx ; dv = e x dx ⇒ v = ∫ edxx= e x b b b b b K = uv − ∫ vdu = e.x x − ∫exdx = be b − ex = be b − eb +1 = b( − e)1 b +1 0 0 0 0 0 ⇒ I=lim K = lim[( be − 1)b +=+∞ 1] b→+∞ b →+∞ Vaäy tích phaân laø phaân kyø. 0 (4) Tính tích phaân I= ∫ xex dx −∞ Giaûi: 0 0 I= xex dx = lim xe x dx ∫b→∞ ∫ −∞ b 0 Tính: K= ∫ xex dx b Ñaët u = x ⇒ du = dx ; dv = e xdx ⇒ v = ∫ edxx= e x 0 0 0 0 0 K = uv − ∫ vdu = xex − ∫exdx = −be b − ex b b b b b b b b = −be −1+ e = 1( − e)b −1 (L) b 1− b −1 I = lim K = lim 1( − e)b −1 = lim −b −1 = lim −b −1 = 0 −1 = −1 b→−∞ b→−∞ b→−∞ e b→−∞ − e Tích phaân laø hoäi tuï. 91
2.3.2 - Tích phaân suy roäng cuûa nhöõng haøm soá khoâng bò chaën. 1 - Ñònh nghóa: 1) f(x) lieân tuïc / [a, b), khoâng bò chaën taïi b, ta ñònh nghóa: b c ∫ )x(f dx = lim ∫ )x(f dx c→b− a a 2) Töông töï neáu f(x) lieân tuïc / (a, b], khoâng bò chaën taïi a thì : b b ∫ )x(f dx = lim ∫ )x(f dx c→a+ a c 3) Neáu f(x) khoâng bò chaën taïi c ∈ (a, b) thì: b c b ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdx () a a c Neáu tích phaân toàn taïi thì ta noùi tích phaân ñoù hoäi tuï, ngöôïc laïi thì ta noùi laø phaân kyø. 2 - Ví duï: 1dx 1 dx 1  (1) I= =lim = lim ln x  = lim(− ln b ) =+∞ ∫b→0+ ∫ b → 0 + b→0+ 0 xb x b  2dx 1 dx 2 dx (2) I =2 =lim 2 + 2 ∫b→0+ ∫ ∫ 0(x− 1) 0 ( x − 1) 1 ( x − 1) 1 b −2 + 1 dx−2 ( x − 1)  b − 1 b Ta coù: 2 =−−=lim (x 1) d ( x 1) lim  = lim ∫b→1− ∫ b → 1− b → 1 − 0(x − 1) 0  −+− 2 1  0x 1 0 1  =lim 1 −  =∞ Tích phaân phaân kyø. b→1− b −1  ⇒ Tích phaân ñaõ cho laø phaân kyø. 1dx 0 dx 1 dx (3) I = = + ∫2 ∫ 2 ∫ 2 −11−x − 1 1 − x 0 1 − x 0dx 0 dx 0 * I1 ==lim = lim arcsinx =− lim ( arcsin b ) ∫2b→−1+ ∫ 2 b →− 1 + b →− 1 + −1 1−xb 1 − x b π  π =−arcsin( −=−− 1)   = 2  2 1 dx π * Töông töï: I = = 2 ∫ 2 0 1− x 2 π π Vaäy : I = I 1 + I 2 = + =π 2 2 2.4 - ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH 2.4.1 - Tính dieän tích hình phaúng: 1 - Coâng thöùc: a) Dieän tích hình thang cong cho bôûi caùc ñöôøng: x = a, x = b , y = f(x), truïc Ox. Vôùi 92