›
›

Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao

pdf 62 trang vanle 2600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_bai_giang_giai_tich_ham_nang_cao.pdf

Nội dung text: Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao

  1. ®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) Thái Nguyên, 2011
  2. ®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15) Thái Nguyên, 2011
  3. MỞ ĐẦU Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải tích phức nói riêng Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e - tôpô cũng như p - tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s . Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành toán. . 1
  4. Chương 1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Lý thuyết 04 Thảo luận 02 Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm: không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. 1.1. Không gian lồi địa phương 1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ Giả sử E là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực p trên E gọi là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn N1) p ( x )³ 0 với mọi xÎ E . N2) p (l x )= l p ( x ), l ÎKK ( = ¡ , £ ) , với mọi xÎ E . N3)()()() p x+ y £ p x + p y với mọi x, yÎ E . Nửa chuẩn p gọi là chuẩn nếu p( x )= 0 Þ x = 0. Từ N 2) và N 3) suy ra p()()() x- p y £ p x - y với x, yÎ E . 1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski Tập con A trong không gian véctơ E gọi là a) lồi nếu tx+(1 - t ) y Î A với mọi x, yÎ A và 0£t £ 1. b) cân nếu l xÎ A với mọi xÎ A và l £ 1. c) hút nếu với mọi xÎ E tồn tại e > 0 sao cho l xÎ A với mọi l£ e . 1.1.2.1. Rõ ràng nếu p là nửa chuẩn trên E thì U= Up ={ x Î E: p ( x ) 0 : Î U } =inf{l > 0 : Î U% }. l l 1.1.2.2. Giả sử U là tập lồi, cân, hút trong E . Khi đó công thức 2
  5. x p( x )= inf {l > 0 : Î U } U l xác định một nửa chuẩn trên E , Nửa chuẩn pU gọi là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Ta có {xÎ E: pUU ( x ) 0 : Î A }, x Î E ( A ) A l xác định một nửa chuẩn trên EA(). 1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương 1.1.3.1. Không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ CSF () E các nửa chuẩn trên E sao cho với mọi p1, , pn Î CSF ( E ) đều tồn tại pÎ CSF () E để: max( p1(), , x pn () x)£ p () x với mọi xÎ E . Sau này ta chỉ xét họ CSF () E thỏa mãn ()H "x Î E, x ¹ 0, $ p Î CSF ( E ) : p ( x ) ¹ 0. Từ 1.1.2.1. và 1.1.2.2. suy ra không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ UF ()E các tập con lồi cân hấp thụ của E thỏa mãn "ÎUUE1, ,n UF ( ), $UE Î UF () : UUUÌÇÇ1 n và ()H tương đương với (H¢ )" x Î E , x ¹ 0, $ U ÎUF ( E ) : x Ï U . 1.1.3.2. Rõ ràng mọi không gian lồi địa phương là không gian tôpô, với tôpô xác định bởi V là lân cận của xÎ E Û $ U Î UF () E : x+ U Ì V . ()H ¢ có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff. 1.1.3.3. Dễ thấy rằng nửa chuẩn p trên E là liên tục khi và chỉ khi {xÎ E: p ( x ) 0 là o- lân cận (lân cận của 0 Î E ). 3
  6. 1.1.4. Không gian con và không gian thương 1.1.4.1. Giả sử E là không gian lồi địa phương và FEÌ . Ta nói F là không gian con của E nếu F là không gian con vectơ của E và F được xét với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E . Như vậy F cũng là không gian lồi địa phương với tôpô xác định bởi UF ():()FUFUUUE={ 0 = Ç Î F }. 1.1.4.2. Giả sử F là không gian con đóng của E . Khi đó không gian vectơ E thương F là không gian lồi địa phương với tôpô cho bởi UU()():()E =UFUE Î , FFF { } ở đây U():, F= U + F ={ x + y x Î U y Î F }. Do F là đóng nên U ()E thỏa mãn ()H ¢ nghĩa là E là Hausdorff. F F F 1.1.5. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn 1.1.5.1. Tập con A trong không gian lồi địa phương E gọi là a) bị chặn nếu "ÎUEUF () ,$e > 0 : eAU Ì . b) hoàn toàn bị chặn nếu n "U ÎUF (), E $ x1 , , xn Î E : A ÌU ( x i + U ). i= 1 Rõ ràng mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. 1.1.5.2. Họ BF ()E các tập bị chặn gọi là họ cơ bản các tập bị chặn nếu với mọi tập bị chặn AEÌ tồn tại BEÎ BF () sao cho ABÌ . Do bao lồi cân của tập bị chặn A : ïìn n ïü G()A =íïl x : | l |1,, , £ x x Î A ýï ïåi i å i1 n ï îïi=1 i = 1 þï là tập bị chặn nên sau này các tập thuộc BF ()E ta luôn coi là lồi cân. 1.1.5.3. Với UEÎ UF () , giả sử pU là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Khi đó 4
  7. Ker pUU={ x Î E: p ( x ) = 0} là không gian con véctơ của E . 1.1.5.4. Một dãy suy rộng trong E là một họ các phần tử {x a }a Î I với I là tập chỉ số định hướng: "a,,:,. b ÎII $ g Î a a b) dãy Cauchy nếu "ÎUEUF () ,:,,.$aUUxa - x b Î U " a b > a Hiển nhiên mọi dãy suy rộng hội tụ đều là dãy suy rộng Cauchy. Không gian lồi địa phương E gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy suy rộng đều hội tụ . Mệnh đề. Mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian lồi địa phương đầy là compact. 1.2. Không gian đối ngẫu với không gian lôi địa phương. 1.2.1. Định lý (Hahn-Banach). Giả sử F là không gian con của không gian véctơ E và p nửa chuẩn trên E . Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính f trên F sao cho f()() x£ p x với mọi xÎ F , tồn tại phiếm hàm tuyến tính fˆ trên E sao cho fˆ = f và fˆ()() x£ p x với mọi xÎ E. F Định lý 1.2.1 là cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trong không gian lồi địa phương. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Không gian vectơ E ¢ tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E gọi là đối ngẫu tôpô của E . 1.2.3. Trên E ¢ thường xét ba tôpô lồi địa phương sau a) Tôpô yếu s (,)EE¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn 5
  8. pf()= maxxf{ 1 , , , xfn ,} ,, , x 1 x n Î E b) Tôpô Mackey m(,)EE¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn p(),:, f= sup{ x f x Î K} K Ì E compact. c) Tôpô yếu b(,)EE¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn pf(),:,= supxf{ x Î BB} Ì E bị chặn. Ở đây ta viết x, f thay cho f() x . Rõ ràng s(,)(,)(,)EEEEEE¢£ m ¢ £ b ¢ và lần lượt là các tôpô hội tụ đều trên các tập hữu hạn, compact, bị chặn. 1.2.4. Đổi vai trò E và E ¢ ta có thể xét trên E tôpô s (,)EE¢ xác định bởi họ các nửa chuẩn px()= maxxf , , , xf , ,, , f f Î E ¢ { 1n} 1 n s (,)EE ¢ gọi tôpô yếu của E . Ta có kết quả sau Định lý. (EEEE¢ ,s ( ¢ , )) ¢= và (EEEE ,s (¢ , )) ¢= ¢. 1.2.5. Định lý (Mackey). Mọi tập con bị chặn yếu trong một không gian lồi địa phương là bị chặn. 1.2.6. Cho E là không gian lồi địa phương và MEÌ . Tập M0 ={ f Î E¢: x , f £ 1, " x Î M } gọi là pôla của M (trong E ¢). Định lý (song pôla) Nếu M là tập lồi cân trong E thì M 00 là bao đóng của M , trong đó M00={ x Î E: x , f £ 1, " f Î M 0}. 1.2.7. Định lý (Alaoglu – Bourbaki). Nếu U là o- lân cận trong không gian lồi địa phương E , thì U 0 là s (,)EE¢ – compact. 1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt. 1.3.1. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là a) Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. 6
