Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7

1. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1/. Lí do chọn đề tài: Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết. Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặ00 c biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này. Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán. Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn. Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập. Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy. Đối với học sinh lớp 7, các em mới thật sự tiếp xúc với chương trình hình học cho nên khi đứng trước một bài tập hình, để có một hướng giải phù hợp cho việc tìm tòi ra lời giải thật sự là một việc quá khó. Thông thưòng đối với một bài toán chứng minh thì mệnh đề cần chứng minh đã được nêu rõ ràng trong kết luận của bài toán, học sinh chỉ phân tích, tìm tòi các mối liên quan giữa các dữ kiện của bài toán để suy luận đi từ giả thiết và những điều kiện đã biết để khẳng định kết luận. Đây là việc thật chẳng dễ dàng đối với học sinh. Còn đối với bài tính số đo góc, nó thuộc loại phải tìm tòi, cái giá trị cần tìm là chưa biết, chứng minh các dự đoán mới xác định được số đo cần tìm, cho nên loại này càng khó hơn đối với các em. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài: “phát triển tư duy của học sinh qua bài toán tính số đo góc Hình học 7”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu một hệ thống bài tập để học sinh phân loại được tốt các dạng bài tập. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại. 1
2. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” 2/. Mục đích nghiên cứu: Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi. Vì đây là đề tài khó nên trong kinh nghiệm này tôi chỉ trình bày một vài chương của môn Hình lớp 7, phần này thường chỉ xuất hiện trong các bài thi của kì thi học sinh giỏi Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh.Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới. 3/. Kết quả cần đạt: Các bài tập tính số đo góc trong bài tập Hình 7 đều là các bài toán khó, yêu cầu học sinh phải có sự tư duy trừu tượng cao, sự phân loại tốt các dạng toán. Vì vậy GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôi hướng đến 1/5 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh khá khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn. 4/. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học ở trường THCS nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các trường đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tượng chính là học sinh lớp 7 trường THCS với X học sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi rất ít nên việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của nhà trường. Chính đối tượng học sinh chiếm chủ yếu là học sinh trung bình và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề được nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học sinh. 2
3. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” PHẦN II : Gi¶I quyÕt vÊn ®Ò 1/. Cơ sở lí luận: Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập tính số đo góc của hình 7 rất khó và phức tạp vì các em chưa có nhiều kiến thức về môn hình. Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản. 2. Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu: Trường THCS Liên Sơn là một trường nhỏ không có lớp chọn. Phần lớn học sinh học khá và trung bình, kĩ năng cơ bản không có Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là trách nhiệm quan trọng của nhà trường. Các năm học này tôi được phân công dạy lớp 7 của trường. Mỗi lớp có 35 học sinh trong đó quá nửa là học sinh trung bình và khá . Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao chất lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học sinh ý thức của con người mới: sáng tạo và năng động. Được phân công dạy đội tuyển toán 7 trong những năm học (2006-2007, 2007-2008, 2008-2009) tôi đã lựa chọn cho một hướng đi cụ thể: từ đơn giản đến phức tạp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi của trường Sau đây là nội dung tôi trình bày: 3/. Giải pháp thực hiện: I. NHẬN XÉT CHUNG: - Hiện trạng khi chưa thực hiện đề tài: * Về học sinh: Một số em còn ngán ngại và sợ học môn hình học, trong giờ học chỉ chờ có bài giải mẫu để chép, ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, thường giải bài tập xong là xong, khi đưa bài toán “khai thác” thì ít học sinh làm được. * Đối với giáo viên cũng khó khăn như bài tập quá đa dạng, phong phú, nếu không có thời gian và phương pháp lựa chọn thích hợp thì dễ bị phiến diện, bài tập dễ quá hoặc khó quá, không đủ thời gian làm dễ gây cho học sinh tâm lý “sợ toán” chán nản và từ đó chỉ chú ý vào thủ thuât giải mà quên đi luyện phương thức tư duy. - Kết quả khi thực hiện đề tài : Học sinh yêu thích môn hình học, vẽ hình chuẩn hơn và chính xác hơn, thích suy nghĩ và tìm tòi lời giải hơn. Trong quá trình giải toán đưa ra bài tập tương tự bài đã làm, nhưng thay đổi cấu trúc bài toán thì học sinh làm tốt hơn. 3
4. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” - Những biện pháp tác động giáo dục : * Học sinh có kiến thức cơ bản tổng hợp. * Hướng dẫn học sinh “nhìn thấy” cấu trúc logic của bài toán, đặc biệt nhìn thấy sự “ tương đương” của các mệnh đề toán học. * Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm khác nhau. * Hướng dẫn học sinh “nhận ra” sự thống nhất về cấu trúc logic của bài toán có biểu tượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm khác nhau đó. - Những giải pháp khoa học tiến hành : * Rèn luyện kỹ năng vẽ hình. * Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết và kết luận. * Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, điểm phụ. * Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích để quy từ lạ về quen. PHẦN 1 NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT 1. Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng 1800 . Như vậy: a. Trong một tam giác , biết 2 góc thì tính được góc còn lại. b. Trong một tam giác cân, biết một góc thì tính được 2 góc kia . 2. Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn phụ nhau. Như vậy: a. Trong tam giác vuông, biết một góc nhọn thì tính được góc nhọn kia. b. Trong tam giác vuông cân mỗi góc nhọn bằng 450 . 3. Trong tam giác đều, mỗi góc luôn bằng 600 . 4. Nửa tam giác đều: Ta có thể hiểu “Nửa tam giác đều” là tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nủa cạnh huyền . Trong nửa tam giác đều các góc đối diện với cạnh góc vuông bé, cạnh góc vuông lớn và cạnh huyền theo thứ tự là 300; 600 và 900. 5. Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông. Hai tia phân giác của hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 450 4
5. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Thông thường khi gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc đó trong mối liên hệ với các góc của một trong các hình nêu trên để thông qua đó xác định số đo góc cần tìm hoặc nhiều khi phải chứng minh tam giác bằng nhau để từ đó rút ra các góc tương ứng bằng nhau . Nhưng trong thực tế khi giải toán, không phải lúc nào đề bài cũng cho sẳn những yếu tố như tam giác cân, tam giác đều, nửa tam giác đều để ta vận dụng. Như vậy vấn đề đặt ra là có cách nào để tạo ra một trong các hình đó một cách thích hợp để vận dụng. Nghĩ như vậy sẽ giúp ta có hướng vẽ thêm đường phụ thích hợp để tìm ra lời giải bài toán. PHẦN II CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI DẠNG I : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN “NỬA TAM GIÁC ĐỀU” BÀI TOÁN 1: Tính số đo các góc của D ABC biết đường A cao AH, trung tuyến AD chia góc BAC thành 3góc băng K nhau *Tìm tòi: sau khi vẽ hình tương đối chính xác . Ta thấy B H D VABC có dạng giống “nửa tam giác đều” từ đó gợi ý ta có C BD CD thể vận dụng điều này . Xét thấy HD = HB = = cần 2 2 làm xuất hiện đoạn thẳng bằng HD và tạo với CD thành một tam giác vuông, từ đó ta nghĩ đến việc kẻ DK ^ AC tại K. Lúc này chứng minh D CDK là nửa D đều và bài toán được giải quyết. Giải tóm tắt: Vẽ DK ^ AC tại k. Dễ thấy AH cũng là trung tuyến của D ABD Þ HD = 1/2 BD = 1/2 DC . D thuộc phân giác của góc HAC Þ DH = DK. 1 Þ DK = DC. 2 D CDK là nửa D đều Þ Cµ = 300 A Từ đó tính được: Aµ = 900 và Bµ= 600 D BÀI TOÁN 2: Cho D ABC có góc ACB = 300. Đường cao AH bằng nửa cạnh BC. D là trung ? điểm của AB. Tính góc BCD. B H C 5
6. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” 1 *Tìm tòi: Theo giả thiết AH = BC hay BC = 2 AH. 2 Ta tìm xem có đoạn nào cũng bằng 2 AH. Để ý đến giả thiết Cµ = 300 , ta thấy ngay D AHC là nửa D đều Þ AC = 2AH. Như vậy D ACB cân tại C. trung tuyến CD cũng là phân giác. Từ đó tính được B·CD . Giải tóm tắt: 1 Theo giả thiết: AH = BC Þ BC = 2 AH 2 D AHC là nửa D đều Þ AC = 2 AH Þ BC = AC Þ D ABC cân tại C, trung tuyến CD cũng là phân giác. Vậy B·CD = 150. BÀI TOÁN 3: Cho D ABC có góc C = 300 và BC = 2AB . A Tính các góc A,B H * Tìm tòi: Vẽ hình chính xác, ta dự đoán D ABC là nửa D đều. 3 0 B C Chứng minh được điều này là xong. Đã có Cµ = 30 0 nên nếu vẽ BH ^ AC tại K thì D HBC là nửa D đều, chỉ cần chứng minh Hº A là xong. Giải tóm tắt: 1 Hạ BC ^ AC tại HD HBC là nửa D đều , Cµ= 300 Þ BH = BC = AB 2 Như vậy: H º A vì nếu không thì D ABH cân tại B Þ H º A F µ 0 µ 0 A Vậy D ABC là nửa D đều Þ A = 90 ; B = 60 . E BÀI TOÁN 4: H Cho D ABC ở miền ngoài D vẽ các D đều ABE và ACF. Gọi H là trực tâm D ABE. I là trung điểm của BC. Tính các góc của D FIH. B I C *Tìm tòi: Nhìn hình vẽ ta dự đoán D FIH là nửa D đều từ đó ta nghĩ đến việc vẽ D đều cạnh K 6
7. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” FH. cũng từ đó ta nghĩ đến việc lấy K trên tia đối của tia IH sao cho: IK = IH. Như vậy chỉ cần chứng minh D FHK đều. Muốn vậy ta xét 2 D tương ứng chứa FH và FK. Chứng minh 2 D nàybằng nhau, ta giải quyết được bài toán . Giải tóm tắt: Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IK=IH. Nối KF dễ thấyD BHI=D CKI ( cgc) Þ CK = BH. Xét D HAF và D KCF có : AH = CK ( vì cùng bằng BH) AF = CF ( cạnh tam giác đều) Và chứng minh được H·AF = K·CF = Aµ+ 900 Þ D AHF = D KCF (cgc) Þ HF = KF (1) và A·FH = C·FK mà A·FH + H·FC = 600 Þ C·FK + H·FC = 600 hay H·FH , = 600 (2) (1) và (2) Þ D HFK đều Þ FI cũng là phân giác và là đường cao. $ 0 µ 0 µ 0 Vậy các góc của D FIH là : I = 90 ;H = 60 ;F = 30 B1 BÀI TOÁN 5: A Cho D nhọn ABC, ở miền ngoài D K C1 ta vẽ các D đều ACB1 và ABC1 . L I Gọi K và L, thứ tự là trung điểm của AC và CB , điểm M thuộc cạnh 1 1 N BC sao cho BM = 3MC . Tính các B M C góc của D KLM. *tìm tòi: Vẽ hình tương đối chính xác, ta thấy D KLM có dạng nửa D đều . ĐểP dễ xét ta vẽ D KLP với P là điểm trên tia đối của tia ML sao cho MP = ML và tìm cách chứng minh tam giác này đều . Về cạnh, ta có KL là một cạnh của D AKL trước hết ta xét KP và LP. Chúng không là cạnh của D nào tương ứng bằng D AKL cả. Ta tìm D chứa cạnh bằng cạnh LP mà D này có thể bằng D AKL. Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC. Như vậy cần chứng minh D AKL = D NIB1 và NB1 = LP. D KLP cân tại L chỉ cần chứng minh 1 góc 600. 7
8. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Xét D KLP . Muốn có K· LI + I·LM = 600 Cần chứng minh K· LI = M· LC, M· LC = M· PN Cần chứng minh D IKL = D NPL và thế là bài toán được giải quyết. * Giải tóm tắt: Gọi N là trung điểm của BC , gọi I là trung điểm AC. Ta có MN = NC. Trên tia đối của tia ML lấy điểm P sao cho MP = ML Þ D NMP = D CML (cgc) · · Þ MPN = MLC Þ NP // CB1 và NP = CL = LB1 Chứng minh: D NLP = D LNB1 (cgc) Þ LP = NB1 (1) · · Chứng minh : D AKL = D INB1 (cgc) ( Vì AK = IN, AL = IB1 , KAL = NIB1 ) Þ LK = NB1 (2) Từ (1) và (2) Þ LK = LP Þ D LKP cân tại L (3) Dễ thấy D AC1 C = D ABB1 (cgc) Þ CC1 = BB1 CC BB D IKL và NPL có IK = NL ( vì cùng bằng 1 = 1 ) 2 2 IL = NP ( cùng bằng LC) ; KL = LP (cmt) Þ D IKL = D NPL (ccc) Þ K· LI = M· LC mà M· LC + I·LM = 600 Þ K· LI + I·LM = 600 Þ K·LP = 600 (4) Từ (3) và (4) Þ D KLP đều Þ Trung tuyến KM cũng là đường cao. Vậy các góc của D KLM là : M¶ = 900;Lµ= 600;Kµ= 300 DẠNG II: TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN TAM GIÁC VUÔNG CÂN. BÀI TOÁN 1: Cho D ABC vuông cân đỉnh A. lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC, kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC B và K là điểm thuộc tia đối của tia HC sao cho HK = HC. kẻ tia Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính góc AIM. K *Tìm tòi: I H Theo hình vẽ ta nghĩ ngay đến AML vuông cân tại A. Chưa có A C thể chứng minh AM = AI được. Ta cần tìm đoạn thứ ba làm M trung gian. Trên tia đối của tia AB lấy L sao cho AL = AM. L 8
9. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Chỉ cần chứng minh AI = AL Giải tóm tắt: Trên tia đối của tia AB lấy điểm L sao cho AL = AM (1) Nối LC. D ABM = D ACL (cgc) Þ A·CL = A·BM mà A·CL + A·LC = 1v Þ A·BM + A·LC = 1v Þ BM ^ CL Þ LC // AH // IK , có CH = HK Þ AI = AL (2) Từ (1) và (2) Þ AM = AI Þ D AMI vuông cân tại A Vậy A·IM = 450 A BÀI TOÁN 2: Cho D ABC có góc B = 450; Góc C = 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2 CB. · Tính ADB . H *Tìm tòi: Với giả thiết cho ¶ 0 ¶ 0 C1 = 120 Þ C2 = 60 . 2 450 1 2 1 Khi có góc bằng 60 0, ta nghĩ đến việc vận dụng B C D nửa D đều ( hoặc D đều). Từ đó gợi ý cho ta hạ ¶ 0 ¶ ¶ DH ^ AC. Có ngay D1 = 30 . Chỉ cần tìm D2 , D2 là góc nhọn của D vuông Phải chăng D ADH vuông cân ? Muốn khẳng định điểu này , ta cần so sánh HA và HD. Dựa vào các góc đã biết, ta dễ dàng xác định được 2 D HAB và HBD cân tại H và cuối cùng HA = HD . Giải tóm tắt: Hạ DH ^ AC. D CHD là nửa tam giác đều cạnh CD Þ CD = 2 CH. Kết hợp với giả thiết CD = 2BC, ta có CH = CB. ¶ 0 · 0 ¶ 0 D BCH cân tại C, có C1 = 120 Þ HBC = 30 cũng có D1 = 30 Þ DBHD cân tại H Þ HD = HB (1) Dễ thấy A·BH = 150 mà B·AC = 1800 - (1200 + 450 ) hay B·AC = 150 Þ D ABH cân tại H Þ HB = HA (2) ¶ 0 Từ (1) và (2) Þ HD = HA Þ D AHD vuông cân tại H Þ D2 = 45 Vậy A·DB = 300 + 450 = 750 9
10. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 3: Cho D ABC , có Aµ = 900. AC = 3AB. Trên cạnh AC lấy 1 điểm D sao cho DA = 2 DC. Tính A·DB + A·CB x *tìm tòi: K F 1 Dễ tính tổng A·DB + A·CB , ta đặt A·Cx = 3 2 D¶ và tính góc BCx. Dựa vào hình vẽ ta dự E 1 A D C đoán góc BCx bằng 450, đó là góc nhọn của D vuông cân. Ta cần tìm D vuông cân chứa góc này. nghĩ vậy, từ trung điểm E của AD Vẽ B đường thẳng vuông góc AC cắt Cx tại F. lợi dụng D bằng nhau, chứng minh D BEC vuông cân là xong. Giải tóm tắt: Trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ AC có chứa B vẽ tia Cx sao cho A·Cx = A·DB . Từ trung điểm E của AD vẽ đường vuông góc với AC cắt Cx tại F, nối BF. Dễ AC thấy D FEC = D BAD (gcg) Þ EF = AB = 3 Hạ FK ^ AB chứng minh được D FKB = D FEC (cgc) µ µ µ µ µ µ 0 · 0 Þ FB = FC và F1 = F3 Þ F2 + F3 = F2 + F1 = 90 Þ BFC = 90 Vậy D BFC vuông cân tại F Þ B·CF = 450 vậy A·DB + A·CB = 450 BÀI TOÁN 4: E Cho D ABC, vẽ phía ngoài D dựng các D vuông cân đỉnh A. ADB và ACE. Gọi P, Q, M thứ tự là trung điểm của BD, CE và BC. Tính các góc của D PQM. D Tìm tòi: Trước hết ta nhận xét D PQM có thể vuông cân tại A M, từ đó ta nghĩ đến chứng minh MP = MQ (*). Thường Q trong bài toán có nhiều trung điểm ta nghĩ ngay đến việc P vận dụng đường trung bình tam giác dễ thấy dễ có (*) cần chứng minh BE = CD. đó chínhlà hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau ADC và ABE. Cuối cùng muốn có MP ^ MQ cần chứng minh CD ^ BE là xong. B M C Giải tóm tắt: Ta có D ABE = D ADC (cgc) Þ BE = CD. Gọi I là giao điểm của BE và DC. Dễ dàng chứng minh được I·DB + I·BD = 900 Þ BE ^ CD 1 1 Mà MP = DC; MQ = BE (theo t/c đường trung bình D ) 2 2 10
11. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Þ MP = MQ và MP ^ MQ Þ D PMQ vuông cân tại M. Vậy các góc của D PMQ lần lượt là Pµ= Qµ= 450; M¶ = 900 BÀI TOÁN 5: A Cho D ABC , biết các đường cao hạ từ A và B ,xuống các cạnh đối diện không nhỏ hơn các cạnh đối diện ấy . Hãy tính các góc của D ABC *Tìm tòi: Gọi 2 đường cao là AH và BK có AH ³ BC; BK ³ AC. Ta phải tính góc A ,B,C Xét vài trường K hợp hình vẽ, nếu một chiều cao lớn hơn cạnh tương ứng thì chiều cao kia bé hơn cạnh tương ứng từ đó ta nghĩ đến B H C trường hợp cả hai chiều cao đều bằng cạnh đối diện tương ứng của D vuông cân và đi chứng minh D ABC vuông cân tại C. Giải tóm tắt: Có AH ³ BC ( giả thiết) Lại có BC ³ BK ( tính chất đường xiên) Þ AH ³ BC ³ BK (1) Tương tự : BK ³ AC ³ AH (2) Từ (1) và (2) Þ AH ³ BC ³ BK ³ AC ³ AH Þ AH = BC = BK = AC Þ D ABC vuông cân tại C . Vậy Aµ= Bµ= 450;Cµ= 900 BÀI TOÁN 6 : Cho D ABC đường cao AH, đường phân giác BD và K góc AHD = 450. Tính góc ADB. A 3 2 *Tìm tòi: Vẽ hình tương đối chính xác, ta dự 1 D 0 2 đoán góc ADB = 45 , từ đó nghĩ đến việc tạo ra tam 1 giác vuông cân bằng cách hạ BK ^ AC. Ta cần 1 chứng minh D KBD vuông cân tại K. Để ý tính chất: 3 Trong D đường phân giác trong của một góc và hai B H C phân giác ngoài của hai góc còn lại đồng qui ta có µ ¶ A1 = A2 lợi dụng góc ngoài của D và góc có cạnh tương ứng vuông góc ta sẽ chứng minh được ¶ · D1 = KDB Giải tóm tắt: Vẽ BK ^ AC tại K. Xét D ABH có BD là phân giác trong. HD là phân µ ¶ giác ngoài đỉnh H Þ AD là phân giác ngoài đỉnh A Þ A1 = A2 µ · ¶ · ¶ ¶ µ Mà A1 = KBH Þ A2 = KBH . Trong D ABD góc ngoài A2 = D1 + B1 11
12. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Þ D¶ = A¶ - Bµ 1 2 1 ¶ · µ · ¶ · Þ D1 = KBH - B1 = KBH - B3 = KBD Vậy D KBD vuông cân tại K và do đó A·DB = 450 DẠNG III : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN RA TAM GIÁC ĐỀU BÀI TOÁN 1: Cho D ABC vuông ở A , có góc B = 750. Trên tia đối của tia AB H lấy điểm H sao cho BH = 2 AC. Tính góc BHC . *Tìm tòi: Từ giả thiết BH = 2 AC. Muốn vận dụng giả thiết này ta gọi E là trung điểm của BH và BE=EH=AC. Có BC là cạnh của D ABC E D có Cµ=150 và để ý 750 -150 = 600 ta nghĩ đến việc dựng D đều BDC. Lúc này có ngay D ABC =D EBD (cgc)Þ Eµ = 1V A và D·HB = D·BH = 150 . chứng minh D·HB = D·HC Gi¶i tóm tắt:Gọi E là trung điểm của BH. Dựng D đều B C BDC (D và A thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC) D EDB = ¶ · · 0 · 0 D ABC (cgc)Þ E1 = 1V Þ D BDH cân tại D Þ DHB = DBH = 15 và HDB = 150 ¶ ¶ 0 · 0 D HDB = D HDC (cgc) Þ H2 = H1 = 15 . Vậy BHC = 30 BÀI TOÁN 2: A Cho D ABC cân tại A. Có góc A = 40 0. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho góc CBx = 100. Trên Bx lấy điểm E sao cho BE = BA. Tính góc BEC . D *Tìm tòi: Ta thấy góc BEC là một góc của D BCE. Ta cần tìm D bằng D này. Để ý C·BE = 100 và A·BC = 0 0 0 70 = 10 + 60 . Ta vẽ D đều BDC lúc này AD là trung B C trực của BC cũng chính là phân giác của B·AC Þ B·AD = x 200. Chỉ cần chứng minh C·EB = B·AD nhờ 2 D bằng E nhau. Giải tóm tắt: Vẽ D đều BDC ( D và A ở cùng nửa mp bờ BC) . Chứng minh được D CEB=D DAB (cgc) Þ B·EC = B·AD. Dễ thấy AD là trung trực của BC nên trongD ABC, AD cũng là phân giácÞ B·AD =200. Vậy B·EC = 200. 12
13. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 3: B Cho D ABC vuông cân ở A. Điểm E nằm trong D sao cho E·AC = E·CA = 150. Tính A·EB . *tìm tòi: Có E·AC = 150 Þ E·AB = 750 , để ý 750 = 150 + 600 nên vẽ D đều ADE . Chỉ cần tìm D·EB . Muốn D vậy ta chứng minh D·EB = D·AB nhờ hai tam bằng nhau. Giải tóm tắt: E Vẽ tam giác đều AED ( D và B ở trên cùng nửa mp bờ A C AE) . ta có D ADB = D AEC (cgc) Þ D ADB cân tại D Þ D·AB = D· BA = 150 Þ A·DB = 1500 E·DB = 3600 - (1500 + 600) = 1500, D ADB = D EDB (cgc) Þ D·AB = D·EB = 150 Vậy A·EB = 750 BÀI TOÁN 4: A ChoD cân ABC có góc ở đỉnh A bằng 20 0.Các điểm M,N theo thứ tự trên AB. AC sao cho B·CM = 500; C·BN = 600. Tính góc BNM. *Tìm tòi: Đề bài cho có C·BN = 600, ta tìm cách vận dụng D đều. P N 1 Để thực hiện ý đồ đó, ta lấy điểm P trên AB sao cho M B·CP = 600 và có 2 D BQC, D NQP đều. Từ hình vẽ, Q 1 ta dự đoán góc MNB băng 300. Nghĩ vậy ta chứng minh NM là phân giác của góc BNP. Từ đó tính được góc BNM. 2 1 1 Giải tóm tắt: Qua N vẽ đường thẳng song song B C BC cắt AB ở P. Gọi Q là giao điểm của PC và BN Chứng minh được D BCQ và PNQ đều. Trong D MBC có Bµ = 800, Cµ= 500 Þ M¶ = 500 ¶ 0 Þ D BMC cân tại B Þ BM = BQ ( cùng bằng BC) Þ D MBQ cân tại B, có góc B2 = 20 Þ B·QM = 800 . M· QP = 1800 - ( 800 + 600) = 400 Þ D PMQ cân tại M ( vì M· QP = M· PQ = 400 ) Þ MP = MQ Theo chứng minh NP = NQ Þ MN là trung trực của PQ nên MN cũng chính là phân giác của góc PNQ. Vậy M· NB = 300 13
14. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 5: A Cho D ABC cân tại A , có Aµ= 20 0 trên cạnh AB lấy điểm · D sao cho AD = BC . Tính ACD 1 2 Tìm tòi: Cần tìm A·CD . A·CD thuộc D ACD có Aµ = 200 và 1 cạnh bằng AC ta cần tìm D bằng D nói trên . Để ý D Bµ = 800 và 800 - 600 = 200 ta nghĩ đến việc vẽ D đều BCE ( E và A ở cùng phía đối với BC ) Nối AE lúc này D ACD =D µ BAE (c.g.c ) .Chỉ cần tính A1 Giải tóm tắt : E ? µ Vẽ D đều BCE ( E và A ở cùng nửa mp bờ BC ). Có B1 = 0 ¶ µ 20 Dễ thấy :D ACD= D BAE (cgc ) => C? = A1 1 B C µ ¶ 0 · 0 D ABE = D AE (cgc ) => A1 = A2 = 10 . Vậy ACD = 10 BÀI TOÁN 6: Cho D cân ABC ( AB =AC ) có Aµ= 800. Gọi D là E điểm ở trong D sao cho: D·BC =100 , D·CB =300 . Tính góc BAD. A *Tìm tòi :D ABC cân tại A , Aµ= 800 => Bµ=Cµ=500. Dự đoán D ABD cân tại B nên ta nghĩ đến việc chứng minh BA = BD. Để ý 60 0 - 500 = 100, để tạo ra D bằngD BCD ta vẽ D đều BEC và như vậy D chỉ cần chứng minh D BCD = D BEA là xong. ? Giải tóm tắt: Vẽ D đều BEC ( E và A ở cùng 10 30 nửa mp bờ BC) do AB = AC và EB = EC Þ AE là B C đường trung trực của đoạn BC. Tam giác BEC đều nên trung trực EA cũng là phân giác Þ A·EB = 300 và A dễ dàng chứng minh được D BCD = ABEA (cgc) Þ BA = BD Þ D ABD cân tại B, có Bµ= 400 . 50 Vậy B·DC = 700 1 2 BÀI TOÁN 7: E Cho D ABD và D CBD ( A và C thuộc 2 nửa mặt 3 0 60 phẳng đối nhau bờ BD) Biết góc BAC = 50 , góc B D 2 0 1 30 14 C
15. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” ABD = 600, góc CBD = 200, góc CDB = 300. Tính góc DAC và góc ADB. *tìm tòi: Nhận xét trong 2 góc DAC và góc ADB chỉ cần tính một góc thì sẽ suy ra được góc kia. D BCD có Bµ = 200, Dµ = 300 nên lấy E sao cho E·BD= 200, E·DB = 300 ta sẽ có D BED= D BCD vàD CDE đều dễ dàng tính được góc C 1 nên chỉ cần chứng minh D ACE cân sẽ được tính góc A1 .Từ đó tính được A2. Giải tóm tắt: Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa A lấy điểm E sao cho E·BD = 200, E·DB = 300. Nối EA. EC. D ECD cân có góc 600 nên là tam giác đều. Dễ dàng tính được B·CE = 700 , B·CA = 500 Þ ¶ 0 C1 = 20 ¶ µ 0 · 0 D ABE = D CBE (cgc) Þ EA = EC và C1 = A1 = 20 Þ AEC = 140 · 0 0 0 0 ¶ ¶ 0 D AED cân tại E có AED = 360 -(140 +60 ) = 160 Þ A2 = D3 = 10 Vậy D·AC = 200 + 100 = 300 Và A·DB = 300 + 100= 400 DẠNG IV : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN TAM GIÁC CÂN BIẾT MỘT GÓC BÀI TOÁN 1: Cho D ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I . Tính các góc của D DIE. A *Tìm tòi: 60 Theo đề ta dễ dàng tìm được góc B·IC =1200. Theo hình D E vẽ ta dự đoán D DIE cân tại I, nên để tìm 2 góc còn lại I 3 4 ta cần chứng minh dự đoán này. Muốn vậy ta so sánh ID 1 2 và IE với đoạn thứ ba. Để lợi dụng D bằng nhau ta vẽ 1 1 phân giác IK của D BIC và giải quyết được bài toán. B K C Giải tóm tắt: Bµ+ Cµ 1800 - Aµ D· IE = B·IC = 1800 - = 1800 - = 1200 2 2 µ µ µ µ 0 Vẽ phân giác IK của D BIC ta sẽ có : I1 = I2 = I3 = I4 = 60 Þ D BIE = D BIK (gcg) Þ IE = IK 15
16. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” chứng minh tương tự có : ID = IK Þ IE = ID Þ $ 0 D ADI cân tại I, có I = 120 A µ µ 0 Þ E = D = 30 D E BÀI TOÁN 2: I 3 4 1 2 D ABC có góc B = 600, góc C = 300. Lấy D trên 0 cạnh AC, E trên cạnh AB sao cho góc ABD = 20 , K góc ACE = 100. Gọi I là giao điểm của BD và CE. C Tính các góc của D IDE . B *Tìm tòi: Dễ thấy E·ID = B·IC = 1800 - (400 + 200 ) = 1200 . Dự đoán ID = IE. Ta cần tìm đoạn trung gian. Để xuất hiện D bằng nhau, ta vẽ 3 phân giác của D IBC cắt nhau ở K cần chứng minh: ID = IE = IK là xong. Giải tóm tắt: Trong D IBC, tính được Bµ = 400, Cµ= 200. Þ E·ID = B·IC = 1800 - (400 + 200 ) = 1200 µ µ µ µ 0 Vẽ 3 phân giác của D BIC cắt nhau ở K. Tính được I1 = I2 = I3 = I4 = 60 D BIE = D BIK (gcg) Þ IE = IK. Chứng minh tương tự có : ID = IK. Þ IE = ID Þ D DIE cân tại I. Vậy các góc của D IDE là : $I = 1200;Dµ= Eµ= 300 C ? BÀI TOÁN 3: E 3 M 0 0 F Cho D ABC có góc A = 50 , góc B = 20 . Trên 1 2 I đường phân giác BE của D lấy trung điểm F sao 10 30 10 · 0 20 cho FAB = 20 . Gọi I là trung điểm của AE. EI A K B cắt AB tại K. Tính góc KCB. *Tìm tòi: Vẽ chính xác ta nghĩ ngay đến D CBK cân tại B. chứng minh dự đoán này ta giải quyết được bài toán. Giải tóm tắt: Gọi M là giao điểm của CK và BE .Chứng minh được E·AF = E·FA = 300 ¶ ¶ ¶ 0 Þ D AEF cân tại E Þ trung tuyến IE cũng là phân giác. Như vậy E1 = E2 = E3 = 60 D CEB = D KEB (gcg) Þ BC = BK Þ D BCK cân tại B, có Bµ= 200 Þ B·CK = 800 16
17. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 4: D D ABC cân tại A, có Aµ= 1000 . Điểm M nằm trong D sao cho M· BC = 100 ; M· CB = 200 . Tính góc A AMB. *Tìm tòi: Với ý tưởng tìm góc bằng góc AMB và có thể tính ? M 20 được số đo của no. Trên tia CA lấy D sao cho : CD 30 10 20 = CB. D BCD cân tại C, biết A·CB = 400 Þ biết B C góc ADB. Như vậy chỉ cần chứng minh góc AMB bằng góc ADB là xong. Giải tóm tắt: Trên tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB. D BCD cân tại C, có A·CB = 400 Þ C·DB = 700 Chứng minh được D MCB = D MCD (cgc) Þ MB = MD và C·DM = C·BM = 100 M· DB = 700 - 100 = 600 Þ D MBD đều Chứng minh D ABM = D ABD (cgc) Þ A·MB = A·DB = 700 BÀI TOÁN 5: A Cho D ABC cân tại A có góc A = 800, I là một điểm thuộc miền trong D ABC sao cho : I·BC = 100 ,I·CB = 200 . Tính góc AIB N *Tìm tòi: J I O Rõ ràng không thể tính ngay số đo góc AIB, K 10 20 ta nghĩ đến việc tìm một D cân chứa góc B H C này và tìm cách xác định số đo một góc nào đó của tam giác đó. Kẻ đường cao AH của D ABC cắt BI tại O và dự đoán D AOI cân tại A. Nghĩ vậy kẻ đường cao AK của D AOI cắt đường thẳng CI tại J và chứng minh AK là đường trung trực của đoạn OI. Giải tóm tắt: Kẻ đường cao AH của D ABC cắt BI tại O. Kẻ đường cao AK của D AOI cắt đường thẳng CI tại J. Đường cao AH của D ABC cũng là trung trực của BC Þ OB = OC Þ D BOC cân tại O Þ O·CB = 100 D AOC có O·AC = O·CA = 400 nên cân tại O Þ OA = OC (1) Lại có H·AK = I·BC = 100 ( cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) 17
18. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Xét D AJC tính được J·AC = J·CA = 300 nên là D cân tại J Þ JA = JC (2) Từ (1) và (2) Þ OJ là trung trực của AC, cũng chính là phân giác của góc AOC. Trong D cân AOC tính được A·OC = 1000 Þ J·OC = 500 Góc IOC là góc ngoài của D OBC Þ I·OC = 100 + 100 = 200 Tính được J·OI = 500 - 200 = 300 (3) Góc JIO là góc ngoài của D IOC Þ J·IO = 200 + 100 = 300 (4) Từ (3) và (4) Þ D OJI cân tại J Þ JK cũng là trung trực của OI. Do điểm A Î JK Þ AO = AI Þ D AOI cân tại A Trong đó A·OI = A·OC - I·OC = 1000 - 200 = 800 . Vậy A· IB = 800 BÀI TOÁN 6: Trong D cân ABC có góc ở đỉnh C bằng 100 0, C x ta kẻ tia Ax tạo với AB một góc 30 0, tia này cắt 1 tia phân giác của góc B ở M. Tính góc ACM 1 I *Tìm tòi: M Góc ACB = 1000 nên nếu biết góc BCM ta cũng 30 20 suy ra được góc ACM. Góc BCM ở trong D A B BCM đã biết góc C·BM = 200 nên cần chứng minh D này cân. Ta cần tìm 2 tam giác bằng nhau tương ứng chứa BC và BM. Nghĩ vậy ta vẽ đường phân giác của góc CBM cắt Ax tại I. Ta cần chứng minh D BIC = D BIM để giải quyết bài toán. Giải tóm tắt: Vẽ phân giác góc CBM cắt Ax tại I. Chứng minh được D AIB cân tại IÞ IA = IB Lại có CA = CB (gt) Þ CI là trung trực của AB , ¶ 0 D ACB cân tại C nên trung trực CI cũng là phân giác của góc ACB Þ C1 = 50 ¶ ¶ 0 0 0 M1 là góc ngoài của D AMB nên M1 = 30 + 20 = 50 µ ¶ 0 · · 0 0 0 0 D BIC = D BIM ( IB chung; B1 = B2 = 10 , BIM = BIC =180 – ( 10 + 50 ) = 120 ) Þ BC = BM Þ D BCM cân tại B Lại có C·BM = 200 Þ M· CB = 800 . Vậy A·CM = A·CB- M· CB = 1000 - 800 = 200 18
19. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 7: E µ 0 Cho D ABC, có A = 80 , AB < AC. Trên AC lấy M một điểm D sao cho CD = AB. Qua các trung điểm K 1 của AD và N của BC ta kẻ đường thẳng cắt AB kéo A K dài tại M. Tính góc BMN . D *Tìm tòi: Bài toán cho có nhiều trung điểm đoạn thẳng nên ta 1 D nghĩ đến việc vận dụng đường trung bình . Từ B N C suy nghĩ này trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao ¶ µ cho AE = DC. Lúc này KN là đường trung bình D CBE Þ MN// BE Þ M1 = B1 . Tính góc B1 ở trong D ABE là xong. Giải tóm tắt: Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho ¶ µ AE = DC. Dễ thấy KN là đường trung bình D CBE Þ MN// BE Þ M1 = B1 D ABE có AB = AE ( vì cùng bằng DC) nên là D cân tại A µ 0 0 0 µ 0 ¶ 0 Ta có A = 180 - 80 = 100 Þ B1 = 40 . Vậy M1 = 40 DẠNG V : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA CÁC MỐI LIÊN HỆ KHÁC GIỮA CÁC GÓC BÀI TOÁN 1: Cho D AOB vuông cân ở O. Qua A vẽ đường thẳng A M C vuông góc với OA, qua B vẽ đường thẳng vuông góc với OB, hai đường thẳng này cắt nhau ở C, từ điểm M trên K đoạn AC vẽ đường thẳng cắt đoạn BC ở N sao cho A·MD = O·MN . Tính góc MON . *Tìm tòi: N Vẽ hình chính xác ta dự đoán M· ON = 450. Để ý tính chất 1 phân giác của 2 góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 2 3 450 , ta tìm 2 góc kề phụ đó. Với suy nghĩ này gợi ý ta kẻ 4 O ¶ ¶ ¶ ¶ B OK^ MN và cần chứng minh: góc O1 = O2;O3 = O4 Giải tóm tắt: ¶ ¶ Hạ OK ^ MN tại K. Có D AOM = D KOM Þ O1 = O2 Þ OK = OA = OB. ¶ ¶ Có D KON = D BON Þ O3 = O4 , OM và ON là phân giác của 2 góc kề phụ . Vậy M· ON = 450 19
20. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 2: Cho D ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. x Qua C vẽ tia Cx song song với tia AB (Tia Cx B và tia AB cùng thuộc nửa mp bờ AC). Trên tia M 1 Ox lấy điểm K sao cho: CK = AB. Gọi M là H 1 2 trung điểm của BH. Tính góc AMK. N K *Tìm tòi: 1 Theo hình vẽ ta dự đoán góc A·MK = 900 . Từ 1 A C giả thiết CK//AB và CK = AB , để vận dụng 2 giả thiết này ta nghĩ đến việc vẽ đường trung bình MN của D ABH. Lúc đó MN// CK và MN= CK .Dễ thấy MK// NC. Như vậy chỉ cần chứng minh CN ^ AM. Giải tóm tắt: Vẽ đường trung bình MN của D ABM 1 MN//AB và MN= AB 2 ¶ ¶ Þ MN// CK và MN=CK D MNC = D CMK (cgc) Þ C1 = M1 Þ MK// NC Trong D AMC ta có AH ^ MC và MN ^ AC ( vì MN// AB và AC ^ AB) Nên N chính là giao điểm 3 đường cao Þ CN ^ AM. Vậy A·MK = 900 BÀI TOÁN 3: Cho D nhọn ABC có 2 đường cao AD và CE cắt nhau tại H, các phân giác của góc BAD và góc BCE cắt nhau tại O. A Tính góc AOC E *Tìm tòi: 0 Dự đoán góc AOC bằng 90 , AO đã là phân giác của góc M H 1 BAD. Gọi M, N thứ tự là giao điểm của OC với AB và O AD, ta nghĩ đến việc chứng minh D AMN cân tại A. N 1 2 Giải tóm tắt: C D B Gọi M,N thứ tự là giao điểm của OC với AB và AD E·CB E·CB M¶ = 1v- ; N¶ = N¶ = 1v- Þ M¶ = N¶ Þ D AMN cân tại A Þ Phân giác AO cũng là 1 2 1 2 2 1 1 đường cao . Vậy A·OC = 900 20
21. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 4: A Cho D ABC có Bµ > Cµ. Phân giác ngoài cùa góc A hợp với BC một góc 300.Tính Bµ- Cµ 1 2 Tìm tòi: Đề bài cho phân giác ngoài của góc A và góc 30 1 120 1 0 DAB bằng 30 để cho dễ xét ta nghĩ đến việc D B D1 C vẽ phân giác trong AD của D ABC. Từ đó tính được góc B, góc C và từ đó suy ra Bµ- Cµ. Giải tóm tắt: · 0 · 0 Vẽ phân giác trong của A cắt BC tại D1 . Tính được AD1C = 120 Þ AD1B = 60 · 0 µ 0 µ AD1C = 120 là góc ngoài D ACD1 Nên B1 = 120 - A1 · 0 ¶ 0 ¶ µ ¶ µ ¶ 0 Lại có BD1A = 60 là góc ngoài D ACD1 nên C1 = 60 - A2 mà A1 = A2 Þ B1 - C1 = 60 BÀI TOÁN 5: Tính các góc của tam giác cân biết rằng phân giác A ứng với đáy bằng nửa phân giác ứng với cạnh bên. 1 2 (D ABC cân tại A. AD và BE là phân giác AD E 1 µ µ µ F = BE. Tính A,B,C ). 1 2 1 2 1 *Tìm tòi: B D C 1 Để vận dụng giả thiết AD = BE. Đã có D là trung 2 điểm của BC. Gợi cho ta vẽ đường trung bình DF của D BCE. Lúc này tam giác ADF cân. Lợi dụng liên hệ giữa các góc ta sẽ tìm được các góc A,B,C Giải tóm tắt: Vẽ đường trung bình DF của D BCE ta có D ADF cân tại D. µ ¶ µ µ ¶ ¶ Đặt B1 = B2 = a Ta có B = C = 2a,D1 = B2 = a µ ¶ µ µ µ µ µ A1 = A2 = F1 = 2a + a = 3a Þ A = 6a . Trong D ABC: A + B + C = 6a + 2a + 2a = 10a 10a = 1800 Þ a = 180 . Vậy Aµ= 1080;Bµ= Cµ= 360 21
22. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” BÀI TOÁN 6: A Cho D ABC có AB Cµ Hai D AGD và AGE có AG chung. GD = GE (1) Aµ Bµ µA Cµ Lại có : A·GD = + ( Vì là góc ngoài của D AGB ) và A·GE = + ( Vì là góc ngoài của 2 2 2 2 D AGC ) Þ A·GD > A·GE (2) Từ (1) va (2) Þ AD > AE Trên đoạn AD lấy điểm F sao cho AF = AE ¶ µ Ta có D AGE = D AGF (ccc) Þ E1 = F1 (3) và GE = GF = GD ¶ µ Þ D DGF cân tại G Þ D1 = F1 (4) ¶ ¶ Từ (3) và (4) Suy ra D1 = E1 Bµ Cµ Bµ+ Cµ 1800 - Aµ hay Aµ+ = Bµ+ Þ Aµ= = Þ 2Aµ= 1800 - AµÞ Aµ= 600 2 2 2 2 Vậy B·AC = 600 BÀI TOÁN 7: Cho D nhọn ABC, về phia ngoài D dựng các D đều ABD, BCE,ACF. Gọi I,K,L thứ tự là tâm 3 D đều này. Tính các góc của D IKL. 22
23. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” *Tìm tòi: F Dự đoán rằng D IKL đều . Để phân tích, giả sử ta có điều này. Vẽ AH, BP,CQ theo thứ tự vuông A góc xuống IL,IK,KL ta thấy chúng đồng qui tại D L 1 O. I 2 H 3 Dự đoán IL, IK, KL thứ tự là trung trực của OA, 4 O OB,OC. Từ đó gợi ý cho ta vẽ thêm để tìm lời P Q B giải. C 12 3 4 Hạ AH ^ IL. Trên tia đối của tia AH lấy O sao K K1 cho HO = AH. Dễ thấy IB = IO, suy ra I thuộc trung trực của BO.Vẽ trung trực IP củaD cân BIO. Sẽ có H· IP = 600 E Tương tự vẽ trung trực LQ của D cân CLO cũng có H·LQ = 600 Gọi K1 là giao điểm của IP và LQ. Suy ra được D ILK1 đều. Cuối cùng chỉ cần chứng minh K1 º K là xong. Giải tóm tắt: Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IL tại H, trên tia đối của tia HA lấy điểm O sao cho HO = AH Nối OI, OL, ta co : IO = IB ( cùng bằng IA)và LO = LC ( cùng bằng LA) Vẽ trung trực IP của D cân OIB và trung trực LQ của D cân OLC. Hai trung trực này cắt nhau tại K1 µ µµ µ Xét các góc đỉnh I có I1 = I2;I3 = I4 · 0 · 0 Và do AIB = 120 nên dễ chứng minh được LIK1 = 60 (1) · 0 Xét các góc đỉnh L, cũng chứng minh được ILK1 = 60 (2) · 0 Từ (1) và (2) Þ D ILK1 đều Þ IK1L = 60 Xét các góc đỉnh K1 có ¶ · ¶ · · ¶ 0 · 0 K11 = K12;K13 = K14 mà K12 + K13 = 60 Þ BK1C = 120 · · 0 Trong tam giác cân CK1BÞ CBK1 = BCK1 = 30 Þ BK1 và CK1 là phân giác của D đều BCE .Þ K1 cũng chính là trọng tâm của D BCE Þ K1 º K Vậy D IKL là D đều do đó các góc cần tìm là $I = Kµ= Lµ= 600 4/. Kết quả thực hiện: 23
24. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Trong suốt quá trình ôn thi HS lớp 7 tôi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập trong hệ thống bài tập trong chuyên đề “phát triển tư duy của học sinh qua bài tập tính số đo góc hình học 7” học sinh tự tin hơn với các bài toán khó, với bài toán phức tạp, với những bài toán có ít sự liên hệ các yếu tố với nhau. Ngay cả việc vẽ hình học sinh cũng có kĩ năng tốt hơn, nhanh và chính xác hơn. Các em đã tự tin hơn, không còn sợ những bài toán lạ, phức tạp, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm. Kết quả khả quan hơn cả là chuyên đề này giúp học sinh yêu toán hơn, các em đã có ý thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển sách “Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số và Hình 7- của tác giả Vũ Dương Thụy và Nguyễn Ngọc Đạm” “Toán bồi dưỡng của tác giả Vũ Hữu Bình” Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở trên lớp, nhiều lần đạt điểm tuyệt đối. Thaønh tích caùc em hoïc sinh ñaït hoïc sinh Gioûi caùc caáp ñaät keát quaû khaû quan, tieán boä qua töøng naêm hoïc . Keát quaû ñaït Xeáp thöù Naêm hoïc Soá löôïng HS ñi thi ñöôïc (toaøn huyeän) 2006-2007 12 5 7 2007-2008 16 7 4 2008-2009 21 11 2 PhÇn iii: kÕt luËn vµ ý kiÕn cña tæ chuyªn m«n vµ ®ång nghiÖpI. 1). BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM: Qua vieäc vaän duïng nhöõng kinh nghieäm treân vaøo coâng taùc giaûng daïy vaø keát quaû ñaït ñöôïc, toâi ruùt ra moät soá baøi hoïc kinh nghieäm nhö sau: Moät laø: Ñieàu ñaàu tieân, baûn thaân giaùo vieân phaûi taâm huyeát, traên trôû vôùi baøi daïy, tìm hieåu kieán thöùc, tìm ra phöông phaùp vaø hình thöùc phuø hôïp trong giaûng daïy taïo ra moâi tröôøng giuùp hoïc sinh höùng thuù, tích cöïc, chuû ñoäng tìm toøi kieán thöùc. Hai laø: Trong quaù trình giaûng daïy, ngöôøi giaùo vieân ngoaøi naêng löïc, khaû naêng sö phaïm coøn caàn phaûi tích luyõ, ruùt kinh nghieäm duø raát nhoû. Phaûi tìm toøi hoïc taäp kinh nghieäm ôû saùch baùo, taøi lieäu tham khaûo vaø chính trong quaù trình giaûng daïy treân lôùp cuûa baûn thaân sau moãi tieát daïy. Ba laø: Töø caùch aùp duïng caùc kinh nghieäm treân vaøo giaûng daïy höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi taäp Hình, ñaõ phaùt huy ñöôïc ôû caùc em oùc tö duy linh hoaït vaø saùng taïo, tìm toøi. Vaø ñieàu quan troïng laø ñaõ gaây ñöôïc cho caùc em söï höùng thuù yeâu thích ham hoïc hôn. 24
25. “Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7” Boán laø: Boài döôõng cho hoïc sinh bieát caùch tö duy hình hoïc, ñöùng tröôùc moät baøi toaùn phaûi bieát phaân tích ñaàu baøi, keát hôïp vôùi veõ yeáu toá phuï thích hôïp ñeå tìm ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc döõ kieän cuûa giaû thieát, töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc höôùng giaûi quyeát vaø töø moät daïng toaùn ñaõ laøm coù theå môû roäng ñöôïc ra caùc daïng toaùn khaùc. Do khuoân khoå vaø trình ñoä coù haïn, mong raèng nhöõng kinh nghieäm giaûng daïy ñuùc keát ñöôïc qua ñeà taøi naøy phaàn naøo thaùo gôõ nhöõng khoù khaên trong coâng taùc boài döôõng hoïc sinh Gioûi ôû tröôøng THCS. Kính mong ñoàng nghieäp: boå sung, goùp yù ñeå ñeà taøi tieáp tuïc hoaøn thieän hôn. Xin chaân thaønh caûm ôn. ! 2). YÙ KIEÁN CUÛA ÑOÀNG NGHIEÄP TOÅ CHUYEÂN MOÂN, BAN GIAÙM HIEÄU a) . Ý kiến của đồng nghiệp tổ chuyên môn. b) . Ý kiến của Ban giám hiệu nhà trường. Lieân Sôn, thaùng 6 naêm 2010 Ngöôøi vieát Đinh Thị Nga 25