Bài giảng môn học Xác suất thống kê

Nội dung text: Bài giảng môn học Xác suất thống kê

1. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
2. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Các phép toán trên các biến cố Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Các công thức tính xác suất cơ bản
3. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (random experiment) là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( làm thí nghiệm) và có thể lặp lại nhiều lần. Kết quả của phép thử ta không xác định trước được. Ví dụ Phép thử ngẫu nhiên Kết quả Tung đồng tiền Mặt sấp, mặt ngửa Điểm thi kết thúc môn {0, 1, 2, , 10} Tuổi thọ của một linh kiện điện tử t > 0 giây.
4. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên • Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp (sample space), ký hiệu Ω. • Mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên, ω, (ω ∈ Ω) gọi là một biến cố sơ cấp(simple event). • Một tập con của không gian mẫu có nhiều biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên(event). Kí hiệu là A, B, C, • Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử là biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω. • Biến cố luôn không xảy ra gọi là biến cố bất khả ( hay biến cố không thể có)( empty event), kí hiệu Ø.
5. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Gieo một lần con xúc xắc. Gọi ωi = "mặt trên của xúc sắc có i chấm"= i. Không gian các biến cố sơ cấp Ω = {ω1, ω2, . . . , ω6} = {1, 2 , 6}. A = {1, 3, 5} =" chấm lẻ" & B = {2, 4, 6} =" chấm chẳn" → Biến cố ngẫu nhiên C = {5, 6} =" chấm > 4" %
6. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Sự kéo theo A kéo theo B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B xảy ra. Ta còn nói A là biến cố thuận lợi cho B. Ví dụ Tung một con xúc xắc.
   Gọi Ai là biến cố được i chấm i = 1, 6 , B là biến cố được số chấm chia hết cho 3, C =" Số chấm chẵn" , P2 =" Số chấm nguyên tố chẵn" , Khi đó ta có A2 ⊂ C, A3 ⊂ B, A2 ⊂ P2, P2 ⊂ A2.
7. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Sự tương đương A tương đương với B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại. Ví dụ Trong ví dụ (3) A2 = P2.
8. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tổng (Union) Biến cố tổng của A và B, ký hiệu A + B hay A ∪ B là biến cố xảy ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
9. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tích (intersection) Biến cố tích của A và B, ký hiệu A.B,là biến cố xảy ra nếu A và B cùng đồng thời xảy ra.
10. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố hiệu Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A \ B, là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra.
11. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Các biến cố xung khắc (mutually exclusive) A xung khắc với B nếu A và B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø. Dãy các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi một nếu Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j.
12. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố đối lập ( biến cố bù) (complement) Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy ( A + A = Ω ra và ngược lại, nghĩa là hay A = Ω \ A. A.A = Ø Tính chất A + B = A.B A.B = A + B
13. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Hệ đầy đủ các biến cố (exhaustive) Hệ đầy đủ các biến cố Dãy n các biến cố A1, A2, , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu: ( Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j, i, j = 1, n A1 + A2 + ··· + An = Ω
14. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Ví dụ Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một cái bia. Gọi biến cố Ai = " xạ thủ thứ i bán trúng bia" , i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn Ai các biến cố sau: 1. A = " Bia bị trúng đạn" . 2. B = " Bia không bị trúng đạn" . 3. C = " Bia bị trúng 3 viên đạn" . 4. D =" Bia bị trúng 1 viên đạn" .
15. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Bải giải 1. A = A1 + A2 + A3 ( ít nhất 1 viên đạn). 2. B = A1 + A2 + A3 = A1.A2.A3. 3. C = A1.A2.A3. 4. D = A1.A2.A3 + A1.A2.A3 + A1.A2.A3.
16. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Khái niệm về xác suất Xác suất của biến cố A là một con số , số đó đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố A trong phép thử tương ứng. Ký hiệu là P(A) Nhận xét • P (A) càng lớn ( càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A càng nhiều. • P (A) càng nhỏ ( càng gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít.
17. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả 1 năng, nghĩa là P(ω ) = P(ω ) = = P(ω ) = , trong đó có m 1 2 n n biến cố thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của A, ký hiệu, P (A), m là tỉ số . n card(A) m Số biến cố thuận lợi cho A P (A) = = = card(Ω) n Số tất cả các biến cố có thể
18. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ví dụ Trong một hộp có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ giống hệt nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để được 1. 3 quả cầu đỏ. 2. 2 quả cầu trắng và 1 quả đỏ.
19. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Bài giải Tổng số quả cầu trong hộp là 8. Mỗi cách lấy ra 3 quả cầu ứng với việc chọn một tổ hợp chập 3 từ 8 phần tử. Do đó có tất cả các 3 biến cố sơ cấp đồng khả năng là card(Ω) = C8 . 1. Đặt A = " được 3 quả cầu đỏ". 3 card(A) C5 10 Xác suất xảy ra biến cố A là : P (A) = = 3 = . card(Ω) C8 56 2. Đặt B = " được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đỏ". 2 quả cầu trắng có thể chọn từ 3 quả cầu trắng trong hộp 2 theo C3 cách. 1 1 quả cầu đỏ có thể chọn từ 5 quả cầu đỏ trong hộp theo C5 cách. 2 1 Theo quy tắc nhân card(B) = C3 .C5 . 2 1 card(B) C3 .C5 15 P (B) = = 3 = . card(Ω) C8 56
20. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm : tính được chính xác giá trị của xác suất mà không cần tiến hành phép thử. • Nhược điểm: do đòi hỏi phải có hữu hạn các biến cố và tính đồng khả năng của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phép thử không có tính chất đó. Vì vậy, cần đưa ra định nghĩa khác về xác suất để khắc phục những hạn chế trên.
21. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê‘ Thực hiện phép thử n lần. Giả sử biến cố A xuất hiện m lần. Khi đó m gọi là tần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử, và tỷ số m được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử,ký n m hiệu, f (A) = . n n Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n → ∞) tần suất xuất hiện biến cố A dần về một số xác định gọi là xác suất của biến cố A. m P (A) = f (A) = n n
22. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ví dụ Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền, người ta tiến hành tung đồng tiền đó nhiều lần và thu được kết quả sau: Người làm Số lần tung Số lần nhận Tần suất m
    thí nghiệm n mặt sấp m n Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Bảng trên cho thấy, khi số lần tung càng lớn thì tần suất xuất hiện m 1 mặt sấp n càng gần 2 .
23. • Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra trong phép thử. • Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy ra trong phép thử.
24. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi. • Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra trong phép thử. • Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy ra trong phép thử.
25. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học Ω có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A ⊂ Ω được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A được xác định bởi: Độ đo của miền A P(A) = Độ đo của miền Ω Ví dụ Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình vuông cạnh a. Tính xác suất để M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông trên.
26. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Bài giải Gọi A ="điểm M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông". a
    2 Shình tròn π 2 π P(A) = = 2 = Shình vuông a 4
27. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Tính chất của xác suất 1. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B). 2. P A
    = 1 − P (A). 3. P (Ø) = 0. 4. 0 ≤ P (A) ≤ 1.
28. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Công thức cộng xác suất 1. Cho các biến cố tùy ý: 1.1 A, B tùy ý ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B) 1.2 A1, A2, , An: n ! n X X X P Ai = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + ··· + i=1 i=1 1≤i<j≤n n−1 + (−1) P (A1.A2 An) 2. Cho các biến cố xung khắc 2.1 A, B xung khắc ta có P (A + B) = P (A) + P (B) 2.2 A1, A2, , An xung khắc từng đôi một (Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j) n ! n X X P Ai = P (Ai ) i=1 i=1
29. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Ví dụ Qua điều tra trong sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ, 55% học thêm tin học và 30% học thêm cả hai môn này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất gặp được 1. Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học). 2. Sinh viên không học thêm môn nào cả. Bài giải A="gặp được sinh viên học thêm ngoại ngữ", B="gặp được sinh viên học thêm tin học". Khi đó A ∩ B="gặp được sinh viên học thêm cả hai môn ngoại ngữ và tin học", và P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, P(A ∩ B) = 0.3.
30. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Bài giải (tt) 1. Xác suất gặp được sinh viên học thêm ( ngoại ngữ hay tin học) là P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0.4+0.55−0.3 = 0.65. 2. Xác suất gặp được sinh viên không học thêm môn nào cả là P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.65 = 0.35.
31. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Xác suất có điều kiện Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là P (AB) P (A|B) = ; P (B) > 0 (1) P (B) Tính chất xác suất có điều kiện • 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 • P(B|B) = 1 • Nếu AC = Ø thì P[(A + C)|B] = P(A|B) + P(C|B) • P(A¯|B) = 1 − P(A|B)
32. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố Công thức nhân xác suất Với các biến cố tùy ý A và B ta có P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) Công thức nhân xác suất (tổng quát) Cho Ai , (i = 1, , n) là họ n biến cố khi đó P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An−1)
33. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố Hai biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(AB) = P(A)P(B) n biến cố độc lập Các biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập với nhau nếu chúng thỏa P(Ai Aj ) =P(Ai )P(Aj ) P(Ai Aj Ak ) =P(Ai )P(Aj )P(Ak ) P(A1A2 An) =P(A1)P(A2) P(An) với mọi tổ hợp chập 2 (i, j), chập ba (i, j, k), của n chỉ số.
34. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Cho Ai , (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cố nào đó thì P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(B|An) n X = P(Ai )P(B|Ai ) i=1 Công thức xác suất Bayes Cho Ai , (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cố nào đó sao cho P(B) > 0.Khi đó với mọi i (i = 1, , n) P(Ai )P(B|Ai ) P(Ai )P(B|Ai ) P(Ai |B) = = Pn P(B) i=1 P(Ai )P(B|Ai )
35. Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Ví dụ Ví dụ Một công ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I và II. Biết rằng nhà máy II sản xuất gấp 4 lần nhà máy I. Biết số phế phẩm tương ứng của hai nhà máy là 10 % và 20 %. • Hãy tìm xác suất để khi ta mua 1 bóng đèn thì trúng phải bóng đèn hư. • Biết rằng đã mua phải bóng đèn hư. Hãy tìm xác suất để bóng hư này là do nhà máy I sản xuất