  9. b) s - tựa thùng nếu mọi tập đếm được bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. Ở đây AE¢Ì ¢ gọi là đồng liên tục nếu tồn tại o– lân cận U trong E để AU¢Ì 0 . 1.3.2. Nếu E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các o- lân cận, thì E là khả mêtric hay còn gọi là mêtric. Không gian lồi địa phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay ()F - không gian. Mệnh đề. Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng. 1.3.3. Một không gian s - tựa thùng E trong đó có một dãy cơ bản các tập bị chặn gọi là đối ngẫu mêtric. Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là ()F ¢ – không gian. 1.3.4. Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa phương cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề. a) Nếu E là mêtric lồi địa phương thì E ¢là ()F ¢ – không gian. b) Nếu E là đối ngẫu mêtric thì E b¢, nghĩa là E ¢ xét với tôpô mạnh b(,)EE¢ là ()F – không gian. 1.4. Không gian Banach. 1.4.1. Không gian lồi địa phương E gọi là không gian định chuẩn nếu tôpô của nó có thể xác định bởi một chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. 1.4.2. Định lý (Conmogorov). Không gian lồi địa phương E là không gian định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn. 1.4.3. Định lý (Riesz). Không gian lồi địa phương E là hữu hạn chiều nếu nó có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn. 1.5. Không gian Hilbert. 1.5.1. Giả sử E là không gian véctơ phức. Một hàm ( :) EE´ ® £ gọi là nửa tích vô hướng nếu. H1) (a x+ b y z) = a( x z) + b ( y z), với mọi a, b Î £ và x,, y zÎ E . H2) ( x y)= ( y x ) với mọi x, yÎ E . 7
  10. H3)( x x)³ 0 với mọi xÎ E . Nếu (x x)=0 Þ x = 0 thì (. .) gọi là tích vô hướng. Nếu (. .) là tích vô hướng trên E thì công thức 1 2 pU ( x )=( x | x) , x Î E xác định một chuẩn trên E gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 1.5.2. Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 1.5.3. Định lý (Riesz). Nếu E là không gian Hilbert thì với mọi fÎ E ¢ tồn tại duy nhất yÎ E sao cho x,, f=( x y) x Î E . 1.5.4. Hai vectơ x, yÎ E gọi là trực giao và viết là x^ y nếu (x y)= 0. Một họ các phần tử {ei }iÎ I (viết là [ei , I ]) gọi là hệ trực chuẩn nếu ïì 1, i= j e e =d = íï ( i j) ij ï 0, i¹ j îï Nếu [ei , I ] là hệ trực chuẩn thì ta có bất đẳng thức sau 2 2 å ei,, x£ x x Î E . (bất đẳng thức Bessel) I Hệ trực chuẩn [ei , I ]gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu x^ ei, với mọi i Þ x = 0 . Mệnh đề. Hệ trực chuẩn [ei , I ] là đầy đủ nếu và chỉ nếu x=å ( x| ei) e i , x Î E . iÎ I 1.6. Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương. 1.6.1. Giả sử E và F là không gian lồi địa phương. Ánh xạ TEF: ® gọi là tuyến tính liên tục nếu T là ánh xạ tuyến tính, nghĩa là T()a x+ b y = a T x + b T y , với mọi a, b Î K , x, yÎ E , và T là ánh xạ liên tục. 1.6.2. Cho TEF: ® ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó công thức x,, T¢ b= T x b , với mọi xÎÎ E, b F ¢, 8
  11. xác định ánh xạ TFE¢: ¢® ¢ gọi là ánh xạ đối ngẫu của T . Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì thay cho TFE¢: ¢® ¢ ta xét ánh xạ liên hợp TFE* : ® xác định bởi (x T* y)= ( T x y), xÎ E , yÎ F . 1.6.3. Đối với hai không gian lồi địa phương E và F ta ký hiệu L(,)EF là không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . 1.6.4. Trên L(,)EF thường xét tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn và ký hiệu là Lb (,)EF . Tôpô này xác định các họ nửa chuẩn p(,)AVV() T= suppTxxAA{ (): Î} , ÎBU (), EV Î () F ở đây B()E ký hiệu là họ tất cả các tập lồi cân bị chặn trong E còn U()F là họ tất cả các o- lân cận lồi cân trong F . Khi E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị U và V thì Lb (,)EF là không gian định chuẩn với chuẩn. b()():T= sup{ pV T x x Î U } =inf{d >0 : T ( U ) Ì d V }. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn còn F là không gian Banach thì Lb (,)EF là không gian Banach. 1.6.5. Ánh xạ TEFÎ L(,), trong đó E và F là hai không gian định chuẩn được gọi là a) Hữu hạn chiều nếu ImT là không gian con hữu hạn chiều của F . b) Compact nếu TU()hoàn toàn bị chặn, với U={ x Î E: x £ 1}. 1.7. Không gian định chuẩn kết hợp với không gian lồi địa phương. 1.7.1. Cho U là o- lân cận tùy ý trong không gian lồi địa phương E . Khi đó N( U )={ x Î E : pU ( x ) = 0} E là không gian con vectơ của E . Đặt EU() = NU() . Dễ thấy rằng công thức p( x ( U ))= p ( x ) với mọi x()() U= x + N U Î E U NU() xác định một chuẩn trên EU( ). 9
  12. Giả sử A là một tập lồi, cân, đóng, bị chặn trong E . Ký hiệu EA() là không gian con sinh bởi A . Ta có E(): A={ x Î E x Î d A} với d > 0 nào đó và công thức pA ( x )= inf{d > 0 : x Î d A} xác định một chuẩn trên EA(). Không gian này gọi là không gian định chuẩn kết hợp với A . 1.7.2. Cho UEÎ U() và fÎ E¢() U 0 . Khi đó đẳng thức x( U ), fˆ = x , f , x Î E xác định fˆ Î E() U ¢ thỏa mãn ˆ ˆ pf¢()= supxUf (), :(())1 pxU £ = pf0 (). { } U Ngược lại, nếu gÎ ( E ( U ))¢ thì đẳng thức f( x )= g ( x ( U )), x Î E . Xác định fÎ E¢() U 0 với fˆ = g. Như vậy (EUEU ( ))¢= ¢ (0 ). 1.7.3. Cho AEÎ B() . Khi đó mọi fÎ E ¢ công thức x fˆ = x,,() f x Î E A xác định fˆ Î E() A ¢ với ¢ ˆ 0 pf()= supxf{ ,: x Î A} = pfA 0 ()(()). = pfA Như vậy EA¢()0 có thể xét như không gian con của ¢ (EA().) b 1.7.4. Nếu UVE,()Î U thì các công thức p()()U x= x + N U , xÎ E và p(V , U )( x ( U ))= x ( V ) , xÎ E xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục p():()UEEU® và p(,):()()UVEVEU® thỏa mãn 10
  13. p(UVUV )= p ( , )o p ( ). Tương tự nếu ABEAB,ÎÌB ( ), thì các ánh xạ đồng nhất e(),() A x= x x Î E A và e(,),() A B x= x x Î E A xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục từ EA() vào E và từ EA() vào EB() thỏa mãn e( A )= e ( B )o e ( A , B ). 1.8. Độ đo Radon 1.8.1. Giả sử M là không gian compact và C()M ký hiệu là không gian Banach các hàm thực hoặc phức liên tục trên M với chuẩn supremum, nghĩa là nếu j Î C()M thì j=sup{ j ():. x x Î M } 1.8.2. Phiếm hàm tuyến tính liên tục m trên C()M gọi là độ đo Radon trên M . Độ đo Radon m gọi là dương nếu j, m ³ 0, với mọi j Î C()M , j ³ 0. Với mọi độ đo Radon m ³ 0 ta có j,, m£ j m với mọi j Î C()M , j ³ 0. Nếu chuẩn của m ký hiệu là m()M , thì m(M )= 1, j , ở đây 1 là hàm đồng nhất trên M . 1.8.3. Giả sử m là độ đo Radon tuỳ ý trên M . Khi đó công thức j, m=sup{ y , m : y ÎC ( M ), y ( x ) £ j ( x )} xác định một hàm giá trị thực m trên CC+ (MM )={j Î ( ) : j ³ 0} . Hàm m có hai tính chất sau j+ y,,, m = j m + y m với mọi j,() y Î C+ M 11
  14. a j,, m= a j m với mọi j Î C+ ()M và a ³ 0 . Hàm này có thể mở rộng tới độ đo Radon dương trên M . Độ đo này cũng ký hiệu là m . Ta có j,,, m£ j m với mọi j Î C()M . 1.8.4. Giả sử m là độ đo Radon dương trên M . Khi đó tồn tại duy nhất độ đo (cũng ký hiệu là m) trên s - đại số sao cho å m j, m= ò jd m với mọi j Î C()M . M Ngoài ra s - đại số bao hàm s - đại số Borel sinh bởi các tập con å m đóng của M. 1.8.5. Đối với mỗi độ đo Radon dương m trên M , xác định nửa tích vô hướng(. .) trên C()M ()()()f g= ò f x g x dm M và nửa chuẩn kết hợp 1 ì ü2 ï2 ï l()()f= íï f x d m ýï . a ïò ï îïM þï Như vậy ta có không gian định chuẩn CM() với Z= f ÎC( M ) :l ( f ) = 0 . Z { a } Kí hiệu LM2 () bao đầy của CM() . Đó là không gian các hàm bình phương m Z khả tích theo độ đo m với đồng nhất. f=0 Ûl a ( f ) = 0. 1.8.6. Hàm fA(x) = 1 với x A và fA(x) = 0 với x A gọi là hàm đặc trưng của A. Hàm có dạng n f()() x= a f x . å i Ai i = 1 Với A Î rời nhau gọi là hàm m- bậc thang. Tập hợp các hàm m- bậc i å m 2 thang là trù mật trong LMm() . 12
  15. Chương 2 ÁNH XẠ KHẢ TỔNG TUYỆT ĐỐI Lý thuyết 12 tiết Thảo luận 04 tiết Kiểm tra 2 tiết Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về ánh xạ khả tổng tuyệt đối, ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt, mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. 2.1. Các họ khả tổng 2.1.1. Họ số khả tổng Cho I là tập chỉ số tuỳ ý. Họ số [xi ,I ] đó là tập hợp các số thực hoặc phức x , với iÎ I . Ký hiệu F ()I là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của i tập hợp I với quan hệ thứ tự theo bao hàm: s1£ s 2 khi và chỉ khi sÌÎ s;,() s s F I . Khi đó với mỗi s Î F ()I đặt s = x ta nhận 1 2 1 2 s å i iÎ s được một dãy suy rộng {ss }s Î F ()I . 2.1.1.1. Định nghĩa. Nếu dãy suy rộng {ss }s Î F ()I có giới hạn hữu hạn s , thì họ số [xi ,I ] được gọi là khả tổng và có tổng là s và ký hiệu là s = å xi . iÎ I 2.1.1.2. Bổ đề. Nếu với mỗi họ số x ,I tồn tại số dương r sao cho [ i ] å xi £ r với mọi s Î F ()I , s thì å xi £ 4 r với mọi s Î F ()I . s Chứng minh. Giả sử [xi ,I ] là họ số thực. Khi đó mỗi tập hợp s Î F ()I có thể tách thành hai tập hợp s+ ={i Î s: xi ³ 0} và s- ={i Î s: xi < 0}. Vì 13
