Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân

87 trang Đức Chiến 05/01/2024 800

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_1_chuong_2_dao_ham_va_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 2: Đạo hàm và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint
I. Đạo hàm Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f()() x0 x f x 0 f( x0 ) lim x 0 x f' () x 0 được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 .
Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f( x ) cos x tại điểm x0 ' f()() x0 x f x 0 f( x0 ) lim x 0 x cos(x x ) cos x lim 0 0 x 0 x x x sin x0  sin 2 2 lim x 0 x 2 sin(x0 )
Ví dụ 2 1 xsin , x 0 Tìm f ' (0) , biết f() x x 0,x 0 f(0 x ) f (0) f ' (0) lim x 0 x x 2 sin 1/ x 0 lim x 0 x 1 (bị chặn x vô cùng bé) lim x  sin 0 x 0 x
Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f()() x0 x f x 0 f ( x0 ) lim x 0 x ' f () x0 được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f()() x0 x f x 0 f ( x0 ) lim x 0 x ' f () x0 được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 .
Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) f()() x x f x Nếu lim 0 0 , thì ta nói hàm x 0 x có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .
Ví dụ e1/ x , x 0 '' f() x Tìm f (0); f (0), biết 0,x 0 1/ x ' f(0 x ) f (0) e 0 f (0) lim lim x 0 x x 0 x f(0 x ) f (0) 1/ x f ' (0) lim e 0 lim 0 x 0 x x 0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ Tìm f' () x , biết f( x ) x2 3| x | 2 x2 3 x 2, x 0 2x 3, x 0 f() x ' 2 f() x x 3 x 2, x 0 2x 3, x 0 '' Tại điểm x = 0: f (0) 3; f (0) 3 Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
Ví dụ '' f( x ) sin 2 x Tìm f (0); f (0), biết f(0 x ) f (0) sin 2 x f ' (0) lim lim 2 x 0 x x 0 x f(0 x ) f (0) sin 2 x f ' (0) lim lim 2 x 0 x x 0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ sin x ,x 0 Tìm f' () x , biết f() x x 1,x 0 xcos x sin x ' ,x 0 f() x x2 ?, x 0 0, sin x 1 ' f(0 x ) f (0) f (0) lim lim x x 0 x x 0 x sin x x lim 0 x 0 x 2
Ví dụ 1 arctan ,x 0 '' x Tìm f (0); f (0), biết f() x ,x 0 2 1 arctan ' x 2 f (0) lim x 0 x 1 arctan ' x 2 f (0) lim 1 x 0 x
Đạo hàm hàm hợp 1. a ' 0 ' 1 ' ' 1 2. u u  u 2. x x ' ' 3. eu e u  u' 3. ex e x ' ' ' 4. sinu cos u  u 4. sinx cos x ' ' ' 5. cosu sin u  u 5. cosx sin x ' ' u ' 1 6. lnu 6. ln x u x ' ' u ' 1 7. tanu 7. tan x 2 2 cos u cos x ' ' 1 ' u 8. cot x 8. cotu sin2 x sin2 u
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic ' 1 1. arcsin x 5. sinhx ' cosh x 1 x2 ' 1 ' 2. arccos x 6. coshx sinh x 1 x2 ' 1 ' 1 3. arctan x 7. tanh x 2 1 x2 cosh x ' 1 ' 1 4. arccot x 8. coth x 1 x2 sinh2 x
Công thức tính đạo hàm Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp. ' '' 1. u ' u' 2. u v u v ' '' ' '' u u v u  v 3. u v u  v u  v 5. v v2 4. uvw '    uvwuvwuvw''' Đạo hàm của hàm hợp f fuuux( ), ( ) fx''' ( ) fuux ( )  ( )
Đạo hàm của hàm ngược. Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y). Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và ' 1 g() y0 ' f() x0 1 x' () y y' () x
Ví dụ Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f() x x x3 f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f'( x ) 1 3 x 2 0,  x dx 1 1 dy y'( x ) 1 3 x 2 Ví dụ ey e y Tìm y' () x , biết x sinh y 2 x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x' ( y ) 1/ cosh y 0,  y ' dy 1 1 1 y() x ' dx x() y 1 sinh2y 1 x 2
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. x x() t Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số: y y() t Giả sử hàm x x() t có hàm ngược t t() x Khi đó y y( t ) y ( t ( x )) là hàm y theo biến x. dy y''()() t dt y t y' () t y' () x y' () x dx x''()() t dt x t x' () t
Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x a cos3 t , y b  sin 3 t , t (0, / 2). x'( t ) 3 a cos 2 t sin t 0,  t (0, / 2) y'( t ) 3 b sin 2 t cos t y' () t 3b sin2 t cos t b y' () x tant x' () t 3a cos2 t sin t a
Đạo hàm của hàm ẩn. Hàm y = y(x) với x (,) a b cho ẩn bởi phương trình F( x , y ) 0 nếu F( x , y ( x )) 0 với x (,) a b . Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x là biến, y là hàm theo x. Ví dụ Tìm y' () x , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e2x y x 3 cos y 3x2 2 e 2x y e2x y 2 y ' ( x ) 3 x 2 y ' ( x )  sin y y' () x e2x y sin y
Ví dụ ex Tìm f' () x , biết f( x ) ln3 ; x (2 n 1), n Z 1 cos x 1 1x 1 y ln ex ln(1 cos x ) ln(1 cos x ) 3 3 3 3 1 1 sin x y'  3 3 1 cos x 1 1 sin x y'  3 3 1 cos x
Ví dụ 1 x2 Tìm f' () x , biết f(), x ; x n n Z 3 x4sin 7 x 4 lnf ln(1 x2 ) ln x 7lnsin x 3 f' 2 x 4 cos x Đạo hàm hai vế 7 f1 x2 3 x sin x 1 x2 2 x 4 cos x y'  7 2 3 x4sin 7 x 1 x 3x sin x
Ví dụ Tìm f' () x , biết f( x ) (2 x 1)sin x lnf ln(2 x 1)sin x sin x  ln(2 x 1) f' 2sin x Đạo hàm hai vế cosx  ln(2 x 1) f2 x 1 2sin x f' fcos x  ln(2 x 1) 2x 1 2sin x (2x 1)sin x cos x  ln(2 x 1) 2x 1 Có thể sử dụng: f() x esinx ln(2 x 1)
Định nghĩa (đạo hàm cấp cao) Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số. Có thể lấy đạo hàm một lần nữa của đạo hàm cấp một, ta được khái niệm đạo hàm cấp hai. ' f''()() x f ' x Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n. ' f(n )()() x f ( n 1) x
Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao) Giả sử y f  g Dùng qui nạp ta chứng minh được n ()n k()() k n k f g  Cn f  g k 0 ()n 0(0) ()n 1(1) (1) n n () n (0) fg  CfgCfgn  n   Cfg n  Trong đó qui ước: f(0) f;. g (0) g
Phương pháp tính đạo hàm cấp cao. 1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết 2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”. 3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là hàm đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử dụng công thức Leibnitz 4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)
Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp ()n 1) x a  ( 1) ( n 1) x a n ()n 1 n 1 ( 1)n ! x a ()x a n 1 ()n 2) eax a n  e ax ()n (n 1)! 3) lnx ( 1)n 1  xn ()n 4) sin(ax ) an  sin( ax n ) 2 ()n 5) cos(ax ) an  cos( ax n ) 2
()n Chú ý: ax b ( 1) ( n 1) ax b n  an ()n (n 1)! ln(ax b ) ( 1)n 1   an ()ax b n ()n sin(ax b ) an  sin( ax b n ) 2 ()n cos(ax b ) an  cos( ax b n ) 2 100 (100) 2 Ví dụ. ln(2x 3) ( 1)99 99! (2x 3)100
Ví dụ 1 Tính y()n () x , biết y x2 4 1 1 1 1 y (x 2)( x 2) 4 x 2 x 2 ()n 1 n 1 Sử dụng công thức ( 1)n ! x a ()x a n 1 n ()n ( 1)n ! 1 1 y  n 1 n 1 4 (x 2) ( x 2)
Ví dụ 1 Tính y(100) (0) , biết y x2 4 1 1 1 1 y (x 2 i )( x 2 i ) 4 i x 2 i x 2 i ()n 1 n 1 Sử dụng công thức ( 1)n ! x a ()x a n 1 n ()n ( 1)n ! 1 1 y  n 1 n 1 4i (x 2 i ) ( x 2 i ) ( 1)100 100! 1 1 100! (100) y  101 101 100 4i ( 2i ) (2 i ) 4 2
Ví dụ Tính y()n ( x ), biết y sin 2 x 1 cos2x 1 cos2 x y 2 2 2 1 y()n( x ) 2 n cos(2 x n ) 2 2 y(n )( x ) 2 n 1 cos(2 x n ) 2
Ví dụ Tính y(100) (1) , biết y (3 x2 1)ln x f( x ) 3 x2 1; g ( x ) ln x y f  g (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) ()fg Cfg100  Cfg 100  Cfg 100  3 (3) (97) 100 (100) (0) C100 f  g  C 100 f  g ()k Vì f 0,  k 2, nên (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) ()fg Cfg100  Cfg 100  Cfg 100  0
()n (n 1)! Sử dụng lnx ( 1)n 1  , ta có xn (100) 99! (99) 98! lnx ( 1)99  lnx ( 1)98  x100 x99 (98) 97! lnx ( 1)97  x98 (100) 2 99! 98! 97! (y ) 1  3 x 1 100 100  6 x  99 4950  6  98 x x x (y )(100) (1) 4  99! 600  98! 29700  97! 9708 97!