  16. åxi= å x i £ r và åxi= - å x i £ r , s+ s + s s nên åxi= å x i + å x i £ 2 r s s+ s - Nếu [xi ,I ] là họ các số phức, thì với các họ số thực [Rexi ,I ] và [Imxi ,I ] ta có åRexi=Re( å x i ) £ r và åImxi= Im( å x i ) £ r s s s v theo trên ta có å Rexi £ 2 r và å Imxi £ 2 r . s s Từ đó å xi £ 4 r . s 2.1.1.3. Định lý. Họ số x ,I là khả tổng khi và chỉ khi tồn tại số dương r [ i ] sao cho å xi £ r với mọi s Î F ()I . s Chứng minh. Giả sử s là tổng của họ khả tổng [xi ,I ]. Khi đó tồn tại tập hợp s 0 Î F ()I sao cho ss - s £ 1 với mọi s Î F ()I , s³ s 0. Khi đó với mọi s Î F ()I ta có đánh giá sau åxi£ å x i -s + s - å x i £1 + s + å x i . s sÈ s0 s 0\ s s 0 Do đó theo bổ đề 2.1.1.2 với mọi s Î F ()I ta có åxi£4(1 +s + å x i ) s s 0 Ngược lại, giả sử với họ số [xi ,I ] tồn tại số dương r sao cho å xi £ r với mọi s Î F ()I . s 14
  17. Khi đó ïì ïü r=supíï x : s ÎF (I ) ýï £ r 0, tồn tại số tự 2 d nhiên n sao cho n ³ và s- s £ . Nhưng khi đó với mọi tập hợp d n 2 s Î F ()I ,s³ s n ,ta có 1 d s- s =x + s - s £ + £ d. s å i n n 2 s\ s n Vậy họ x ,I khả tổng và có tổng là s . [ i ] 2.1.1.4. Mệnh đề. Mỗi họ khả tổng có không quá đếm được các số khác không. Chứng minh. Cho họ số x ,I khả tổng. Ký hiệu như trong 2.1.1.3 và đặt [ i ] 15
  18. ¥ 1 s0 = U s n . Khi đó s 0 hữu hạn hoặc đếm được và nếu i Ï s 0 , thì xi £ n = 1 n với mọi số tự nhiên n . Vậy xi = 0 với mọi i Ï s 0 . 2.1.1.5. Định nghĩa. Họ số [a i ,I ] được gọi là hội tụ đến 0, nếu với mỗi số d > 0 tồn tại tập hợp s 0 Î F ()I sao cho ai £ d với mọi i Ï s 0 . Tập hợp cI tất cả các họ số như thế tạo thành không gian Banach đối với các phép toán [ai]+[ b i] =[ a i + b i,I ] và l[ ai]= [ l a i ,I ] và chuẩn l¥ [ ai,I]= sup{ a i : i Î I } . Vì mỗi dạng tuyến tính liên tục x trên cI có thể biểu diễn dưới dạng á[ai,,I] x ñ= å a i x i , i trong đó [xi ,I ] là họ khả tổng xác định duy nhất, nên không gian đối ngẫu với 1 cI được đồng nhất với không gian Banach lI tất cả các họ số khả tổng với chuẩn l1 [ xi,.I ]= å x i i 1 Ta cũng có khẳng định tương tự sau đây: không gian đối ngẫu với lI được đồng nhất với không gian Banach m I tất cả các họ số bị chặn. 2.1.1.6. Bổ đề. Nếu [xi ,I ] là họ số có tính chất å ai x i < + ¥ với mọi i [a i,I]Î c I , thì å xi < + ¥ . i Chứng minh. Giả sử å xi = + ¥ . Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các tập i 2 hợp s r Î F ()I bắt đầu với s 0 = Æ sao cho å xi ³ r . Khi đó họ số s r 16
  19. 1 ¥ [a i ,I ], a i = với i Î sn\ s n - 1 (n = 1,2, ) và a i = 0 với i Ï Us n n n = 1 thuộc vào cI . Do đó å ai x i < + ¥ . Nhưng điều đó không thể xảy ra, bởi vì i åai x i³ å a i x i ³ r với mọi r . s s r 2.1.1.7. Định nghĩa. Họ số [xi ,I ]được gọi là bình phương khả tổng nếu 2 å xi < + ¥ . I 2 Tập hợp lI tất cả các họ số như thế tạo thành không gian tuyến tính đối với các phép toán [xi]+[ h i] =[ x i + h i ,I ] và l[ xi]= [ l x i ,I ], trên đó ta đưa vào tích vô hướng (,,,),[xiII][ h i] = å x i h i I ở đó vế phải tồn tại theo bất đẳng thức Holder 1/ 2 1/ 2 ïì2 ïü ïì 2 ïü åxi h i£í å x i ý í å h i ý < + ¥ , IIIîï þï îï þï 2 với mọi cặp họ số bình phương khả tổng. Dễ chứng minh rằng lI là không gian đầy đủ trong tô pô lồi địa phương sinh bởi chuẩn 1/ 2 ïì2 ïü l2 [ xi,I ]= íå x i ý , îïI þï 2 xác định tích vô hướng đó. Như vậy lI là không gian Hilbert. 2.1.1.8. Bổ đề. Nếu [a i ,I ] là họ số có tính chất ì ü1/ 2 ï2 ï 2 åai x i£ aí å x i ý với mọi [xi,I]Î l I , iîï I þï thì 2 2 å ai £ a . i 17
  20. 2.1.2. Họ khả tổng yếu trong không gian lồi địa phương 2.1.2.1. Định nghĩa. Họ [xi , I ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng yếu, nếu å áxi , a ñ < + ¥ với mọi dạng tuyến tính I liên tục aÎ E ¢. 1 Từ định nghĩa trực tiếp suy ra tập hợp lI [ E ] gồm tất cả các họ khả tổng yếu [xi , I ] trong E tạo thành không gian tuyến tính đối với các phép toán [xi]+[ y i] =[ x i + y i , I ] và a[xi]= [ a y i , I ]. 1 Giả sử [xi, I]Î l I [ E ], tập hợp ïì ïü A=íïa x: a £ 1, I Î F ( I ) ýï ïå i i i ï îïI þï là bị chặn yếu trong E , vì áåa ix i,, a ñ £ å á x i a ñ < + ¥ II với bất kỳ dạng tuyến tính liên tục aÎ E ¢. Theo Định lý Macki 1.2.5 suy ra A là tập bị chặn trong E . Do đó với mỗi lân cận của không UEÎ U() tồn tại số dương r sao cho å aix i Î r U với mọi IIÎ F () và a i với a i £ 1. I Nói riêng, sau khi chọn a i với a i £ 1 sao cho a iáx i,, a ñ= á x i a ñ với mỗi dạng tuyến tính liên tục aÎ U 0 , ta nhận được 0 åáxi,, a ñ =á å a i x i a ñ£ r với mọi IIÎ F () và aÎ U . i i Do đó ïì ïü e[x, I]= supíï á x , a ñ : a Î U 0 ýï £ r < + ¥ . U iïå i ï îïi þï 18
  21. Dễ thấy rằng khi U chạy khắp U()E , eU tạo thành hệ các nửa chuẩn trên 1 1 lI [ E ], xác định tôpô lồi địa phương trong lI [ E ]và được gọi là e - tô pô. 1 2.1.2.2. Mệnh đề. Nếu E là không gian đầy đủ thì lI [ E ] là không gian đầy đủ. Chứng minh. Giả sử éx()a , I ù là hệ Côsi tuỳ ý trong l1 [ E ]. Khi đó x ()a {ëi û} I { i } với mỗi chỉ số iÎ I là hệ Côsi trong E , sao cho tồn tại phần tử xi Î E sao cho ()a limxi= x i . (1) a Ta sẽ chứng minh rằng hệ Côsi éx()a , I ù hội tụ trong e - tô pô tới họ x, I . {ëi û} [ i ] Thật vậy, với mỗi lân cận của không UEÎ U() tồn tại chỉ số b0 sao cho ()()a b 0 å áxi - x i , a ñ £ 1 với mọi aÎ U và a,. b³ b0 (2) i Từ (1) và (2) ta nhận được bằng cách qua giới hạn ()b 0 å áx - xi , a ñ £ 1 với mọi aÎ U và b³ b0. (3) i 0 Do đó với mỗi aÎ U ta có ()()()b b b åáxi, a ñ£ å á- x i x i , a ñ+ å á x i , a ñ£+ 1 å á x i , a ñ<+¥ . i i i i Vì mỗi dạng tuyến tính liên tục aÎ E ¢ được chứa trong U 0 với lân cận của 1 không UEÎ U() , [xi, I]Î l I [ E ]. Nhưng khi đó từ (3) trực tiếp suy ra é()b ù [xi, I]=e - lim x i , I . b ë û 1 Vậy lI [ E ] là không gian đầy đủ. 2.1.3. Họ khả tổng trong không gian lồi địa phương 1 Giả sử E là không gian lồi địa phương và [xi, I]Î l I [ E ]. Với mỗi s Î F ()I đặt 19
  22. ì x, i Î s ï i x ()s = í . i ï 0, i Ï s îï 1 Khi đó ta nhận được dãy suy rộng {[xi(s ), I]}Ì l I [ E ]. 2.1.3.1. Định nghĩa. Họ [xi , I ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng, nếu [xi, I]=e - lim[ x i ( s ), I ]. s 1 Từ định nghĩa suy ra tập hợp lI () E gồm tất cả các họ khả tổng [xi , I ] trong E 1 tạo thành một không gian con tuyến tính của lI [ E ]với các phép toán [xi]+[ y i] =[ x i + y i , I ] và a[xi]= [ a y i , I ]. 1 1 lI () E được xét với tô pô cảm sinh của lI [ E ]. 1 2.1.3.2. Mệnh đề. Với mỗi không gian lồi địa phương E , không gian lI () E là 1 không gian con tuyến tính đóng của lI [ E ]. 1 1 Chứng minh. Giả sử họ [xi, I]Î l I [ E ] thuộc vào bao đóng của lI () E . Khi đó 1 với mỗi lân cận của không UEÎ U() đều tồn tại họ [yi,() I]Î l I E sao cho 1 e [x- y, I ] £ . U i i 3 Giả sử s 0 Î F ()I sao cho 1 e[y- y( s ), I ] £ với mọi s Î F ()I , s³ s . U i i 3 0 Khi đó từ eUii[xxI-(), s] £ e Uii[ xyI - ,] + e Uii[ yyI - (), s] + e Ui[ y ()(), s - xI i s ] suy ra eU[x i- x i ( s ), I ] £ 1 với mọi s Î F ()I , s³ s 0 . Do đó [xi, I]=e - lim[ x i ( s ), I ], s 1 tức là [xi,() I]Î l I E . 20
  23. Từ các mệnh đề 2.1.2.2 và 2.1.3.2 ta có 1 2.1.3.3. Mệnh đề. Nếu E là không gian đầy đủ, thì lI () E là không gian đầy đủ. 1 1 2.1.3.4. Mệnh đề. Nếu [xi, I]Î l I [ E ] và [a i,I]Î c I , thì [a ix i,() I]Î l I E . Chứng minh. Với bất kỳ lân cận của không UEÎ U() đều tồn tại tập hợp s 0 Î F ()I sao cho - 1 ai£( e U[x i , I ] + 1) với mọi i Ï s 0 . Khi đó với mỗi tập hợp s Î F ()I , s³ s và 0 ta có 0 aÎ U - 1 åáaix i, a ñ £ ( e U[ x i , I] + 1) å á x i , a ñ £ 1. II\ s Từ đó suy ra [aix i, I]= e - lim[ a i x i ( s ), I ]. s 2.1.3.5. Định lý. Họ [xi , I ] trong không gian lồi địa phương E là khả tổng khi và chỉ khi họ các tổng riêng hữu hạn ss = å xi , s Î F ()I s tạo thành một dãy Côsi suy rộng. Chứng minh. Nếu {ss } là dãy Côsi thì với mỗi lân cận của không UEÎ U() đều tồn tại s 0 Î F ()I sao cho 1 s-Î s U với mọi s,() s Î F I , s, s³ s . s1 s 2 4 1 2 1 2 0 Khi đó với bất kỳ 0 và sÎ F (\)I s ta có bất đẳng thức aÎ U 0 1 áx,, a ñ = á s - s a ñ £ . å i sÈ s0 s 0 s 4 Do bổ đề 2.1.1.2 suy ra với mọi aÎ U 0 ta có ïì ïü áx, a ñ = supíï á x , a ñ :s ÎF ( I \ s ) ýï £ 1. åiï å i 0 ï I \ s0 îï s þï 21
  24. Điều đó có nghĩa là với mọi s Î F ()I , s³ s 0 ta có eU[x i- x i ( s ), I ] £ 1. Vì UEÎ U() tuỳ ý nên 1 [xi, I]=e - lim[ x i ( s ), I ], tức là [xi,() I]Î l I E . s Ngược lại, nếu [xi , I ] là họ khả tổng tuỳ ý trong E , thì [xi, I]=e - lim[ x i ( s ), I ] s và dãy suy rộng {[x(s ), I ]} là dãy Côsi trong l1() E . Do đó với mọi i s Î F ()I I UEÎ U() đều tồn tại s 0 Î F ()I sao cho eU[x i( s1 )- x i ( s 2 ), I ] £ 1, với mọi s1,() s 2 Î F I , s1, s 2³ s 0 . Từ đó suy ra với mọi aÎ U 0 ta có bất đẳng thức ás - s, a ñ = á[ x (s ) - x ( s ), a] ñ s1 s 2 å i1 i 2 I £å [xi()s1 - x i (), s 2 a] £ e U[ x i () s 1 - x i (), s 2 I ] £ 1. I Theo định lý song pôla suy ra s-Î s U với mọi s,() s Î F I , s, s³ s . s1 s 2 1 2 1 2 0 Vậy {ss } là dãy Côsi suy rộng đối với mọi họ khả tổng [xi , I ]. 2.1.4. Họ khả tổng tuyệt đối trong không gian lồi địa phương 2.1.4.1. Định nghĩa. Họ [xi , I ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng tuyệt đối, nếu å pU() x i 0 :x Î U . U { l } 22
  25. 1 Từ định nghĩa suy ra tập hợp lI { E }gồm tất cả các họ khả tổng tuyệt đối [xi , I ] trong E tạo thành một không gian tuyến tính với các phép toán [xi]+[ y i] =[ x i + y i , I ] và a[xi]= [ a y i , I ]. 1 lI { E } là không gian lồi địa phương với p - tô pô xác định bởi họ các nửa chuẩn pU : pU[x i,() I]= å p U x i , UEÎ U() . I 1 2.1.4.2. Mệnh đề. Nếu E là không gian đầy đủ, thì lI { E }cũng là không gian đầy đủ. Chứng minh. Giả sử éx()a , I ù là dãy Côsi suy rộng tuỳ ý trong l1 { E }. Khi {ëi û} I đó với mọi iÎ I , {x a } là dãy Côsi suy rộng trong E và do đó tồn tại phần i a tử xi Î E sao cho ()a limxi= x i . (1) a Ta sẽ chứng minh rằng a [xi, I]=p - lim[ x i , I ]. a Thật vậy, với mỗi lân cận của không UEÎ U() tồn tại chỉ số b0 sao cho ()()a b å pU( x i- x i ) £ 1 với mọi a,. b³ b0 (2) I Từ (1) và (2) ta nhận được bằng cách qua giới hạn ()b å pU( x- x i ) £ 1 với mọi b³ b0. (3) I Do đó với mọi UEÎ U() ta có ()()()b b b åpU( x i)£ å p U( x i - x i) + å p U( x i) £1 + å p U( x i ) < + ¥ . IIII với mọi b³ b . Suy ra x, IÎ l1 { E } và từ (3) trực tiếp suy ra 0 [ i] I é()a ù [xi, I]=p - lim x i , I . a ë û 23
  26. 1 Vậy lI { E } là không gian đầy đủ. 2.1.4.3. Mệnh đề. Đối với mỗi họ khả tổng tuyệt đối [xi , I ] trong không gian lồi địa phương E ta có é()s ù [xi, I]=p - lim x i , I . s ë û Chứng minh. Với mọi lân cận của không UEÎ U() , vì å pU() x i < + ¥ I nên tồn tại s 0 Î F ()I sao cho å pU( x i )£ 1. I \ s 0 Do đó p[xi- x i ( s ), I ] £ 1 với mọi s Î F ()I , s³ s 0 và mệnh đề được chứng minh. 2.1.4.4. Mệnh đề. Với mọi không gian lồi địa phương E , ta có 1 1 lII{ E}Ì l() E và ánh xạ đồng nhất không gian l1 E vào không gian l1() E là liên tục. I { } I Chứng minh. Giả sử [xi , I ] là họ khả tổng tuyệt đối tuỳ ý trong không gian lồi địa phương E . Vì với mỗi dạng tuyến tính liên tục aÎ E ¢ đều tồn tại lân cận của không UEÎ U() sao cho aÎ U 0 thì åáxi,() a ñ £ å p U x i < + ¥ , II 1 1 nên họ [xi , I ] khả tổng yếu. Do đó lII{ E}Ì l[ E ]. 1 Vì với mỗi lân cận của không UEÎ U() và họ [xi, I]Î l I { E } ta có 0 åáxi,() a ñ £ å p U x i với mọi aÎ U II nên 1 eU[x i,, I]£ p U[ x i I ] với mọi [xi, I]Î l I { E }. 24
  27. Như vậy ánh xạ đồng nhất không gian l1 E vào không gian l1 E là liên I { } I [ ] tục. Bây giờ nếu [xi , I ] là họ khả tổng tuyệt đối tuỳ ý trong E , thì từ hệ thức [xi, I]=p - lim[ x i ( s ), I ] s suy ra [xi, I]=e - lim[ x i ( s ), I ]. s Tức là l1 EÌ l 1() E và ánh xạ đồng nhất không gian l1 E vào không gian II{ } I { } 1 lI () E là liên tục. 2.1.5. Họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa phương 2.1.5.1. Định nghĩa. Họ [xi , I ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ hoàn toàn khả tổng, nếu tồn tại tập bị chặn BEÎ B() sao cho å pB() x i 0} ={ i Î I : x i ¹ 0} cùng lắm là đếm được. 2.1.5.3. Mệnh đề. Mọi họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa phương đều là khả tổng tuyệt đối. 25
  28. Chứng minh. Giả sử [xi , I ] là họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa phương E . Khi đó tồn tại BEÎ B() sao cho å pB() x i 0 sao cho BUÌ r , nên ta có åpU()() x i£r å p B x i k. n in n Vì pU[x n( s ),¥ ]=å p U ( x i ) £ p U[ x i , I ] với mọi UEÎ U() , ¥ 1 nên các họ [xn (s ), ¥ ] với s Î F ()I là tập con bị chặn trong l¥ { E }. Theo giả thiết tồn tại BEÎ B() sao cho åpB( x i )= å p B ( x i (s )) £ 1 với mọi s Î F ()I . s ¥ Nhưng khi đó ta cũng có å pB( x i )£ 1. I 26
  29. 2.1.5.6. Định lý. Nếu E là không gian lồi địa phương khả metric thì E có tính chất ()B . Chứng minh. Giả sử {U n } là cơ sở lân cận của không trong E và B là tập con 1 bị chặn của lI { E }. Khi đó với mỗi n ³ 1tồn tại r n > 0 sao cho p() x £ r với mọi [x, I ]Î B. å Un i n i I Đặt ïì1 ïü B=íï x Î E: p ( x ) £ 1 ýï . ïå n Un ï îï¥ 2 r n þï Khi đó BEÎ B() và 1 p()() x= p x , với mọi xÎ E() B . BUå n n ¥ 2 r n Suy ra 1 p( x )= p ( x ) £ 1 với mọi [x, I ]Î B. åB i ån å Un i i II¥ 2 r n 2.1.5.7. Định nghĩa. Cho E là không gian lồi địa phương. Ta nói rằng E là đối ngẫu metric nếu E là s - tựa thùng và có một dãy cơ bản các tập bị chặn. Có thể chứng minh rằng nếu E là không gian lồi địa phương khả metric thì E b¢ là đối ngẫu metric. 2.1.5.8. Định lý. Mọi không gian đối ngẫu metric E đều có tính chất ()B . Chứng minh. Giả sử BB1ÌÌ 2 là dãy cơ bản các tập bị chặn trong E . Giả 1 sử trong lI { E }có tập bị chặn B sao cho ïì ïü c= supíï p():, x[ x I] Î B ýï = + ¥ với mọi n ³ 1. nïå Bn i i ï îïI þï Khi đó với mọi n ³ 1tồn tại s Î F ()I và éx()n , I ùÎ B sao cho n ëi û 27
  30. p( x ()n )> 2 n . å Bn i s n (n ) (0) Do đó với mọi i Î s n tồn tại aiÎ B n sao cho ()()n n n å áxi, a i ñ > 2 . s n (n ) 0 Nhưng với mỗi Bm tồn tại r m ³ 1 để aiÎ r m B m với mọi i Î s n và n= 1, , m . Từ hệ thức (n ) 0 0 0 aiÎÍÍ B n B mr m B m với mọi i Î s n và n> m ta có (n ) 0 A={ ai: i Îs n ; n = 1,2, } Ì r m B m . Suy ra A là tập đếm được bị chặn trong E b¢ và do đó A là đồng liên tục vì E là s - tựa thùng. Như vậy tồn tại lân cận của không UEÎ U() để AUÌ 0. 1 Vì B bị chặn trong lI { E }nên tồn tại r > 0 sao cho å pU() x i £ r với mọi [xi , I ]Î B. I điều này không đúng vì với mọi số tự nhiên k ta có bất đẳng thức k 1 1 k£ á x()()()n,(). a n ñ £ p x n £ r å2n åi i å 2 n å U i n= 1 s n ¥ I Như vậy ïì ïü c= supíï p():, x[ x I] Î B ýï < + ¥ với n ³ 1 nào đó. nïå Bn i i ï îïI þï Đặt B= cn B n , ta có å pB( x i )£ 1 với mọi [xi , I ]Î B. I Để kết thúc mục này chúng ta đưa ra không gian lồi địa phương không có tính chất ()B . Giả sử I là tập chỉ số không đếm được. Xét không gian lồi địa phương WI tất cả các họ số [xi ,I ] với tô pô xác định bởi họ các nửa chuẩn 28