Ví dụ Tính y(100) () x , biết y (2 x 3)  cos2 x f 2 x 3; g cos2 x (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) ()fg C100 f  g C 100 f  g C 100 f  g  (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) ()fg C100 f  g C 100 f  g 0 100 100 99 99 (2x 3)  2 cos 2 x 200.2 cos 2 x 2 2 (2x 3)  2100 cos2 x 200.2 99 sin 2 x
Ví dụ Tính y(100)(0); y (101) (0) , biết y arctan x 1 y' (1 x2 ) y ' ( x ) 1 f (1 x2 ); g y ' ( x ) 1 x2 0 (0) (1)n 1 (1) (2) n 2 (2) (3) n Cn 1 f g C n 1 f  g C n 1 f  g  0 (1 x2 )  y (n ) 2( n 1) x  y ( n 1) ( n 1)( n 2) y ( n 2) 0 y(n )(0) ( n 1)( n 2) y ( n 2) (0) Vì y'' (0) 0 nên y(100) (0) 0. Vì y' (0) 1 nên y(101) (0) 100!
Ví dụ Tính y(100)(0); y (101) (0) , biết y arctan x 1 1 1 1 y' 2 1 x 2i x i x i n 1 ()n ( 1) (n 1)! 1 1 y n n 2i ()()x i x i 99 (100) ( 1) .99! 1 1 y (0) 100 100 0 2i ()() i i 100 (101) ( 1) .100! 1 1 100! 1 1 y (0) 101 101 100! 2i ()() i i 2 i i i
II. Vi phân Định nghĩa (khả vi) Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0, nếu f()()() x0 x f x 0 A  x x Khi đó A x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0, ký hiệu df() x0 A  x
Định lý ' Hàm số y = f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f( x0 ). a) Nếu f khả vi tại x0. Khi đó: f()()() x0 x f x 0 A  x x f()() x x f x () x 0 0 A x x ' f()() x0 x f x 0 () x f( x0 ) lim lim AA x 0 x x 0 x ' f()() x0 x f x 0 b) Ngược lại nếu tồn tại f( x0 ) lim x 0 x f()() x0 x f x 0 ' f( x ) 0 Suy ra f(x) khả vi tại x0. x 0
' Vi phân của hàm f(x) tại x0: df()() x0 f x 0 dx Tính chất của vi phân 1) d 0, R 2) d f  df , R Tất cả các tính chất này đều 3) d f g df dg suy ra trực tiếp từ tính chất của 4) d f g gdf fdg đạo hàm. f gdf fdg 5) d g g2
f x0 x f x 0 f x0 x df(x0) f() x0 x0 x0 x (x ) 0 thì f f()()() x0 x f x 0 df x 0
Vi phân của hàm hợp. y y() u y y( u ( x )) u u() x dy y'() x dx y''()() u  u x dx y'() u du dy y'() x dx dy y'() u du Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ thuộc biến độc lập x hay biến hàm u. Vi phân cấp một có tính bất biến.
Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số x x() t y'() t dy y'() x dx dx y y() t x'() t Vi phân của hàm ẩn y y() x là hàm ẩn xác định từ pt F( x , y ) 0. dy y'() x dx
Ứng dụng vi phân cấp một tính gần đúng y y() x là hàm khả vi trong lân cận của x0. ' f x0 x f()()() x 0 f x 0 x x ' f x f()() x0 f x 0 x x 0 f df Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1. ' f x f()() x0 f x 0 x x 0 Thay vì tính giá trị f phức tạp, tính df đơn giản hơn.
Ví dụ Cho f( x ) x3 x. 2 2 x 1 a) Tính f và df , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01. b) Tính f và df , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05. a) f (2) 23 2 2 2.2 1 9 f (2.01) 2.01 3 2.01 2 2. 2.01 1 9.140701 f f()() x0 x f x 0 f(2.01) f (2) 0.140701 ' 2 df f() x0 x x 0 3.2 2.2 2 0.01 0.14 b) Tương tự. f 0.717625 df 0.7 Khi x thay đổi nhỏ, f và df càng gần nhau.
Ví dụ a) Tìm vi phân cấp 1 tại x0 1 của f x 3 . b) Sử dụng a), tính gần đúng 3.98 . ' 1 1 1 1 f() x df dx df(1) dx ( x 1) 2x 3 2x 3 4 4 1 f( x ) f (1) x 1 khi x gần x 1 4 0 1 3.98 3 0.98 f (1) (0.98 1) 1.995 4 x Nếu dùng máy tính: 3.98 1.99499373
Giá trị gần Giá trị chính xác đúng của 3.98 ' y y(1) f (1) x 1 3.98 Trong ví dụ này, tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số nên giá trị gần đúng luôn lớn hơn giá trị chính xác.
Ví dụ Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với sai số không quá 0.05cm. Hỏi sai số lớn nhất của thể tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao nhiêu? r 21, r 0.05 4 Thể tích hình cầu là: V r3 3 Sai số lớn nhất của thể tích là V dV 2 V V'() r r 4 21 0.05 277 (cm3 )
Vi phân cấp cao df()() x f' x dx là một hàm theo biến x. Vi phân (nếu có) của df(x) được gọi là vi phân cấp hai của hàm y = f(x). d2 f() x d df d f'() x dx dxd f'() x ' dx f'() x dx f''() x dxdx f''() x dx 2 Tương tự, vi phân cấp n là vi phân (nếu có) của vi phân cấp n – 1: dn f()() x f() n x dx n
f f() u Vi phân cấp cao của hàm hợp u u() x Vi phân cấp một có tính bất biến: df f''()() x dx f u du Vi phân cấp hai d2 f d df d f '() u du Chú ý: dx là hằng số, du không là hằng số: du u'() x dx d2 f d f '(u) du f '( u) d() du ' f' ()( u u) du du f' () u d 2u d2 f f ''()() u du 2 f ' u d 2 u hoặc d2 f f ''() x dx 2 Vi phân cấp 2 không còn tính bất biến.
III. Các định lý về giá trị trung bình Nêu lên mối liên hệ giữa hàm y = f(x) và đạo hàm f' () x . Định lý Fermat Hàm y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và đạt ' ' cực trị tại đó. Nếu tồn tại đạo hàm f () x 0 , thì f( x0 ) 0. Định lý Rolle Cho hàm y = f(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] c a,: b 2) Khả vi trong khoảng (a,b) f' ( c ) 0 3) f (a) = f(b) 
III. Các định lý về giá trị trung bình Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] c a,: b f()() b f a 2) Khả vi trong khoảng (a,b)  f' () c b a Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] c a,: b 2) Khả vi trong khoảng (a,b) f()()() b f a f' c  g()() b a g' () c 3) g( x ) 0,  x a , b
Ví dụ Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm f() x ( x 1)( x 2)( x 3) Hàm f() x khả vi trên đoạn [1,3] và bằng 0 tại các điểm x = 1, x= 2, x = 3. Trên hai đoạn [1,2] và [2,3] đối với hàm f(x) thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý Rolle. Tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1,3) tại đó f' ( x ) 0 . 1 1 f'( x ) 3 x 2 12 x 11 0 c 2 ; c 2 13 2 3 c1 [1,2]; c 2 [2,3]
Ví dụ. Xác định giá trị trung gian c trong đlý Lagrange 3 x2 , 0 x 1 2 đối với hàm f() x trên đoạn [0,2]. 1 , 1 x x Khảo sát tính khả vi tại x = 1. Dùng định nghĩa tìm được '' f (1) 1 f (1) Vậy f(x) khả vi, liên tục trên đoạn [0,2]. Theo đlý Lagrange ' 2c , 0 c 1 f(2) f (0) f ( c ) 2 0 ,0 c 2 1 2 2/c , 1 c 2 '' 1 f() x x ,0 x 1,() f x 2 ,1 x  2 x c 1/ 2 c 2
Ví dụ. Giả sử f(0) 3,(  x ) f' ( x ) 5 . Hỏi giá trị lớn nhất của f(2) có thể là bao nhiêu? Trên đoạn [0,2], hàm khả vi và liên tục. Áp dụng đlý Lagrange, ta có: f(2) f (0) f' ( c ) 2 0 2f' ( c ) f(2) f (0) 2 f' ( c ) f (2) 3 2  5 7.
Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức arctana arctan b a b Hàm f( x ) arctan x liên tục và khả vi trên đoạn [a,b]. Theo định lý Lagrange, tồn tại một hằng số c  a, b f()()() b f a f' c b a 1 f()() b f a b a 1 c2 arctana arctan b a b
IV. Công thức Taylor, Maclaurint Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0. Mục đích. Tìm một đa thức bậc n, sao cho: ()()k k 1) f( x0 ) Pn ( x 0 );  k 1, , n f ( x 0 ) P n ( x 0 ) 2) Pn () x là xấp xĩ tốt nhất cho hàm f(x) trong lân cận n của x0 ( tức là f()() x Pn x là VCB bậc cao hơn ()x x0 )
IV. Công thức Taylor, Maclaurint Định nghĩa Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0. n ()k f() x0 k Đa thức Pn ()() x f x0  x x 0 gọi là đa thức k 1 k! Taylor của hàm f(x) trong lân cận của x0 Chú ý: Với một hàm có đạo hàm đến cấp n cho trước ta luôn tính được đa thức Taylor. Trong định lý sau ta thấy Pn(x) là xấp xĩ (tốt nhất) cho hàm y = f(x) (khác nhau một đại lượng là VCB bậc n + 1).
IV. Công thức Taylor, Maclaurint Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trong lân cận điểm x0 . Công thức Taylor của f(x) đến cấp n tại x0 là: ' '' f()() x f x 2 f( x) f() x 0 x x 0 x x  01! 0 2! 0 ()n (n 1) f() x n f () 0 x x ()x x n 1 n! 0 (n 1)! 0  là số nằm giữa x và x0 Phần dư thứ n: Rn () x n ()k f() x0 k fxfx()()() 0  xx 0 RxPxRxn n n k 1 k!
Định lý Trong định nghĩa của công thức Taylor, ta có: R() x x x n n 0 Từ công thức Taylor, ta có: Rn x f()() x P n x ()()k k f( x0 ) Pn ( x 0 ),  k 1, , n f ( x 0 ) P n ( x 0 ) '()n Rn( x0 ) R n ( x 0 )  R n ( x 0 ) 0 Sử dụng qui tắc Lopital n lần, ta được: '()n Rn()()() x R n x R n x limn lim n 1  lim 0 x x0 x x 0 x x 0 n! x x0 n x x 0 R() x x x n n 0
Phần dư ghi ở dạng Peano n Phần dư là một vô cùng bé bậc cao hơn x x0 Khi không quan tâm đến phần dư, sử dụng dạng Peano R x x x n n 0 Phần dư ghi ở dạng Lagrange Khi cần đánh giá phần dư, sử dụng dạng Lagrange: (n 1) f  n 1 R x x x , x  x  x  x n (n 1)! 0 0 0 Khai triển Taylor tại x0 = 0 gọi là khai triển Maclaurint.
Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp x2 x 3 xn 1) ex 1 x  ( x n ) 2! 3!n ! x2 x 3 xn 2) ln(1 x ) x  ( 1)n 1 ( x n ) 2 3 n x3 x 5 x 2n 1 3) sinx x  ( 1)n ( x2 n 2 ) 3! 5! (2n 1)! x2 x 4 x 2n 4) cosx 1  ( 1)n ( x2 n 1 ) 2! 4! (2n )!
Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp x3 x 5 x 2n 1 5) sinhx x  ( x2n 2 ) 3! 5! 2n 1 ! x2 x 4 x 2n 6) coshx 1  ( x2n 1 ) 2! 4! 2n ! 1 1  (n 1) 7) 1 x 1 x x2  xn ( x n ) 2!n ! x3 x 5 x 2n 1 8) arctanx x  ( 1)n ( x2 n 2 ) 3 5 2n 1
Có thể dùng phương pháp sau để nhớ các khai triển ln(1 x ),arctan x ,arcsin x ,arccos x , dx 2 3n 1 n 1 n 1 ln(1 x ) 1 x x x  ( 1) x ( x ) dx 1 x x2 x 3 xn ln(1 x ) x  ( 1)n 1 ( x n ) 2 3 n dx 2 4n 1 2 n 2 2 n 2 arctan x 1 x x  ( 1) x ( x ) dx 1 x2 x3 x 5 x 2n 1 arctanx x  ( 1)n 1 ( x 2 n 1 ) 3 5 2n 1
x2 x 2 x 3 P()1;()1 x x P x x ;()1 P x x ; 1 22! 3 2! 3! P() x P2 () x 3 P2 () x P1() x P3() x
Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint 1) Xấp xỉ hàm y = f(x) bởi một đa thức bậc n. 2) Tìm đạo hàm cấp cao của y = f(x) tại điểm x0. 3) Tìm giới hạn của hàm số. 4) Tính gần đúng với độ chính xác cho trước.
1 1 x x2 x 3  ( 1)n x n x n 1 x 1 1 x x2 x 3  xn x n 1 x Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm 1 f() x x2 5 x 6 1 1 1 1 1 1 1 f() x   x 2 x 3 2 x 3 x 2 1 x / 2 3 1 x /3 2 3 2 3 1 x x x3 1 x x x 3 1 (x ) 1 ( x ) 2 2 4 8 3 3 9 27 1 5x 19 x2 65 x 3 f() x x3 6 36 216 1296
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm 2 f() x e2x x 22 2 3 2 2x x 2 x x f( x ) e2x x 1 2 x x 2 2! 3! 4 5 2x x2 2 x x 2 ()x5 4! 5! Khai triển, rút gọn, sắp xếp các số hạng theo bậc tăng dần: 2 5 1 f( x ) 1 2 x x2 x 3 x 4 x 5 ( x 5 ) 3 6 15
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm x f() x ex 1 x f() x Chia tử và x2 x 3 x 4 x 5 1 x ( x5 ) 1 mẫu cho x 2! 3! 2! 2! 1 f ()x xx2 x 3x 4 1 ()x4 2! 3! 4! 5! chú ý: t  0 1 1 t t2 t 3 t 4 ( t 4 ) 1 t x x2 x 4 f( x ) 1 ( x4 ) 2 12 720
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm 1 x x2 f() x 1 x x2 Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được: 2 1 2x 2 x 1 f() x 1 2x 2 x2  1 x3 1 x3 1 2x 2 x2  1 x 3 ( x 4 ) f( x ) 1 2 x 2 x2 2 x 4 ( x 4 )
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm 2x 1 f() x x 1 Đổi biến, đặt: X x 2 x X 2 2 X 2 1 2X 3 f X 2 1 1 X 2XXXXX 3 1 2 3 ( 3 ) f 3 X X2 X 3 ( X 3 ) f 3 x 2 x 2 2 x 2 3 x 2 3
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm x 1 f() x x2 5 x 6 Đổi biến, đặt: X x 1 x X 1 X X f 2 XX 1 5 1 6 XX2 3 2 1 1 1 1 1 X X 1 XX 2 1 XX 2 1 / 2 2 2 21 XX 2 f X 1 X X X 1 X 2 2 4 1 32 7 3 3 f() x x -1+ x -1+ x -1 x 1 2 4 8