  31. ps [xi, I]=å x i , s Î F ( I ). s Họ ée, I ù trong W với e= édj , I ù là khả tổng tuyệt đối nhưng không hoàn ëj û I jë i û toàn khả tổng vì ej ¹ 0 với mọi jÎ I và I là tập chỉ số không đếm được, nên theo 2.1.5.2 và 2.1.5.5 không gian WI không thể có tính chất ()B . 2.1.6. Họ hữu hạn chiều trong không gian lồi địa phương 2.1.6.1. Định nghĩa. Họ [xi , I ]trong không gian lồi địa phương E gọi là hữu hạn chiều, nếu tất cả các phần tử xi đều nằm trong một không gian con hữu hạn chiều. 2.1.6.2. Mệnh đề. Mọi họ hữu hạn chiều khả tổng yếu trong không gian lồi địa phương E đều là hoàn toàn khả tổng. Chứng minh. Giả sử [xi , I ] là họ hữu hạn chiều khả tổng yếu trong không gian lồi địa phương E . Khi đó tồn tại một số hữu hạn các phần tử độc lập tuyến tính e1, , en sao cho tất cả các xi đều được biểu diễn qua chúng: n ()r xi=å x i e r ,. i Î I r = 1 Theo định lý Hahn - Banach tồn tại các dạng tuyến tính liên tục f1, , fn Î E ¢ thoả mãn điều kiện áer, f s ñ=d rs ( r , s = 1, , n ) . Khi đó ()r xi= áx i, f r ñ với mọi iÎ I, r = 1, , n . Suy ra ()r åxi= å áx i,, f r ñ < + ¥ với mọi r= 1, , n . II Cuối cùng, sau khi chọn tập bị chặn BEÎ B() sao cho e1, , en Î B ta nhận được n æ ö p()(). x£ç x()r ÷ p e < + ¥ åB i åç å i÷ B r I r= 1 è I ø 29
  32. 2.2. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối 2.2.1. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian lồi địa phương 2.2.1.1. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính liên tục T từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là khả tổng tuyệt đối nếu [T xn , ¥ ] là họ khả tổng tuyệt đối trong F với mọi họ [xn , ¥ ] khả tổng trong E . 2.2.1.2. Định lý. Nếu I là tập chỉ số tuỳ ý thì đối với mọi ánh xạ khả tổng 1 1 tuyệt đối TEFÎ L(,) , ánh xạ tuyến tính T I từ lI [ E ] vào lI { F } cho bởi Té x,, I ù= éT x I ù Iëê i ûú ëê i ûú 1 là bị chặn, nghĩa là biến các tập bị chặn trong lI [ E ] thành tập bị chặn trong 1 lI { F }. 1 Chứng minh. Giả sử B là tập bị chặn trong lI [ E ] và giả sử có VFÎ U() sao cho ïì ïü s =supíï p():, x[ x I] Î B ýï = + ¥ . Vïå V i i ï îïI þï Khi đó tồn tại các họ éx()n , I ùÎ B và các tập s Î F ()I với ëi û n ()n n å pV( x i )> 2 ( n = 1,2, ). s n 1 Vì B là tập bị chặn trong lI [ E ] nên với mọi aÎ E ¢ tồn tại r > 0 sao cho å áxi , a ñ £ r với mọi [xi, I]Î B . I Do đó ta có 1 áx()n ,. a ñ £r < + ¥ å2n å i ¥ s n é1 ()n ù Suy ra họ êxi , P ú ,với P={(,): i n i Îs n , n = 1,2, } , là khả tổng yếu. ëê2n ûú 30
  33. é1 ()()n n ù é()n ù Do đó theo mệnh đề 2.1.3.4 các họ êa ix i , P ú và a i,PÎ c P là khả ëê2n ûú ë û é1 ()()n n ù tổng và do đó họ êa iT x i , P ú là khả tổng tuyệt đối. Từ đó ta có ëê2n ûú 1 a ()()np() T x n 2 ( n = 1,2, ). s n Từ đó suy ra với mọi VFÎ U() tồn tại sV > 0 sao cho pV[T x i,() I]=å p V T x i £ s V với mọi [xi, I]Î B . I Vậy TB() là tập bị chặn trong l1 F với mọi B bị chặn trong l1 [ E ]. I I { } I 2.2.1.3. Định lý. Nếu T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối từ không gian lồi địa phương khả metric E vào không gian lồi địa phương F thì ánh xạ tuyến tính 1 1 T I từ lI [ E ] vào lI { F } cho bởi Té x,, I ù= éT x I ù Iëê i ûú ëê i ûú là ánh xạ tuyến tính liên tục. Chứng minh. Với mọi VFÎ U(), ta có ïì ïü U=íï[ x, I] Î l1 [ E] : p ( T x ) £ 1 ýï ïi Iå V i ï îïI þï 1 là tập hợp đóng, tuyệt đối lồi và hút tất cả các tập bị chặn trong lI [ E ] theo 1 định lý trên. Vì lI [ E ] là không gian lồi địa phương khả metric, nên là tựa 31
  34. 1 thùng. Do đó U phải là lân cận của không trong lI { F }. Vậy T I là ánh xạ liên tục. 2.2.2. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn Trong phần này ta luôn coi E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị đóng là U và V . 2.2.2.1. Mệnh đề. ánh xạ tuyến tính liên tục TEF: ® là khả tổng tuyệt đối khi và chỉ khi tồn tại r > 0 sao cho ïì ïü p(),: T x£r supíï á x a ñ a Î U 0 ýï åV nï å n ï sîï s þï với mọi họ hữu hạn [xn , s ] trong E . Chứng minh. Nếu T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối thì theo định lý 2.2.1.2 tồn tại r > 0 sao cho pV[T x n , ¥ ]£ r 1 với mọi họ [xn , ¥ ]Î l¥ [ E ] mà eU[x n ,¥ ]£ 1. Suy ra 1 pV[T x n,,¥]£ re U[ x n ¥ ] với mọi họ [xn , ¥ ]Î l¥ [ E ]. Vì mọi họ hữu hạn [xn , s ] có thể xem như họ [xn , ¥ ] bằng cách đặt xn = 0 với mọi n Ï s , nên điều kiện cần được chứng minh. Ngược lại, nếu đối với ánh xạ tuyến tính liên tục T đều tồn tại r > 0 có tính chất như trong định lý, thì với mọi họ con hữu hạn [xn , s ] của họ khả tổng [xn , ¥ ] ta có ïì ïü p(),:,. T x£r supíï á x a ñ a Î U0 ýï £ re [ x ¥ ] åV nï å n ï U n sîï s þï Khi đó ta có ïì ïü p()():(). T x= supíï p T x s ÎF ¥ ýï < + ¥ åV nï å V n ï ¥ îïs þï Do đó T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối. 32
  35. Giả sử TEF: ® là ánh xạ khả tổng tuyệt đối. Ký hiệu p()T là cận dưới của tập hợp tất cả các số r > 0 có tính chất được xét trong mệnh đề 2.2.2.1 . Dễ thấy rằng p()()TT= b ¥ , trong đó b()T ¥ là chuẩn của ánh xạ T: l1é E ù® l 1 F và do đó ¥ ¥ëê ûú ¥ { } pV[T x i,(), I]£ p T e U[ x i I ] đối với tất cả các họ khả tổng yếu [xi , I ] với tập hợp các chỉ số tuỳ ý. Ký hiệu P (,)EF là không gian véc tơ tất cả các ánh xạ khả tổng tuyệt đối từ E vào F . Khi đó mệnh đề sau là hiển nhiên: 2.2.2.2. Mệnh đề. P (,)EF là không gian định chuẩn với chuẩn p()T . 2.2.2.3. Bổ đề. Nếu {T a } là dãy Côsi trong P (,)EF và tồn tại ánh xạ TEFÎ L(,) sao cho limTa x= T x với mọi xÎ E thì TEFÎ P (,) và a p -limTTa = . a Chứng minh. Với mỗi d > 0 tồn tại b0 sao cho p()TTa- b £ d với mọi a,. b³ b0 Khi đó với mọi họ hữu hạn [xn , s ] trong E ta có bất đẳng thức ïì ïü p(),:, T x- T x £d supíï á x a ñ a Î U 0 ýï åVa n b nï å n ï sîï s þï từ đó qua giới hạn ta nhận được ïì ïü pTx(),:,- Tx £d supíï á xaaU ñ Î 0 ýï với mọi b³ b . åV nb nï å n ï 0 sîï s þï Suy ra ánh xạ TT- và do đó ánh xạ T thuộc vào P (,)EF . Ngoài ra b0 p()TT-b £ d với mọi a,. b³ b0 Vậy p -limTTa = . a Từ bổ đề vừa chứng minh ta nhận được: 2.2.2.4.Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach thì P (,)EF là không gian Banach. 33
  36. 2.2.2.5. Mệnh đề. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn với các hình cầu UV, và W . Khi đó 1) Nếu TEFÎ L(,) và SFGÎ P (,) , thì STEGo Î P (,) và p()()()STSTo £ p b . 2) Nếu TEFÎ P (,) và SFGÎ L(,) , thì STEGo Î P (,) và p(STSTo )£ b ( ) p ( ). Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.2.1 các khẳng định 1) và 2) suy ra từ các bất đẳng thức sau với mọi họ hữu hạn [xn , s ] ïì ïü pSTx()(),:o £p Ssupíï á TxbbV ñ Î 0 ýï åW nï å n ï sîï s þï ïì ïü £p()(),:S b T supíï á x a ñ a Î U 0 ýï ïå n ï îïs þï åpW()()() So T x n£ b S å p V T x n s s ïì ïü £b()(),:S p T supíï á x a ñ a Î U 0 ýï . ïå n ï îïs þï 2.2.3. Đặc trưng của ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn Giả sử E là không gian định chuẩn với hình cầu đơn vị U . Tập hợp compact yếu MUÌ 0 được gọi là tập căn bản, nếu pU (),: x= sup{ á x a ñ a Î M } với mọi xÎ E. Do định lý Hahn - Banach, U 0 là tập căn bản. Xét không gian Banach CM() các hàm liên tục trên không gian compact Hausdorff M . Ký hiệu % M={dx : x Î M }, trong đó dx là độ đo Dirac xác định bởi dx ()() j= j x với mọi j Î CM() . Vì 34
  37. j=sup{ j():(): x x Î M} = sup{ dx j x Î M }, nên M% là tập căn bản của CM() . Ký hiệu D ={l Σ : l £ 1} và D I là tập hợp tất cả các họ số [xi ,I ]ÌD 0 trang bị tôpô tích. Theo định lý Tikhônôp D I là compact. Nếu MUÌ là tập căn bản đối với E thì DI ´ M là không gian compact Housdorff. 1 2.2.3.1. Bổ đề. Đối với họ [xi,() I]Î l I E , hàm F trên DI ´ M xác định bởi F(,),aia =å a i á x i a ñ I liên tục trên DI ´ M và F = eU[x i ,. I ] Chứng minh. Với mỗi s Î F ()I , đặt Fs (,),.aia =å a i á x i a ñ Vì với mỗi s d > 0 tồn tại s 0 Î F ()I sao cho 0 å áxi , a ñ £ d với mọi aÎÌ M U , I \ s 0 nên F(,)(,)aa - Fs a a £ d với mọi s Î F ()I , s³ s 0. Vậy họ hàm liên tục F s trên DI ´ M hội tụ đều tới F . Do đó F liên tục. Từ hệ thức F(,),,aa £ á x a ñ £ e é x I ù với mọi [a ,,I]ÎDÎÌ a M U 0 , å i Uëê i ûú i I I suy ra F £ eU[x i , I ]. 0 Ngược lại, với mỗi aÎ U và iÎ I , chọn a i = 1 để áxi,,. a ñ =a i á x i a ñ Khi đó với mọi s Î F ()I ta có åáxi,,() a ñ £ á åa i x i a ñ£ p U å a i x i = s s s 35
  38. ïì ïü =supíï áa x,:. b ñ b Î M ýï £ F ïå i i ï s îïI þï 0 Vì limFs = F , nên ta nhận được áxi ,, a ñ £ F với mọi aÎ U . s å I Điều đó có nghĩa là eU[x i , I ]£ F . Kết hợp với bất đẳng thức ở trên ta có F = eU[x i ,. I ] Giả sử E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị đóng U và V , M là tập căn bản trong E ¢. Khi đó ta có: 2.2.3.2. Định lý. Ánh xạ TEFÎ L(,) là khả tổng tuyệt đối khi và chỉ khi tồn tại độ đo Radon dương m trên M sao cho p(), T x£ á x a ñ dm với mọi xÎ E. V ò M Ký hiệu pM ()T là tập hợp tất cả các độ đo Radon thoả mãn bất đẳng thức trên. Khi đó p()():()T= inf{ m M m Î pM T }, trong đó pM ()T chứa độ đo m0 sao cho p(TM )= m0 ( ). 0 Chứng minh. Lấy tập chỉ số I tuỳ ý , sao cho ánh xạ ia bi từ I lên V . Khi đó nếu T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối từ E vào F thì công thức á[xi,,, I] a ñ=å á T x i b i ñ (1) I 1 xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục a trên lI () E , bởi vì á[xIai,,,(),(),.] ñ £å á Txb i i ñ £ å pTx V i =p V[ TxI i] £ p T e U[ xI i ] II Từ đó suy ra a£ p( T ). 1 I Do bổ đề trên, l I ()E có thể xem như không gian con của CM()D ´ bởi đồng nhất họ [xi, I] với hàm liên tục F . Do đó, theo định lý Hahn- Banach tồn I tại phiếm hàm tuyến tính M 0 trên CM()D ´ sao cho 36
  39. x,,(,) I a= f a a dM , với mọi x,() IÎ l 1 E (2) [ i] ò i 0 [ i] I DI ´ M và M0 = a và do đó MT0 £ p() . Khi đó M 0 là độ đo Radon trên CM()DI ´ . Đặt j,()(),() m= ja d m = j a d M j Î C M , (3) 0ò 0 ò 0 M DI ´ M ta nhận được độ đo Radon dương m0 trên M thoả mãn m0()()MT£ p (4) Áp dụng (2) đối với họ éxd()j ,, I ù xÎ E , ta nhận được ëi û T x,, b=a á x a ñ dM iò j 0 I D´ M Từ đó T x,, b£ x a d M = x, a dm . i ò 0 ò 0 I M D´ M 0 Theo giả thiết với mỗi bÎ V tồn tại jÎ I với b= bj , nên T x,, b= x a dm , với mọi bÎ V 0. j ò 0 M Do đó pTx(),:,= supTxb á ñ bV Î0 £ xadm . V { } ò 0 M Ngược lại, với mỗi TEFÎ L(,) và M là tập căn bản của E tồn tại độ đo Radon dương  trên M sao cho p(), T x£ x a dm, với mọi xÎ E . v ò M Khi đó với mọi họ hữu hạn [xn , s ] của E ta có bất đẳng thức 37
  40. ïì ïü pTx( )£ xad ,m £ m ( M ) supíï xaaU , : Î 0 ýï . åv nò å nï å n ï sM sîï s þï Vậy, theo mệnh đề 2.2.1, T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối . Ngoài ra p(TM )£ m ( ). Suy ra p()():()T£ inf{ m M m Î pM T }. (5) Mặt khác, vì hệ thức (4) thực hiện đối với độ đo Radon m0 được kiến thiết ở phần đầu của chứng minh, nên từ (4) và (5) ta có p(TM )= m0 ( ). 2.2.4. Ánh xạ Hilbert- Schmidt Giả sử E và F là các không gian Hilbert thực hoặc phức với hình cầu đơn vị U và V . 2.2.4.1. Định nghĩa. Ánh xạ TEFÎ L(,) được gọi là ánh xạ Hilbert-Schmidt nếu với các hệ trực chuẩn đầy đủ e, I trong E và éf, J ù trong F bất đẳng [ i ] ëj û thức sau 2 2 s ()()T=å T ei f i < + ¥ i, j được thỏa mãn. Chú ý rằng s ()T không phụ thuộc vào việc chọn hai hệ trực chuẩn đầy đủ e, I và éf, J ù, bởi vì [ i ] ëj û 2 2 2 s ()()()T=å T ei f j = å [ p V T e i ] i, j I và 2 2 s ()()()T2= e T * f = é p T * f ù åi j å ë U j û i, j I ở đây TFE* : ® là ánh xạ liên hợp của T xác định bởi (T* y , x )= ( y T x ), với mọi xÎ E và yÎ F . 38
  41. Ký hiệu S(,)EF là tập hợp tất cả các ánh xạ Hilbert-Schmidt từ E vào F . 2.2.4.2. Mệnh đề. S(,)EF là không gian véctơ với tích vô hướng (,)(,)S T= å Sei T e i . I Chứng minh. Với mỗi TEFÎ S(,) ta có æ ö pTx()(,)(,)= pç xeTe÷ £ xepTe( ) £ V Vçå i i÷ å i V i èç II ø 1 1 ïì2 ïü2 ïì2 ïü 2 £íå(x , ei ) ý í å p V( T e i) ý = p U ( x )s ( T ). îïII þï îï ïþ suy ra b()()TT£ s . Bởi vì với hai ánh xạ STEF,(,)Î S ta có bất đẳng thức 1 1 1 ì ü2 ì ü 2 ì ü 2 ï2 ï ï2 ï ï 2 ï íåpSeTeV()() i+ i ý £ í å pSe V( i) ý + í å pTe V i ý îïIII þï ïî þï îï þï nên ánh xạ ST+ là ánh xạ Hilbert-Schmidt và s()()()STST+ £ s + s . Hiển nhiên nếu TEFÎ S(,) thì aTEFÎ S(,) và với mọi số s( aTT )= a s ( ). Vậy S(,)EF là không gian véctơ với chuẩn s ()T . Cuối cùng từ 1 1 ì ü2 ì ü 2 ï2 ï ï 2 ï å(Sei,()() T e i) £ í å p V Se i ý í å p V T e i ý , IIIîï þï îï þï suy ra họ số [(Sei , T e i ), I ] là khả tổng, và với mọi STEF,(,)Î S (,)(,)S T= å Sei T e i I là tích vô hướng trong S(,)EF , trong đó 1 s (),TTT= [( )]2 39
  42. 2.2.4.3. Mệnh đề. Không gian véctơ A(,)EF tất cả các ánh xạ hữu hạn chiều từ E vào F là trù mật trong S(,)EF . Chứng minh. Với mỗi TEFÎ A(,), chọn hệ trực chuẩn đầy đủ [ei , I ] trong E sao cho chỉ có một số hữu hạn T ei ¹ 0 . Do đó, ta có 2 2 [s ()()T] =å pV T e i 0 tồn tại s 0 Î F ()I sao cho 2 2 2 [s()T- Ts ] £å pV( T e i ) £ e I \ s với mọi s³ s 0 . Vậy {T s } hội tụ tới T trong S(,)EF . Hệ quả sau suy ra ngay từ Mệnh đề 2.2.4.3. 2.2.4.4. Hệ quả. Mọi ánh xạ Hilbert – Schmidt là ánh xạ compact. 2.2.4.5. Định lý. Tập các ánh xạ khả tổng tuyệt đối từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F trùng với tập các ánh xạ Hilbert – Schmidt, trong đó với mỗi TEFEFÎSP(,)(,) = ta có bất đẳng thức s(TTT )£ p ( ) £ 3 s ( ). 40
  43. Chứng minh. Vì mỗi ánh xạ TEFÎ S(,) đều là ánh xạ compact, nên tồn tại các hệ trực chuẩn đầy đủ e, I trong E và éf, J ù trong F và họ số [ i ] ëj û [l i,I]Î c I sao cho T x= å l i() x e i f i với mọi xÎ E . I Bởi vì ()T ei f i= l i , nên ta có bất đẳng thức 2 2 å li £[ s ()T ] < + ¥ . I 1 2 Bây giờ ta xác định T1 Î L(,) E lI và T2 Î L(,) lI F bởi các công thức T1 x= [l i( x , e i ), I ] với mọi xÎ E và 2 T2 [xi, I]= å x i f i với mọi [xi,I ]Î l I . I Và do æ ö l(,)()x e£ s T và p(), x pç x f÷£ l[ x I ] å i i U Vçå i i÷ 2 i I èç I ø nên ta có các bất đẳng thức b()()TT1 £ s và b(T 2 )£ 1. 1 2 1 2 Cuối cùng, nếu R ¢ là ánh xạ đồng nhất l I vào l I thì R¢Î P(,) lII l và p(R ¢ )£ 3 . Khi đó TTRT= 2¢ 1 , do đó T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối và p(TT )£ 3 s ( ) theo mệnh đề 2.2.2.5. Ngược lại, nếu TEFÎ P (,) thì ta có 1 pV[T x i,(), I]£ p T e U[ x i I ] với mọi [xi, I]Î l I [ E ] và mọi tập chỉ số I . Bây giờ giả sử [ei , I ] là hệ trực chuẩn đầy đủ của E . Khi đó tất cả họ 2 2 [xie i, I ] với [xi,I]Î l I thuộc vào lI [ E ], vì 41
  44. 1 1 ïì2 ïü2 ïì2 ïü 2 åxie i,,[,] a£í å x i ý í å e i a ý £ l2 x i I IIIîï þï îï þï với mọi aÎ U 0 . Như vậy 2 eU[ x ie i,, I]£ l2 [ x i I ] với mọi [xi,I ]Î l I . Từ đó suy ra xpTe(),(),(),= pé TeI x ù £ p T e x eI £ p T l x I å i V i Vë( i i) û U[ i i] 2 [ i ] I 2 với mọi [xi,I ]Î l I . Khi đó theo bổ đề 2.1.1.8 ta có 2 2 å (pV()() T e i ) £ (p T ) . I Vậy 1 ì ü2 ï2 ï s()()()T=íå pV T e i ý £ p T < + ¥ . îïI þï 2.3. Ánh xạ hạch 2.3.1. Ánh xạ hạch giữa các không gian định chuẩn Giả sử E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị đóng U và V . 2.3.1.1. Định nghĩa. Ánh xạ TEFÎ L(,) gọi là ánh xạ hạch nếu tồn tại các dạng tuyến tính liên tục an Î E ¢và các phần tử yn Î F sao cho p0 ()() a p y < + ¥ å U n V n N và T x= å x, an y n với mọi xÎ E . Đối với mỗi ánh xạ hạch T ta đặt ïì ïü n()()()T= infí p0 a p y ý, ïå U n V n ï îï¥ þï ở đây infimum lấy theo tất cả các biểu diễn có thể như trên của T . 42