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 1 đến cấp 3 của hàm f( x ) ln(2 3 x ) Đổi biến, đặt: X x 1 x X 1 3X f ln 2 3 X 1 ln 5 3X ln 5 1 5 2 3 3X 3XXX 1 3 1 3 ln5 ln 1 ln5 X 3 5 5 2 5 3 5 Đổi lại biến x, sắp xếp theo thứ tự tăng dần của bậc 3 92 9 3 3 f( x ) ln(5) x -1 - x -1 x -1 x -1 5 50 125
tanx sin x Ví dụ. Tính giới hạn I lim x 0 x3 3 x3 x 3 sin x x x4 tan x x x 3! 3 3 3 x3 x 3 tanx sin x x ( x ) x ( x ) 3 3! x3 tanx sin x ( x3 ) 2 3 x 3 ()x 3 tanx sin x 2 1 (x ) 1 I lim 3 lim 3 lim 0 x 0 x x 0 x 2 x 0 x3 2
ln 1 x3 2sin x 2 x cos x 2 Ví dụ. Tính giới hạn I lim x 0 x3 x3 ln(1 x3 ) x 3 ( x 3 ) sin x x x4 3! x2 cosx 1 x3 2! 3 4 3 3 x 4 x 5 x ( x ) 2 x x 2 x 1 x 3! 2! I lim x 0 x3 3 4x 3 ()x 3 3 4 (x ) 4 lim lim 3 0 x 0 x3 3 x 0 x 3
1 2tan x ex x2 Ví dụ. Tính giới hạn I lim x 0 arcsinx sin x x3 x3 sin x x x4 arcsin x x x3 3! 6 x3 x2 x 3 tan x x x3 ex 1 x ( x3 ) 3 2! 3! 2 3 2 3 x5 x3 x x 3 2 1 x ( x ) 1 x ( x ) x 2 6 2! 3! I lim x 0 3 3 x3 x 4 x x x x 6 3! 2x3 /3 ( x 3 ) 2 I lim x 0 x3/3 ( x 3 ) 3
x3 ln x 1 x2 x Ví dụ. Tính giới hạn I lim 3 x 0 x tanh x sinh x x3 tanh x x x4 coshx 3 ' 1 x2 lnx 1 x2 1 x3 2 1 x 2 x3 lnx 1 x2 x x 4 6 x x3/ 6 ( x 4 ) x x 3 /3 1 I lim x 0 x x x3/3 ( x 4 ) 18
Ví dụ. Tính gần đúng A cos 0.2 với độ chính xác 10 7 . Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x là f (2n 2)  R( x ) x2n 2 ,0  x n 2n 2 ! cos x ( n 1) 1 2n 2 R() x x2n 2  0.2 n 2n 2 ! 2n 2 ! 1 1 7 1 Tìm n để Rn  10 n 2 (2n 2)!52n 2 10000000 x2 x 4 (0.2)2 (0.2) 4 cosx 1 cos(0.2) 1 =0.9800666667 2! 4! 2! 4!
I. Tìm đạo hàm cấp n 1) (x 1)2x 1 lnn 1 2 2 x 1 ((ln 2)(x 1) n ) 3 x n n n 2) x ln (n 2)!((3 n x )(3 x ) ( 1) (3 n x )(3 x ) ) 3 x n n n 3) x ln x2 3 x 2 ( 1) (n 2)!(( x n )( x 1) ( x 2 n )( x 2) ) 2 2 n 3 2 2 n n 2 ((4x 4 x n n )cos 2 x 2 n 2 x 1 sin 2 x 4) (x x )cos x 2 2 2 5) 3 2x e2 3x ( 3)n 2 36x 2 12(9 2 n ) x 81 32 n 4 n 2 e 2 3 x
I. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n 2 x x 3 e 5 5 1) ,n 3 3 3x x2 x 3 ( x 3 ) e2x 2 3 2 3x 13 652 793 3 3 2) ln ,n 3 ln(2/ 3) x x x ( x ) 3 2x 6 72 648 3 52 3 3 17 4 4 2 ln 2 x x x x ( x ) 3) ln x 3 x 2 , n 4 2 8 8 64 5 9 2x x3 x 5 ( x 5 ) 4) (1-x )ln(1 x ) - (1 x )ln(1- x ), n 5 3 10 x 4 2 13 53 187 5) x x2 x 3 () x 3 x2 5 x 6 3 18 108 648
2 5 5 7 17 x 5 x 5 x x2 x 3 () x 3 6) ,n 3 2 4 8 16 x2 x 2 9 27 x x3 x 5 () x 5 7) x cosh3 x , n 5 2 8 4 x 1 2 4 4 8) ,n 4 1 x 2 x ( x ) x2 1 13 3 5 5 2 x x x () x 9) ln x x 1 , n 5 6 40 13 121 x x3 x 5 () x 5 10) sinhx cosh 2 x , n 5 6 120 31 5 5 2 x x x () x 11) x cosh x , n 5 3
10 12) 4x x3 sinh 2 x , n 4 8x2 x 4 ( x 4 ) 3 1 2 2 7 2 13) ,n 8 x4 x 8 () x 8 x2 2 2 - x 2 4 128 8192 1 1 x x3 x 4 x 6 x 7 x 9 ( x 9 ) 14) ,n 9 x2 x 1 1 1 11 1 x x2 x 3 x 4 ( x 4 ) 15) excos x , n 4 2 3 24 1 1 x x4 x 5 ( x 5 ) 16) ,n 5 1 x x2 x 3 1 1 5 1 1 x2 x2 x 4 x 6 () x 6 17) ,n 6 4 8 64 1 1 x2
I. Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n 1) (x2 1) e 2x , x 1, n 3 e 2 2 x 1 3 x 1 2 2 x 1 3 (( x 1) 3 ) 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2) ln 2x 1 , x 1/ 2, n 3 ln 2 x x x x 2 2 2 3 2 2 2x 1 1 13 1 4 4 3) lnx , x 1, n 4 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x -1 2 12 10 2 3 1 1 x 3 x 2 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 3 4) ,x 1, n 3 2 4 18 x 1 2 2 21 4 4 x 2 x 1 e 1 x 1 x 1 x 1 5) e , x 1, n 4 2
1 52 7 3 6) ln(2 x x2 ), x 1, n 3 ln 2 x 1 x 1 x 1 (( x 1)3 ) 2 8 24 2x 4 10 282 82 3 3 7) ,x 2, n 3 x 2 x 2 x 2 x 2 1 x2 3 9 27 81 1 12 3 4 4 1 x 1 x 1 x 1 8) ,x 1, n 4 2 8 2x - x2 2 3 2 4 4 1 1 x x 2 2  ln 2  x x 9) 2 ,x 1/ 2, n 3 2 2 x 2 13 2 5 5 10) ,x 2, n 5 x 2 x 2 x 2 x 1 3 x2 4 x 5 3 9
I. Tính giới hạn x2 cosx 1 1 1) lim 2 x 0 x4 24 arctanx arcsin x 2) lim 1 x 0 tanx sin x 1 x cos x 1 2 x 3) lim 1 x 0 ln(1 x ) x 1 x x 1 1 4) lim x 0 x2 earctan x ln(1 x ) 1 2 5) lim x 0 2 4 x3
I. Tính giới hạn esin x ln(1 x ) 1 6) lim 1 x 0 arcsinx sin x xetanx sin 2 x x 3 7) lim x 0 x x3 tan x 4 x2 ex ln(1 x 2 ) arcsin x 3 8) lim 6 x 0 xsin x x2 1 2x3 cos x 4 9) lim 3 x 0 tan x x ex/(1 x ) sinh x cos x 72 10) lim x 0 61 x 6 1 x 2 5
cosh 2x (1 3 x ) 1/3 x 28 11) lim x 0 x2 / 2 ln(1 tan x ) arcsin x 3 esinx 1 x 2 arcsin x 1 12) lim x 0 sinh(x x2 ) ln 1 2 x 7 sin arctanx tan x 13) lim 5 x 0 esinhx (1 2 x ) 1/ 2 x 2 arcsin x xex 14) lim 1 x 0 x1 x2 tan x tanx ln( x 1 x2 ) 3 15) lim x 0 sinx x cos x 2
ex 1 2 x 2 x2 2 16) lim x 0 x tan x sin 2 x 5 ex x1 x 1 7 17) lim x 0 sinx cosh x sinh x 4 ex ln(1 sin x ) 1 1 18) lim x 0 3 8 x4 2 2 3 sin 1 x sin1 5 19) lim cos1 x 0 5 1 2x ln cos x 1 2 ecosx e3 1 4 x 2 5e 20) lim x 0 (1/x )arcsin 2 x 2cosh x2 8