  45. Kí hiệu N (,)EF là tập tất cả các ánh xạ hạch từ E vào F . 2.3.1.2. Mệnh đề. N (,)EF là không gian tuyến tính với chuẩn n()T . Chứng minh. Nếu TEFÎ N (,) tùy ý thì với mọi biểu diễn của T dưới dạng T x= å x, an y n , ¥ ta có p()()()() T x£ p x p0 a p y V Uå U n V n ¥ Do đó b()()()T£ p0 a p y . å U n v n ¥ Vậy b(TT )£ n ( ). Giả sử STEF,(,)Î N . Khi đó với e > 0 tùy ý tồn tại các biểu diễn Sx= å x, an y n và T x= å x, bn z n ¥ ¥ sao cho p0 ()()() a p y£n S + e å U n v n ¥ và p0 ()()() b p z£n T + e å U n v n ¥ Như vậy ánh xạ ST+ có biểu diễn (),,S+ T x =å x an y n + å x b n z n , ¥ ¥ ở đó n(ST+ ) £ papy0 ()() + pbpz 0 ()()()()2 £ n S + n T + e . åUUn V n å n V n ¥ ¥ Vì e > 0 tùy ý nên n()()()STST+ £ n + n 43
  46. và do đó STEF+ Î N (,) . Ngoài ra, dễ thấy rằng nếu TEFÎ N (,) và a là số tùy ý, thì aTEFÎ N (,) và n()() aTT= a n . Vậy N (,)EF là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn n()T . 2.3.1.3. Bổ đề. Nếu {Tk } là dãy Cauchy trong N (,)EF sao cho tồn tại ánh xạ TEFÎ L(,) sao cho lim Tk x= T x với mỗi xÎ E , thì TEFÎ N (,) và k n -lim Tk = T . k Chứng minh. Vì {Tk } là dãy Cauchy trong N (,)EF nên tồn tại một dãy đơn điệu tăng kj thỏa mãn 1 n()TT- < với mọi k, q³ k . k q 2j + 2 j Khi đó các ánh xạ hạch T- T, j = 1,2, được biểu diễn dưới dạng kj+ 1 k j ()()j j T- T x = x, a y , ( kj+ 1 k j ) å n n ¥ trong đó ()()j j 1 p0 a p() y < . å U ( n) V n j + 2 ¥ 2 Vậy thì, đối với p = 1,2, ta có j+ p - 1 T- T x = x, a()()h y h . ( kj+ p k j ) å å n n h= j ¥ Từ đó, cho p ® ¥ ta nhận được ¥ T- T x = x, a()()h y h ( kj ) å å n n h= j ¥ và ¥ ()()h h 1 n T- T £ p0 a p y £ . ( kj ) å å U ( n) V( n ) j + 1 h= j ¥ 2 44
  47. Do đó TT- là ánh xạ hạch. Vậy TTTT=() - + cũng là ánh xạ hạch. kj kj k j Cuối cùng, từ bất đẳng thức 1 n(TTTTTT-k) £ n ( - k) +( k - k ) £ j với mọi k³ k j j j 2 suy ra n -limTTk = . k 2.3.1.4. Mệnh đề. Nếu F là không gian Banach, thì N (,)EF là không gian Banach. Chứng minh. Suy từ bổ đề 2.3.1.3 và bất đẳng thức b()()TT£ n với mọi TEFÎ N (,) . 2.3.1.5. Mệnh đề.A(,)EF là không gian con tuyến tính trù mật trong N (,)EF . Chứng minh. Vì mỗi ánh xạ hữu hạn chiều T đều biểu diễn dưới dạng k T x=å á x, an ñ y n , n = 1 trong đó a1, , ak Î E ¢ và y1, , yk Î F , nên A(,)EF là không gian con tuyến tính của N (,)EF . Bây giờ, giả sử TEFÎ N (,) . Khi đó tồn tại an Î E ¢ và các phần tử yn Î F sao cho T x= å x, an y n với mọi xÎ E ¥ và p0 ()() a p y 0, đều tồn tại tập hợp n 0 Î F ()¥ sao cho p0 ()(). a p y < e å U n V n ¥ \ n0 nên đối với các ánh xạ hữu hạn chiều 45
  48. Tn(),,,() x=å x a n y n x Î E n Î F ¥ n ta có n()()().T- T £ p0 a p y 0 tồn tại bn Î F ¢ và zn Î G sao cho Sy= å y,, bn z n với mọi yÎ F ¥ và p0 ()()(). b p z£n S + e å V n W n ¥ Khi đó ánh xạ STo có dạng STxo =å Txbz,,',n n = å xTbzxE n n Î ¥ và 46
  49. n()()()()()()STo £ pTbpz0¢ £ b T ¢ pbpz 0 åUVn W n å n W n ¥ ¥ £[n(ST ) + e] b (¢ ). Suy ra STo là ánh xạ hạch và do e > 0 tùy ý và b()()TT¢ = b nên n()()()STSTo £ n b . Khẳng định ii) được chứng minh tương tự. 2.3.1.8. Mệnh đề. Ánh xạ T ¢, đối ngẫu với ánh xạ hạch TEFÎ N (,) cũng là ánh xạ hạch và n()()TT¢ £ n . Chứng minh. Vì TEFÎ N (,) nên với e > 0 tùy ý, T có thể biểu diễn dưới dạng T x= å x,, an y n với mọi xÎ E ¥ với p0 ()()() a p y£n T + e . å U n V n ¥ Khi đó T ¢ có dạng ¢ ¢ T b=å yn,, b a n b Î F ¥ và n(T ')£ p0 ( a ) p ( y ) £ n ( T ) + e . å U n V n ¥ Vậy T ¢ là ánh xạ hạch và n()()TT¢ £ n . 2.3.2. Ánh xạ tựa hạch giữa các không gian định chuẩn 2.3.2.1. Định nghĩa. Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ tuyến tính liên tục TEF: ® gọi là tựa hạch nếu tồn tại an Î E', n = 1,2, sao cho p0 () a < + ¥ å U n ¥ 47
  50. và pV(),, T x£å x a n x Î E . ¥ ïì ïü Đặt p ()()T= infí p0 a ý, ở đây infmum lấy theo tất cả các dãy 0 ïå U n ï îï¥ þï {an }Ì E thỏa mãn hai bất đẳng thức trên. 2.3.2.2. Mệnh đề. Mọi ánh xạ hạch T là tựa hạch và p0()()TT£ n . Chứng minh. Do T là ánh xạ hạch nên với mọi  0 tồn tại anÎÎ E¢, y n F sao cho p0 ()()() a p y£n T + e å U n V n ¥ và T x=å x,,. an y n x Î E ¥ Nếu đặt bn= p V() y n a n ta nhận được pTxV(),(),,£å xapy n V n = å xbxE n Î ¥ ¥ và p0()()()() b= p 0 a p y £n T + e . åUUn å n V n ¥ ¥ Vậy T là ánh xạ tựa hạch với p0()()TT£ n . 2.3.2.3. Định lý. Mọi ánh xạ tựa hạch T từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F là hạch nếu xét T như ánh xạ từ E vào không gian m I các dãy số bị chặn bao hàm F như một không gian con. Ngoài ra p0()()TT= n . Chứng minh. Do T là ánh xạ tựa hạch nên với  0 cho trước tồn tại an Î E ¢ sao cho p0 ()() a£p T + e å U n 0 ¥ 48
  51. và pV(),, T x£å x a n x Î E ¥ 1 Ký hiệu G0 là không gian con của l ¥ thành lập từ tất cả các họ số éx,,, a¥ ù xÎ E . Khi đó đẳng thức ën û é ù S0 ë x,, an ¥ û= T x xác định ánh xạ tuyến tính liên tục S 0 từ G 0 vào F sao cho b(S 0 )£ 1, vì é ù pV( S0 ë x,,(), a n¥ û)= p V T x £ å x a n ¥ é ù = l 1 ëx,,. an ¥ û 1 Do đó S 0 được mở rộng tới ánh xạ tuyến tính liên tục S: l ¥ ® m I với b(SS )= b (0 ) £ 1. Đặt y= S éd()m , ¥ ù. më n û Khi đó l ¥ [ym ]£ 1 và S có biểu diễn 1 S[xn,,,¥]=å x n y n[ x n ¥] Î l ¥ ¥ é ù Vì T x= Së x,, an ¥ û, nên ánh xạ T có dạng T x=å x,, an y n x Î E ¥ Mặt khác, do bất đẳng thức p0 al y£ p() T + e . å U ( n) ¥ [ n ] 0 ¥ Suy ra T: E® m I là hạch với n()()TT£ p0 + e . Vì e bé tuỳ ý nên suy ra n()()TT£ p0 .Theo mệnh đề 2.3.2.2 ta có p0()()TT£ n . Vậy p0()()TT= n . 49
  52. Kí hiệu P0(,)EF là tập hợp tất cả các ánh xạ tựa hạch từ E vào F . Do định lý 2.3.2.3 và do mọi không gian định chuẩn F có thể xem như một không gian con của mV 0 nên ta có các mệnh đề sau. 2.3.2.4. Mệnh đề. P0(,)EF là không gian véctơ với chuẩn p0(TT ), Î P0(,)EF . Ngoài ra nếu F là không gian Banach, thì P0(,)EF cũng là không gian Banach. 2.3.2.5. Mệnh đề. Mọi ánh xạ tựa hạch là compact. 2.3.2.6. Mệnh đề. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn. i) Nếu TEFÎ L(,) , SFGÎ P0(,) thì STEGÎ P0(,) và p0()()()STSTo £ p b . ii) Nếu TEFÎ P0(,) ,SFGÎ L(,) thì STEGÎ P0(,) và p0()()()STSTo £ b p 0 . Cuối cùng sự liên hệ giữa tựa ánh xạ hạch và ánh xạ khả tổng tuyệt đối được cho bởi mệnh đề sau. 2.3.2.7. Mệnh đề. Mọi ánh xạ tựa hạch T là khả tổng tuyệt đối và p()()TT£ p 0 . Chứng minh. Cho TEFÎ P0(,) . Với e > 0 tùy ý chọn an Î E ' sao cho p0 a£p() T + e å U ( n ) 0 ¥ và pV(),, T x£å x a n x Î E . ¥ ïì m- 1a : m > 0 ï n n n Đặt m = p0 () a và b = í . nU n n ï 0 :m = 0 îï 0 Xác định độ đo Radon dương m trên U 0 bởi j, m= j (a ) d m = m j ( b ), j Î C ( U 0 ) . ò å n n U 0 ¥ 50
  53. Khi đó p(),, T x£ x a dm x Î E . V ò U 0 Vậy theo định lý 2.2.3.2 T là ánh xạ khả tổng tuyệt đối, trong đó 0 p()()()TUT£ m =å mn £ p0 + e , ¥ suy ra p()()TT£ p 0 . 2.3.3. Tích các ánh xạ tựa hạch giữa các không gian định chuẩn 2.3.3.1. Bổ đề. Mỗi ánh xạ tựa hạch T từ không gian đinh chuẩn E vào không gian Banach F có thể viết như tích của hai ánh xạ tuyến tính liên tục TT1 2 E¾ ¾¾® m¥ ¾ ¾¾® F với b(T 1 )£ 1 và b()()TT2£ p 0 + e , ở đây e > 0 tùy ý cho trước. Chứng minh. Xác định an Î E ' sao cho p0 ()() a£p T + e å U n 0 ¥ và pV(),, T x£å x a n x Î E . ¥ Đặt 1 2 - 2 N= n: a ¹ 0 và m = ép0 () a ù và b=m a, n Î ¥ . 0 { n } nëU n û n n n 0 Giả sử TÎ L(,) E m và SÎ L(,) m l 2 cho bởi 1 ¥ 1 ¥ ¥ 0 T x=é x,,, b¥ ù x Î E 1 ën û và S1[xn,,,,¥]=[ m n x n ¥ 0 ] [ x n ¥ ] Î m ¥ Vì 1 1 ïì2 ïü2 ïì ïü 2 léS x,,¥ ù=ï m2 x ï £ ï m 2 ï l x ¥ 2ë 1[ n 0 ] û íå n n ý í å n ý ¥ [ n ] îï¥ þï îï ¥ þï 51
  54. và l ¥ (T1 x)={ x,:() bn n Î¥ } £ p U x nên ta có 1 2 b()()ST1£{ p 0 + e} và b(T 1 )£ 1. Ký hiệu H=ém x,,: b¥ ù x Î E Ì l 2 . Giả sử SHF: ® cho bởi {ën n 0 û } ¥ 0 2 Sém x,,, b¥ ù= T x x Î E 2ën n 0 û . Ta có 1 2 b()()ST2£{ p 0 + e} , vì é ù 2 pV((,,)(), S2ëm n x b n¥ 0 û = p V T x £ å m n x b n ¥ 0 1 ïì ïü2 £ íïm2 ýï lé m x,,. b ¥ ù ïå n ï 2ë n n 0 û îï¥ 0 þï Gọi P là phép chiếu trực giao từ l 2 lên H và TSPS= o o , ở đây S là ¥ 0 2 2 1 2 mở rộng liên tục của S 2 lên H . Chuẩn của ánh xạ T 2 thỏa mãn b(TSPST2)£ b( 2) b( ) b( 1) £ p 0 ( ) + e . Như vậy TTT= 2o 1 é ù é ù TxS=2ëmn xb,,,, n¥ 0 û = SPSxb 2 o o 1 ë n ¥ û = TTx 2 o 1 . 2.3.3.2. Bổ đề. Nếu F là không gian con véctơ trù mật trong không gian định chuẩn G với mọi zÎ G và mọi e > 0 tồn tại một dãy phần tử yn Î F sao cho ( ) z= å yn và å pW( y n)£(1 + e) p W z ¥ ¥ Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại yˆn Î F sao cho 52
  55. æ1 ö ÷ ( ) pW( z- yˆ n) £ ç ÷e p W z . èç2n + 1 ÷ ø Đặt y1= yˆ 1 và yn= yˆ n , n 1. Ta có z=lim yˆm = y n m å ¥ Ngoài ra ææ1 ö ö ç ÷ ÷ ( ) pWW( y1)£ç1 + ç ÷e÷ p z . èç èç4÷ ø ÷ ø Vậy æ1 1 ö ÷ ( ) pW( y n)£ç +÷e p W z, n > 1, èç2n+ 1 2 n ø÷ éæ1 ö ¥ 1 ¥ 1 ù p( y)£ê1 +ç ÷e + e + e ú p( z). åW nêèç ø÷ ån+ 1 å n ú W ¥ ë4n=2 2 n = 2 2 û Dễ dàng nhận thấy mọi ánh xạ hạch từ E vào F là ánh xạ hạch từ E vào G . Như vậy T có n - chuẩn trong N (,)EF cũng như n - chuẩn trong N (,)EG . Kí hiệu tương ứng là nF (T ) và nG (T ). Rõ ràng nGF(TT)£ n ( ). 2.3.3.3. Bổ đề. Nếu F trù mật trong G và TEFÎ L(,) sao cho TEGÎ N (,) thì TEFÎ N (,) và nFG(TT)= n ( ). Chứng minh. Với e > 0 tùy ý, chọn an Î E ' và zn Î G sao cho G p0 a p z£n( T ) + e å U ( n) W( n ) ¥ và T x=å x,, an z n x Î F . ¥ Theo bổ đề 2.3.3.2 với mỗi n tồn tại ym, n , m = 1,2, sao cho ¥ ¥ zn= å y m, n và å pW( y m, n)£(1 + e) p W( z n ) m = 1 m = 1 Đặt am, n= a n với m = 1,2, Ta có 53
  56. ¥ ¥ ¥ T x=å x,, an z n = å x a n å y m, n n=1 n = 1 n = 1 ¥ =å x,, am,, n y m n x Î E m, n = 1 và ¥ ¥ F n (T)£ p0 a p y å å U ( mn) W( mn ) n=1 n = 1 ¥ ¥ ¥ £p0 a p y £ p 0 a(1 + e) p z åUU( n) å W( mn) å ( n) W( n ) n=1 n = 1 n = 1 £(nG (T ) + e)(1 + e). Vậy TEF: ® là hạch và nFG(TT)= n ( ). 2.3.3.4. Định lý. Tích STo của hai ánh xạ tựa hạch TEF: ® và SFG: ® là ánh xạ hạch và n(STSTo )£ p0( ) p 0 ( ). Chứng minh. Giả sử G% là bao đầy của G . Xét S như ánh xạ từ F vào G%. Do bổ đề trước, với e > 0 tùy ý tồn tại hai ánh xạ % S1 Î L(,) F m ¥ và S2 Î L ( m¥ , G ) sao cho SSS= 1o 2 và b(SSS1)£1, b( 2) £ p 0 ( ) + e . Từ định lý 2.3.2.3 và mệnh đề 2.3.2.6 suy ra ST1 o là hạch từ E vào m ¥ với % n(STT1o )£ p 0 ( ). Vậy thì tích STSS= 1 2 là hạch từ E vào G với G% n(STSSTSTo)£ b( 2).() n( 1 o ) £( p 0 + e) p 0 ( ). Cho e ® 0 ta được G% n(STSTo )£ p0()() p 0 . Theo bổ đề 2.3.3.3 STEG: ® là ánh xạ hạch và GG% n(STSTSTo)= n( o ) £ p0()() p 0 . 54
  57. 2.3.4. Tích các ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn Trong phần tiếp theo ta ký hiệu M là không gian compact Hausdorff trên đó có độ đo Radon dương m với m(M )= 1. Xét ánh xạ chính tắc K từ 2 CM( ) vào LMm ( ) không gian Hilbert các hàm bình phương khả tích trên M đối với m, K ()j= jˆ ta có b (K )= 1. 2.3.4.1. Mệnh đề. Nếu T là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Banach CM( ), thì KTo là ánh xạ Hilbert-Schmidt từ E 2 vào LMm ( ) và s(KTTo )£ b ( ). Chứng minh. Xét hệ trực chuẩn đầy đủ tuỳ ý [ei , I ] trong E . Đặt j i= T e i . Kí hiệu dx , xÎ M là độ đo Dirac ( ) j,, dx = jx j Î C( M ). Do bất đẳng thức Bessel ta có 2 2 2 ( ) ¢ åjix= å T e i,, d x = å e i T d x ITT ¢ 2 2 £pU 0 ( Tdx ) £ [ b ( T )]. Bằng cách lấy tích phân trên M theo m ta nhận được 2 2 2 s(Ko T) = j( x) d m £ b ( T ) . [ ] å ò i [ ] I M Mệnh đề được chứng minh. 2 2.3.4.2. Mệnh đề. Nếu T là ánh xạ Hilbert-Schmidt từ LMm ( ) vào không gian Hilbert F , thì TKo là ánh xạ hạch từ CM( ) vào F với n(TKTo )£ s ( ). Chứng minh. 1) Đầu tiên ta xét trường hợp T là ánh xạ hữu hạn chiều có dạng m Té fˆ ù=f ˆ fˆ y, f ˆ Î L2 ( M ), ëê ûú å ( r) r m r = 1 55
  58. ở đây f1, , fn là các hàm bậc thang còn y1, , yn Î F . Khi đó tồn tại các tập đo được rời nhau MM1, , n trong M sao cho các hàm bậc thang f1, , fn là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập MM1, , n ; n fr=å a vs g s, r = 1, , m . s = 1 n Đối với phần tử zs=å a rs y r , s = 1, , n ta có đồng nhất s= 1 n Té fˆ ù=(,),f ˆ gˆ zf ˆ Î L2 ( M ). ëê ûú å r s m s= 1 Nếu độ đo Radon s xác định bởi j,(),, m= jx d m = jˆ g ˆ j Î C( M ), sò ( s ) Ms thì TKo có thể viết n To K[j]= å j, ms z s với j Î CM( ). s = 1 Vậy 1 1 n n n ïì ïü2 ïì2 ïü 2 n(To K)£å m( MS) p V( z s) £ í å m( M s) ý í å m( M s) p V( z s ) ý . s=1îï s = 1 þï îï s = 1 þï 1 - ˆ 2 Vì các hàm hs=m( M s) gˆ s , s = 1, , n lập nên một hệ trực giao với (gˆs, g ˆ s)= m( M s ), nên ta có n2 n s(T)2 ³ p Té hˆ ù = m M p z 2 . åv( ëê s ûú) å ( s) V( s ) s=1 s = 1 Từ đẳng thức n å m(MMs )= m( ) = 1, s = 1 ta nhận được n(TKTo )£ s ( ) và mệnh đề được chứng minh trong trường hợp riêng. 56
  59. 2 2) Nếu TLMF: m ( )® là ánh xạ Hilbert-Schmidt tùy ý. Khi đó với mọi hệ trực chuẩn đủ [ei , I ] của F ta có 2 2 s(T) =å l 2 ( T* ei ) < + ¥ I Do đó với mỗi n ³ 1 tồn tại s n Î TI( ) với 2 æ1 ÷ ö l 2 (T*. ei ) < ç ÷ å èç2n 2 ÷ ø I \ s n ˆ ()n Xác định hàm bậc thang fi với 2 ˆ ()n 1 l 2 (T* ei- f i ) < 2 2 s n n ở đây s n là số các phần tử của s n . Cuối cùng, nếu ta xác định ánh xạ T n bởi phương trình Té fˆ ù= fˆ,, fˆ (n ) e f Î L 2 ( M ) nëê ûú å ( i) i m s n thì từ 2 *()*ˆ n 2 s(T- Tn) =å l2( T e i - f i) + å l 2 ( T e i ) snI \ s n 2 2 £pU 0 ( T'dx ) £ b ( T ) , ta nhận được 1 s (TT-) £ . n n Do đó s -limTTn = n n(Tmo K- T n o K) £ s ( T m - T n ), " m , n ³ 1 1 1 £s(TTTT -) + s ( -) £ + ® 0 . m n m n Áp dụng trường hợp riêng cho TTm- n 57
  60. Như vậy dãy {TKn o } là Cauchy theo chuẩn  . Vì pV( To K[j]- T n o K[ j]) £ b( T - T n) l2 K[ j] £ s( T - T n ) j nên ta có limTKTKo[j]= o [ j ] với j Î CM( ) n Vậy theo bổ đề 2.3.1.3 , TKo là ánh xạ hạch., đồng thời n(TKTKTTo)=lim n( n o ) £ lim s( n ) = s ( ). n n 2.3.4.3. Bổ đề. Mọi ánh xạ khả tổng tuyệt đối T từ không gian định chuẩn E vào không gian Banach F có thể viết như tích của ba ánh xạ tuyến tính liên tục TKT12 2 ECMLMF¾¾¾®( ) ¾¾¾®m ( ) ¾¾¾® . Ở đây m là độ đo Radon dương trên không gian compact Hausdorff M với m(M )= 1 còn K là ánh xạ xác định bởi KCM[j]= j, jˆ Î ( ). Ta đồng thời có b (T 1)£ 1 và b(TT2 )£ p ( ). Chứng minh. Có thể coi rằng p (T )> 0, vì trường hợp p (T )= 0 hay T = 0 là tầm thường. Theo định lý 2.2.3.2 tồn tại độ đo Radon l dương trên MU= 0 với l(TT)= p ( ) sao cho p( T x)£ x,, a dl x Î E . V ò M Vì hàm j x với j x (),a= x a thuộc CM( ) với xÎ E , nên công thức T1 x=j x , x Î E xác định ánh xạ tuyến tính liên tục T 1 từ E vào CM( ) và b (T1)= 1, vì j x=sup{ x , a : a Î M} = p U ( x ) Đặt 58
  61. òjd m= p( T)- 1 ò j(), a d l j Î C( M ). MM Ta có m(M )= 1 và p( T x)£p( T) x,, a d m x Î E . V ò M Bây giờ ta xác định không gian véctơ H={jˆ x : x Î E } 2 của không gian Hilbert LMm ( ) và ánh xạ tuyến tính liên tục SHF2 : ® bởi S2 (jˆx)= T x, j ˆ x Î H . Ta có b(ST2 )£ p ( ), bởi vì 1 ì ü2 ï2 ï p( S()()jˆ)£ p( T)íï j a d m ýï £ p( T ) l( j ˆ ) V2 xïò x ï 2 x îïM þï 2 Giả sử P là phép chiếu trực giao Lm trên H và TSP2= 2 . S 2 là mở rộng liên tục của S 2 lên H . Ta có b(TT2 )£ p ( ). Như vậy Bổ đề được chứng minh, vì TxS=2(jˆx) = SP 2( j ˆ x) = TK 2( j x ) = TKTxxE 2 1 , Î Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn. Từ các Bổ đề trên ta có các Định lý sau. 2.3.4.4. Định lý. Tích STo của hai ánh xạ khả tổng tuyệt đối TPEFÎ (,) và SPEGÎ (,) là ánh xạ hạch và n(STSTo )£ p( ) p ( ) Chứng minh. Theo bổ đề trước S và T được biểu diễn như sau ECMLMF¾¾¾®TKT1 ¾¾¾®T 2 ¾¾¾® 2 % ( TT) mT ( ) 59